LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE

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1 GRAVIMETRIA

2 LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE r La legge di gravitazione universale, formulata da Isaac Newton nel 1666 e pubblicata nel 1684, afferma che l'attrazione gravitazionale tra due corpi è direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. F rappresenta la forza gravitazionale, m1 e m2 le masse dei due corpi, r la loro mutua distanza, e G la costante di gravitazione universale. La legge di Newton vale per tutti i corpi dotati di massa, dai corpi di dimensioni macroscopiche alle particelle subatomiche; spiega quindi anche il moto orbitale dei Pianeti e le dinamiche di tutti i corpi celesti. Quando fu pubblicata, alla fine del XVII secolo, fornì una spiegazione teorica definitiva alle leggi di Keplero sul moto dei pianeti, che erano state formulate soltanto sulla base di dati sperimentali.

3 LA BILANCIA DI TORSIONE E l esperimento con cui Henry Cavendish calcolò la densità media della Terra. È ricordato però come la misura della costante di gravitazione universale G. L esperimento si basa su uno strumento chiamato bilancia di torsione, composto da un asta rigida di legno con alle estremità due piccole sfere di piombo. Questo manubrio è appeso in posizione orizzontale tramite un filo sottile. Per impedire che le correnti d aria muovessero l asta, Cavendish chiuse la sua bilancia in una cassa di legno. Dall esterno avvicinò alle estremità del manubrio due sfere più grandi e pesanti, ponendole da parti opposte rispetto all asta. Come aveva stabilito Newton, due corpi qualsiasi si attraggono con una forza che aumenta in proporzione alle loro masse e quanto più essi sono vicini. Le sfere grandi, fissate, attiravano quindi le sfere piccole e facevano ruotare leggermente il manubrio. Ripetendo varie volte questo procedimento con altre sfere, e misurando i diversi angoli di cui l asta ruotava spostando le sfere da un lato all altro, Cavendish fu in grado di calcolare G. Da questo valore ricavò la massa della Terra e dividendola per il suo volume ne ottenne la densità media. Questa risultò 5,448 volte quella dell acqua, un valore che è solo dell 1,3% più basso di quello oggi accettato. Da questa osservazione fu possibile ipotizzare che la densità della Terra era crescente verso l interno, in quanto la densità media delle rocce della crosta terrestre è inferiore a 3 g/cm3.

4 L ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ La forza di gravità è diretta verso il centro della Terra, dove si concentra la maggior parte della sua massa e si può esprimere con la formula: F = mg dove m è la massa del corpo che viene attratto, mentre la grandezza indicata con g è chiamata intensità del campo gravitazionale o accelerazione di gravità. Nell effettuare le misure della gravità della Terra, non si fa riferimento alla forza di gravità ma all accelerazione g. L accelerazione gravitazionale esercitata su un corpo è direttamente proporzionale alla massa della Terra M e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra il centro delle due masse, r. g = GM dove G è la costante di Cavendish r 2 L accelerazione di gravità non dipende quindi dalla massa del corpo che viene attratto.

5 LE VARIAZIONI DI g Essendo la Terra leggermente schiacciata ai poli, il valore di g varia con la latitudine. All equatore il valore di g è 9,78 m al secondo ogni secondo, mentre ai poli è di 9,83 m al secondo ogni secondo. Il valore universalmente utilizzato nei calcoli è di 9,81 m al secondo ogni secondo oppure 981 cm/sec 2 o 981 gal (1 gal = 1 cm/sec 2 ) Si chiama gravimetria il settore della geofisica che studia la gravità terrestre, i valori del campo gravitazionale e le sue variazioni.

6 LE MISURE DI g: IL PENDOLO Jean Richter, astronomo francese, nel 600, dirigendosi verso l Equatore a bordo di una nave, osservò che il suo orologio a pendolo perdeva 2 minuti al giorno avvicinandosi all Equatore. Questo perché il periodo di oscillazione T del pendolo dipende dal valore di g. E dimostrato che esiste la seguente relazione fra accelerazione di gravità g e periodo T : Con l aumento di g diminuisce T e con la diminuzione di g (verso l Equatore) aumenta T, il periodo di oscillazione è più lungo perché il pendolo scende più lentamente verso la verticale.

7 LE MISURE DI g: IL GRAVIMETRO Il gravimetro è lo strumento che permette di eseguire misure dell accelerazione g con precisioni delle misure dell ordine del milligal (un millesimo di Gal). E composto da una molla sensibilissima alla quale viene appesa una massa: a seconda dell allungamento differenziale della molla, varia il valore di g. Qui vediamo 3 casi di utilizzo del gravimetro, che dà valori diversi a seconda delle strutture presenti nel sottosuolo all interno di una formazione calcarea.

8 IL VALORE DI g TEORICO E g MISURATO In ogni punto della sfera terreste, il valore di g teorico dipende solo dalla latitudine e viene espresso da questa formula: g (in m/s 2 ) = 9,7803 (1 + 0, sen 2 φ 0, sen 2 φ) Il valore di g che noi misuriamo con il gravimetro può discostarsi dal valore teorico derivante dalla formula, in quanto g è influenzata anche dalla distribuzione delle masse nel sottosuolo.

9 LE CORREZIONI ALLE MISURE CON IL GRAVIMETRO Una volta misurato il valore di g con gli strumenti a disposizione, si può effettuare il confronto fra il valore teorico derivante dalla formula e il valore ricavato attraverso le misure. Prima di effettuare questo confronto, è necessario apportare delle correzioni al valore di g misurato: Correzione in Aria libera (di Faye) Correzione di Bouguer

10 LA CORREZIONE IN ARIA LIBERA Se ci si trova in un punto sopraelevato rispetto al livello del mare, l accelerazione di gravità è minore di quella che si avrebbe in riva al mare, in quanto ci si trova più lontani dal centro della Terra e, aumentando r, diminuisce g. Al valore misurato con lo strumento dovrò aggiungere un valore pari a circa 0,30 mgal per ogni metro di altezza sopra il livello del mare. Il segno della correzione in aria libera è sempre positivo.

11 LA CORREZIONE DI BOUGUER La gravità misurata in B risente della massa di una piastra avente spessore h, che esercita la sua attrazione aggiuntiva (diretta verso il basso) su B. Dobbiamo dunque togliere dalla nostra misura con il gravimetro, effettuata in B, un valore pari a circa 0,11 mgal/metro. Il segno della correzione di Bouguer è dunque sempre negativo.

12 ANOMALIE DI GRAVITA Una volta fatte le correzioni, la differenza fra g misurata e g teorica può essere di segno positivo (anomalia positiva), negativo (anomalia negativa) o nullo (g misurata = g teorica). ANOMALIA POSITIVA ANOMALIA NEGATIVA

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