Eventi Condizionati. se E ed H sono entrambi veri se E è f a l s o e H è v e r o. indeterminato

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1 Dati due eventi E ed H, con H 6= logico a tre valori E H = 8 < : Eventi Condizionati vero falso indeterminato, si definisce evento condizionato il seguente ente se E ed H sono entrambi veri se E è f a l s o e H è v e r o se H è falso. L evento E si chiama condizionando, mentre l evento H si chiama condizionante. Osserviamo che gli eventi (semplici) sono una sottoclasse degli eventi condizionati. Infatti, se H =, segue E H = E =E. Consideriamo un generico evento condizionato E H, si ha la seguente uguaglianza: E H =(E ^ ) H = E ^ (H _ H c ) H =[(E ^ H) _ (E ^ H c )] H =(E ^ H) H. La forma E ^ H H si dice forma ridotta dell evento condizionato E H. G. Sanfilippo - CdP pag. 116

2 Probabilità condizionate La probabilità di E H (secondo un certo individuo) misura il suo grado di fiducia nel verificarsi di E assumendo vero H. Per misurare tale grado di fiducia si può considerare una scommessa (condizionata), che è valida se H risulta vero ed è annullata se H risulta falso. Pertanto, se tale individuo valuta P (E H) =p, significa che egli è disposto a pagare ps per ricevere 8 < : S se si verifica EH 0 se si verifica E c H ps se si verifica H c. (26) Il guadagno aleatorio, associato con la valutazione P (E H) = p, èg = S HE + ps H c ps, cioè G = S HE ps H = S H ( E p), con possibili valori: 8 < : S(1 p), se si verifica E ^ H, ps, se si verifica E c ^ H, 0, se si verifica H c. G. Sanfilippo - CdP pag. 117

3 Se indichiamo con G H l insieme dei possibili valori del guadagno aleatorio G supposto H vero, si ha G H = {S(1 p), ps}. Ai fini della verifica della coerenza si devono considerare solo i valori che il guadagno può assumere se la scommessa è valida. (il valore nullo di G non va considerato perchè corrisponde al caso di scommessa annullata). La condizione di coerenza diventa quindi Cioè min G H max G H apple 0, 8S 6= 0. S 2 (1 p)( p) apple 0, 8S 6= 0. Anche per la probabilità p = P (E H) di un evento condizionato E H si ha p coerente () p 2 [0, 1]. Alcune proprietà. P (H H) =P ( H) =1, P (; H) =0, Se H E, allorap (E H) =P (EH H) =P (H H) =1. Osserviamo che l evento H H = H può essere soltanto vero o indeterminato. G. Sanfilippo - CdP pag. 118

4 Coerenza per Famiglie di eventi condizionati 8 In generale, data un assegnazione di probabilità P su una famiglia di eventi condizionati K, per ogni fissata sottofamiglia F = {E 1 H 1,...,E n H n } K, posto P (E i H i ) = p i, P = (p 1,...,p n ), nell ambito del criterio della scommessa alla coppia (F, P) viene associata la quantità aleatoria G = P n i=1 S i H i ( E i p i ), con S 1,...,S n numeri reali arbitrari. G si può interpretare come il guadagno aleatorio su una combinazione di scommesse sugli eventi condizionati E 1 H 1,...,E n H n,diimportis 1,...,S n. (si paga P n i=1 p is i,siriceve P n i=1 (S i H i E i + p i S i H c i )) Posto H = H 1 _ _H n, consideriamo l insieme G H dei valori del guadagno aleatorio quando almeno una delle scommesse è valida (il valore nullo di G corrispondente al caso H falso, in cui tutte le scommesse sono annullate, non va considerato ai fini della verifica della coerenza). Criterio della scommessa. Definizione. La nozione di coerenza è definita nel modo seguente: 8 Questo argomento non è stato trattato nel corso G. Sanfilippo - CdP pag. 119

5 Sia K una famiglia arbitraria di eventi condizionati e P : K! R una funzione a valori reali definita su K. L assegnazione di probabilità P su K è coerente se e solo se, per ogni intero n, per ogni F Ke per ogni scelta di S 1,...,S n, si ha: Min G H Max G H apple 0. Nota: la condizione precedente (pur essendo più espressiva) è equivalente alle seguenti due: (a) Min G H apple 0; (b) Max G H 0. Infatti, se esistessero dei valori S 1,...,S n tali che Min G H > 0, allora in corrispondenza dei valori S 1,..., S n si avrebbe Max G H < 0, eviceversa. Se P è coerente, P si dice una probabilità condizionata su K. G. Sanfilippo - CdP pag. 120

6 Teorema delle probabilità composte Teorema 3 (delle probabilità composte) Dati due eventi E ed H 6= ;, se la valutazione (P (EH),P(H),P(E H)) su {EH, H, E H} è coerente si ha P (EH) =P (E H)P (H). (27) Dimostrazione. Supponiamo che la terna (P (EH),P(H),P(E H)) sia una valutazione coerente su {EH, H, E H}. Consideriamo tre scommesse: su H, su E H e su EH. Se si valuta P (H) la probabilità di H, allora significa che, per ogni S 1 6=0, si è disposti a pagare P (H)S 1 per ricevere S1, se si verifica H 0, se si verifica H c. Inoltre, se si valuta P (E H) la probabilità di E H, si ha che, per ogni S 2 6=0, 8 < si è disposti a pagare P (E H)S 2 per ricevere : S 2, se si verifica EH 0, se si verifica E c H P (E H)S 2, se si verifica H c. Infine, se si valuta P (EH) la probabilità dell intersezione EH, allora significa che, per ogni S 3 6=0, si è disposti a pagare P (EH)S 3 per ricevere S3, se si verifica EH 0, se si verifica (EH) c. (28) G. Sanfilippo - CdP pag. 121

7 La Tabella 11 mostra il totale pagato e i valori delle vincite relative ad una generica combinazione delle tre scommesse con importi S 1,S 2,S 3. Si riceve Si Paga se EH v. se. E c H v se H c v. P (H)S 1 S 1 S 1 0 P (E H)S 2 S 2 0 P (E H)S 2 P (EH)S 3 S Tot. P (H)S 1 + P (E H)S 2 + P (EH)S 3 S 1 + S 2 + S 3 S 1 P (E H)S 2 Tabella 11: Generica scommessa sui tre eventi H, E H, EH. La condizione di coerenza sull assegnazione P (H),P(E H),P(H) richiede che, comunque si scelgano gli importi S 1,S 2,S 3 (non tutti nulli), non vi siano vincite o perdite certe. Consideriamo una particolare combinazione di scommesse con importi S 1 = P (E H),S 2 =1,S 3 = 1. La Tabella 12 mostra il totale pagato e i valori delle vincite relative a tale combinazione di scommesse. Osserviamo che stavolta la vincita non è più aleatoria, ma è un importo costante e pari a P (E H). Quindi anche il guadagno è costante, infatti si ha G = P (E H) [P (H)P (E H)+P (E H) P (EH)] = P (EH) P (H)P (E H). G. Sanfilippo - CdP pag. 122

8 Si riceve Si Paga se EH v. se. E c H v se H c v. P (H)P (E H) P (E H) P (E H) 0 P (E H) 1 0 P (E H) P (EH) Tot. P (H)P (E H) +P (E H) P (EH) P (E H) P (E H) P (E H) Tabella 12: Scommessa sui tre eventi H, E H, EH con importi S 1 = P (E H),S 2 = S 3 =1. Ricordiamo che la condizione di coerenza richiede che non esista una combinazione si scommesse in cui i valori del guadagno (in tal caso non si considera la restrizione perchè H 0 = ) siano tutti positivi o tutti negativi. Avendo trovato una combinazione di scommesse in cui il guadagno ha un unico valore, non potendo essere nè positivo nè negativo, segue che G =0,ovvero P (E H)P (H) =P (EH). G. Sanfilippo - CdP pag. 123

9 Dimostrazione un pò più intuitiva. Supponiamo che la terna (P (EH),P(H),P(E H)) sia una valutazione coerente su {EH, H, E H}. Se si valuta P (H) la probabilità di H, allora significa che, per ogni S 6= 0, si è disposti a pagare P (H)S per ricevere S, se si verifica H 0, se si verifica H c. In particolare scegliendo S = P (E H), converrà che si è disposti a pagare P (H)P (E H) per ricevere P (E H), se si verifica H 0, se si verifica H c. Inoltre, se si valuta P (E H) la probabilità di E H, in particolare si ha che 8 < si è disposti a pagare P (E H) 1 per ricevere : 1, se si verifica EH 0, se si verifica E c H P (E H), se si verifica H c. Vedendo le due scommesse una successiva all altra, cioè prima si scommette su H, e G. Sanfilippo - CdP pag. 124

10 poi supposto vero H, si scommette su E H, siavràche si paga P (H)P (E H) 8 >< >: 8 >< se H, si paga P (E H), per ricevere >: se H c, ci si ferma e si riceve 0, 1, se EH 0, se E c H P (E H), se H c ( non possibile) In breve si paga P (H)P (E H)per ricevere 1, se EH 0, se E c H _ H c =(EH) c. (29) D altro canto se si valuta P (EH) la probabilità di EH, implica che si è disposti ad accettare una scommessa in cui (vista dal lato del banco, cioè con un importo S = 1) si riceve P (EH) per pagare 1, se si verifica EH 0, se si verifica (EH) c. (30) Poichè se si accettano le scommesse (31) e (32), si riceve sempre un importo pari a 0, allora, per il principio di coerenza, la cifra che si è disposti a pagare in (31) dovrà coincidere con quella che si è disposti a ricevere in (32), cioè, la coerenza richiede P (E H)P (H) =P (EH). G. Sanfilippo - CdP pag. 125

11 Corollario 1 Se P (H) > 0, si ottiene P (E H) = P (EH) P (H). (31) (tale risultato è adottato da molti autori come definizione della probabilità di E condizionata ad H). Nell impostazione classica il teorema delle probabilità composte si ottiene con il seguente ragionamento. Siano m i casi possibili, r H i casi favorevoli ad H ed r EH i casi favorevoli ad EH. Ovviamente, tra i casi favorevoli ad H, quelli favorevoli ad E sono ancora r EH. Allora, assumendo r H > 0, siha P (H) = r H m, P(EH) =r EH m, P(E H) =r EH r H, pertanto P (E H) = r EH r H = r EH m r Hm = P (EH) P (H). Corollario 2 Se H = allora si ha EH = E P (E) =P (E )P ( ) = P (E ). (32) G. Sanfilippo - CdP pag. 126

12 Esempio. Estrazioni del lotto. Sia X =1 o numero estratto, E =(X apple 45) e H =(X>30). Calcolare P (E H). G. Sanfilippo - CdP pag. 127

13 Generalizzazione del teorema delle probabilità composte. Siano E 1,E 2,...,E n n eventi arbitrari e vediamo come si può esprimere P (E 1 E 2 E n ).Iterandolaformularelativaalcasodi2eventi,siha: P (E 1 E 2 E n )=P[(E 1 E 2 E n 1 ) ^ E n ] = P (E n E 1 E 2 E n 1 )P (E 1 E 2 E n 1 )= = = = P (E 1 )P (E 2 E 1 ) P(E n E 1 E 2 E n 1 ). (33) Formule analoghe alla precedente si ottengono permutando in tutti i modi possibili l ordine degli E i. Ad esempio, per n =3si ha P (E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 )P (E 2 E 1 )P (E 3 E 1 E 2 )= dove (i 1,i 2,i 3 ) è una permutazione di (1, 2, 3). = P (E i1 )P (E i2 E i1 )P (E i3 E i1 E i2 ), G. Sanfilippo - CdP pag. 128

14 Esempio 33 (Gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile e il tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigionieri sono costretti a sottomettersi alla prova della roulette russa. Considerati gli eventi E i = il proiettile esplode all i-mo colpo, i =1,...,6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità 1 6, cioè che i 6 prigionieri hanno la stessa probabilità di morire. Ovviamente, si ha P (E 1 )= 1 6. Inoltre P (E 2 E c 1 )=1 5, P(E 3 E c 1 Ec 2 )=1 4,, P(E 6 E c 1 Ec 5 )=1. Applicando la (35) si ha P (E 2 E c 1 )=P (Ec 1 )P (E 2 E c 1 )= = 1 6 Osservando che E 2 E 1 = ; (vi è un solo proiettile), si ha E 2 = E 2 ^ = E 2 ^ (E 1 _ E1 c ) = E 2 E 1 _ E 2 E1 c = E 2E1 c. Quindi in tal caso P (E 2 )=P (E 2 E c 1 )+P (E 2E 1 )=P (E 2 E c 1 )+0= 1 6. Inoltre, si ha E 3 = E c 1 Ec 2 E 3,, E 6 = E c 1 Ec 5 E 6, G. Sanfilippo - CdP pag. 129

15 Quindi P (E 3 )=P(E 3 E2 c Ec 1 )=P(Ec 1 )P (Ec 2 Ec 1 )P (E 3 E1 c Ec 2 )= = 1 6 ;... P (E 6 )=P(E 6 E5 c Ec 1 )=P(Ec 1 )P (Ec 2 Ec 1 )P (Ec 3 Ec 1 Ec 2 ) P(E5 c Ec 1 Ec 4 )P (E 6 E1 c Ec 5 )= = =1 6. G. Sanfilippo - CdP pag. 130