ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009
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- Demetrio Damiani
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1 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 Dimetro Algoritmi. Ricordimo che un grfo non orientto, ciclico e connesso è un lero. Un lero può essere pensto come lero rdicto un volt che si si fissto un nodo come rdice. Ad esempio il grfo Gr in Figur 1 può essere pensto come lero rdicto nel nodo. c d e f g h Figur 1. Grfo Gr. A del nodo che utilizzimo come rdice l lero rdicto vrà ltezz divers. L ltezz di un lero rdicto non è ltro che l mssim distnz tr l rdice ed un fogli. Il grfo Gr se pensto come lero rdicto in h ltezz 3, mentre se pensto come lero rdicto in d h ltezz 5. Se richimimo BFS(Gr, ) ottenimo che il nodo distnz mssim d si trov distnz 3, mentre se richimimo BFS(Gr, d) ottenimo che il nodo distnz mssim d d è distnz 5. Il dimetro di un grfo G si può quindi trovre richimndo BFS(G, x) per ogni x nodo di G e memorizzndo di volt in volt l distnz mssim clcolt. Nel grfo Gr ottenimo che il dimetro è 5. Quindi come prim cos modifichimo l procedur BFS in modo che l termine ritorni l mssim distnz clcolt (Algorithm 1). Si noti che non è necessrio usre i colori e nenche costruire l lero di visit. A questo punto è sufficiente richimre BFS dim un volt per ogni nodo e determinre l distnz mssim tr tutte le distnze mssime restituite (Algorithm 2). Possimo utilizzre BFS per ottenere un procedur più efficiente? Dovremmo evitre di richimre BFS su ogni nodo del grfo e richimrl sul pochi nodi. M come? Bisogneree riuscire d indovinre un rdice che mssimizz l ltezz. Sicurmente non st utilizzre BFS un sol volt, perchè l prim volt che Dte: 27 Aprile
2 2 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 Algorithm 1 BFS dim(g = (N, E), x) 1: mx 1 2: for ech v N do 3: d[v] 5: Q 6: d[x] 0 7: Enqueue(Q, x) 8: while Q do 9: v Hed(Q) 10: for ech u Adj[v] do 11: if d[u] = then 12: d[u] d[v] : Enqueue(Q, u) 14: end if 15: end for 16: mx d[v] 17: Dequeue(Q) 18: end while 19: return mx Algorithm 2 Dimetro Nive(G = (N, E)) 1: dimetro 1 2: for ech x N do 3: dimetro mx(dimetro,bfs dim(g, x)) 5: return dimetro richimimo l procedur non sppimo niente del nostro grfo. Se osservimo nuovmente il grfo Gr in Figur 1 notimo che ci sono 3 nodi che ci consentono di clcolre il dimetro: il nodo d, il nodo g, ed il nodo h. Due di questi hnno un crtteristic interessnte: g ed h sono due nodi distnz mssim d. In effetti in generle possimo procedere in questo modo: richimimo BFS prtire d un nodo e determinimo un nodo distnz mssim d ; richimimo BFS prtire d. L distnz mssim d srà il dimetro del grfo. A questo punto ci serve un vrinte di BFS che restituisc un nodo distnz mssim (Algorithm 3). L ultimo nodo d uscire dll cod srà sicurmente un nodo distnz mssim. Or non rest che cominre BFS dim e BFS nodo per ottenere un procedur efficiente per il dimetro. Correttezz. L correttezz dell procedur Dimetro Nive segue immeditmente dll definizione di dimetro, dll correttezz dell procedur BFS e dl ftto che BFS(G, x) clcol le distnze d x in ordine crescente, quindi l ultim distnz clcolt srà l distnz mssim di un nodo dl nodo x.
3 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE Algorithm 3 BFS nodo(g = (N, E), x) 1: nodo NIL 2: for ech v N do 3: d[v] 5: Q 6: d[x] 0 7: Enqueue(Q, x) 8: while Q do 9: v Hed(Q) 10: for ech u Adj[v] do 11: if d[u] = then 12: d[u] d[v] : Enqueue(Q, u) 14: end if 15: end for 16: nodo v 17: Dequeue(Q) 18: end while 19: return nodo Algorithm 4 Dimetro(G = (N, E)) 1: Pick(N) //sceglie un nodo qulsisi in N 2: BFS nodo(g, f irst) 3: return BFS dim(g, )) Dimostrimo l correttezz dell procedur Dimetro. Dimo per uon l correttezz dell procedur BFS dim(g, x) che clcol l distnz mssim di un nodo d x e dell procedur BFS nodo(g, x) che determin un nodo distnz mssim d x. Theorem 1. L procedur Dimetro(G) termin sempre ed l termine restituisce il dimetro di G. Dimostrzione. Dll correttezz di BFS dim(g, ) imo che l procedur restituisce un vlore d tle che esiste un nodo z tle che δ(, z) = d. Dll definizione di dimetro sppimo che sicurmente vle d = δ(, z) d(g). Quindi doimo solo dimostrre che d(g) δ(, z) = d, ovvero che, N(δ(, ) δ(, z)) Considerimo l lero di BFS generto prtire dl nodo. In questo lero trovimo sicurmente l unico cmmino che esiste in G tr e. Questo cmmino rislirà d verso l rdice fino d rrivre d un nodo t e poi riscenderà verso. In ltri termini t è il più giovne ntento comune tr e nell lero BFS di. Indichimo con p(, t) il cmmino tr e t e con p(, ) il cmmino tr e. Distinguimo due csi.
4 4 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE 2009 Cso 1. p(, t) e p(, ) non hnno rchi in comune. Si ved l Figur 2. In tl cso imo che t Figur 2. Cso 1. δ(, ) = δ(, ) + δ(, t) + δ(t, ) δ(, f irst) + δ(t, ) ho trlscito un ddendo δ(, ) + δ(t, ) er distnz mssim d δ(, t) + δ(t, ) t é sul cmmino tr e = δ(, ) Quindi imo δ(, z) δ(, ) in qunto z è distnz mssim d e δ(, ) δ(, ). Possimo concludere δ(, z) δ(, ). Cso 2. p(, t) e p(, ) hnno in comune tutti gli rchi che si trovno tr ed un nodo r. Se si trov nel sottolero rdicto in t (ovvero se r = t), llor potree esserci un prte di cmmino tr t e in comune con il cmmino tr t ed o con quello tr t e, m non con entrmi, visto che questi due non hnno rchi in comune. In tl cso non è restrittivo supporre che ci potreero essere rchi in comune con il cmmino tr t ed. Si ved l Figur 3. Quindi imo che δ(, ) = δ(, r) + δ(r, ) δ(, r) + δ(r, ) (*) = δ(, ) dove in (*) imo potuto rimpizzre δ(, r) con δ(, r) in qunto è distnz mssim d e quindi l distnz tr e r è mggiore di quell tr ed r. Quindi imo δ(, z) δ(, ) in qunto z è distnz mssim d e δ(, ) δ(, ). Possimo concludere δ(, z) δ(, ). Complessità. Le procedure BFS dist e BFS nodo hnno complessità Θ( V + E ) = Θ( E ), in qunto non sono ltro che nli modifiche di BFS ed il grfo in input è connesso. Di conseguenz l procedur Dimetro Nive h complessità pri Θ( V E ), in qunto BFS dist viene richimt V volte, mentre Dimetro h complessità Θ( E ), in qunto si richim un volt BFS nodo ed un volt BFS dist.
5 ESERCIZIO DI ASD DEL 27 APRILE t r oppure r=t Figur 3. Cso 2.
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