Limiti di successioni

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1 Limiti di successioi Ricordiamo che si chiama successioe (umerica) ua qualsiasi fuzioe a : N a () R. Per evideziare il fatto che i valori assuti dalla fuzioe a si possoo umerare (cioè cotare), si preferisce la otazioe a i luogo di a () e la successioe stessa viee comuemete idicata co (a ) 0 oppure a 0,a,a 2,a 3,.... Si dice che a 0,a,a 2,... soo i termii della successioe e che a eèiltermie geerale. È ache ammesso che il domiio di a o sia tutto N, ma u isieme del tipo dom a = { N : 0 } per qualche 0 N. I tal caso, la successioe sarà idicata co (a ) 0 oppure a 0,a 0+,a 0+2,.... I figura soo riportati i grafici di alcue successioi. a = a = a = a =( ) Osserviamo che ua successioe (a ) 0 èspessodefiita tramite u espressioe a = a () che può essere valutata ache su umeri reali qualsiasi, cioè tale che a (x) esiste per ogi x [ 0, + ). Italcaso, a può essere vista come restrizioe ad { N : 0 } della fuzioe a defiita su tutto l itervallo [ 0, + ) (v. prime tre figure). Tuttavia, va ache otato che ciò o è sempre possibile, i quato esistoo operazioi che soo lecite sui aturali e o lo soo, ivece, sui reali qualsiasi; ad esempio ( ) se =0, 2, 4,... (pari) = se =, 3, 5,... (dispari) e se =0! := ( ) ( 2) 3 2 = ( )! se o hao sigificato se è ua variabile reale qualsiasi.

2 2 M.GUIDA, S.ROLANDO. Limite di ua successioe Nel defiire la ozioe di ite di ua fuzioe f (x) per x +, si è richiesto che la fuzioe sia defiita almeo i u itoro di +, per poterla valutare i valori di x arbitrariamete gradi. Tuttavia, affiché ciò sia possibile, o è i effetti ecessario che il domiio della fuzioe cotega tutto u itoro di +, besì basta che tale domiio sia superiormete ilitato (i modo che, o avedo maggiorati, coterrà valori di x arbitrariamete gradi). Questa semplice osservazioe cosete di defiire la ozioe di ite a + ache per fuzioi qualsiasi che abbiao domiio superiormete ilitato, riformuladola i termii idetici a quelli già visti: (.) f (x) = I (), N >0, x dom f, x > N f (x) I (). x + (lo stesso si potrebbe ovviamete fare a, chiededo l ilitatezza iferiore del domiio). Tale defiizioe estesa di ite a + comprede ache il caso delle successioi (a ) 0,iquato fuzioi a :doma R a R co domiio dom a = { N : 0 } superiormete ilitato. La defiizioe (.) diveta: (.2) a = I (), N >0, 0,>N a I () dove si usa omettere il sego + davati a +, i quato o ci soo valori diversi da + a cui ha seso far tedere. può come al solito essere u umero reale (evetualmete + o,comeifigura), oppure ±. Poiché si richiede solo l esisteza di almeo u N tale che la codizioe 0,>N a I () sia verificata, o è restrittivo supporre che: N> 0 (se la codizioe vale co N allora vale ache co ogi N >N al posto di N), N N (se la codizioe vale co N/ N allora vale ache co N =[N] al posto di N). Duque la (.2) può essere riscritta più semplicemete come a = I (), N N, >N, a I (), che è la formulazioe di defiizioe di ite a cui di solito si fa riferimeto per le successioi. Vediamoe i dettaglio i vari casi, usado la seguete, efficace termiologia: si dice che u predicato p () dipedete da ua variabile N vale defiitivamete se esiste u N N tale che p () vale per ogi >N (ad esempio, la proposizioe 2 > 00 èveradefiitivamete, perché equivale a >log ed è quidi vera per tutti gli maggiori di N = [log 2 00] = 6). Co tale termiologia, ua successioe (a ) 0 è: covergete ad R ( a = ) se per ogi ε > 0 risulta a < ε defiitivamete (ossia N N, >N, a < ε); divergete a + ( a =+ ) se per ogi M>0risulta a >M defiitivamete (ossia N N, >N, a >M); divergete a ( a = ) se per ogi M>0risulta a < M defiitivamete (ossia N N, >N, a < M); regolare se è covergete o divergete; irregolare (o oscillate o idetermiata) se o è regolare.

3 SUCCESSIONI 3 I pricipi di equivaleza ed eiazioe che fao iterveire i simboli di Ladau e gli usuali teoremi sui iti valgoo ache per le successioi, co poche modifiche; si rimada alle Sezioi 4 e 5 per u breve compedio di tali risultati. Per il mometo, osserviamo solo che, per il carattere locale del ite, se due successioi coicidoo defiitivamete allora ua è regolare se e solo se lo è l altra e, i tal caso, le due successioi hao lo stesso ite. Di cosegueza, il carattere di ua successioe (cioè il suo essere covergete, divergete o irregolare) ed il valore del suo ite, se esiste, o cambiao alterado u umero fiito dei suoi termii. Per questo motivo, l idice iiziale 0 o è quasi mai rilevate e si usa spesso la otazioe alleggerita (a ) i luogo di (a ) Successioi mootoe Poiché ua successioe è ua fuzioe a valori i R co domiio i R, la be ota defiizioe di mootoia si applica ovviamete ache alle successioi; ad esempio, (a ) è mootoa crescete se per ogi, m si ha <m a a m. Tuttavia, el caso delle successioi, la mootoia può essere equivaletemete riformulata i modo più semplice, i accordo co il risultato seguete. Proposizioe 2.. (a ) è mootoa crescete (decrescete) se e solo se per ogi si ha a a + (a a + ). I altri termii, per cotrollare la mootoia di ua successioe, è sufficiete cofrotare il geerico termie co il successivo. Esempio 2.2. Si voglia verificare che a =!, 0, èdefiitivamete strettamete crescete. La + codizioe a <a + sigifica! ( +)! < + +2, cioè! + ( +)! <, cioè +2< ( +) 2, cioè 2 + >, +2 dove l ultima codizioe è falsa per =0, ma è vera per ogi. Duque risulta a <a + defiitivamete. Ache per le successioi la mootoia garatisce l esisteza del ite ed è duque ua codizioe sufficiete di regolarità. Vale ifatti il seguete: Teorema 2.3. Se (a ) 0 è mootoa, allora è regolare e si ha sup a se a ècrescete a = 0 if a se a è decrescete. 0 Osserviamo esplicitamete che, grazie al carattere locale del ite, per garatire la regolarità di (a ) 0 èsufficiete che (a ) 0 sia mootoa defiitivamete. 3. Teorema di sostituzioe Cosiderado la composizioe tra ua successioe e ua fuzioe qualsiasi, si ottiee il seguete teorema di sostituzioe, del tutto aalogo al teorema di sostituzioe per fuzioi di variabile reale qualsiasi. Teorema 3.. (di sostituzioe). Sia a = c (fiito o ifiito) e sia f ua qualsiasi fuzioe defiita almeo i u itoro bucato di c (ache solo uilaterale se c = x ± 0 ). Suppoiamo ioltre che: i) f (x) esista (fiitooifiito) x c ii) f sia cotiua i c (ache solo da u lato se c = x ± 0 ) oppure si abbia a = c defiitivamete. Allora il ite della successioe f (a ) esiste e risulta f (a ) = x c f (x).

4 4 M.GUIDA, S.ROLANDO Tra gli utilizzi del teorema precedete, segaliamo le due segueti, importati cosegueze. 3.. Criterio di o esisteza del ite. Il teorema di sostituzioe forisce ua codizioe ecessaria per l esisteza del ite f (x), i quato implica i particolare che: x c se f (x) esiste (fiito o ifiito), allora deve essere f (a x c )=f (x) per ogi successioe (a ) tale che a c co a = c defiitivamete. x c Se e deduce allora immediatamete il seguete: Corollario 3.2. (sulla o esisteza del ite). Se esistoo due successioi (a ) e (b ) che tedoo etrambe a c restado defiitivamete = c etaliche f (a ) = f (b ), allora f (x) o esiste. x c 3.2. Calcolo di iti. Il teorema di sostituzioe ha ricadute utili el calcolo di iti di successioi, i quato mostra che, se ua successioe (a ) èdefiita tramite u espressioe a = a () che può essere valutata i tutti gli x di u itoro di +, allora il calcolo del ite di a puòesserericodottoal calcolo del ite di a (x) per x +. Ifatti, applicado il teorema di sostituzioe alla successioe c = ed alla fuzioe f (x) =a (x), siottieeilseguete: Corollario 3.3. Se a (x) esiste (fiito o ifiito), allora risulta x + (3.) a = a (x). x + Esempio 3.4. Per ogi 3 sia a = ,dovea(x) = 2x2 +x 3 3x 2 2 ha seso ache per tutti gli x i u itoro di +. Allora 2x 2 + x 3 x + 3x 2 = = Esempio 3.5. Per ogi sia a =,cioèa = /. Siccome a (x) =x /x ha seso ache per tutti gli x i u itoro di +, sihache x x = e log x x = e 0 = =. x + x + U vataggio di questo approccio sta ad esempio el fatto che per il calcolo del ite di ua fuzioe di variabile reale qualsiasi si hao a disposizioe risultati che o valgoo el caso delle successioi, come ad esempio la regola di de L Hopital (già implicitamete usata ell Esempio 3.5, per stabilire che log x/x 0 per x + ). Si faccia però estrema attezioe al fatto che, el corollario precedete, la (3.) sussiste i geerale solo se a (x) esiste (fiito o ifiito). Ifatti x + se x + a (x) o esiste, il ite a () può esistere o o. Ad esempio, il ite si (πx) o esiste, ma si ha si (π) =0perogi e quidi si (π) =0. x + U altro icoveiete del corollario precedete sta el fatto che ua successioe può essere defiita tramite operazioi sulla variabile aturale che o hao seso su ua variabile reale qualsiasi x. I tali situazioi, occorre utilizzare direttamete i teoremi sui iti (v. Sezioe 4) o i pricipi di equivaleza ed eiazioe che fao iterveire i simboli di Ladau (v. Sezioe 5). 4. Teoremi sulle successioi I maiera del tutto aaloga al caso delle fuzioi di variabile reale qualsiasi, si dimostrao i segueti risultati. Teorema (uicità del ite). a, se esiste, è uico. Teorema (carattere locale del ite). Se a = b defiitivamete, allora a esisteseesolose b esiste e, i tal caso, a = b. Teorema (di itatezza locale). Suppoiamo a =. Allora a èitatase R, iferiormete itata se =+, superiormete itata se =.

5 SUCCESSIONI 5 Teorema (della permaeza del sego). Suppoiamo che esista a = (fiito o ifiito). ) Se > 0, allora risulta a > 0 defiitivamete. Aalogamete se < 0. 2) Se a 0 defiitivamete, allora risulta 0. Aalogamete se a 0. Teorema (algebra dei iti). Suppoiamo a = e b = 2 (fiiti o ifiiti). Allora (a + b )= + 2, a b = 2, a = b 2 dove per l ultimo ite si richiede che sia b =0defiitivamete e dove, se o defiite i R, leoperazioi + 2, 2 ed / 2 soo da iterpretarsi secodo le usuali covezioi dell algebra dei iti. Primo teorema del cofroto. Suppoiamo a b defiitivamete. Allora a = e b = 2 fiiti 2. Secodo teorema del cofroto (caso fiito). Suppoiamo a c b defiitivamete. Allora a = b = R c =. Secodo teorema del cofroto (caso ifiito). Suppoiamo a b defiitivamete. Allora a =+ b =+ e b = a =. Proposizioe (sul ite ullo). (a ) èifiitesimaseesolose( a ) èifiitesima. Proposizioe. Se (a ) è itata e (b ) èifiitesima, allora (a b ) èifiitesima. e ( ) ( ) Esempio 4.. Calcolare!, log (!), log(!) e log(!). Poiché! = ( ) 2 per ogi eciascuodeifattorida fio ad è, risulta! = + e quidi!=+ per cofroto. Poiché il logaritmo è crescete,! implica log (!) log + equidi log (!) = +, di uovo per cofroto. ( ) Ifie risulta log(!) =0,iquato ( ) log (!) =( ) log (!) èilprodottodiuasuccessioeitata( ( ) = =per ogi )peruaifiitesima ( log(!) + =0per il teorema sull algebra dei iti). ( ) Siccome log(!) =0e l espoeziale è cotiua i 0, risulta e ( ) log(!) = e x =per il x 0 teorema di sostituzioe. 5. Simboli di Ladau Richiamiamo brevemete le defiizioi dei simboli di Ladau e la loro applicazioe al calcolo dei iti, el caso delle successioi. Defiizioe 5.. (di equigradezza). Diciamo che (a ) e (b ) soo equigradi (a b ) se il ite a esiste fiito e o ullo. b La ozioe di equigradezza esprime sostazialmete il fatto che a e b si comportao ello stesso modo al ite: due successioi equigradi, ifatti, hao lo stesso carattere e ciascua è ifiita o ifiitesima se e solo se lo è l altra; i tal caso, ioltre, hao lo stesso ordie di ifiitooifiitesimo. L Esempio 3.4 mostra che le successioi e soo equigradi.

6 6 M.GUIDA, S.ROLANDO Defiizioe 5.2. (di equivaleza). Diciamo che (a ) e (b ) soo equivaleti (a b )se a =. b L equivaleza è ovviamete u caso particolare di equigradezza e stabilisce, i più, che se a e b soo regolari allora tedoo allo stesso ite. Le due ozioi di equivaleza ed equigradezza soo legate dalla relazioe a = fiito o ullo b a =. b Chiaramete ogi successioe covergete ad u ite fiito o ullo è equivalete al proprio ite (che può essere visto come successioe costate) e l Esempio 3.5 stabilisce che la successioe ( ) è equivalete alla costate. Altri esempi di equivaleza possoo otteersi facedo riferimeto ad equivaleze ote per fuzioi di variabile reale qualsiasi: ogi combiazioe lieare di poteze di è equivalete al proprio addedo di espoete massimo (brevemete a r + a 2 r a k r k a k r k se a k =0ed r k =max{r,..., r k })e (5.) si, e, log +,... Può essere utile teere presete che la relazioe di equivaleza (come ache quella di equigradezza) è simmetrica (se a b allora b a )etrasitiva: sea b e b c allora a c.adesempio,le (5.) stabiliscoo la seguete catea di equivaleze: si e log + Valgoo ioltre le segueti proprietà, di cui riportiamo ache le semplici verifiche. Proposizioe 5.3. (i) Se a a e b b allora a b a b e a a b b. (ii) Se a b, allora a α b α per ogi α R per cui le poteze a α,b α hao seso defiitivamete. (iii) Se a > 0, b > 0 e a b, allora a b. a b Dimostrazioe (i) Se a = b =,allora a b a b a /b a b = a b = = e a /b α a = α =. a a α (ii) Se =,allora b a (iii) Se =,allora b b α a = b = b a b. a b = a = =. b = e a log b = e 0 =. Esempio 5.4. si (/) per la proprietà (i), i quato si e Defiizioe 5.5. (di trascurabilità). Diciamo che (a ) è trascurabile rispetto a (b ) (a = o (b )) se a b =0 (o equivaletemete = ). b a La ozioe di trascurabilità di ua successioe rispetto ad u altra implica ovviamete che le due successioi o soo equigradi e che quidi si comportao i modo diverso al ite. I particolare, se soo etrambe ifiite o ifiitesime allora a = o (b ) sigifica sostazialmete che ua delle due tede al proprio ite più i fretta dell altra: se soo etrambe ifiitesime, allora a = o (b ) sigifica che a tede a 0 più i fretta di b (il umeratore prevale el rapporto); se soo etrambe ifiite, allora a = o (b ) sigifica che b tede all ifiito più i fretta di a (il deomiatore prevale el rapporto).

7 SUCCESSIONI 7 Equivaleza e trascurabilità soo collegate dalla seguete, importate relazioe: a b a = b + o (b ) (quidi, ad esempio, e sigifica e = + o,ossiae =+ + o ). È facile verificare che ogi successioe itata è trascurabile rispetto ad ogi successioe ifiita (ifatti, se a è itata e b èifiita, allora a b = a b 0). Valgoo ioltre le segueti proprietà, di cui omettiamo le (semplici) verifiche, per brevità. Proposizioe 5.6. (i) o (a )±o (a )=o(a ) (cioè la somma algebrica di due o (a ) èacorauo (a )). (ii) λ = 0si ha: o (λa )=o(a ) eviceversa,λ o (a )=o(a ) e viceversa. (iii) Se a =0defiitivamete, allora a o (b )=o(a b ). (iv) o (a ) o (b )=o(a b ). (v) [o (a )] α = o (a α ) per ogi α R per cui le poteze hao seso defiitivamete. Le ozioi di equivaleza e trascurabilità soo utili el calcolo dei iti grazie ai segueti risultati (di facile verifica). Pricipio di sostituzioe co termii equivaleti. Se a a e b b allora a b = a b a a e = b b (ache el caso di o esisteza dei iti). Pricipio di eiazioe dei termii trascurabili. Per qualsiasi (a ) e (b ) risulta (a + o (a ))(b + o (b ) ) = a a + o (a ) b e b + o (b ) = a b (ache el caso di o esisteza dei iti). Esempio 5.7. Calcolare e / 2 +log( 3 ) cos(!). Per,siha/ 0 equidie / /. D altra parte, risulta log( 3 )=3log = o () e cos(!) = o () (perché èifiita e cos (!) è itata), per cui 2 +log( 3 ) cos(!) = 2 + o (). Duque 2 e / +log( 3 ) cos(!) = (2 + o ()) = 2 =2. Cocludiamo riportado due risultati che si possoo rivelare utili ell applicazioe dei due pricipi precedeti. 5.. Graduatoria di ifiiti otevoli. Le successioi (log ), ( γ ), (a ), (!), ( ) co γ > 0 e a> fissati divergoo tutte positivamete e soo elecate i ordie crescete di velocità di divergeza. termii, ciascua è trascurabile rispetto alla successiva: log = o ( γ ), γ = o (a ), a = o (!),!=o ( ). e 3 Esempio 5.8. Calcolare ( ) 3!. Poiché ( ) 3! = 3! = o (!) =0,! ( ) 3 risulta =0e quidi ( ) 3 = o (!). Allora si ottiee! e 3 ( ) 3! = e + o (e ) o (!)! = e! = e! =0. I altri

8 8 M.GUIDA, S.ROLANDO 5.2. Formule di Stirlig. Valgoo le segueti equivaleze:! e 2π e log (!) log. Di cosegueza, risulta ache e = o (!) (perché e! = e e 2π = 2π =0). 6. Sottosuccessioi Sia 0 < < 2 <... ua successioe strettamete crescete avaloriin. Data ua successioe qualsiasi a 0,a,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,..., possiamo cosiderare solo i termii di idici 0,, 2,...: a 0,a,a 2,... La successioe così otteuta è detta sottosuccessioe estratta da (a ). I sostaza, si tratta della successioe (a k ) otteuta dalla composizioe k k a k delle successioi ( k ) ed (a ). Esempio 6.. Se k = k 2 e a = e, allora la sottosuccessioe (a k ) èdatadaa k = a k 2 = k 2 e k2. Data ua successioe (a ) 0 qualsiasi, le sottosuccessioi (a 2k ) k 0 e (a 2k+ ) k 0 soo le successioi costituite rispettivamete dai termii di idice pari e da quelli di idice dispari di (a ),cioè a 0,a 2,a 4,... e a,a 3,a 5,... Adesempio,sea =( ), allora per ogi k risulta a 2k =( ) 2k = e a 2k+ =( ) 2k+ =. Il teorema seguete afferma che tutte le sottosuccessioi di ua successioe regolare soo esse stesse regolari ed hao lo stesso ite (fiito o ifiito) della successioe da cui soo estratte. Teorema 6.2. (sul ite di sottosuccessioi). Se (a ) è regolare, ogi sua sottosuccessioe (a k ) è acora regolare e risulta a k = a. k Foredo ua codizioe ecessaria di esisteza del ite per ua successioe, il teorema precedete cosete ache di idividuare successioi irregolari: se ua successioe ammette due sottosuccessioi chetedooaitidiversitraloro(fiiti o ifiiti), allora essa è irregolare. Più precisamete, vale il seguete: Corollario 6.3. (criterio di irregolarità di sottosuccessioi). Siao (a k ) e a due sottosuccessioi regolari di ua successioe (a k ).Allora a k = a k k k = a o esiste. Esempio 6.4. ( ) o esiste, perché k ( )2k =e k ( )2k+ =. ( ) o esiste, perché k ( )2k 2k = 2k =+ e k k ( )2k+ 2k += 2k + =. k