Appunti di Logica Ternaria: Operatori Diadici

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1 Appunti di Logia Ternaria: Operatori Diadii Giuseppe Talario 27 Gennaio 2014 Nella logia ternaria, una taella di verità on due ingressi ha nove righe, per ui ne onsegue he il numero totale delle funzioni on due ingressi ternari è pari a 3 9 = 19'683. La enumerazione di un numero osì alto di funzioni non è pratiaile. In ogni aso, si può dimostrare he solo un numero limitatissimo di esse è neessario per realizzare una logia ternaria ompleta. TAND o TMIN La funzione ternaria TAND è true ( 1 ) se e solo se i due ingressi hanno valore true, false ( 1 ) se uno dei due ingressi è false e unknown ( 0 ) negli altri asi. Essendo false < unknown < true l'and ternario può essere pensato ome l' operatore he ritorna il minimo dei due valori di ingresso. Di seguito si riporta la taella di verità, la funzione ed il simolo: TMIN a = a = TMIN(a, ) Come nella logia ooleana la funzione TAND o TMIN è sia ommutativa he assoiativa. TOR o TMAX La funzione ternaria TOR è true ( 1 ) se uno due ingressi ha valore true, false ( 1 ) se entrami i due ingressi sono false e unknown ( 0 ) negli altri asi. Essendo false < unknown < true l'or ternario può essere pensato ome l' operatore he ritorna il massimo dei due valori di ingresso. Di giuseppetalario.wordpress.om 1/7

2 seguito si riporta la taella di verità, la funzione ed il simolo: TMAX a = a = TMAX(a, ) La funzione TOR o TMAX è sia ommutativa he assoiativa. Come nella logia ooleana anhe in quella ternaria valgono i due teoremi di De Morgan: a = ( a ) ovvero: TMAX(a, ) = TMIN( a, ) a = ( a ) ovvero: TMIN(a, ) = TMAX( a, ) L' appliazione di questi teoremi porta ad affermare he gli operatori TMIN e TMAX possono riavarsi l'uno dall' altro on l' ausilio dell'operatore monadio STI (Standard Ternary Inverter). Nella logia ooleana, ome è noto, ogni funzione ominatoria può essere espressa in termini di soli and or e not. Appliando DeMorgan and e not oppure or e not sono pure suffiienti per rappresentare qualunque funzione ooleana. Nella logia ternaria vi sono delle funzioni monadihe ome i deoder di 1 ( is true ) e di 1 ( is false ) e la funzione deremento he non possono essere espresse in termini di TMIN, TMAX e STI. Tuttavia è possiile dimostrare he aggiungendo una di queste funzioni a TMIN, TMAX e STI si può realizzare qualunque funzione ternaria. giuseppetalario.wordpress.om 2/7

3 TNAND e TNOR Aggiungendo uno STI ai due operatori TAND e TOR si ottengono i due operatori TAntiMin e TAntiMax. Le taelle di verità e le funzioni si lasiano agli studenti ome eserizio. TXOR La funzione ternaria dell'or eslusivo si può riavare da quelle già introdotte, infatti vale: a = (a ) ( a). Di seguito si riporta la taella di verità, la funzione diadia ed il simolo. 1 a = a = TXOR(a, ) La funzione TXOR è sia ommutativa he assoiativa. Come per il NOT, nella logia ternaria, esistono funzioni analoghe all'or eslusivo. TSUM Nella logia ooleana lo xor viene utilizzato nel semi-sommatore per alolare la somma ( modulo 2 ) dei due it d'ingresso. Il TXOR non fa la stessa osa per ui si definise un altro operatore detto TSUM he alola la somma (modulo 3) on valori ompresi in {1,0,1}. La taella di verità, la funzione ed il simolo, he rihiama lo xor, sono qui appresso riportati: giuseppetalario.wordpress.om 3/7

4 a 0 1 = a + = TSUM(a,) La funzione TSUM è sia ommutativa he assoiativa. L'operatore TSUM, non è strettamente neessario, poihé è otteniile da quelli già introdotti. Infatti, vale, ome è faile dimostrare: a + = ( (a = 1) ( 1) ) ( ( a = 0) ) ( ( a = +1) ( + 1) ) da ui si ottiene il seguente iruito: I ollegamenti on il taglietto stanno ad indiare, ome già detto, segnali a due livelli e quindi ooleani. Nello shema, l' input a ontrolla un MUX 3:1 (realizzato dal deoder, da tre TAND e dal TOR ) he lasia passare in usita l'input derementato, o inrementato a seonda del valore del trit a. giuseppetalario.wordpress.om 4/7

5 TCONS Nella logia ooleana, la funzione oinidenza ovvero l' inverso dello xor ( xnor) è true se i due input sono uguali e false quando sono differenti. Nella logia ternaria la naturale estensione di un operatore siffatto porta al TConsensus la ui usita è true se i due input sono true (1), false se i due input sono false (1) e unkown (0) in tutti gli altri asi. Di seguito si riporta la taella di verità, la funzione diadia ed il simolo: a = a = TCONS(a, ) Il simolo inlude elementi presi in prestito dallo xor e dall' and ooleani. La similitudine on l' and si ha se si onsiderano equivalenti false e unknown. E' possiile dimostrare he la funzione TCONS può essere desritta da: a = ( a ) ( ( a 1) 0 ) ( ( 1) 0 ) he porta al iruito: giuseppetalario.wordpress.om 5/7

6 TEQUAL Le funzioni monadihe di deodifia hanno una implementazione anhe ome funzione diadia: la funzione di uguaglianza TEQUAL. Il valore della funzione è true se e solo se i valori dei due trit d'ingresso sono uguali. Di seguito si riportano la taella di verità, la funzione ed il simolo diadio: a = (a = ) = TEQUAL(a, ) Da notare he questa funzione onsidera due input di valore unknown ome due valori uguali! TANY L' operatore ternario aept anything dà in usita un valore unknown (0) solo se entrami gli inputs sono unknown {0,0} oppure disordanti: {1,1} o {1,1} Negli altri asi l' usita oinide on l'input non-unknown a 0 1 = a = TANY(a, ) giuseppetalario.wordpress.om 6/7

7 Balaned Half Adder Ternario Come primo esempio di iruito ternario onsideriamo il semisommatore nel sistema ternario ilaniato, la ui taella di verità è la seguente: a i i Somma s i Riporto i Osservando la olonna Somma si rionose he essa è nient'altro he la funzione diadia TSUM(a i, i ), mentre la olonna Riporto è la TCONS ( onsensus) per ui il iruito logio è il seguente: giuseppetalario.wordpress.om 7/7