Esercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici

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1 Giuseppe Fusco Esercizi di Fondamenti di Sistemi Dinamici ARACNE

2 Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 a/b Roma ( ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: gennaio 2008

3 Indice Prefazione v 1 Calcolo della matrice di transizione dello stato 1 2 Calcolo dell evoluzione dello stato 37 3 Calcolo dell uscita nelle rappresentazioni i-s-u 91 4 Studio delle proprietà strutturali Studio della stabilità interna ed esterna Calcolo dell uscita nelle rappresentazioni i-u 189 iii

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5 Prefazione Il testo presenta un ampia raccolta di esercizi riguardanti l applicazione dei principali metodi di analisi dei sistemi dinamici lineari e stazionari a tempo continuo e a tempo discreto rappresentati sia con lo spazio di stato (rappresentazione i-s-u che attraverso un modello ingresso-uscita (rappresentazione i-u. Tale raccolta, organizzata in modo tale da guidare lo studente alla comprensione ed all applicazione di tali metodologie, colleziona numerosi esercizi svolti nell ambito dei corsi di Teoria dei Sistemi, Complementi di Sistemi Dinamici, Fondamenti di Automatica e Fondamenti di Sistemi Dinamici da me tenuti, a partire dall anno accademico , presso la Facoltà di Ingegneria dell Università degli Studi di Cassino. Gli esercizi sono raggruppati in sei capitoli corrispondenti ai principali argomenti illustrati nei corsi impartiti. In particolare il primo capitolo è dedicato al calcolo della matrice di transizione dello stato. Nei successivi due capitoli vengono presentati gli esercizi relativi alla determinazione della risposta libera e forzata dello stato, e nell uscita. Il quarto capitolo invece illustra gli esercizi concernenti l applicazione delle metodologie per lo studio delle proprietà strutturali e per ricavav

6 vi Prefazione re la scomposizione canonica di Kalman. Nel quinto capitolo vengono invece proposti gli esercizi per lo studio della stabilità dell equilibrio (interna e della stabilità B.I.B.O. (esterna per sistemi lineari e non lineari, utilizzando, con riferimento a quest ultimi, tecniche di linearizzazione. Infine il sesto capitolo è dedicato al calcolo dell uscita nelle rappresentazioni ingresso-uscita. Auspico che tale raccolta rappresenti un utile ausilio didattico che stimoli lo studente da un lato ad acquisire una dimestichezza operativa e dall altro a sviluppare una capacità di analisi del comportamento dei sistemi dinamici trattati. Desidero infine ringraziare il Prof. Stefano Chiaverini per i suoi suggerimenti durante la fase di stesura del testo. Giuseppe Fusco

7 Capitolo 1 Calcolo della matrice di transizione dello stato 1.1 Esercizio Assegnata la rappresentazione ẋ(t = Ax(t = ( calcolare la matrice di transizione dello stato. x(t Il polinomio caratteristico associato alla matrice dinamica A è p(λ = det(λi A = λ 2 + 4λ + 3. Le soluzioni dell equazione caratteristica p(λ = 0 1

8 2 Capitolo 1. Calcolo della matrice di transizione dello stato sono gli autovalori di A. Risolvendo si ottiene λ 1 = 3 λ 2 = 1. L autovettore destro u 1 associato all autovalore λ 1 si ottiene ricavando le soluzioni non banali dell equazione omogenea (A λ 1 Iu 1 = 0. Poiché la dimensione dello spazio nullo della matrice (A λ 1 I è pari ad uno, esistono 1 soluzioni tutte fra di loro linearmente dipendenti. La generica di esse può pertanto essere espressa da u 1 = α ( 1 con α reale e non nullo. Nel seguito per comodità si pone α = 1. Per quanto riguarda l autovettore destro u 2 associato all autovalore λ 2, poichè la dimensione dello spazio nullo della matrice (A λ 2 I è pari ad uno, l autovettore u 2 che soddisfa l equazione omogenea 1 (A λ 2 Iu 2 = 0 risulta essere u 2 = β ( 1 1 con β reale e diverso da zero. Nel seguito per comodità si pone β = 1. Gli autovettori sinistri ν 1 ed ν 2 associati ad u 1, u 2, si ricavano imponendo la condizione di ortonormalità fra le due basi {u 1, u 2 } e {ν 1, ν 2 } espressa da

9 1.1. Esercizio 3 Risulta pertanto νt 1 ν T 2 = ( u 1 u 2 1. (1.1 νt 1 ν T 2 ( 1 1 = = 1 2 ( A questo punto è possibile ricavare la matrice di transizione dello stato; essa vale Φ(t = 2 e At = e λit u i ν T i i=1 = e 3t ( 1 1 ( 1/2 1/2 + e t ( 1 1 ( 1/2 1/2 = e 3t 2 ( e t 2 ( = 1 2 e 3t + e t e 3t + e t e 3t + e t e 3t + e t.

10 4 Capitolo 1. Calcolo della matrice di transizione dello stato 1.2 Esercizio Assegnata la rappresentazione ẋ 1 (t = 2 x 1 (t x 2 (t + x 3 (t ẋ 2 (t = x 1 (t + x 3 (t ẋ 3 (t = 2 x 1 (t calcolare la matrice di transizione dello stato. La matrice dinamica della rappresentazione assegnata è A = il cui polinomio caratteristico risulta essere p(λ = det(λi A = (λ 2 1(λ 2. Le soluzioni dell equazione caratteristica p(λ = 0 sono gli autovalori di A. Dall espressione di p(λ risulta immediatamente che le soluzioni sono λ 1 = 1 λ 2 = 1 λ 3 = 2. Bisogna ora ricavare i tre autovettori destri associati agli autovalori ora determinati. L autovettore destro u 1, corrispondente all autovalore