Ricavo della formula

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1 Dispositivi e Circuiti Elettronici Ricavo della formula E F i E F = k B T ln N A n i Si consideri la relazione di Shockey: ( ) EFi E F p = n i exp k B T Si osservi anche che per x = il semiconduttore è neutro e la concentrazione di lacune p è pari al drogaggio p = N A. equazione di Shockey si ottiene: ( ) EFi E F N A = n i exp k B T e infine: E F i E F = k B T ln N A n i Sostituendo nella Lezione U3-L2, Slide 26

2 Dispositivi e Circuiti Elettronici 1 φ S 2φ p in forte inversione La analisi dettagliata della carica dello strato di inversione e della carica presente nel metallo di un sistema MOS, in funzione del potenziale superficiale presente nel semiconduttore all interfaccia con l ossido, richiede la soluzione della equazione di Poisson in funzione della tensione esterna applicata al gate. In questa equazione le cariche di elettroni e lacune devono essere espresse in funzione del livello di Fermi attraverso le statistiche di Boltzmann nel caso non degenere (più comune) o la statistica di Fermi nel caso degenere. La soluzione è analiticamente complessa ed esula dagli scopi di questo corso: il lettore interessato può trovare i dettagli nel testo consigliato. Passando a esaminare i risultati che si ottengono da questo tipo di analisi, si osservi la Fig. 1 dove è mostrato un esempio di soluzione per un sistema MOS su silicio con substrato drogato N A = cm 3. L andamento della carica totale nel metallo Q t e della carica nella regione svuotata Q d sono rappresentate in funzione del potenziale superficiale φ S. Nella figura, al crescere del potenziale superficiale da valori negativi a valori positivi, varia anche la regione di funzionamento del sistema MOS. Infatti da sinistra a destra lungo l asse x si passa dalla condizione di accumulo alla condizione di forte inversione, evidenziata in verde. Per comprendere questa affermazione, si osservi in primo luogo che quando il potenziale superficiale è nullo siamo nella condizione di banda piatta (carica nulla e quindi differenza di potenziale nulla nella struttura). Per tensioni di gate applicata inferiore alla tensione di banda piatta si ha la regione di accumulo: in questa condizione il potenziale superficiale è negativo (come si evince anche osservando il grafico del diagramma a bande del sistema MOS in accumulo) e la carica totale Q t nel metallo è negativa. Aumentando la tensione di gate al di sopra della tensione di banda piatta, si entra invece nella regione di svuotamento dove il potenziale superficiale è positivo (come si evince sempre dal diagramma a bande del sistema MOS Lezione U3-L2, Slide 28

3 Dispositivi e Circuiti Elettronici 2! " 3 J 3 J +? # $ I L K J = A J % =?? K K B F E L A H I E A & " " $ & B 5 8 Figura 1: Andamento della carica totale sul metallo Q t (linea blu) e della carica nella regione svuotata Q d (linea rossa) in funzione del potenziale superficiale φ S e per varie regioni di funzionamento. La regione evidenziata in verde rappresenta la regione di forte inversione. in svuotamento) e la carica totale nel netallo Q t è positiva. Si osservi anche che fintanto che il potenziale superficiale rimane al di sotto dei valori che corrispondono alla condizione di inversione, la carica sul metallo è circa uguale ed opposta alla carica Q d presente nello strato svuotato di semiconduttore. Questo è evidenziato in Fig. l andamento della carica Q d in funzione di φ S. 1, dove è riportato anche Infine, aumentando ancora la tensione di gate, il potenziale superficiale continua ad aumentare fino a raggiungere la condizione di forte inversione, ovvero fino al valore φ S = 2φ p. Si osservi dalla figura che in questa condizione la carica Q t sul metallo (linea blu) non è più coincidente con la sola carica Q d (linea rossa), ma è invece molto maggiore di questa, poiché ora è presente anche la carica Q n nello strato di inversione. Si osservi anche che la carica Q t dipende esponenzialmente dal potenziale superficiale φ S, mentre la carica Q d ha una debole dipendenza da φ S (si dimostra che Lezione U3-L2, Slide 28

4 Dispositivi e Circuiti Elettronici 3 Q d φ S ). Se ne deduce che anche la carica Q n, che è pari alla differenza tra Q t e Q d, ha una dipendenza esponenziale da φ S. Da questi risultati si conclude che basta una piccola variazione del potenziale superficiale φ S rispetto al valore di innesco della condizine di forte inversione, 2φ p, per far variare di diversi ordini di grandezza sia la carica sul metallo Q t sia la carica nello strato di inversione Q n. La carica della regione svuotata del semiconduttore, Q d, varia invece molto poco nelle stesse condizioni. In definitiva, nelle applicazioni che interessano in elettronica si può a tutti gli effetti considerare che il potenziale superficiale sia approssimativamente costante e pari al valore 2φ p. Utilizzare questo valore nel calcolo della carica Q d non comporta errori significativi. Diversamente, il calcolo della carica Q t e Q n in funzione del potenziale superficiale non può essere effettuato con questa approssimazione. Queste cariche verranno infatti espresse direttamente in funzione della tensione di gate, rispetto alla quale la dipendenza non è più di tipo esponenziale, ottendo infine la relazione di controllo di carica. Lezione U3-L2, Slide 28

5 H N Dispositivi e Circuiti Elettronici 1 Ricavo della formula φ S = qn Ax 2 p 2ɛ Nel substrato del sistema MOS all inversione la densità di carica ρ è rapprentata in figura: N F G ) Il campo elettrico E(x) nel semiconduttore si ottiene integrando l equazione di Gauss in forma differenziale: de dx = ρ ɛ Nella regione neutra x x p, dove ρ = 0, il campo elettrico è costante e in particolare nullo. Nella regione svuotata 0 < x < x p, si ha ovvero de dx = qn A ɛ (1) (2) E(x) = qn A x + c 1 (3) ɛ Tenendo conto della condizione al contorno in x = x p, si ricava c 1 In definitiva: E(x p ) = qn A ɛ E(x) = x p + c 1 = 0 = c 1 = qn A x p (4) ɛ qn A ɛ (x x p ) 0 < x < x p (5) 0 x x p Lezione U3-L2, Slide 33

6 Dispositivi e Circuiti Elettronici 2 Noto E(x), il potenziale viene valutato utilizzando la definizione dϕ dx = E(x) = qn A ɛ (x x p ) 0 < x < x p (6) 0 x x p completata da una condizione al contorno, che corrisponde alla scelta del riferimento di potenziale. Nel caso del sistema MOS si è scelto come riferimento di potenziale il terminale di substrato, per cui ϕ(x) = 0 per x x p. Integrando invece la funzione E(x) per 0 < x < x p si ottiene: ϕ(x) = qn A 2ɛ (x x p) 2 + k 1 (7) dove la costante k 1 è definita dalla condizione di continuità del potenziale in x p ϕ(x p ) = k 1 = 0 (8) Il potenziale superficiale φ S nel sistema MOS è quindi dato da: φ S = ϕ(x = 0) = qn A 2ɛ x2 p (9) Lezione U3-L2, Slide 33

7 Dispositivi e Circuiti Elettronici Ricavo della capacità per unità di area In un condensatore a facce piane e parallele la capacità vale: dove: A è la superficie delle armature C = ɛ A t t è lo spessore del dielettrico utilizzato nel condensatore ɛ è la costante dielettrica del materiale utilizzato nel condensatore (ɛ = ɛ 0 ɛ r dove ɛ r è lacostante dielettrica relativa del materiale stesso) Nel sistema MOS si considerano le cariche per unità di area e, di conseguenza, anche le capacità per unità di area. In questo caso occorre dividere la capacità per la superficie delle armature, ottenendo: C = ɛ t Infine, poiché nel sistema MOS il dielettrico è costituito da ossido di silicio, la precedente relazione diventa: C ox = ɛ ox t ox Lezione U3-L2, Slide 36

8 Dispositivi e Circuiti Elettronici Tabella delle costanti fisiche - Carica dell elettrone, q = 1, C - Massa dell elettrone libero, m 0 = 9, Kg - Permettività del vuoto, ɛ 0 = 8, F cm 1 - Costante di Boltzmann, k B = 8, ev/k = 1, J/K - Costante di Planck, h = 6, J s = 4, ev s Tabella dei parametri fisici del silicio - Energy gap Si a 300 K, E G = 1, 12 ev - Affinità elettrica Si a 300 K, qχ = 4, 05 ev - Densità efficace degli stati in banda di conduzione per il Si a 300 K, N c = 2, cm 3 - Densità efficace degli stati in banda di valenza per il Si a 300 K, N v = 1, cm 3 - Concentrazione di elettroni liberi nel Si intrinseco a 300 K, n i = 1, cm 3 - Costante dielettrica relativa del Si, ɛ S = 11, 7 Tabella dei parametri fisici del SiO 2 - Energy gap SiO 2 a 300 K, E G,ox = 9 ev, - Costante dielettrica relativa del SiO 2, ɛ ox = 3, 9 Lezione U3-L2, Slide 85