Matematica Avanzata Per La Fisica - I accertamento,

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Gabriela De Marco
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1 1 Matematica Avanzata Per La Fisica - I accertamento, Sia X un insieme. Sia H(X) l insieme delle trasformazioni f : X X. Sia G H(X), tale che f G sse f è unijezione. a) Dimostrare che G è un gruppo rispetto al prodotto (f g)(x) = f(g(x)). b) Sia K H(X) un gruppo rispetto al prodotto del punto (a). Verificare se K G. 2. Dimostrare che il gruppo delle matrici reali di ordine n, O(n) = {A GL(n, R) A = A 1 } è un gruppo topologico che non è connesso. Matematica Avanzata Per La Fisica - I accertamento, Trattare la questione della riducibilita di rappresentazioni di gruppi. 2. Si considerino i gruppi O(2, R) e SO(2, R). Stabilire se sono gruppi topologici, se sono connessi o semplicemente connessi.

2 2 Matematica Avanzata per la Fisica - I accertamento, A.A. 2005/06 1. Sia T la distribuzione di Schwartz generata dalla funzione f(t) = t : T ϕ = t ϕ(t)dt. Trovare T. 2. Descrivere la relazione tra analiticità e causalità nella teoria delle relazioni di dispersione. 3. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e causale è caratterizzato dall equazione IIm G(ω) = ω ω 2 + 1, dove G è la trasformata della funzione di Green. a) Determinare G(ω). b) Determinare la funzione di Green g(t). c) Determinare l equazione differenziale che governa il sistema.

3 3 Matematica Avanzata per la Fisica a) Determinare la derivata della distribuzione ln x. b) Determinare la trasformata di Fourier della distribuzione e ikx. 2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e causale è caratterizzato dall equazione ω IIm G(ω) =, ω 2 ω + 1 dove G è la trasformata della funzione di Green. a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso. b) Determinare G(ω) c) Determinare la funzione di Green g(t). 3. Sia SL(2, C) l insieme delle matrici Λ GL(2, C) tali che detλ = 1. a) Dimostrare che SL(2, C) è un gruppo topologico connesso. b) Verificare che SL(2, C) è un gruppo di Lie. c) Dimostrare che l algebra di Lie sl(2, C) di SL(2, C) è l insieme delle matrici complesse 2 2 di traccia nulla.

4 4 Matematica Avanzata per la Fisica a. Determinare la derivata della distribuzione ln x. b. Determinare la trasformata di Fourier della distribuzione e ikx. 2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e causale è caratterizzato dall equazione 1 IIm G(ω) = ω 2 2ω + 2, dove G è la trasformata della funzione di Green. a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso. b) Determinare G(ω) c) Determinare la funzione di Green g(t). 3. Rispondere a uno dei seguenti quesiti. I. Sia G un gruppo abeliano. Usare i lemmi di Schur per dimostrare che ogni rappresentazione unitaria irriducibile di G è unidimensionale. II. Siano H 1, H 2 sottogruppi invarianti del gruppo G tali che (i)h 1 H 2 = {e}, (ii) g G, h 1 H 1, h 2 H 2 per cui g = h 1 h 2. Dimostrare che per ogni g G la coppia (h 1, h 2 ) H 1 H 2 per cui g = h 1 h 2 è unica. 4. Trovare l algebra di Lie del gruppo SU(n). 5. Rispondere a uno dei seguenti quesiti. I. a. Determinare l algebra di Lie di SU(2). b. Stabilire un omomorfismo SU(2) SO(3). c. Trovare una rappresentazione irriducibile di SO(3) in SU(2). II. Sia G il gruppo di Euclide, cioè il gruppo delle rototraslazioni dello spazio tridimensionale.

5 5 a) Dimostrare che ogni rappresentazione proiettiva di G deve essere unitaria. b) Se tale gruppo G è un gruppo di simmetria per una particella localizzabile in un punto di R 3, 1. Determinare il commutatore [J x, J y ] dove J x, J y sono i generatori hermitiani corrispondenti alle rotazioni attorno all asse x e y rispettivamente. 2. Determinare le regole di commutazione canoniche [Q α, P β ] = δ α,β 1 (Q α è l operatore autoaggiunto che rappresenta la componente x α dell osservabile posizione e P β è il generatore hermitiano corrispondente alle traslazioni spaziali della coordinata x β ).

6 6 Matematica Avanzata per la Fisica - II accertamento, Sia h 0 (2) l insieme della matrici complesse 2 2 hermitiane e a traccia nulla: [ ] h 0 (2) = {A = A = A, tra = 0}. a) Qual é la relazione [ esistente ] tra h 0 (2) e su(2) (l algebra di Lie di SU(2) = {U = U = U 1, det U = 1})? b) Verificare che le matrici di Pauli cosituiscono unase di h 0 (2). c) Verificare che l applicazione [ ] z x iy r = (x, y, z) A(r) = = r σ, x + iy z dove σ = σ x, σ y, σ z é la terna delle matrici di Pauli, definisce un isomorfismo A : R 3 h 0 (2). d) Stabilire un omomorfismo SU(2) SO(3). 2. Trattare la relazione tra causalitá e analiticitá nell ambito della teoria generale delle relazioni di dispersione.

7 7 Matematica Avanzata per la Fisica - II accertamento, A.A. 2005/06 1. Trovare l algebra di Lie del gruppo lineare [ ] SU(2) = {U =, a, b, c, d C U = U 1, det U = 1}. 3. Sia h 0 (2) l insieme della matrici complesse 2 2 hermitiane e a traccia nulla: [ ] h 0 (2) = {A = A = A, tra = 0}. a) Qual é la relazione [ esistente ] tra h 0 (2) e su(2) (l algebra di Lie di SU(2) = {U = U = U 1, det U = 1})? b) Verificare che le matrici di Pauli cosituiscono unase di h 0 (2). c) Verificare che l applicazione [ ] z x iy r = (x, y, z) A(r) = = r σ, x + iy z dove σ = σ x, σ y, σ z é la terna delle matrici di Pauli, definisce un isomorfismo A : R 3 h 0 (2). d) Stabilire un omomorfismo SU(2) SO(3). 3. Trattare il problema della trasformata di Fourier di una distribuzione. 4. (solo per coloro che non hanno fatto la prova intermedia.) Trattare la questione della riducibilita di rappresentazioni di gruppi. Matematica Avanzata per la Fisica

8 8 1. Dimostrare che l algebra di Lie del gruppo lineare [ ] SL(2, C) = {U =, det U = 1}. è data da sl(2) = {X gl(2, C) tr(x) = 0}. 2. Sfruttare l isomorfinsmo A : R 3 h 0 (2), [ z r = (x, y, z) A(r) = x iy ] x + iy = r σ, z dove [ ] h 0 (2) = {A = per definire un omomorfismo A = A, tra = 0}. SU(2) SO(3). 3. Sia U : G GL(n, C) una rappresentazione unitaria del gruppo G. Dimostrare che se esiste una matrice A λ1 tale che [A, U(g)] = 0 per ogni g, allora U è riducibile. 4. (solo per coloro che non hanno sostenuto o superato la prova intermedia.) Trattare il problema della trasformata di Fourier di una distribuzione. Trattare la relazione tra causalitá e analiticitá nell ambito della teoria generale delle relazioni di dispersione.

9 9 Matematica Avanzata per la Fisica - recupero Sia O(3, 1) l insieme delle matrici Λ GL(4, R) tali che Λ t GΛ = G, dove G = (1) a) Dimostrare che O(3, 1) è un gruppo. b) Derivare dalla (1) che ogni matrice A appartenente all algebra di Lie o(3, 1) di O(3, 1) deve soddisfare la relazione A = 0 c a 0 d e b d 0 f c e f 0. (2) c) Viceversa, fare vedere che se A soddisfa la (2), allora appartiene a o(3, 1). d) trovare unase di o(3, 1). 2. a) Dare la definizione di distribuzione secondo Schwartz. b) Illustrare, anche con esempi, la nozione di derivata di una distribuzione.

10 10 Matematica Avanzata per la Fisica - recupero Sia O(3, 1) l insieme delle matrici Λ GL(4, R) tali che Λ t GΛ = G, dove G = (1) a) Dimostrare che O(3, 1) è un gruppo. b) Derivare dalla (1) che ogni matrice A appartenente all algebra di Lie o(3, 1) di O(3, 1) deve soddisfare la relazione A = 0 c a 0 d e b d 0 f c e f 0. (2) c) Viceversa, fare vedere che se A soddisfa la (2), allora appartiene a o(3, 1). d) trovare unase di o(3, 1). 2. Illustrare, anche con esempi, la nozione di derivata di una distribuzione. 3. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e causale è caratterizzato dall equazione RIm G(ω) = ω ω dove G è la trasformata della funzione di Green. a) Utilizzare le relazioni di dispersione per determinare G(ω). b) Determinare la funzione di Green g(t).,

11 11 Matematica Avanzata per la Fisica a) Calcolare la derivata della distribuzione dente di sega 1/2 + e 2πint. =,n 0 b) Trattare il problema della trasformata di Fourier nella teoria delle distribuzioni. 2. Un sistema lineare, invariante per traslazioni temporali (autonomo) e causale è caratterizzato dall equazione ω IIm G(ω) =, ω 2 + ω + 1 dove G è la trasformata della funzione di Green. a) Indicare le relazioni di dispersione valide per questo caso. b) Determinare G(ω) c) Determinare la funzione di Green g(t). 3. Sia SL(2, C) l insieme delle matrici Λ GL(2, C) tali che detλ = 1. a) Dimostrare che SL(2, C) è un gruppo topologico connesso. b) Verificare che SL(2, C) è un gruppo di Lie. c) Determinare l algebra di Lie sl(2, C) di SL(2, C). 4. Sia G il gruppo di Euclide, cioè il gruppo delle rototraslazioni dello spazio tridimensionale. a) Dimostrare che ogni rappresentazione proiettiva di G deve essere unitaria. b) Se tale gruppo G è un gruppo di simmetria per una particella localizzabile in un punto di R 3, determinare il commutatore [J x, P y ] dove J x,j y sono i generatori hermitiani corrispondenti rispettivamente alle rotazioni attorno all asse x e alle traslazioni lungo l asse y.

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