Capitolo 6 - Caratterizzazione dell azione sismica sulle costruzioni

Transcript

1 Captolo 6 - Caratterzzazone dell azone ssmca sulle costruzon Lo studo della percolostà ssmca d un terrtoro consente d ottenere nformazon sulla ssmctà del sto n esame, sulle caratterstche de terremot che sono stat regstrat n passato, sulla probabltà d verfcars d terremot futur e sull eventuale presenza d effett d amplfcazone locale delle onde ssmche. Ovvamente per caratterzzare l azone ssmca a fn della progettazone strutturale, è necessaro determnare la modaltà d trasfermento dell energa dall onda ssmca, generatas nell pocentro e gunta n superfce, alle costruzon. In ngegnera ssmca, a tal proposto, s è solt rferrs ad uno schema del sstema terreno-struttura partcolarmente semplce ma altrettanto effcace, l oscllatore ad un grado d lbertà, del quale se ne analzza la rsposta al varare delle sue caratterstche dnamche, tpcamente perodo propro e smorzamento. S facca rfermento qund ad una struttura schematzzable medante un sstema ad un grado d lbertà (SDOF) soggetto all azone ssmca rappresentata dall accelerazone del terreno x ( t). Dett: - O un sstema d rfermento assoluto (esterno al sstema struttura-terreno), - O un sstema d rfermento soldale al terreno, - u( t ) lo spostamento relatvo della massa M rspetto al sstema d rfermento O, - x( t) lo spostamento della massa M nel sstema d rfermento assoluto O, legato allo spostamento relatvo u( t ) e allo spostamento del terreno x ( t) secondo l equazone x( t) = x ( t) + u( t), g g g come llustrato n Fgura 6-; l equazone del moto nel sstema d rfermento assoluto O rsulta: M x + C x + k x = 0, (6.) mentre nel sstema d rfermento relatvo: M u + C u + k u = M x ( t). (6.) g Dvdendo entramb membr della (6.) per la massa M, l equazone del moto può essere rscrtta nella forma:

2 u + u + u = x t (6.3) ξ ω ω g ( ) Fgura 6- moto dell oscllatore semplce ne sstem d rfermento O e O All equazone d moto, per la completa defnzone del problema, devono essere aggunte le condzon nzal coè la poszone e la veloctà della massa; tpcamente la struttura s consdera n quete prma dell avvento del terremoto coscché spostamento e veloctà nzal possono essere consderat null. L equazone del moto, ovvamente, per la stessa natura casuale della forzante, costtuta nel caso n esame dal moto ssmco, non può essere rsolta per va analtca, come nel caso della forzante armonca; è necessaro qund rcorrere a metod numerc. 6. RISPOSTA DINAMICA DEL SISTEMA SDOF SOGGETTO A MOTO SISMICO A fn della rsoluzone dell equazone del moto del sstema SDOF soggetto ad una ecctazone d tpo non armonco ma ancora defnta analtcamente sì da poterne calcolare l ntegrale, s può utlmente far rcorso all ntegrale d Duhamel. Tale metodo s basa sulla rsposta del sstema ad una forzante mpulsva, coè, una forza molto grande che agsce per un pccolo ma fnto ntervallo d tempo, come rappresentato n Fgura 6- dove la forza mpulsva p(t), d durata par ad ε, agsce nell ntervallo temporale t - t. Assumendo per la forza mpulsva l valore costante nel tempo p(t)=/ε, l mpulso totale, rappresentato dall ntegrale d questa nell ntervallo d tempo, rsulta par all untà come rportato nell equazone (6.4).

3 t p dt = ε = (6.4) ε t Fgura 6-: Forzante mpulsva p=/ε Mantenendo l ampezza della forza, defnta come l ntegrale nel tempo d p(t), par all untà, al tendere d ε a zero l modulo della forza tende all nfnto.una forza mpulsva, nel caso n cu ε 0, vene detta forza mpulsva untara ed è nota come funzone δ o δ d Drac, defnta tramte l espressone: δ( t τ ) 0 se t t se t = t = (6.5) S consder ora un sstema SDOF soggetto ad una forzante esterna p(t), l equazone del moto può essere scrtta nel seguente modo: Mu + Cu + Ku = p( t). (6.6) Integrando entramb membr tra t e t e consderando una forzante mpulsva untara s ottene: t t ( Mu + Cu + Ku) dt = p( t) dt = (6.7) t t Consderando che t = t + ε, la (6.7) può essere rscrtta:

4 + ε + ε t+ ε M [ u ( t ) u ( t )] + C [ u( t ) u( t )] + K u( t) dt = (6.8) t Assumendo come condzon nzal u( t ) = 0 e u ( t ) = 0 (coè spostamento e veloctà del sstema nzalmente null) e passando al lmte per ε 0, s può affermare che: ( + ) = 0 (6.9) u t ε coè lo spostamento del sstema, nzalmente n quete, dopo un tempo nfntesmo ε contnua ad essere nullo. Ne derva che l secondo e terzo termne del prmo membro della (6.8) sono null nfatt: C [ u( t ) u( t )] = 0 (6.0) +ε poché u( t + ε ) = 0 per la(6.9) e u( t ) = 0 per potes e: t+ε K u( t) dt = 0 (6.) t poché u( t ) assume valor null nell ntervallo d tempo t +. In base alle consderazon appena fatte dalla (6.8) s ha: t ε M [ u ( t + ε )] = (6.) qund, ad una forza mpulsva che agsce al tempo t = t, corrsponde una veloctà della massa M par a: u ( t ) / M (6.3) + ε = Una forza mpulsva untara produce, n un oscllatore semplce, delle vbrazon lbere rappresentate dal sstema d equazon (6.4) costtuto dall equazone del moto e dalle condzon nzal calcolate nell stante temporale t 0 come rappresentato n Fgura 6-3:

5 M u + C u + k u = 0 u( t 0) = 0 u ( t ) = / M 0 (6.4) Fgura 6-3: ndcazone del tempo t 0 Supponendo per semplctà d calcolo che lo smorzamento sa nullo, la prma equazone del sstema (6.4) può essere rscrtta nel seguente modo: M u + k u = 0 (6.5) L equazone (6.5), dfferenzale del secondo ordne ordnara, lneare, omogenea a coeffcent costant, ha un ntegrale generale del tpo: u st = e (6.6) n cu la costante s è ncognta e che, sosttuto nell espressone (6.5), fornsce: st ( Ms k) e 0 + = (6.7) la cu equazone caratterstca è: ( Ms k) 0 + = (6.8)

6 che fornsce: s, = ± ω (6.9) La soluzone generale della (6.5) dventa qund: u( t) = A e + A e (6.0) st st ωt u( t) = A e + A e (6.) ωt Poché: x x x x e + e e e cos x = e senx =, (6.) l espressone (6.) può essere rscrtta nella forma: u( t) = A cos( ωt) + B sen( ωt) (6.3) dove A e B sono costant da determnare sulla base delle condzon nzal, sosttuendo nell espressone (6.3) u( t = 0), s ottene A = u(0) e, sosttuendo nella u ( t) = ω A sen( ωt) + ω B cos( ωt) (6.4) u ( t = 0), s ottene u(0) B =. ω Sosttuendo le condzon nzal nella (6.3) s ottene: u (0) u( t) = u(0) cos( ω t) + sen( ω t) ω (6.5)

7 con ω = k M. Qund, assunte come condzon nzal la seconda e terza equazone del sstema (6.4), e sosttute nella (6.5), s ottene la rsposta dell oscllatore semplce ad una forza mpulsva untara: u( t) = sen[ ω( t τ )] = h( t τ ) M ω (6.6) S consder ora una forza p( t ) varable nel tempo secondo una legge orara casuale. Questa può essere rappresentata come una sequenza d mpuls nfntesm come rappresentato n Fgura 6-4. Fgura 6-4: Forza varable rappresentable come sere d mpuls La rsposta d un oscllatore semplce alla forza p( t ) varable nel tempo può essere qund rappresentata come somma delle rsposte agl mpuls nfntesm al tempo τ. Nel caso n cu la forzante sa defnta analtcamente da una funzone che permetta d calcolarne l ntegrale s ottene qund l espressone: t u( t) = p( τ ) h( t τ ) dτ (6.7) 0 che prende l nome d ntegrale d Duhamel. L ntegrale d Duhamel è scuramente effcace quando la forzante è defnta da una funzone contnua, quando però la forzante è defnta da valor numerc a stant d tempo dscret non è pù possble utlzzare l metodo d rsoluzone tramte l ntegrale d Duhamel, è qund necessaro procedere alla rsoluzone attraverso metod numerc. È questo l caso delle regstrazon

8 accelerometrche de terremot che, nonostante la contnutà del fenomeno naturale, vengono effettuate ad ntervall d tempo dscret. I metod numerc s basano sulla tecnca dell ntegrazone al passo che consste sntetcamente nel dvdere la durata della forzante n un numero d ntervall d ampezza costante, d nterpolare la forzante ne var ntervall e d determnare la rsposta n ogn ntervallo, nota la rsposta nell ntervallo precedente. Un metodo numerco basato sull approssmazone della veloctà e dell accelerazone a dfferenze fnte, è quello delle dfferenze central. S consder una forzante n forma dscreta costtuta da n valor dscretzzat ad ntervallo costante t, sano u, u + e u rspettvamente le espresson dello spostamento della massa M al tempo, + e -, sa p l valore della forzante all ntervallo d tempo, e sa l equazone d moto dell oscllatore semplce al generco stante la seguente: M u + C u + K u = p, (6.8) s rcava: p C u K u M u = (6.9) Assumendo la veloctà u e l accelerazone u nzal, defnte n termn d dfferenze fnte, come rportato nelle espresson: u u t + =, u u + u + u u = ( t) + (6.30) e assumendo p, p+ e p par a valor della forzante rspettvamente al tempo, + e -, sosttuendo le espresson (6.30) nell equazone d moto (6.8), s ottene: u+ u + u u+ u M + C + K u = p ( t) t (6.3)

9 n cu sa u che u - sono not. Raccoglendo le quanttà note della (6.3), s ottene: M C M C M + u = p u K u ( t) t ( t) t ( t) + (6.3) Ponendo : M c M pˆ = p u k u ( t) t ( t), ˆ M k = + ( t) C t (6.33) la (6.3) dventa: kˆ u = pˆ (6.34) + dove l ncognta è u ˆ ˆ = p / k. La soluzone al tempo + può essere qund determnata una volta + nota la soluzone al tempo. Per l nzo del processo teratvo e la determnazone d u, è necessaro conoscere u 0 e u0 : rsolvendo le (6.30) per = 0 s ottene: u u u t 0 =, u u + u + u = ( t) 0 0 (6.35) Sosttuendo la prma equazone nella seconda s ottene: ( t) u0 = u0 t( u 0) + u (6.36) 0 Note le condzon nzal, coè lo spostamento u 0 e la veloctà u 0, dall equazone d moto

10 M u + C u + K u = p (6.37) è possble rcavare l valore dell accelerazone u 0 : p c u k u M u 0 = (6.38) Sono state qund defnte tutte le grandezze necessare all nzo del processo teratvo; not la massa, la rgdezza e lo smorzamento dell oscllatore, not valor della forzante ad ogn ntervallo temporale e defnt lo spostamento e la veloctà nzal par a zero, dalla (6.38) s ottene nfatt u 0 = 0 e dalla (6.36) u0 = 0 ; defnte noltre le quanttà: ˆ M k = + ( t) C t (6.39) M c M pˆ = p u k u ( t) t ( t), (6.40) è possble nzare l processo teratvo e, not u e u al tempo =0, calcolare per ogn passo pˆ temporale le grandezze p ˆ e u+ = ; l processo teratvo può così prosegure per ogn passo ˆ k temporale successvo. In alternatva al metodo delle dfferenze central, può essere utlzzato l metodo d Newmark. Tale metodo defnsce lo spostamento e la veloctà all stante temporale + n funzone delle stesse grandezze ndvduate all stante precedente come ndcato nelle (6.4) e (6.4): u = u + ( t) u + [(0.5 β ) ( t) ] u + [ β ( t) ] u (6.4) + + u = u + [( γ ) t] u + ( γ t) u (6.4) + + Dalla (6.4) s deduce che la varazone d spostamento da un passo al successvo è funzone della varazone d accelerazone nello stesso ntervallo temporale; tale varazone può essere consderata o lneare oppure può essere preso un valore medo come rappresentato n Fgura 6-5.

11 Fgura 6-5: Varazone dell accelerazone lneare (destra) e valore medo (snstra) Nel caso n cu s consder l valore medo, all stante temporale τ, compreso fra t e t +, corrsponde un accelerazone: u ( τ ) = ( u + + u ) (6.43) da cu s ha: u ( τ ) = u + τ ( u + + u ) (6.44) t u + = u + ( u + + u ) (6.45) ( t) + = + + ( + + ) u u u t u u (6.46) 4 Dalla (6.46) s rcava l valore d accelerazone sa lneare s rcava l valore d β =. Nel caso n cu s consder che la varazone d 4 β =. Analogamente, l parametro γ, è responsable 6 della varazone dell nfluenza dell accelerazone all stante e quella all stante + sul cambo d veloctà ed è n generale assunto par a.

12 Per la rsoluzone dell equazone d moto (6.8), assunto β =, s rscrve la (6.46): u ( ) + = u u u u ( t) + t (6.47) che, sosttuta nella (6.45), fornsce l espressone della veloctà all stante +: u = ( u+ u ) u ; (6.48) t l equazone d moto all stante + è: M u + C u + K u = p, (6.49) sosttuendo le (6.47) e (6.48) nella (6.49) s ottene un espressone n cu l unca ncognta è lo spostamento u + alla fne dell ntervallo temporale, che può essere scrtta nella forma: kˆ u = pˆ (6.50) + n cu k ˆ = k + γ C β t + β ( t) M (6.5) e γ λ pˆ = p + M + C u + M + t u (6.5) β t β β β Lo spostamento u + può essere calcolato rsolvendo la (6.50) che rchede la sola conoscenza d grandezze che s rferscono all ntervallo temporale precedente; successvamente la veloctà u + può essere calcolata dalla (6.48) e l accelerazone u + dalla:

13 C u K u + p u + =. (6.53) M Sono state qund defnte tutte le grandezze necessare all nzo del processo teratvo nfatt, not la massa, la rgdezza e lo smorzamento dell oscllatore, not valor della forzante ad ogn C u 0 K u0 + p0 ntervallo temporale, dalla (6.53) s ottene u 0 = ; defnte noltre le quanttà ˆk e M tramte le espresson (6.5) e (6.5), e le quanttà a e b: γ a = M + C β t β b M t λ = + β β (6.54) (6.55) è possble nzare l processo teratvo e calcolare per ogn passo temporale le grandezze: p = p + au + bu (6.56) ˆ pˆ u ˆ = k (6.57) γ γ γ u = u u + t u β t β β (6.58) γ u = u u u (6.59) β ( t) β t β u = + u + u (6.60) u = + u + u (6.6) u = + u + u (6.6) Il processo teratvo può così prosegure per ogn passo temporale successvo. S consder a ttolo esemplfcatvo l portale appartenente al sstema spazale d Fgura 6-6. Tale telao è costtuto da un traverso assunto nfntamente rgdo d lunghezza par a 6 m e due colonne ugual d altezza par a 3 m, sezone costtuta da un proflo metallco HE60B (l momento d nerza della sezone è par a J = 49 cm 4 e l modulo elastco dell accao è assunto par a

14 0000 N/mm ); s consdera un comportamento del materale elastco lneare mentre le colonne ndeformabl assalmente ma dotate d rgdezza flessonale. L area d nfluenza de carch vertcal del telao n esame rsulta par all nterasse de tela (4 m) per la luce. S assuma a ttolo esemplfcatvo l valore della massa gravante sul traverso par al peso de carch permanent (300 kg/m ) sulla relatva area d nfluenza che rsulta qund par a 700 kg. Secondo le potes fatte, per la valutazone della rsposta ssmca, l portale, può essere schematzzato come un oscllatore semplce avente massa par a quella del traverso e rgdezza par alla rgdezza flessonale delle due colonne l cu unco grado d lbertà rsulta essere la traslazone orzzontale del traverso. Fgura 6-6: Schema del portale n esame Per calcolare la rgdezza delle colonne s applch alla struttura una forza orzzontale V come ndcato n Fgura 6-7. A tale forza corrspondono, alla base delle colonne, le reazon V e V e, n sommtà, lo spostamento δ. Fgura 6-7: Schema delle forze agent sulla struttura

15 Per l equlbro alla traslazone s ottene: V +V =V (6.63) Per l potes d nestensbltà del traverso, l taglo che s genera nelle colonne è proporzonale alla rgdezza delle stesse; poché le colonne hanno la medesma rgdezza flessonale s ottene: V V =V = (6.64) La frecca orzzontale delle colonne, schematzzate come due mensole doppamente ncastrate e soggette ad un carco concentrato V = V è par a: V EJ h V EJ h δ = = (6.65) 3 3 è qund possble ottenere valor d V e V n funzone dello spostamento n sommtà: EJ V = V = δ 3 (6.66) h La forza d taglo totale nel portale, V, rsulta par a: 4EJ V = V + V = δ 3 (6.67) h Poché la rgdezza della struttura è proporzonale alla forza V secondo la relazone: V = δ K, (6.68) la rgdezza della struttura è par a N [ ] 49 0 [ mm ] 4EJ K= mm kn = = h 3000 [ mm ] m.

16 S calcol ora l perodo d vbrazone del portale; nota la massa e la rgdezza la pulsazone naturale della struttura rsulta par a: K ω = = 5.4 M rad s, (6.69) la frequenza d vbrazone è par a: f ω = = [ Hz] (6.70) π Infne, l perodo d vbrazone, essendo l nverso della frequenza, rsulta d 0.47 second. S supponga ora che l telao sa soggetto all accelerogramma del terremoto d Anza del 99 rappresentato n Fgura 6-8: Fgura 6-8: Accelerogramma del terremoto d Anza del 99 Attraverso l metodo d Newmark è possble rsolvere l equazone del moto e calcolare lo spostamento dell oscllatore al varare del tempo t, potzzando che l oscllatore sa dotato d uno smorzamento par al 5%. Assumendo parametr β = e γ = ed l passo temporale par 4 all ntervallo d camponamento dell accelerogramma (0.005 s) s ottene la legge orara dello spostamento rappresentata grafcamente n Fgura 6-9.

17 Fgura 6-9: Spostamento al varare del tempo Poché l taglo e l momento alla base delle colonne sono legat tra loro e al valore dello spostamento secondo le equazon (6.68) e (6.7): V h M =, (6.7) valor massm d tal sollectazon s ottengono n corrspondenza dello spostamento massmo che, per l portale n esame rsulta par a 0,0008 m. Il taglo e l momento massmo alla base delle colonne rsultano rspettvamente par a 300 N e 450 Nm come rportato n Fgura 6-0. Fgura 6-0: dagramma dell sforzo taglante e del momento nel portale n esame 6. LO SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO Per l calcolo degl effett dell azone ssmca sulle strutture non è sempre necessaro conoscere l ntera stora temporale dello spostamento, spesso è suffcente valutare l massmo effetto del

18 ssma che, nel caso del sstema ad un grado d lbertà, corrsponde al raggungmento del massmo spostamento relatvo. Dall equazone d moto (6.), poché n corrspondenza dello spostamento massmo la veloctà è nulla, s ha che: k u = M ( x + u ) max ω M umax = M xg + u ω u = ( x + u ) max g g ( ) (6.7) La quanttà ω u max, che ha dmenson d un accelerazone, è detta pseudo-accelerazone e, negl stant n cu lo spostamento assume valor massm, concde con l accelerazone assoluta dell oscllatore (se u u s ha che u 0 e qund max ω u = ( x + u ) ξω u ). Per la seconda g legge d Newton, l oscllatore soggetto ad un accelerazone ( x + u ) è soggetto ad una forza nerzale proporzonale alla massa per l accelerazone. Per la (6.7) tale forza è par a: g = ω (6.73) F M u max Nota F è possble calcolare le sollectazon nella struttura; per l portale d Fgura 6-6, la forza F è par a 600 N. Consderando tale forza agente nel centro d massa e qund nel barcentro del traverso, ne conseguono, alla base delle colonne, un sforzo d taglo e un momento rspettvamente par a 300 N e 450 Nm, come ottenuto precedentemente medante l anals dell ntera stora temporale dello spostamento e rportato n Fgura 6-9. S supponga ora d voler calcolare lo spostamento massmo per dvers oscllator, caratterzzat ognuno da un propro perodo d vbrazone e da un propro fattore d smorzamento ma soggett allo stesso accelerogramma. I valor degl spostament d ogn oscllatore possono essere calcolat rsolvendo d volta n volta l equazone d moto ottenendone n questo modo l andamento temporale. Questa operazone comporta però un elevato onere computazonale e un grande dspendo d tempo. Poché, nella maggoranza de cas, come vsto nell esempo del telao d Fgura 6-6, è suffcente la sola conoscenza del massmo valore d spostamento, s può pensare d dagrammare tale spostamento n funzone del perodo d vbrazone per un assegnato fattore d

19 smorzamento e accelerogramma (Fgura 6-): tale dagramma prende l nome d spettro d rsposta elastco n termn d spostamento Sd = max u( t). Fgura 6- Costruzone del dagramma Spostamento massmo-perodo Oltre al dagramma spostamento massmo - perodo, possono essere calcolat gl spettr d rsposta n veloctà (6.75). S v e n accelerazone totale S a defnt rspettvamente dall espressone (6.74) e dalla Sv = max u ( t) (6.74) S = u t + x t = u t + u t (6.75) a max ( ) g ( ) max ξω ( ) ω ( ) Nella pratca è spesso pù semplce fare rfermento a spettr d rsposta n pseudo-accelerazone puttosto che a spettr d rsposta n accelerazone totale essendo drettamente collegat al valore dello spostamento massmo dell oscllatore attraverso la relazone: S pseudoaccelerazone ω u t = max ( ) (6.76) Per l accelerogramma d Fgura 6-8, fssato uno smorzamento del 5%, s ottene lo spettro d rsposta elastco n pseudo-accelerazone rportato n Fgura 6-.

20 Fgura 6-: Spettro d rsposta elastco n pseudo-accelerazone S consder nuovamente l portale d Fgura 6-6 che ha un perodo d vbrazone d 0.47 second, dalla conoscenza dello spettro d rsposta elastco è possble calcolare l valore della pseudoaccelerazone, che rsulta d m/s. Il portale è soggetto ad una forza proporzonale alla massa per la pseudo-accelerazone e qund par a: F = 700 [ kg] [ m / s ] = [N], (6.77) ne consegue un taglo alla base delle colonne par F / e qund par a N, rsultato pratcamente concdente con quello ottenuto precedentemente Lo spettro d rsposta elastco è qund un grafco che dagramma, al varare del perodo e per un fssato smorzamento, un determnato parametro d rsposta d un oscllatore semplce; n Fgura 6-3 s rportano, a ttolo esempo, gl spettr d rsposta elastc n pseudo-accelerazone, calcolat per uno smorzamento del 5%, per terremot d Anza, Bg Bear, Erzncan e del Frul.

21 Fgura 6-3: Spettr d rsposta elastc per terremot d Frul (n alto a snstra), Erzncan (n alto a destra), Bg Bear(n basso a snstra), Anza (n basso a destra) La conoscenza dello spettro d rsposta d un dato terremoto permette d ottenere nformazon rlevant sugl effett del terremoto n esame sulle costruzon. Sovrapponendo gl spettr d rsposta elastc n pseudo-accelerazone rportat n Fgura 6-3, come rportato n Fgura 6-4, s può ragonevolmente supporre che l terremoto d Anza abba ndotto accelerazon maggor soprattutto n strutture rgde (con perodo d oscllazone dell ordne d 0. second) mentre, l terremoto d Erzncan, dovrebbe aver sollectato strutture deformabl, con perodo d oscllazone dell ordne d - second.

22 Fgura 6-4: Confronto fra dvers spettr d rsposta elastc È facle osservare che, se la pulsazone naturale dell oscllatore semplce è abbastanza elevata (e qund l perodo è basso), l oscllatore, molto rgdo, segue movment del terreno (Fgura 6-5, snstra): l accelerazone assoluta, per T = 0, concde qund con quella del terreno mentre spostamento, veloctà ed accelerazone relatv sono null; vceversa se la pulsazone naturale dell oscllatore semplce tende a zero (e qund l perodo tende a valor sempre pù grand), l oscllatore rsulta molto deformable (Fgura 6-5, destra) e la massa non rsente degl spostament del terreno: lo spostamento relatvo concde, n modulo, con quello assoluto. V è po una zona ntermeda d perod per qual l rapporto tra veloctà dell oscllatore semplce e quella del terreno s può consderare approssmatvamente costante. Fgura 6-5: Oscllatore nfntamente rgdo (a snstra) ed estremamente deformable ( a destra) Sulla base delle osservazon appena fatte, è possble suddvdere lo spettro d rsposta elastco n tre zone (ved Fgura 6-6): la prma (compresa fra l perodo T=0 e T=T ) n cu la rsposta

23 strutturale è collegata all accelerazone del suolo, una seconda (per perod maggor d T=T ) n cu la rsposta strutturale è collegata agl spostament del suolo e una terza (compresa fra l perodo T=T e T=T ) n cu la rsposta strutturale è collegata alla veloctà del suolo. I perod T e T possono essere stmat rspettvamente n crca 0.5 e crca 3 second. Fgura 6-6: Suddvsone dello spettro d rsposta n zone proporzonal all'accelerazone, alla veloctà e allo spostamento del suolo Come detto, gl spettr d Fgura 6-3, sono calcolat per uno smorzamento del 5% l cu valore però vara a seconda del tpo d struttura. In generale suo valor, a ttolo d esempo, s possono consderare all ncrca par al 3%, al 5% e al 7%, rspettvamente per strutture n accao saldate, n cemento armato e n accao bullonate per stat tensonal nferor al 50% della tensone d snervamento 7. Con rfermento alla suddvsone dello spettro d rsposta n tre zone (Fgura 6-6), s nota spermentalmente che gl effett dello smorzamento tendono ad essere maggor nella zona n cu la rsposta è proporzonale alla veloctà. Lo smorzamento, rveste un ruolo molto mportante n relazone al fenomeno della rsonanza: l amplfcazone della rsposta ssmca dpende fortemente dal fattore d smorzamento e, se ξ tende a 0, l fattore d amplfcazone tende all nfnto; vceversa, valor anche pccol dello smorzamento, contrbuscono a rdurlo sensblmente. In Fgura 6-7 è rappresentato l fattore d amplfcazone della rsposta ssmca per un smorzamento del 3%, 5% e 7%. Lo smorzamento nflusce noltre n manera poco sgnfcatva sul perodo d vbrazone dell oscllatore semplce che è legato al perodo propro d un oscllatore non smorzato tramte la relazone: 7 N. M. Newmark, and W. J. Hall, Earthquake Spectra and Desgn, Earthquake Engneerng Research Insttute, Berkley, Calf., 98.

24 T ' = T ξ (6.78) Se s consdera a ttolo esemplfcatvo uno smorzamento par al 5%, l perodo T dell oscllatore smorzato, rsulta ncrementato solo dello 0,3 % rspetto al perodo T dell oscllatore non smorzato 8. Fattore d Amplfcazone A(ω) a % 3% 5% 7% ω/ωn Fgura 6-7: Fattore d amplfcazone per dvers valor dello smorzamento n percentuale rspetto al crtco 6.3 LO SPETTRO DI RISPOSTA DI NORMATIVA Da quanto gà detto lo spettro d rsposta elastco d un dato terremoto permette d ottenere nformazon sugl effett d quel partcolare terremoto sulle costruzon. S confrontano ora due spettr d rsposta d due dfferent terremot ma regstrat sullo stesso sto 9. 8 Anl K. Chopra, Dynamcs of Structures, Theory and Applcatons to Earthquake Engneerng, 995, 9 I due spettr analzzat s rferscono a terremot avvenut nella valle d Hollster n Calforna nel 96 e nel 986

25 Pseudo-accelerazone [g] a Confronto spettr Hollster Hollster Perodo [s] Fgura 6-8: confronto fra due spettr corrspondent a terremot dvers per lo stesso sto Osservando gl spettr d rsposta rportat n Fgura 6-8 è mmedato notare come la forma de due spettr sa notevolmente dversa: lo spettro del terremoto del 986 presenta un pcco d pseudoaccelerazone n corrspondenza d un perodo molto basso mentre, lo spettro del terremoto del 96, presenta un andamento pù regolare senza evdent pcch. È charo che per avere una caratterzzazone sgnfcatva dell azone ssmca su una costruzone edfcata su un determnato sto, non è suffcente far rfermento allo spettro d rsposta d un solo terremoto ma puttosto è necessaro defnre uno spettro d rfermento stablto n modo approprato. Lo strumento che permette d defnre tale spettro è costtuto dalla gà ctata percolostà ssmca la cu stma è basata sull anals della stora locale degl effett prodott da terremot passat ed è calcolata medante un metodo probablstco. La percolostà ssmca d un determnato sto, d cu s è nzato la trattazone nel Captolo 5, vene defnta n termn d accelerazone orzzontale massma a g attesa n condzon d campo lbero su sto d rfermento rgdo nonché d ordnate dello spettro d rsposta elastco n accelerazone con rfermento a prefssat perod d rtorno T R. L attuale fonte d rfermento per l repermento de dat d percolostà ssmca è l sto dell Isttuto Italano d Geofsca e Vulcanologa 0 : da tale sto è possble rcavare valor dell accelerazone a g per vare probabltà d eccedenza n 50 ann, corrspondent a dvers perod d rtorno (T R = 30, 50, 7, 0, 40, 0, 475, 975, 475 ann); noltre, per gl stess perod d rtorno, è possble scarcare anche dat relatv alle forme spettral Sa(T) corrspondent. 0

26 L ntero terrtoro nazonale è suddvso medante una grgla d calcolo (con passo par a 0,05 n lattudne e longtudne corrspondent a crca 5,5 km); per cascuno de punt della grgla, ognuno ndvduato da un codce numerco (ID), è fornto l valore dell accelerazone orzzontale massma a g e le ordnate delle corrspondent forme spettral; per le zone che non concdono con un punto della grgla è necessaro adottare opportune formule d nterpolazone. I valor de parametr d nteresse per la defnzone dell azone ssmca possono ad esempo essere calcolat come meda pesata de valor assunt da tal parametr ne quattro vertc della magla elementare della grgla d rfermento contenente l punto n esame, utlzzando come pes gl nvers delle dstanze tra l punto n questone ed quattro vertc, attraverso l espressone: p= 4 p d d = 4 = (6.79) n cu: p è l valore del parametro d nteresse nel punto n esame, p è l valore del parametro d nteresse nell -esmo punto della magla elementare contenente l punto n esame, d è la dstanza del punto n esame dall -esmo punto della magla suddetta. In Fgura 6-9 s rporta l ndvduazone dell accelerazone orzzontale massma a g e delle forme spettral per la cttà d L Aqula. Fgura 6-9: mappa d percolostà ssmca (snstra) corrspondente ad una probabltà d eccedenza del 0% e forme spettral (destra) per l comune d L'Aqula

27 Poché valor della percolostà ssmca dpendono dalla probabltà d eccedenza (a ttolo esemplfcatvo n Fgura 6-0 s rporta la dpendenza dell accelerazone orzzontale massma a g dal perodo d rtorno per la cttà d L Aqula), per la defnzone dello spettro d rfermento è necessaro fssare tale probabltà e qund l relatvo perodo d rtorno dell azone ssmca. Fgura 6-0: dpendenza d a g dal perodo d rtorno T R Fssata la probabltà, d eccedenza l perodo d rtorno, secondo la dstrbuzone della probabltà d Posson gà llustrata nel Captolo 5, è legato al perodo d rfermento della costruzone n esame secondo l espressone (6.8): P VR VR e TR = (6.80) dalla quale s rcava l espressone (6.8) rportata n normatva T R VR = ln( P ) VR (6.8) dove P V R è la probabltà d superamento e V R è l perodo d rfermento della costruzone: VR = CU VN (6.8)

28 n cu V N è la vta nomnale della costruzone defnta n Tabella 6-. Tpo d Costruzone Opere provvsore, Opere provvsonal, Strutture n fase costruttva 0 ann Opere ordnare, pont, opere nfrastruttural e dghe d dmenson contenute o 50 ann d mportanza normale 3 Grand opere, pont, opere nfrastruttural e dghe d grand dmenson o d mportanza strategca 00 ann Tabella 6-: Vta nomnale per dvers tp d opere V N Il coeffcente d uso C U è defnto n Tabella 6- n relazone alla classe d uso della costruzone come defnto n Tabella 6-3. Classe d uso I II III IV C U Tabella 6-: Coeffcente d'uso Classe I Classe II Classe III Classe IV Costruzon con presenza solo occasonale d persone, edfc agrcol. Costruzon l cu uso preveda normal affollament, senza contenut percolos per l ambente e senza funzon pubblche e socal essenzal. Industre con attvtà non percolose per l ambente. Pont, opere nfrastruttural, ret vare non rcadent n Classe d uso III o n Classe d uso IV, ret ferrovare la cu nterruzone non provoch stuazon d emergenza. Dghe l cu collasso non provoch conseguenze rlevant. Costruzon l cu uso preveda affollament sgnfcatv. Industre con attvtà percolose per l ambente. Ret vare extraurbane non rcadent n Classe d uso IV. Pont e ret ferrovare la cu nterruzone provoch stuazon d emergenza. Dghe rlevant per le conseguenze d un loro eventuale collasso. Costruzon con funzon pubblche o strategche mportant, anche con rfermento alla gestone della protezone cvle n caso d calamtà. Industre con attvtà partcolarmente percolose per l ambente. Ret vare d tpo A o B, d cu al D.M. 5 novembre 00, n. 679, Norme funzonal e geometrche per la costruzone delle strade, e d tpo C quando appartenent ad tnerar d collegamento tra capoluogh d provnca non altresì servt da strade d tpo A o B. Pont e ret ferrovare d mportanza crtca per l mantenmento delle ve d comuncazone, partcolarmente dopo un evento ssmco. Dghe connesse al funzonamento d acquedott e a mpant d produzone d energa elettrca. Tabella 6-3: Class d'uso delle costruzon

29 Determnato l perodo d rtorno, per la caratterzzazone dello spettro d rfermento, s procede con la defnzone de parametr F 0 e T * C che vengono determnat mponendo che la forma dello spettro d rfermento scart al mnmo dalla corrspondente forma spettrale prevsta dalla percolostà ssmca relatva al gà fssato perodo d rtorno (Fgura 6-). Determnazone de parametr F0 e Tc* Spettro percolostà Spettro d rf. 0.5 Sa(T) [g] Perodo [s] Fgura 6-: determnazone de parametr F 0 e T C * Lo spettro d rfermento, per come è stato defnto fnora, è calcolato su un sto orzzontale, n condzon d campo lbero e per un suolo rgdo; per una corretta caratterzzazone dell azone ssmca è qund necessaro consderare anche gl effett d amplfcazone locale e completare la defnzone della forma dello spettro d rfermento con tal nformazon. Il D.M. 4 Gennao 008, nella defnzone dello spettro d rfermento, dstngue lo spettro elastco n accelerazone delle component orzzontal dallo spettro elastco n accelerazone della componente vertcale. La forma dello spettro elastco delle component orzzontal è defnta secondo le espresson (6.83), (6.84), (6.85) e (6.86). T T Se( T) = ag S η F0 + - TB η F T 0 B per 0 T T (6.83) B

30 Se( T) ag S F = η 0 per B C TC Se( T) a S F T = g η 0 TCT D Se( T) a S F T = g η 0 T T T (6.84) per TC T TD (6.85) per TD T (6.86) dove a g, F 0 e T C * sono parametr caratterstc d ogn punto del retcolo e rspettvamente corrspondono all accelerazone massma del sto, al valore massmo del fattore d amplfcazone dello spettro n accelerazone orzzontale e al perodo d nzo del tratto a veloctà costante. Il parametro S dato dal prodotto de fattor S S e S T, è funzone delle caratterstche del sottosuolo e delle condzon topografche come llustrato n Tabella 6-4 e Tabella 6-5. Categora sottosuolo A,00 B,00,40 0,40 F 0 a g /g,0 C,00,70 0,60 F 0 a g /g,50 D,00,40,50 F 0 a g /g,80 E,00,00,0 F 0 a g /g,60 Tabella 6-4: Determnazone del parametro S S n base alla categora d sottosuolo S S Categora Ubcazone dell opera o dell ntervento topografca T -,0 T In corrspondenza della sommtà del pendo, T3 In corrspondenza della cresta del rlevo, T4 In corrspondenza della cresta del rlevo,4 Tabella 6-5: Determnazone del parametro S T n base alla categora topografca Lo spettro elastco n accelerazone delle component orzzontal è defnto per un fattore d smorzamento convenzonale del 5%, l parametro η permette d modfcare lo smorzamento attraverso la relazone: S T

31 0 η = 0.55 (5 + ξ ) (6.87) n cu ξ è l valore dello smorzamento dverso da quello convenzonale. I valor de perod T B, e T D sono defnt dalle espresson: T C TC T B = (6.88) 3 TC = CC TC* (6.89) T D ag = g (6.90) n cu g è l accelerazone d gravtà e C è un parametro relazonato alla categora d sottosuolo come rportato n Tabella 6-6: C Categora sottosuolo A,00 B,0 (T* C ) -0,0 C,05 (T* C ) -0,33 D,5 (T* C ) -0,50 E,5 (T* C ) -0,40 Tabella 6-6: Determnazone del parametro C C n base alla categora d sottosuolo C C Lo spettro d rsposta elastco n accelerazone della componente vertcale è così defnto: T T Sve( T ) = ag S η FV + - TB η F T 0 B per 0 T T (6.9) Sve( T ) = ag S η FV per TB T TC (6.9) TC Sve( T ) = ag S η FV T TCT D Sve( T ) a S F T = g η V B per TC T TD (6.93) per TD T (6.94)

32 dove F V è l fattore che quantfca l'amplfcazone spettrale massma medante la relazone: F V.35 a g = F0 g 0.5 (6.95) Per la determnazone dello spettro della componente vertcale valor de parametr S S, T B, T C e T D sono defnt n Tabella 6-7; Categora sottosuolo S S T B T C T D A, B, C, D, E s 0.5 s.0 s Tabella 6-7: Determnazone de parametr S S, T B, T C e T D, per la componente vertcale dello spettr d rsposta elastco, n base alla categora d sottosuolo Oltre agl spettr n accelerazone, la normatva defnsce anche lo spettro d rsposta elastco n spostamento delle component orzzontal S ( T ), defnto dall espressone: De T SDe( T ) = Se( T ) π (6.96) a patto che l perodo non ecceda valor d T E ndcat n Tabella 6-8: Categora sottosuolo T E T F A B C, D, E Tabella 6-8: Valor del parametro T E Per valor eccedent T E le ordnate dello spettro d rsposta elastco n spostamento delle component orzzontal possono essere determnate tramte le espresson: T T E SDe( T ) = 0.05 ag S TC TD F0 η + ( F0 η ) per TE T TF (6.97) TF TE S ( ) De T = dg per T > TF (6.98)

33 n cu dg = 0.6 ag S TC (6.99) A ttolo esemplfcatvo s determnano gl spettr elastc prevst dalla normatva per un edfco scolastco nel comune d Bagnone (MS) con l auslo dello schema rportato n Tabella 6-9. ) Scelta della probabltà d eccedenza P VR ) Determnazone del perodo d rtorno dell azone ssmca T R 3) Determnazone de parametr d percolostà ssmca a g, F 0 e T C* 4) Calcolo dello spettro elastco n accelerazone delle component orzzontal 5) Calcolo dello spettro elastco n accelerazone della componente vertcale 6) Calcolo dello spettro elastco n spostamento delle component orzzontal Tabella 6-9: procedura d calcolo degl spettr elastc secondo normatva S consder una probabltà d superamento P V R par al 0%; poché la costruzone rentra nella classe d uso III l coeffcente C U è par a.5, consderando po una vta nomnale par a 50 ann s ottene un perodo d rfermento V R par a 75 ann e un perodo d rtorno d 7 ann; possono essere qund determnat a g, F 0 e T C * : a g 0,30g F 0,44 T C * 0,8 second Tabella 6-0: determnazone de parametr ag, F0 e TC* per l comune d Bagnone e per un perodo d rtorno par a 7 ann In Fgura 6- s rporta la mappa d percolostà ssmca per un perodo d rfermento d 50 ann e una probabltà d eccedenza del 0%.

34 Fgura 6-: mappa d percolostà ssmca per l comune d Bagnone (MS) per una probabltà d eccedenza par al 0% n un perodo d rfermento d 50 ann Consderando un suolo d categora A e una categora topografca T s ottene per l parametro S un valore par a,0 e per l parametro T C e T D : C C un valore par a.0; s determnano qund perod T B, T B T C T D 0,094 second 0,8 second,5 second Tabella 6-: Determnazone de perod T B, T C e T D In Fgura 6-3 s rporta lo spettro d rsposta elastco n accelerazone delle component orzzontal per l edfco n esame. Spettro d rsposta elastco n accelerazone per la componente orzzontale Se(T) d T Fgura 6-3: Spettro d rsposta elastco n accelerazone per la componente orzzontale per la costruzone n esame

35 In Fgura 6-4 s rporta lo spettro d rsposta elastco n accelerazone della componente vertcale. Spettro d rsposta elastco n accelerazone per la componente vertcale Sve(T) T Fgura 6-4: Spettro d rsposta elastco n accelerazone per la componente vertcale per la costruzone n esame In Fgura 6-5 s rporta lo spettro d rsposta elastco n spostamento delle component orzzontal. Spettro d rsposta elastco n spostamento delle component orzzontal 0.0 SDe(T) a T Fgura 6-5: Spettro d rsposta elastco n spostamento per le component orzzontal per la costruzone n esame