I SISTEMI DI PRIMO GRADO

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1 I SISTEMI DI PRIMO GRADO Per ricordre H Se un'equzione contiene due incognite, ci sono infinite coppie di vlori che l soddisfno l'equzione y x ˆ 0eÁ soddisftt d tutte le coppie di numeri x e y tli che y ˆ x (per esempio x ˆ ey ˆ, x ˆ 0ey ˆ e cosõá vi). Se considerimo due equzioni in due incognite, fr le infinite coppie di numeri che soddisfno l prim equzione e le infinite coppie che soddisfno l second, puoá drsi che ce ne si qulcun che le soddisf entrmbe. Ricercre queste coppie di numeri signific risolvere il sistem formto dlle due equzioni. Un sistem di equzioni eá quindi un insieme di equzioni nelle stesse incognite delle quli si vogliono trovre le soluzioni comuni. Per indicre che un certo numero di equzioni eá in sistem si scrivono le equzioni un sotto l'ltr rcchiudendole con un prentesi grff; per esempio x y ˆ 0 x y ˆ 0 L soluzione di un sistem eá l'insieme delle coppie x,y che soddisfno contempornemente le due equzioni. Come per le equzioni, possimo llor dire che un sistem puoá essere determinto se h un numero finito di soluzioni indeterminto se h infinite soluzioni impossibile se non h soluzioni. H Il grdo di un sistem eá il prodotto dei grdi delle equzioni che lo compongono; se un sistem eá di primo grdo, tutte le sue equzioni sono di primo grdo. Ci occupimo in quest unitá dell risoluzione dei sistemi di primo grdo; in prticolre vedremo come si risolvono sistemi di due equzioni in due incognite, di tre equzioni in tre incognite e cosõá vi, cioeá di sistemi di primo grdo in cui il numero di equzioni eá pri l numero di incognite. Un sistem di questo genere si puoá quindi sempre ricondurre nell form normle x by ˆ c 0 x b 0 y ˆ c 0 H I metodi di risoluzione di un sistem si bsno su due principi di equivlenz. Principio di sostituzione se in un sistem d un incognit si sostituisce l su espressione ricvt

2 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA d un delle ltre equzioni, si ottiene un sistem equivlente quello dto. ( y ˆ x y ˆ x Esempio eá equivlente x y ˆ 0 x x ˆ 0 Principio di riduzione se d un equzione di un sistem si sostituisce quell che si ottiene sommndol lgebricmente membro membro con un'ltr equzione, si ottiene un sistem equivlente quello dto. x y ˆ x y x y ˆ Esempio eá equivlente x y ˆ x y ˆ H I metodi per risolvere un sistem di primo grdo si bsno sui precedenti principi e sono i seguenti; li illustrimo su un esempio risolvendo un sistem di due equzioni in due incognite. x y ˆ 0 Metodo di sostituzione x y ˆ 0 x ˆ y ± si ricv l'espressione di un vribile d un delle due equzioni x y ˆ 0 < x ˆ y ± si sostituisce quest espressione nell rimnente equzione y y ˆ 0 ± si risolve l'equzione in un sol incognit ottenut ± si risostituisce nell prim equzione x ˆ y ˆ x ˆ y y 9 y ˆ 0! x ˆ y y ˆ x y ˆ 0 Metodo del confronto x y ˆ 0 ± si ricvno le espressioni dell stess vribile dlle due equzioni x ˆ y x ˆ y y ± si confrontno le due espressioni e si risolve l'equzione ottenut y ˆ! y ˆ y ˆ x ± si ricvno le espressioni dell'ltr vribile dlle stesse due equzioni y ˆ x ± si confrontno le due espressioni e si risolve l'equzione ottenut x ˆ x! x ˆ In lterntiv, dopo ver trovto il vlore dell prim vribile si puoá nche procedere per sostituzione su un delle due equzioni del sistem. In ogni cso si ottiene l soluzione x ˆ y ˆ

3 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Metodo di riduzione x y ˆ 0 x y ˆ 0 ± si sommno membro membro le due equzioni in modo d eliminre un delle due vribili e si riscrive un delle due equzioni ( x y x y ˆ 0 x ˆ 0! x y ˆ 0 x y ˆ 0 x ˆ ± si risolve l'equzione ottenut in un sol vribile x y ˆ 0 x ˆ x ˆ ± si continu per sostituzione! y ˆ 0 y ˆ x y ˆ 0 Metodo di Crmer x y ˆ 0 ± si riscrive il sistem in form normle x y ˆ x y ˆ ± si clcol il determinnte dell mtrice dei coefficienti (prodotto dei termini sull digonle principle prodotto dei termini sull digonle secondri) ˆ ˆ ˆ ± si clcol il determinnte x che si ottiene dll mtrice dei coefficienti sostituendo l colonn dei coefficienti di x con quell dei termini noti x ˆ ˆ ˆ ± si clcol il determinnte y che si ottiene dll mtrice dei coefficienti sostituendo l colonn dei coefficienti di y con quell dei termini noti y ˆ ˆ ˆ 9 x ˆ x x ˆ ± se ˆ 0, l soluzione del sistem eá dt dll coppi! y ˆ y y ˆ 9 ± se ˆ 0, possono cpitre due cose se x ˆ 0 e nche y ˆ 0 (cioeá entrmbi i determinnti sono nulli) llor il sistem eá indeterminto se x ˆ 0 oppure y ˆ 0 (cioeá uno dei due determinnti non eá nullo) il sistem eá impossibile.

4 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA ESERCIZI DI CONSOLIDAMENTO Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di sostituzione. ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x y ˆ x y ˆ Conviene ricvre l'espressione di y dll second equzione y ˆ x x x ˆ Sostituendo nell prim ottenimo y ˆ x x ˆ L prim equzione eá nell sol incognit x e puoá essere risolt y ˆ x x ˆ Risostituendo desso il vlore di x nell second equzione trovimo y ˆ L'insieme soluzione eá quindi ; x y ˆ x y ˆ x y ˆ x ˆ y < x y ˆ x y x ˆ < x y ˆ x y ˆ x y ˆ x x y ˆ < x ˆ y y ˆ x ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x x ˆ y Svolgendo i clcoli ottenimo il sistem x y ˆ 0 x y ˆ 0 ; ; ; 0 ; ; ;

5 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Ricvndo l'espressione di x dll prim equzione e sostituendo si ottiene x ˆ y y y ˆ 0 PoicheÁ l second equzione eá impossibile, il sistem non h soluzione ed eá. 9 0 x y ˆ 0 x ˆ x y y ˆ x x ˆ y x ˆ x y Š ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ y x x y x ˆ y x y ˆ x y x x y ˆ x x y ˆ xy x y x y x y ˆ indetermintoš ; indetermintoš ; 9 Š ; ; Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto. ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ 9 x y ˆ Ricvimo l stess vribile dlle due equzioni y ˆ x 9 y ˆ x Confrontimo e risolvimo l'equzione in x x 9 ˆ x! x ˆ

6 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA Ricvimo l'ltr vribile dlle due equzioni Confrontimo e risolvimo l'equzione in y x ˆ y 9 x ˆ y 9 ˆ y y! y ˆ L'insieme delle soluzioni eá dunque ;. Un volt trovto il vlore dell x si potev nche procedere per sostituzione in un delle due equzioni x ˆ x ˆ! y ˆ x 9 y ˆ 9 0 < x y ˆ x y ˆ x y ˆ x ˆ y < x y ˆ x y x ˆ < x ˆ x y y ˆ x y ˆ x x ˆ y x y ˆ x 0y ˆ x y ˆ x y ˆ x ; 0; ; 0 ; ; indetermintoš ; Risolvi i seguenti sistemi pplicndo il metodo di riduzione. ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x y ˆ Sottrendo membro membro le due equzioni possimo eliminre l vribile y

7 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO 9 x y x y ˆ x y ˆ Conviene desso procedere per sostituzione x ˆ! x y ˆ x ˆ x ˆ! y ˆ y ˆ ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO x y ˆ x y ˆ Prim di pplicre il principio di riduzione eá necessrio fre in modo che l x oppure l y bbino lo stesso coefficiente nelle due equzioni; possimo llor moltiplicre per l second equzione in modo d vere x in entrmbe le equzioni, oppure moltiplicre per l prim equzione in modo d vere y in entrmbe le equzioni. Se sceglimo il primo modo ottenimo x y ˆ x y ˆ Procedi desso sottrendo membro membro. ; 9 0 x y ˆ x y ˆ x x ˆ y x y ˆ x y ˆ x ˆ y < x y ˆ x y ˆ < x y ˆ y x ˆ 0 x ˆ y y x ˆ x y ˆ x y ˆ < y ˆ x y ˆ x x 0; ; ; 0 ; ; ; ; ;

8 0 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA x y ˆ x x ˆ x y ; 0 Risolvi i seguenti sistemi pplicndo l regol di Crmer. ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x y ˆ Il sistem eá giá scritto in form normle; possimo clcolre i determinnti ˆ ˆ ˆ x ˆ y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ PoicheÁ ˆ 0, l soluzione del sistem eá L'insieme delle soluzioni eá dunque x ˆ x ˆ ˆ y ˆ y ˆ ˆ ;. 9 0 x y ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ 0 x y ˆ x y ˆ < x ˆ y x ˆ y y ˆ x x ˆ y x y ˆ x y y x y x ˆ ; ; 0; indetermintoš ; Š

9 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO < x y Š ˆ x y ˆ x y x y ˆ x y y x ˆ x y ˆ y x ˆ x y Š y x y ˆ x < x ˆ y ( x y ˆ x x y ˆ x y ˆ y x y y ˆ y x y ˆ x y y ˆ y y ; ; Š ; ; ; ; Risolvi i seguenti sistemi frzionri. 9 ESERCIZIO SVOLTO x ˆ y x y ˆ Il sistem eá frzionrio percheá le incognite compiono l denomintore delle frzioni; ponimo le condizioni di esistenz delle due equzioni per individure il dominio per l prim equzione x ˆ 0 ^ y ˆ 0 per l second equzione y ˆ Sviluppimo i clcoli liberndo le equzioni di denomintori

10 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA y ˆ x x ˆ y! y ˆ x x x ˆ!! x ˆ y ˆ x! x ˆ y ˆ PoicheÁ il vlore trovto di y eá quello escluso dl dominio, dobbimo concludere che il sistem non h soluzioni. 0 y x ˆ x y y ˆ < x y ˆ x y ˆ x y y ˆ x y ˆ x x y x x x ˆ x x x y ˆ x y x ˆ x y y ˆ 0 x y x y xy y ˆ x ˆ x y ˆ x y ˆ y y x x y ˆ x y x y ˆ ; ; 0 ; Š ; ; Š ;

11 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO 9 0 x x y x xy y ˆ x y y x ˆ x x ˆ y x y x y x y ˆ x y x y x x y ˆ y x y x x ˆ x y x x x y x y ˆ y x x x x ˆ x x x x x y ˆ x y ˆ 0 x y ˆ y x y x x ˆ x x 0; Š 0; Š indeterminto con x ˆ ^ x ˆ Š ; Risolvi i seguenti sistemi di tre equzioni in tre incognite. ESERCIZIO SVOLTO x y z ˆ z y x ˆ 0 z y x ˆ Riscrivimo il sistem in modo ordinto e liberimo l terz equzione di denomintori < x y z ˆ x y z ˆ 0 x y z ˆ Ricvimo x dll prim equzione e sostituimo nelle ltre < x ˆ y z < x ˆ y z y z y z ˆ 0! y z ˆ 0 y z y z ˆ y z ˆ 0

12 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA Ricvimo z dll terz equzione e sostituimo nell second < x ˆ y z < x ˆ y z y y ˆ 0! y ˆ 0 z ˆ y z ˆ y 9 Risolvimo l second equzione e sostituimo in senso inverso < x ˆ y z < x ˆ z < x ˆ y ˆ! y ˆ! y ˆ z ˆ y z ˆ ˆ z ˆ < x y z ˆ 9 x y z ˆ x y z ˆ < x y z ˆ x y ˆ 0 x z ˆ 0 x y z ˆ 9 x y z ˆ 9 x y z ˆ x y z ˆ x z ˆ y x y z ˆ ESERCIZIO SVOLTO ESERCIZIO SVOLTO < x y z ˆ x y ˆ 0 y z ˆ 0! ; ; ; ; 0 ; ; ; ; ; ; Anche per un sistem di tre equzioni in tre incognite possimo pplicre il metodo di Crmer clcolndo i determinnti dell mtrice dei coefficienti e di quelle che si ottengono sostituendo rispettivmente l colonn dei coefficienti di x, diy, diz, con quell dei termini noti ˆ 0 x ˆ y ˆ z ˆ 0 0 0

13 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Per clcolre questi determinnti dobbimo riportre le prime due colonne di numeri e pplicre questo clcolo somm dei prodotti lungo le digonli principli somm dei prodotti lungo le digonli secondrie ˆ ˆ Š ˆ x ˆ y ˆ z ˆ L soluzione del sistem eá quindi ˆ Š ˆ ˆ Š ˆ ˆ Š ˆ x ˆ x ˆ ˆ y ˆ y ˆ ˆ z ˆ z ˆ ˆ 0 x y z ˆ x z ˆ y y ˆ x z x y z ˆ y y x ˆ z x z ˆ y x y z ˆ x y z 9 ˆ y x y z ˆ ; ; ; ; 0 ; 0;

14 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA x y ˆ z x y ˆ z x y ˆ z x y z ˆ x y ˆ z x y ˆ z x y z ˆ x y x ˆ x z x z ˆ y Š ; ; ; ; x y z ˆ x y z ˆ x y ˆ z Š x y z ˆ z x y ˆ z ; ; x x Š y ˆ x 9 x y z ˆ x y 0z ˆ x x z ˆ 9 y x y z ˆ x y z ˆ x y z ˆ0 ; ; indeterminto]

15 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO 0 x y z ˆ x x y z ˆ x y z ˆ y x ˆ z z ˆ z y x z y x ˆ x y z ˆ x y ˆ z x y z ˆ x y x ˆ 9 y x ˆ z ˆ z x y x y ˆ z x y ˆ z x z y ˆ x y ˆ z x z ˆ y x y ˆ z x y z ˆ x x y ˆ 0 z x z ˆy ; ; ; ; ; 0; ; ; ; ; Š Š

16 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA ESERCIZI DI APPROFONDIMENTO 9 Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni piuá opportuno. x y ˆ x x x y ˆ x x x y ˆ y y x ˆ < x y ˆ x y x y ˆ 9 x 9 y ˆ y x ˆ x y ˆ x x x y ˆ x y x ˆ y x x y x y y x y ˆ y y ˆ x y x x x ˆ x y x ˆ y xx y ˆ x x x y ˆ x x 9 y ˆ x y ; ; ; ; ; ; ; Š ;

17 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO y ˆ x x y 0x x y y xy ˆ x y ˆ x y x y 0 x y ˆ x y x y ˆ y y ˆ x x x y ˆ y x y y ˆ y y x ˆ x x y ˆ y x x y ˆ x x y ˆ ( x y x ˆ x y xy x x ˆ x x y x ˆ y x x x y y 0 0 y ˆ y x y y x ˆ xy x xy y x y x x y ˆ x x y y x ˆ x x y x y ˆ y x y ; ; ; ; ; ; ; ; Š ;

18 0 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA x y ˆ z 0 z ˆ x y x y z ˆ z z x y ˆ y x x y x z ˆ y x z ˆ y x y z ˆ z y 0z ˆ x x x z ˆ 9 y x y z ˆ 0 x y z ˆ z z z y ˆ x x z ˆ y x y ˆ z x y z ˆ 0 ; ; ; ; ; ; ; ; Š Risolvi e discuti i seguenti sistemi letterli. ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x y ˆ x Per risolvere un sistem letterle conviene usre il metodo di Crmer. x y ˆ Scrivimo il sistem nell form tipic di questo metodo x y ˆ

19 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Clcolimo i determinnti ˆ ˆ ˆ x ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ ˆ Procedimo desso ll discussione se ˆ 0, cioeá se ˆ 0 ^ ˆ, il sistem eá determinto ed h soluzione x ˆ ˆ y ˆ ˆ per studire il cso in cui ˆ 0 dobbimo nlizzre due possibili situzioni -seˆ0! x ˆ! il sistem eá impossibile -seˆ! x ˆ 0 e y ˆ 0! il sistem eá indeterminto. 9 0 y ˆ x x ˆ y ˆ x y x ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ x y ˆ y ˆ x x y ˆ 0 x y ˆ ; ˆ ; ; ˆ indeterminto ˆ ; ; ˆ indeterminto ˆ ; ; ˆ indeterminto ˆ ^ ˆ 9 ; ; ˆ _ ˆ impossibile ˆ 0 ; ; ˆ 0 impossibile ˆ f ; g; ˆ indetermintoš

20 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO b x y ˆ b bx y ˆ Il sistem eá giá nell form tipic per l risoluzione con il metodo di Crmer e si trov che ˆ Discussione se ˆ 0 se ˆ 0 x ˆ 0; y ˆ b x ˆ b y ˆ b b Occorre quindi distinguere due csi b ˆ 0 b ˆ 0 x b y ˆ 0 by x ˆ b bx y ˆ 0 x y ˆ 0 ( xb y ˆ x y ˆ b ˆ b ; ; b ˆ indeterminto ˆ b b ; b ; ˆ b b impossibile ˆ 0 ^ b ˆ 0 b ; b b ; ˆ 0 _ b ˆ 0 impossibile b ESERCIZIO GUIDATO ESERCIZIO GUIDATO < x y ˆ x y ˆ 0 Per l'esistenz dell second equzione deve essere ˆ 0. In quest ipotesi, puoi riscrivere il sistem in form normle x y ˆ x y ˆ 0 e pplicre il metodo di Crmer. ˆ 0 ^ ˆ ; ; ˆ 0 il sistem perde significto; ˆ impossibile 9 x y ˆ x y ˆ y ˆ y x x ˆ ˆ ; ; ˆ il sistem perde significto ˆ ^ ˆ ; ; ˆ il sistem perde significto; ˆ indeterminto

21 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO 0 9 < x x y ˆ x y ˆ < x ˆ by y y b ˆ b x y ˆ x y ˆ x y ˆ y ˆ x y x x x y ˆ x ˆ y x y ˆ ˆ xx y x y ˆ x y y ˆ < x y ˆ x y ˆ x x x ˆ x y ˆ x x y ˆ x y ˆ y h n ˆ ; o i ; ˆ il sistem perde significto b ˆ ^ ˆ 0 b ; ; b b ˆ il sistem perde significto; b ˆ ^ ˆ 0 indeterminto ˆ 0 ; ; ˆ 0 il sistem perde significto ˆ sistem impossibile; ˆ il sistem perde significtoš ˆ ^ ˆ ; ; ˆ _ ˆ il sistem perde significto ˆ 0 sistem indeterminto; ˆ 0 il sistem perde significtoš ˆ ^ ˆ ^ ˆ ; ; ˆ il sistem perde significto; ˆ impossibile; ˆ indeterminto ˆ 0 ; ; ˆ 0 il sistem perde significto ˆ ^ ˆ ; ; ˆ il sistem perde significto; ˆ sistem impossibile ˆ ^ ˆ 0 ; ; ˆ il sistem perde significto; ˆ 0 sistem impossibile

22 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA 0 < x y ˆ x y ˆ y x b y b ˆ b b x by b b x y b ˆ bx y b x y b ˆ b x y ˆ x y < x y b ˆ b bx y ˆ 0 ˆ 0 ˆ ˆ 0 ^ ˆ ; ; ; ˆ 0 il sistem perde significto; ˆ sistem indeterminto b ˆ 0 ^ b ˆ b; b ; b ˆ 0 _ b ˆ il sistem perde significto b ˆ 0 ^ ˆ b b ; b ; b ˆ 0 _ ˆ b il sistem perde significto ˆ 0 ^ ˆ ^ ˆ ; ; ˆ 0 _ ˆ il sistem perde significto; ˆ indeterminto b ˆ 0 ^ ˆ 0 b ; ; b ˆ 0 il sistem perde significto; b ˆ 0 ^ ˆ 0 impossibile ESERCIZIO SVOLTO x y ˆ x x x ˆ y Il sistem eá frzionrio condizioni per le vribili y ˆ condizioni per il prmetro ˆ 0 Svolgimo i clcoli liberndo le equzioni di denomintori x y ˆ x x y x y ˆ y y x y ˆ x y ˆ PoicheÂ bbimo giá supposto che si ˆ 0, possimo semplificre le second equzione x y ˆ x y ˆ

23 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Applichimo l regol di Crmer ˆ ˆ ˆ x ˆ ˆ ˆ y ˆ ˆ ˆ Essendo ˆ 0 il sistem eá determinto ed h soluzione x ˆ ˆ y ˆ ˆ Verifichimo l'ccettbilitá dell soluzione poicheâ deve essere y ˆ imponimo che si ˆ! ˆ 0 Essendo giá in quest ipotesi, l soluzione eá sempre ccettbile. Rissumendo se ˆ 0 ; ; se ˆ 0 il sistem perde significto x y x ˆ x y ˆ ˆ ^ ˆ ; ; ˆ _ ˆ impossibile 9 0 x y ˆ x y x x ˆ y y y x y y ˆ x ˆ 0 x ˆ x y ˆ xy x x y ˆ z x y z ˆ x y ˆ ˆ 0 ; ; ˆ 0 indeterminto con x ˆ ^ y ˆ ˆ 0 ^ ˆ ^ ˆ ; ; ˆ _ ˆ 0 impossibile; ˆ indeterminto ˆ 0 ^ ˆ ; ; ˆ 0 _ ˆ il sistem perde significto ; ;

24 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA < x y z ˆ y x ˆ y z ˆ y x z ˆ x y z ˆ 0 x y z ˆ x y z t ˆ 0 x y z t ˆ x y z ˆ t x y ˆ t x y z t ˆ x x y z t ˆ x y z x y z ˆ t ˆ ; ; ˆ 0; ; ; ˆ indeterminto ; ; 0; ; ; ; 0 Risolvi i seguenti problemi. Luc h pgto E, per mtite e gomme, mentre Vittorio h speso per il doppio delle gomme ed un sol mtit E,. Qunto costno mtite e gomme? E 0; 0 E 0; Š L somm fr il numertore e il denomintore di un frzione eá ; inoltre se sommimo l denomintore ottenimo un nuov frzione equivlente d. Trov l frzione inizile. Un'ziend vinicol h imbottiglito vino per un totle di 0 litri in bottiglie d 0,` e`. Il quintuplo del numero delle bottiglie d ` super di 0 quello delle bottiglie d 0,`. Qunte bottiglie di ogni tipo sono stte prodotte? 0; 0Š L differenz fr numertore e denomintore di un frzione eá. Aggiungendo l numertore e l denomintore si ottiene un frzione equivlente. Trov l frzione. 9 Se si scmbino fr loro le cifre di un numero che ne h due, si ottiene un numero piuá grnde del primo di e tle che sommto l numero originle dá 0. Individu il numero. Š (Suggerimento ricord che un numero di due cifre in form polinomile, indicndo con x il numero delle decine e con y quello delle unitá, puoá essere scritto cosõá 0x y). 0 Dt un frzione, se ggiungimo l numertore e l denomintore ottenimo un frzione equivlente quell dt. Spendo inoltre che l somm del numertore con il denomintore eá clcol l frzione. 0

25 Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA - I SISTEMI DI PRIMO GRADO MetÁ dei risprmi di Mr sommti d un terzo di quelli di Andre bsterebbero per comprre un pprtmento d E I due potrebbero peroá con un cconto di E 000, pri d un quinto di qunto dispongono insieme, ttivre un finnzimento per un pprtmento piuá grnde. A qunto mmontno i risprmi di Mr e Andre? E 00000; E 0000Š Un bottigli di vetro pien d'cqu pes,kg. Un bottigli di plstic vuot pes un quinto di quell di vetro e, rispetto quest, contiene il doppio dell'cqu; se l si riempie il suo peso eá,kg. Qunto pesno l bottigli di vetro e quell di plstic? E qunt cqu contengono? 0; kg; 0; kg; 0; `; ; `Š L'etÁ di Luigi eá doppi rispetto quell di suo figlio Giorgio ed eá mggiore di nni rispetto quell di su moglie Rit. L'etÁ di Giorgio sommt quell dello zio Antonio eá di nni, mentre l somm degli nni di Rit e Luigi uguglino il doppio di quelli di Antonio. Qunti nni hnno Luigi e Antonio? 0; Š L somm dei polli llevti d due contdini super di l loro differenz. Un ccordo preso fr loro prevede che ogni contdino, se super l quot di venti, deve versre in un css comune E 0 per ogni pollo in piuá. Se complessivmente i due contdini pgno E 0, qunti polli possiede ognuno? ; Š Preso un numero di due cifre, se sostituisci ll cifr delle decine quell delle unitá moltiplict per ottieni lo stesso numero, mentre se scmbi le cifre ottieni i del numero originrio. Di che numero si trtt? il problem e indeterminto qulsisi numero per cui l cifr delle decine si doppi rispetto quell delle unit Š Un'ziend produce gomme d msticre. Il peso di un singol gomm eá di g; il peso complessivo di un confezione clssic eá di 0g, mentre l confezione mxi, il cui involucro pes il 0% in piuá e che contiene il doppio delle gomme, pes 0g. Qunte gomme contiene e qunto pes l'involucro dell confezione clssic? ; 0gŠ Un cmioncino pieno crico pes complessivmente t. Un cmion piuá grosso, che pes vuoto il 0% in piuá del cmioncino vuoto, puoá trsportre un peso triplo rispetto quello che puoá trsportre il cmioncino, fino rggiungere le,t complessive. Qunto pes vuoto il cmioncino e qunto puoá trsportre? ; t; 0; tš L cs di Luc si trov sull strd che d cs di Mri port quell di Enrico. Mri v d Luc, si ferm un po' d lui, torn cs cmbirsi e poi v d Enrico percorrendo in questo modo un totle di,km. Enrico invece v direttmente d Mri, m non trovndol si dirige verso cs. Qundo gli mncno i del trgitto d cs di Mri ll su h percorso un totle di,km. Qunto distno le cse di Mri e Enrico d quell di Luc? 00m; 00mŠ 9 Un corriere compie un viggio cmbindo mcchin metá strd e prendendone un che eá il 0% piuá veloce dell prim, impiegndoci in questo modo ore. In un secondo viggio lungo lo stesso percorso, il cmbio vviene 0km dopo l metá e il corriere impieg or in piuá. Clcol qunto eá lungo il viggio e l velocitá medi delle due vetture. km; 0km/h; 0km/hŠ 0 Di due cndele sppimo che l prim si consum due volte piuá velocemente dell second e che l second eá piuá cort di cm rispetto ll prim. Se ccendimo le due cndele contempornemente, l second si consumerá definitivmente ore dopo l prim. Inoltre qundo si srá consumto dell second mnchernno 0 minuti l momento in cui si consumerá metá dell prim. Clcol con qule velocitá brucino le due cndele (esprimi il risultto in cm/h) e qunto sono lunghe. cm/h; cm/h; cm; 0cmŠ

26 - I SISTEMI DI PRIMO GRADO Q Re Frschini - Grzzi, Atls SpA In un qudriltero ABCD l'ngolo ba sommto bb eá pri i dell'ngolo bc, mentre l'ngolo ba sommto bd eá tre volte l'ngolo bb. Spendo che bc eá doppio di bb, trov gli ngoli del qudriltero e stbilisci l su ntur. 90 ; 90 ; 0 ; 0 Š L're di un tringolo ABC misur. L'ltezz CH reltiv d AB misur ; inoltre due volte l're di AHC super di quell di HBC. Trov l misur del perimetro del tringolo ABC e stbilisci se esso eá rettngolo. 0; il tringolo e rettngolo in CŠ In un trpezio ABCD; gli ngoli C e B sono supplementri, l'ngolo ba eá dell'ngolo bc e l'ngolo bd eá dell0 ngolo bb. Clcol le misure dei quttro ngoli e specific qul eá l bse mggiore. Nel tringolo ABC l'ngolo esterno quello di vertice A eá proiezione di C su AB, si h che l somm fr gli ngoli misur degli ngoli ba, bb e bc. d HCB e 0 ; 0 ; 0 ; 0 Š dell'ngolo bb. Indict con H l CAB d eá 0 9 di d ACB. Clcol l 0 ; 0 ; 90 Š Un rettngolo ABCD h il lto BC lungo cm. Preso un punto E su AB e dett F l su proiezione su CD si h che l're del rettngolo AEFD eá di quell del rettngolo ABCD. Se considerimo poi sul prolungmento di AB un segmento BG lungo due volte CF, bbimo che il trpezio rettngolo AGFD h re di cm. Clcol il perimetro di ABCD. cmš In un tringolo ABC, il rpporto fr i lti AC e AB eá ugule ed il perimetro eá 0cm. Dl punto medio D del lto AB trcci l prllel BC che incontr in E il lto AC. Trov le lunghezze dei lti del tringolo ABC spendo che il perimetro del trpezio DECB eá cm. 0cm; cm; cmš Un rettngolo h il lto AB lungo cm e il lto BC lungo cm. D un punto E d esso interno, si trccino le prllele i lti che individuno i seguenti punti F su AD, G su BC, H su CD e I su AB. Spendo che il perimetro di EIBG eá cm e che quello di HEGC super di 0 quello di AIEF trov l're di FEHD. cm Š