ESPONENZIALI. n volte

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1 Corso di laurea: BIOLOGIA Tutor: Floris Marta; Max Artizzu PRECORSI DI MATEMATICA ESPONENZIALI IL CONCETTO DI POTENZA E LA SUA GENERALIZZAZIONE L elevamento a potenza è un operazione aritmetica che associa a due numeri a (base) e n (esponente) un terzo numero b, che si ottiene moltiplicando la base per sè stessa il numero indicato nell esponente: Esempi: b = a n = a a a... a }{{} n volte. 0, 4 = 0, 4 0, 4 0, 4 = 0, = = 64 Vediamo ora varie opzioni per le potenze POTENZA AD ESPONENTE INTERO. Com è noto, il prodotto di n fattori tutti uguali ad un numero a viene detto potenza ennesima di a ed indicato con il simbolo a n ; i numeri a ed n vengono rispettivamente chiamati base ed esponente della potenza. Se la base è la stessa si hanno le seguenti proprietà: Dati due numeri reali a e b e due numeri interi n ed m si ha: Il prodotto di due potenze aventi la stessa base è uguale al numero che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti. a n a m = a n+m ()

2 Esempi:. 4 = 4+ = 6 = = +5 = 7 = 8 = 0, (con n m) Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è uguale al numero che ha come base la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti. Esempi:. = = =. 4 = 4 = = = 0, 9 a n a m = a n m () Per fare in modo che questa proprietà possa valere anche nel caso gli esponenti delle potenze siano uguali e nel caso l esponente del dividendo sia minore di quello del divisore è stato necessario estendere il concetto di potenza convenendo di attribuire al simbolo a 0 il valore e di identificare il simbolo a n con a n a 0). Esempi:. 0 = l; 5 0 = l;. 5 = 5 ; 0 = 0 ; ( 4 ) 0 ( 7 = ; ( ) ( 4 = 4 0 ) =. ) ; (purché sia La potenza di una potenza è uguale al numero che ha come base la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti. Esempi:. (5 4 ) = 5 4 = 5 8 = ( ) (. = ) = 6 = = 0, (a n ) m = a n m ()

3 Se la base è diversa si hanno le seguenti proprietà: Il prodotto di potenze aventi tutte lo stesso esponente è uguale al prodotto dei fattori elevato la potenza. a n b n c n = (abc) n (4) Esempio: 5 = ( 5) = 0 Naturalmente vale anche il viceversa: Un numero sotto forma di potenza può essere scritto come prodotto di fattori che abbiano tutti la stessa potenza: x n = (a b c) n = a n b n c n Esempio: 00 = (5 4) = 5 4 (con b 0) Il quoziente di potenze aventi tutte lo stesso esponente è uguale al quoziente dei fattori elevato la potenza. a n : b n = (a : b) n (5) Esempio: 4 = (4 : ) = Naturalmente vale anche il viceversa: Un numero sotto forma di potenza può essere scritto come quoziente di fattori che abbiano tutti la stessa potenza: x n = (a : b) n = a n : b n Esempio: = (6 : ) = 6 : ESPONENTE. Qualunque sia la base vale che Esempio: 5 }{{} =5 : : 5 }{{} 5 }{{} = =5 5 a = a (6)

4 ESPONENTE 0. Qualunque sia la base (diversa da 0) vale che Esempio: 7 }{{} =49 : : 7 }{{} =49 }{{} = = La scrittura 0 0 non ha alcun significato. 7 0 a 0 = (7) BASE. Qualunque sia l esponente si ha che Esempio: = = 6 = 00 = n = (8) BASE 0. Qualunque sia l esponente si ha che Esempio: 0 = 0 = 0 = 0 00 = 0 0 n = 0 (9) POTENZA AD ESPONENTE RAZIONALE Nella trattazione della teoria dei radicali aritmetici viene mostrato come è possibile un ulteriore generalizzazione del concetto di pontenza identificando i simboli a n m e a n m ( ) con n > 0, a 0 nel primo caso e a > 0 nel secondo rispettiva- m mente con m a n e m a n. Esempi:. 5 4 = 4 5 ; = ; 4 5 = 4 5 = 0 = 5.. = ; 5 = 5 ;. 7 0, = 7 0 = 7 5 = 5 7;,5 = 5 0 = =. POTENZA AD ESPONENTE REALE. Non verranno trattate. 4

5 POTENZE DI 0. Osservate la seguente scrittura: 0 = = 0, 0 = = 0,0 0 = = 0,00 Scrivere una potenza positiva di 0 significa scrivere seguito da tanti zeri quanto vale l esponente; scrivere una potenza negativa di 0 significa scrivere preceduto da tanti zeri quanto vale l esponente. Sfruttando questa notazione si possono scrivere numeri molto grandi: 0 7 = o numeri molto piccoli 0 0 = ,00000 = 0 6 0,00 = 0 Naturalmente non solo potenze di 0. Considerate i seguenti esempi:. 0, = = = Nel sistema di misurazione decimale ogni numero si può scrivere sotto somma di potenze di 0. Vedete qui:. 5 = = = ,75 = NOTAZIONE SCIENTIFICA In alcuni casi è utile scrivere non il numero intero, ma con una sola cifra prima della virgola e moltiplicato per una potenza di 0. Tale tipo di scrittura è detta Notazione scientifica. a 0 n, 0 < a < 0 (0) 5

6 Esempi:. 57 =, = 8, =, ,07 =, 7 0 Casi in cui è comodo usare la notazione scientifica: massa della terra 5, Kg massa dell elettrone 9, 0 Kg massa del protone, Kg lunghezza di un paramecio, mm età di ritovamenti di alche azzurre e batteri fossili,9 0 9 anni L ORDINE DI GRANDEZZA è la potenza di 0 più vicina al numero considerato. LA FUNZIONE ESPONENZIALE Se a è un numero positivo diverso da ed x una variabile reale, l espressione a x varia al variare di x; posto y = a x si ottiene una funzione che viene detta funzione esponenziale. Per individuare le principali proprietà della funzione esponenziale ci limitiamo a rappresentare graficamente per punti due funzioni esponenziali, una con a > l altra con 0 < a <. Gli andamenti che si ottengono sono caratteristici di tutte le funzioni esponenziali aventi la base a soddisfacente o l una o l altra delle due condizioni. Nella figura è rappresentata nel piano cartesiano la funzione y = x (a > ); nella figura la funzione y = ( ) x (0 < a < ). I grafici sono stati ottenuti congiungendo i punti le cui coordinate sono deducibili dalle tabelle riportate a fianco di ciascuna figura. 6

7 x y = log x Figura : y = x x y = log x Figura : y = ( ) x 7

8 La funzione esponenziale y = a x assume valori positivi per qualunque valore attribuito all esponente e non si annulla mai. Per a > la funzione è crescente e tende a + per x tendente a +, mentre tende a zero per x tendente a. Viceversa, per 0 < a < la funzione è decrescente e tende a zero per stendente a + mentre tende a + per x tendente a. Molti sono i fenomeni regolati da leggi esprimibili matematicamente mediante funzioni esponenziali: l andamento nel tempo del valore di un capitale impiegato ad interesse composto, la crescita di una colonia di batteri, l aumento della popolazione nelle regioni meno sviluppate, il decadimento di una sostanza radioattiva, l attenuazione dell intensità di un fascio di radiazioni durante l attraversamento di un materiale, e cosi via. La funzione esponenziale assume dunque un ruolo fondamentale nello studio di processi fisici, tecnici, statistici, economici e biologici. LE EQUAZIONI ESPONENZIALI Chiamiamo equazione esponenziale ogni equazione nella quale l incognita compare nell esponente di qualche potenza. Poiché non è possibile dare una regola ben precisa per risolvere le equazioni esponenziali, illustriamo qualche metodo di risoluzione prendendo in considerazione alcuni particolari tipi di equazioni esponenziali. Esempi ) Risolvere l equazione: x+ 8 = x Applicando le proprietà delle potenze si perviene all uguaglianza tra due potenze aventi la stessa base: x+ 4 : x = ; x++4 +x = ; x+4 =. Uguagliando gli esponenti si ottiene: x + 4 = x = 7 6 8

9 ) Risolvere l equazione: 5 x + 5 x+ + 5 x+ = 05 L equazione può essere scritta nella forma equivalente 5 x x x = 05. Raccogliendo 5 x dai termini del membro di sinistra si ottiene: 5 x ( ) = 05 e quindi 5 x = 05 8 ; 5x = 5; x = ) Risolvere l equazione: 5 x (5 x+ + 9) = Svolgendo le operazioni indicate e trasportando tutti i termini del membro di sinistra si ottiene l eqauzione 5 5 x x = 0 Risolviamola come un equazione biquadratica, ponendo t = 5 x. Risulta: 5t + 9t = 0 t = 9 ± = 9 ± 0 = 9 ± 0 = 0 = = Sostituiamo al posto di t il valore iniziale e si hanno due equazioni esponenziali: 5 x = IMPOSSIBILE (non esiste nessuna potenza di 5 che ci dia il valore ) 5 x = 5 x =. 9

10 ESERCIZI. Risolvere le seguenti equazioni esponenziali ) x + x = 4 [0] ) x = x+ : x [] ) 5 x : 5 x = 5 x [ 7 ] 4) x a a = a [] 5) 7 x+ : 7 x = 7 x [ 4 5 ] 6) x : x x = x+ : x [ 6 5 ] 7) x + x = [-] 8) 4x+ : 8 = 8 x 4 [ 6 ] 9) x+ x = 4 x x+ [impossibile] 0) (x )(x+) = 0 [-, ] ) 4x + = x [0, ] 0