Fabio Grasso LA PREVIDENZA COMPLEMENTARE: I PROFILI TECNICI

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1 Fabio Grasso Direore Diparimeno di Scienze Saisiche Presidene Area Didaica delle Scienze Saisiche, Auariali e Finanziarie Universià degli Sudi di Roma La Sapienza LA PREVIDENZA COMPLEMENTARE: I PROFILI TECNICI SIFA VIII Corso di Formazione Auariale Coninua sul ema La previdenza complemenare: evoluzione normaiva, modelli di gesione, ruolo dell auario Roma, 12 dicembre 2012

2 INDICE 1. Premesse Pag Aspei generali Soggei, conribui e presazioni Modelli di finanziameno Misura delle presazioni Schemi a conribuo definio e schemi a presazione definia Modalià conrauali 7 3. Aspei auariali Premesse Equilibrio colleivo Equilibrio individuale auariale Equilibrio individuale finanziario Muualià e solidarieà Riscao, riduzione ed anicipazione della presazione Rischi relaivi alla gesione previdenziale Fondi pensione Assicurazioni colleive Premesse Assicurazioni colleive previdenziali Assicurazioni colleive di puro rischio 26 Bibliografia 28 2

3 1. Premesse Con riferimeno ai problemi della previdenza, è noa la locuzione sisema a re pilasri. In generale, essa sa ad indicare un sisema aricolao su varie forme previdenziali, raggruppabili in re caegorie fondamenali, vole nel complesso a garanire agli individui un adeguaa coperura dei diversi rischi connessi alla via umana. In paricolare: a) il primo pilasro designa la previdenza pubblica di base; b) il secondo pilasro designa la previdenza complemenare; c) il erzo pilasro designa la libera previdenza individuale. Nel corso degli ulimi decenni, anche in conseguenza dei rilevani squilibri finanziari regisrai dai sisemi previdenziali pubblici di base dei principali Paesi indusrializzai, il primo pilasro ha significaivamene ridoo il proprio inerveno, limiandolo (con riferimeno alle sole presazioni in caso di via del ipo rendia vializia) all erogazione di: una pensione indifferenziaa, non legaa alla reribuzione (in accordo con l imposazione briannica della previdenza pubblica di base); una pensione legaa alla reribuzione ma di enià sensibilmene ridoa rispeo al passao e, comunque, limiaa da un prefissao imporo massimo (in accordo con l imposazione germanica). Affinché un individuo che enra in quiescenza possa disporre di un adeguao reddio di sosiuzione di quello (mediamene) percepio nel corso degli ulimi anni di aivià lavoraiva, è perano necessario fare ricorso: alla libera previdenza individuale, cosiuia da diverse forme di risparmio finanziario e, in paricolare, dall assicurazione privaa individuale; alla previdenza complemenare, poendo ques ulima offrire varie coperure assicuraive a condizioni più vanaggiose, per l individuo, rispeo a quelle radizionalmene offere dall assicurazione privaa individuale. La presene noa si prefigge di fornire un inroduzione ad alcune meodologie ecnico-auariali frequenemene in uso nella previdenza complemenare, nella quale si collocano forme di previdenza ra loro molo diversificae. In paricolare, la noa focalizza l aenzione sui fondi pensione e, nell ambio di quesi ulimi, sulle assicurazioni colleive, le quali prevedono che la gesione previdenziale sia compleamene affidaa ad un impresa di assicurazioni. 3

4 2. Aspei generali 2.1 Soggei, conribui e presazioni Si definisce schema di previdenza complemenare un qualunque programma che si prefigge di erogare presazioni ai membri di una daa colleivià. Esempi di colleivià sono: i lavoraori dipendeni di un azienda; i lavoraori auonomi appareneni ad un associazione professionale. Con riferimeno ad un assicurao, vale a dire il lavoraore che appariene (su base obbligaoria o volonaria) alla colleivià e che si rova inizialmene in sao di aivià (aivo), le presazioni erogae da uno schema di previdenza complemenare sono di norma le segueni: a) presazioni in caso di via, del ipo rendia vializia (pensione direa di vecchiaia a favore dell assicurao); b) presazioni in caso di invalidià (di norma permanene, oale o parziale), del ipo capiale (generalmene crescene al crescere del grado di invalidià) o rendia vializia (pensione direa di invalidià a favore dell assicurao); c) presazioni in caso di more, del ipo capiale o rendia vializia (pensione indirea o pensione di reversibilià a favore degli evenuali supersii dell assicurao, rispeivamene aivo o pensionao, che ne abbiano dirio). Nel presene lavoro, per semplicià, sono considerae le sole presazioni del ipo rendia vializia (pensione) per i casi di invalidià, vecchiaia e more. Le presazioni, erogae nel caso siano soddisfai deerminai requisii riguardani il numero di anni di conribuzione, vengono finanziae dai conribui (o, anche, premi). L onere relaivo alla corresponsione dei conribui, generalmene deerminai come aliquoa della reribuzione percepia da ques ulimo, può conemporaneamene gravare su più soggei (assicurao, daore di lavoro, ). In paricolare, si disinguono: a) schemi conribuori, nei quali l assicurao parecipa al finanziameno delle presazioni (alvola in misura oale, ad esempio nel caso di schemi relaivi ad una colleivià cosiuia da lavoraori auonomi); b) schemi non conribuori, nei quali non vi è parecipazione dell assicurao al finanziameno delle presazioni. 4

5 Olre all assicurao ed agli evenuali uleriori conribueni, gli alri soggei che inervengono nella gesione di uno schema di previdenza complemenare sono i segueni: l ene, ineso come il soggeo (azienda, associazione professionale, ) che idenifica il rapporo di lavoro o la professione dell assicurao; il gesore, vale a dire colui che è preposo alla gesione dello schema di previdenza complemenare (alvola si ha una pluralià di gesori: un ipico esempio è quello di una gesione misa banca-impresa di assicurazioni, dove la prima gesisce la fase di accumulo dei conribui e la seconda gesisce la fase di erogazione della presazione pensionisica); gli evenuali supersii dell assicurao (aivo o pensionao) che abbiano dirio alle presazioni. 2.2 Modelli di finanziameno In uno schema di previdenza complemenare che eroghi pensioni per i casi di invalidià, vecchiaia e more, la corresponsione dei conribui può avvenire in base ad una delle segueni modalià: a) modello pay as you go ; b) modello erminal funding ; c) modello con finanziameno progressivo. In base al modello pay as you go le pensioni sono finanziae conesualmene alla loro erogazione e non vi è alcun prefinanziameno delle medesime. In queso caso non si ha quindi un accanonameno di riserve, genericamene inese come risorse da desinare al finanziameno delle presazioni. Tale modello di finanziameno, diffusamene impiegao nella previdenza pubblica di base, non è ovviamene applicabile se il finanziameno delle presazioni, per ciascun soggeo (pensionao), avviene mediane una sequenza di conribui da pare del medesimo soggeo (durane il periodo di aivià). In base al modello erminal funding le pensioni sono finanziae mediane la corresponsione dei relaivi capiali di coperura (vale a dire, i valori auariali delle pensioni al momeno in cui inizia l erogazione delle medesime). Secondo ale modalià di conribuzione, anch essa alvola impiegaa nella previdenza pubblica di base, si ha la formazione di una riserva a parire dall isane di avvio dell erogazione del raameno pensionisico. 5

6 In base al modello con finanziameno progressivo, modalià di versameno dei conribui più frequenemene impiegaa nella previdenza complemenare, le pensioni sono finanziae mediane una sequenza di conribui versai durane il periodo di aivià degli assicurai e, perano, si ha la formazione di una riserva già nel periodo di aivià di ciascun assicurao. In paricolare, ale modello di finanziameno può realizzarsi sia mediane lo schema a premi annui cosani sia mediane lo schema a premi unici ricorreni, enrambi largamene adoai per la ariffazione delle rendie vializie nell assicurazione privaa individuale. 2.3 Misura delle presazioni Ai fini della deerminazione delle presazioni (pensioni) erogae da uno schema di previdenza complemenare occorre innanziuo disinguere ra: a) presazione conribuiva: in relazione a ciascun assicurao, la pensione è legaa, secondo un assegnaa formula, ai corrispondeni conribui versai (e di norma rivaluai mediane opporuni coefficieni); b) presazione reribuiva: in relazione a ciascun assicurao, la pensione è legaa, secondo un assegnaa formula, alle reribuzioni dell assicurao negli ulimi anni di aivià lavoraiva (ad esempio l ulimo anno o gli ulimi re o cinque anni), essendo le reribuzioni di norma rivaluae mediane opporuni coefficieni; in relazione a ciascun assicurao, quindi, la pensione è del uo indipendene dai corrispondeni conribui versai. Le presazioni erogae dagli schemi di previdenza complemenare sono quasi esclusivamene di ipo conribuivo. 2.4 Schemi a conribuo definio e schemi a presazione definia Nella previdenza complemenare il legame ra i conribui e le presazioni, da realizzare mediane un opporuno principio di equilibrio, può avvenire secondo due differeni modalià. Infai, si disinguono: a) schemi a conribuo definio; b) schemi a presazione definia. In uno schema a conribuo definio viene inizialmene fissaa la sequenza dei conribui e l ammonare della presazione è successivamene deerminao, 6

7 secondo un assegnaa formula, in funzione dei conribui versai. In paricolare, uno schema a conribuo definio può essere: con garanzia di minima presazione, dove la garanzia consise nella applicazione, ai conribui versai, di un asso di rendimeno non inferiore ad un livello (minimo) garanio; senza garanzia di minima presazione. In uno schema a presazione definia viene invece inizialmene fissaa la presazione ed i conribui sono poi deerminai, secondo un assegnaa formula, in funzione di ale presazione. In paricolare, la presazione può essere: aggiuniva, quando viene fissao l ammonare della sola presazione erogaa dallo schema di previdenza complemenare; inegraiva, quando viene fissao l ammonare complessivo delle presazioni erogae dallo schema previdenziale pubblico di base e dallo schema di previdenza complemenare. Nella previdenza complemenare sono frequenemene in uso sia schemi a conribuo definio sia schemi a presazione definia. Il legislaore può uavia alvola imporre deerminae resrizioni al loro impiego. In Ialia, ad esempio, il Decreo Legislaivo 21 aprile 1993, n. 124, e successivamene la Legge 8 agoso 1995, n. 335, hanno sabilio che l adozione di uno schema a presazione definia sia una prerogaiva esclusiva dei lavoraori auonomi e dei liberi professionisi. 2.5 Modalià conrauali Si consideri, a iolo esemplificaivo, una colleivià cosiuia dai lavoraori dipendeni di un azienda. In ale ipoesi, le modalià conrauali di uno schema di previdenza complemenare possono essere così classificae: a) schema auoassicurao senza accanonameno di riserve: il daore di lavoro si impegna a corrispondere una pensione per i casi di invalidià, vecchiaia e more senza cosiuire alcuna riserva; b) schema auoassicurao con accanonameno di riserve inerno all azienda: il daore di lavoro si impegna a corrispondere una pensione per i casi di invalidià, vecchiaia e more procedendo all accanonameno di riserve; c) schema auoassicurao con accanonameno di riserve eserno all azienda (o, anche, fondo pensioni auogesio): il daore di lavoro si impegna a corrispondere una pensione per i casi di invalidià, vecchiaia e more 7

8 procedendo alla cosiuzione di un unià operaiva, eserna all azienda, preposa all accumulo dei conribui, all accanonameno delle riserve e all erogazione della pensione; d) schema assicurao (o, anche, fondo pensioni assicurao): il daore di lavoro si impegna a corrispondere una pensione per i casi di invalidià, vecchiaia e more procedendo alla sipulazione di un conrao con uno o più inermediari finanziari (banca, impresa di assicurazioni, ) per la gesione (almeno parziale) dello schema di previdenza complemenare. La suddea classificazione evidenzia come si abbia uno schema auoassicurao quando non si aua alcun rasferimeno di rischi dall ene (nell esempio qui considerao, l azienda) ad alri soggei (vale a dire, gli inermediari finanziari). Inolre, si osserva che: lo schema auoassicurao senza accanonameno di riserve, realizzao mediane il modello di finanziameno pay as you go, espone gli assicurai (e gli evenuali supersii) al rischio di insolvenza e cosiuisce perano una modalià conrauale raramene impiegaa per la gesione delle forme di previdenza complemenare; lo schema auoassicurao con accanonameno di riserve inerno all azienda offre maggiori garanzie agli assicurai, in conseguenza dell accanonameno di riserve; quese ulime possono essere copere da: invesimeni generici (beni di proprieà dell azienda) invesimeni specifici (ipicamene di ipo mobiliare, vincolai agli impegni inereni allo schema previdenziale e, perano, in grado di fornire uleriori garanzie agli assicurai); lo schema auoassicurao con accanonameno di riserve eserno all azienda prevede invesimeni specifici e, inolre, la parecipazione alla gesione previdenziale da pare di rappresenani dei lavoraori, dei pensionai e del daore di lavoro, con la consulenza di esperi in ambio finanziario ed auariale (in ale ambio è di noevole rilievo il ruolo dell auario); lo schema assicurao affida frequenemene ad un primo inermediario finanziario (ad esempio una banca o un impresa di assicurazioni) la gesione dell accumulo dei conribui, menre è affidaa ad un secondo inermediario (ipicamene un impresa di assicurazione) la gesione delle rendie vializie; la presenza di uno o più inermediari finanziari consene di realizzare, rispeo ad uno schema auoassicurao, un migliore impiego delle evenuali riserve accanonae. 8

9 3. Aspei auariali 3.1 Premesse In uno schema di previdenza complemenare l equilibrio ra i conribui e le presazioni può essere variamene definio (e, quindi, realizzao). In paricolare, si può considerare: a) un equilibrio colleivo; b) un equilibrio individuale. L equilibrio colleivo è di ipo auariale in quano prende in considerazione sia la componene demografica sia la componene finanziaria, menre l equilibrio individuale può essere: di ipo auariale; di ipo finanziario. Di seguio sono sineicamene descrii e confronai i suddei re principi di equilibrio. A ale fine, per semplicià, si ipoizza che lo schema di previdenza complemenare eroghi solamene presazioni in caso di via del ipo rendia vializia (vale a dire, una pensione di vecchiaia). 3.2 Equilibrio colleivo L adozione del principio di equilibrio colleivo ra i conribui e le presazioni richiede innanziuo: a) la scela della colleivià di riferimeno; b) la scela del periodo di gesione. Esempi di colleivià di riferimeno sono i segueni: gli aivi ed i pensionai preseni all epoca di valuazione (caso di una colleivià chiusa); gli aivi ed i pensionai preseni all epoca di valuazione ai quali si aggiungono i nuovi ingressi (aivi) nel periodo di gesione (caso di una colleivià apera). 9

10 Il periodo di gesione è individuao da un numero N di anni a parire dall epoca di valuazione (per semplicià, sia essa l epoca 0). In paricolare: per una colleivià chiusa, esso può essere individuao dall eà esrema dell aivo più giovane apparenene alla colleivià (caso di una duraa finia della gesione); per una colleivià apera, esso può essere più ampio ed è possibile porre, in paricolare, N=+ (caso di una duraa illimiaa della gesione). Il principio di equilibrio colleivo è fondao sul crierio della speranza maemaica e sabilisce che, in un qualunque isane k di gesione (0 kn), il valore auale medio delle presazioni fuure (vale a dire, relaive all orizzone emporale (k,n)) eguagli la somma del valore auale medio dei corrispondeni conribui e dell evenuale riserva accanonaa in k. Ai fini dell applicazione di ale principio di equilibrio è necessaria la fissazione di opporune basi ecniche, vale a dire: a) le basi demografiche, innanziuo le probabilià di eliminazione dalla colleivià degli aivi per le cause di invalidià, vecchiaia e more; b) la base finanziaria, cosiuia dal asso annuo di ineresse (cero), i, in base al quale aualizzare le presazioni; c) le basi economiche, innanziuo l andameno delle reribuzioni in funzione dell anzianià lavoraiva e le variazioni delle reribuzioni (e, quindi, delle pensioni) in ermini reali. Nel caso di una colleivià apera occorre inolre formulare opporune ipoesi sui nuovi ingressi (aivi) nella colleivià. Nell ipoesi, frequenemene accola, che sia adoao il meodo degli anni di gesione (o, anche, meodo delle sime annuali) per la valuazione dei conribui e delle presazioni, si indichi con: C (=0,1,,N-1) il valore medio dei conribui relaivi alla daa colleivià nell anno di gesione +1 (vale a dire, nell inervallo (,+1)); O (=0,1,,N-1) il valore medio degli oneri per presazioni pensionisiche relaivi alla daa colleivià nell anno di gesione +1, ad esempio: le rae di pensione erogae ai pensionai preseni nell anno; i capiali di coperura delle rendie speani ai nuovi pensionai dell anno. 10

11 Le quanià C e O (=0,1,,N-1) sono valori medi di quanià la cui aleaorieà dipende dall aleaorieà dei numeri di individui preseni nella colleivià ed anche dalla formazione delle reribuzioni e dalla loro evoluzione nel empo. Nell ipoesi che i conribui e gli oneri per pensioni siano corrisposi all inizio dell anno, indicao con v = (1+i) -1 il faore annuo di aualizzazione finanziaria, all epoca 0 di valuazione l equilibrio colleivo è così espresso: N1 N1 (1) C v O v. 0 0 Con riferimeno ad uno schema previdenziale a presazione definia, fissae le presazioni O 0, O 1,, O N-1, vi sono infinie possibilià di scela dei conribui C 0, C 1,, C N-1 in modo da verificare la condizione di equilibrio colleivo (1). Analogamene avviene, a ruoli inverii ra conribui e presazioni, nell ambio di uno schema a conribuo definio. Si definisce sisema ecnico-finanziario di gesione un qualunque crierio di calcolo dei (valori medi dei) conribui C 0, C 1,, C N-1 (o delle presazioni O 0, O 1,, O N-1 ) ale che, fissae le presazioni (o i conribui), sia soddisfaa la condizione di equilibrio colleivo (1). Con riferimeno ad uno schema previdenziale a presazione definia, si ipoizzi che, per ciascun aivo, il conribuo, c, nell anno di gesione +1 sia dao da un aliquoa,, della relaiva reribuzione, z. Si ha così c = z e l aliquoa è denominaa aliquoa di conribuzione (o, anche, premio medio). Indicao con Z l ammonare complessivo delle reribuzioni percepie, all epoca, dagli aivi che apparengono alla daa colleivià, si ha (2) C Z e la condizione di equilibrio colleivo (1) può essere così riscria: N1 N1 (3) Z v O v

12 La (3) pone in evidenza come, fissae le reribuzioni Z e gli oneri per pensioni O (=0,1,,N-1), un sisema ecnico-finanziario di gesione sia individuao da una paricolare sequenza di aliquoe di conribuzione 0, 1,..., N1. Il problema ammee infinie soluzioni ed è immediao comprendere come ciascuna di esse deermini, nel periodo di gesione, una differene disribuzione del carico relaivo al finanziameno dello schema previdenziale. Tra i diversi possibili sisemi ecnico-finanziari impiegabili per la gesione dello schema previdenziale occorre innanziuo disinguere ra: a) sisemi a capializzazione (colleiva); b) sisemi a riparizione. In un sisema a capializzazione la conribuzione relaiva ad un dao assicurao (aivo) concorre al finanziameno della presazione pensionisica che porà essere percepia in fuuro dal medesimo assicurao (o dagli evenuali supersii nel caso, qui escluso, in cui lo schema previdenziale eroghi anche presazioni in caso di more del ipo rendia vializia). Lo sfasameno emporale esisene ra la corresponsione dei conribui e l erogazione della pensione deermina, in un sisema di queso ipo, la formazione di una riserva. In un sisema a riparizione la conribuzione relaiva ad un dao assicurao (aivo) non finanzia invece la presazione pensionisica che porà essere percepia in fuuro dal medesimo assicurao (o, laddove previso, dagli evenuali supersii), essendo queso finanziameno ineramene affidao ad alri soggei (in paricolare, alle fuure generazioni di aivi). In conseguenza è possibile che non si deermini la formazione di una riserva. I sisemi ecnico-finanziari in uso per la gesione di uno schema di previdenza complemenare sono ipicamene a capializzazione. Nei segueni esempi 1 e 2 è descrio un sisema ecnico-finanziario di noevole imporanza nella gesione di uno schema di previdenza complemenare. Esempio 1 Si consideri uno schema di previdenza complemenare a presazione definia ed una colleivià apera, cosiuia dagli aivi e dai pensionai preseni all epoca 0 di valuazione e, inolre, dai nuovi ingressi (aivi) nel periodo di gesione (N 12

13 anni, evenualmene N=+ ). Si ipoizzi inolre che gli oneri per presazioni pensionisiche O 0, O 1,, O N-1 consisano nel pagameno delle rae di pensione ai pensionai preseni all inizio di ciascuno degli anni del periodo di gesione. Indicao con O (R) l onere in quesione per l anno di gesione +1, la condizione di equilibrio colleivo (3) assume ora la seguene espressione: N1 N1 ( R) 0 ( R) (4) Z v O v. 0 In paricolare, nell ipoesi che l equilibrio ra i conribui e le presazioni venga realizzao mediane un aliquoa di conribuzione cosane nel periodo di ( R) (R) gesione, vale a dire (=0,1,,N-1), si oiene il sisema ecnicofinanziario di gesione denominao sisema del premio medio generale. Esso è individuao dall aliquoa di conribuzione N1 O v (R) 0 (5). N1 Z v 0 ( R) Allo scopo di disinguere il caso di una duraa finia dal caso di una duraa (R) illimiaa della gesione, il premio medio generale (5) è indicao con (N) nel primo caso e, invece, con (R) () nel secondo caso. Esempio 2 Per la definizione dell equilibrio ra conribui e presazioni si considerino la colleivià di riferimeno ed il periodo di gesione (di duraa finia o illimiaa) sceli nell esempio 1. Tuavia, si ipoizzi ora che gli oneri per presazioni pensionisiche consisano nel pagameno dei capiali di coperura delle rendie ai nuovi pensionai di ciascuno degli anni del periodo di gesione. Indicao con O (C) l onere in quesione per l anno di gesione +1, la condizione di equilibrio colleivo (3) assume ora la seguene espressione: N1 N1 ( C) 0 ( C) (6) Z v O v. 0 13

14 In paricolare, nell ipoesi che l equilibrio ra i conribui e le presazioni venga realizzao mediane un aliquoa di conribuzione cosane nel periodo di ( C) (C) gesione, vale a dire (=0,1,,N-1), si oiene ancora il sisema del premio medio generale. Esso è ora individuao dall aliquoa di conribuzione N1 O v (C) 0 (7). N1 Z v 0 ( C) Analogamene a quano descrio nell esempio 1, il premio medio generale (7) è (C) indicao con (N) nel caso di duraa finia della gesione e, invece, con (C) () nel caso di duraa illimiaa della gesione. Il sisema del premio medio generale, definio mediane la (4) o la (6), è un sisema a capializzazione e deermina quindi, all epoca (0 < < N), la formazione di una riserva. Per quano concerne le relazioni ra i premi medi generali (5) e (7), si ha (R) ( N) (N) (C), menre è (R) delle serie che compaiono nelle suddee espressioni. (C) ( ) ( ) nell ipoesi di convergenza 3.3 Equilibrio individuale auariale Si consideri una colleivià cosiuia da assicurai, ad esempio lavoraori dipendeni di un azienda, di sesso maschile (denoao con l indice m) ed aveni eà x all inizio dell aivià lavoraiva che, per semplicià, si suppone coincidene con l epoca 0 di valuazione. In relazione a ciascun assicurao, inolre, sia n l isane di ingresso in quiescenza e R la presabilia raa annua della rendia. In ali ipoesi, il principio di equilibrio individuale auariale, anch esso fondao sul crierio della speranza maemaica, sabilisce che, in relazione a ciascun assicurao in un qualunque isane k compreso nel periodo di aivià (vale a dire, 0 kn), la somma del valore auale medio dei conribui fuuri e dell evenuale riserva accanonaa in k eguagli il valore auale medio delle corrispondeni presazioni, essendo ques ulimo imporo eguale a (m) xk (m) xn (8) R E ä, n k 14

15 dove n-k E x+k (m) indica il faore di scono auariale (all eà x+k, per una duraa di n-k anni) e Rä x+n (m) è il capiale di coperura della rendia. In un qualunque isane k compreso nel periodo di quiescenza dell assicurao (vale a dire, k > n), l equilibrio individuale auariale viene invece garanio dall accanonameno di una riserva di imporo eguale a Rä x+k (m). Anche ai fini dell applicazione del principio di equilibrio individuale auariale è necessaria la fissazione di opporune basi ecniche. Poiché l equilibrio viene ora riferio al singolo assicurao o, più propriamene, ad una colleivià chiusa cosiuia da rischi omogenei (rispeo alle variabili eà e sesso), è irrilevane invece la formulazione di ipoesi su evenuali fuuri ingressi nella colleivià (nell esempio qui considerao, aivi della daa azienda). In caso di more dell assicurao all epoca k, nello sao di aivo (0 kn) o di pensionao (k > n), la riserva accanonaa, propriamene la riserva maemaica delle assicurazioni individuali sulla duraa di via, viene aribuia agli assicurai supersii, conribuendo in queso modo a finanziare le presazioni che poranno essere erogae a loro beneficio. Il valore auale medio dei conribui fuuri, al empo k (0 kn), può essere specificao fissando opporune sequenze di conribui c 1, c 2,, c s (con s n), ad esempio: in funzione di un assegnaa raa R della rendia, nell ambio di uno schema a presazione definia; in funzione di alre grandezze, ipicamene la reribuzione, nell ambio di uno schema a conribuo definio. In enrambi i casi sono poi applicabili alcuni schemi di ariffazione delle rendie vializie noi nell ambio dell assicurazione privaa individuale (in paricolare, lo schema a premi annui cosani e lo schema a premi unici ricorreni). 3.4 Equilibrio individuale finanziario Si consideri un assicurao, ad esempio un lavoraore dipendene di un azienda, di sesso maschile (m) ed avene eà x all inizio dell aivià lavoraiva che, per semplicià, si suppone coincidene con l epoca 0 di valuazione; inolre, sia n l isane di ingresso in quiescenza e R la presabilia raa annua della rendia. 15

16 In ali ipoesi, il principio di equilibrio individuale finanziario sabilisce che il monane finanziario dei conribui versai, al empo n, eguagli il capiale di coperura della rendia. In generale, una qualunque sequenza di versameni (conribui) che oenga, all epoca n, un monane finanziario eguale a Rä x+n (m) (cosiuzione finanziaria del capiale di coperura della rendia), rappresena una modalià di acquiso della pensione compaibile con il principio di equilibrio individuale finanziario. Il principio in esame può essere applicao esclusivamene al periodo di aivià dell assicurao, durane il quale vengono versai i conribui. Durane il periodo di quiescenza l equilibrio è invece di ipo individuale auariale ed è garanio dalla riserva maemaica originaa dal capiale di coperura della rendia. In caso di more dell assicurao nel periodo di quiescenza (all epoca k, con k > n) la riserva (maemaica) ivi accanonaa viene aribuia agli assicurai supersii, menre in caso di more dell assicurao nel periodo di aivià (all epoca k, con 0kn) la riserva ivi accanonaa (propriamene, il monane finanziario dei conribui versai) viene accrediaa agli evenuali supersii dell aivo che ne abbiano dirio. Tale presazione, in caso di more, fa sì che la misura (globale) del conribuo, a parià di presazione, sia maggiore rispeo a quella oenibile in base al principio di equilibrio individuale auariale. 3.5 Muualià e solidarieà In generale, l adozione di un dao principio di equilibrio deermina conribui che, a parià di presazioni, differiscono da quelli oenibili mediane l impiego di un alro principio di equilibrio. Dopo avere evidenziao, nel paragrafo 3.4, la differenza ra l equilibrio individuale auariale e l equilibrio individuale finanziario, viene ora poso a confrono l equilibrio individuale auariale con l equilibrio colleivo. Si osserva che: a) l applicazione del primo, riguardane una colleivià di rischi omogenei, deermina un effeo di muualià ra ali rischi, il quale si aua mediane un rasferimeno di risorse finanziarie (provenieni dai conribui) ra i rischi in ermini di flussi effeivi; b) l applicazione del secondo, riguardane una colleivià di rischi eerogenei, deermina un effeo di solidarieà ra ali rischi, il quale si aua mediane un rasferimeno di risorse finanziarie ra i rischi in ermini di flussi aesi. 16

17 L effeo di muualià concerne perano l equilibrio ex-pos ra conribui e presazioni, menre l effeo di solidarieà riguarda l equilibrio ex-ane ra conribui e presazioni. L applicazione del principio di equilibrio colleivo (ad una colleivià di rischi eerogenei) non modifica uavia in alcun modo l effeo di muualià esisene all inerno dei diversi sooinsiemi di rischi (omogenei) della daa colleivià che risulerebbero gravai da un eguale livello di conribuzione in base al principio di equilibrio individuale auariale. Per oenere una semplice misura della solidarieà, all epoca k di valuazione (compresa nel periodo di aivià dell assicurao: 0 kn), derivane dalla applicazione, ad una daa colleivià di rischi eerogenei in un dao periodo di empo, di un assegnao sisema ecnico-finanziario di gesione, si ipoizzi che: in accordo al principio dell equilibrio colleivo, sia adoao il sisema del (R) (R) premio medio generale, ad esempio () : è quindi c k = () z k, con ovvio significao dei simboli, il conribuo annuale di equilibrio; in accordo al principio dell equilibrio individuale, sia adoao il sisema di ariffazione a premio annuo cosane per l inera duraa del differimeno della rendia: è quindi c x (m), con ovvio significao dei simboli, il conribuo (premio) annuale di equilibrio. Il confrono ra i conribui (annuali) c k e c x (m) evidenzia che, alla fissaa epoca k di valuazione, se è c k < c x (m) (risp., c k > c x (m) ) l assicurao riceve (risp., offre) solidarieà da (risp., ad) alri assicurai della daa colleivià di riferimeno. E evidene che la presenza di un consisene effeo di solidarieà è ammissibile solo nell ambio di uno schema di previdenza complemenare caraerizzao da adesione obbligaoria. Infai, l evenuale non obbligaorieà di adesione allo schema porebbe favorire l abbandono dello schema da pare degli assicurai chiamai a corrispondere più elevae quoe di solidarieà, compromeendo così anche la possibilià di realizzare l equilibrio ra i conribui e le presazioni. Tuavia non può essere ignorao il fao che i meodi di ariffazione impiegai radizionalmene nell assicurazione privaa individuale comporano anche la presenza, in misura alvola non rascurabile, dell effeo di solidarieà. Tale risulao è la conseguenza dell evenuale non considerazione, ai fini del calcolo del premio, di alcuni faori di rischio (ad esempio l essere o meno fumaore nelle assicurazioni sulla duraa di via o la percorrenza annua media del veicolo nelle assicurazioni di responsabilià civile auoveicoli). 17

18 3.6 Riscao, riduzione ed anicipazione della presazione Con riferimeno ad una colleivià cosiuia dai lavoraori dipendeni di un azienda, uno schema di previdenza complemenare caraerizzao da un modello di finanziameno delle presazioni che prevede, per ciascun assicurao, la formazione di una riserva deve inolre specificare le cosiddee regole di vesing, vale a dire l insieme delle norme che disciplinano la desinazione della riserva in caso di inerruzione del rapporo di lavoro a seguio di dimissioni o licenziameno volonario del dipendene. A ale fine occorre preliminarmene considerare se l equilibrio ra i conribui e le presazioni è di ipo individuale o colleivo. Infai, nel caso di uno schema previdenziale basao sull equilibrio individuale è facilmene deerminabile la riserva relaiva al singolo assicurao, menre nel caso di uno schema previdenziale basao sull equilibrio colleivo devono essere adoai opporuni crieri per deerminare l enià della riserva relaiva al singolo assicurao. Nel caso di uno schema previdenziale basao sull equilibrio individuale viene generalmene riconosciua all assicurao la quoa della riserva che deriva dagli evenuali conribui a suo carico. In paricolare, essa può: a) essere direamene riscossa al momeno dell inerruzione del rapporo di lavoro (caso del riscao della presazione); b) originare una rendia, all epoca n di ingresso in quiescenza, di raa inferiore a R (caso della riduzione della presazione). Per quano concerne invece la quoa della riserva che deriva dagli evenuali conribui effeuai dal daore di lavoro, essa può essere concessa all assicurao in misura più o meno consisene. In ogni caso, essa è generalmene crescene con l anzianià di apparenenza dell assicurao allo schema previdenziale. E agevole comprendere come le norme che disciplinano la desinazione della riserva in caso di inerruzione del rapporo di lavoro a seguio di dimissioni o licenziameno volonario del dipendene possano evenualmene incenivare una poliica di prepensionameni all inerno dell azienda. Si segnala infine che uno schema di previdenza complemenare può prevedere, a favore degli assicurai che soddisfano deerminai requisii riguardani il numero di anni di conribuzione, un anicipazione della presazione per specifiche esigenze (spese saniarie, acquiso della prima casa, ). 18

19 3.7 Rischi relaivi alla gesione previdenziale I rischi relaivi alla gesione di uno schema di previdenza complemenare che eroghi solamene presazioni pensionisiche in caso di via, in modo analogo a quano avviene nella gesione di un porafoglio di assicurazioni sulla duraa di via (in paricolare, di rendie vializie), possono essere così classificai: a) rischio demografico; b) rischio finanziario; c) rischio di spese; d) rischio di comporameno; e) rischio economico. In uno schema previdenziale basao su un principio di equilibrio individuale (auariale o finanziario) è di grande rilievo anche la localizzazione emporale dei rischi ed occorre perano disinguere, per ciascun assicurao, il periodo di aivià dal successivo periodo di quiescenza. Indipendenemene dal principio di equilibrio adoao, è inolre di ineresse la localizzazione dei rischi presso i diversi soggei che parecipano alla gesione previdenziale. Di seguio vengono brevemene presenai, con riferimeno ad uno schema di previdenza complemenare definio a livello di azienda, i principali rischi relaivi alla gesione previdenziale ed è alresì fornia una sineica descrizione della localizzazione dei rischi, su base emporale e presso i diversi soggei. Per quano concerne il rischio demografico, generao dalle possibili durae aleaorie di via degli assicurai, si hanno effei negaivi per il gesore allorché la moralià effeiva degli assicurai risula inferiore a quella aesa poiché si ha, in queso caso, un insufficiene accanonameno di riserve da desinare agli assicurai supersii. Il rischio è presene nel periodo di erogazione della rendia, menre nel periodo di aivià dell assicurao il rischio è presene solo se si adoa il principio di equilibrio individuale auariale (per la difficolà nel finanziameno delle riserve relaive agli assicurai in via). In relazione ai soggei, il rischio è localizzao presso il gesore e può essere da ques ulimo rasferio (almeno parzialmene) ad un assicuraore. Per quano concerne il rischio finanziario (o, anche, rischio di invesimeno), originao dai possibili accadimeni riguardani il mercao nel quale vengono 19

20 effeuai gli invesimeni relaivi ai conribui ed alle riserve, l unico modello di finanziameno esene da ale rischio è il modello pay as you go. Il rischio è localizzao lungo l inera duraa di via dell assicurao e, nel periodo di aivià di ques ulimo, il rischio è presene anche se si adoa il principio di equilibrio individuale finanziario. In relazione ai soggei, il rischio è a carico: dell assicurao, nell ambio di uno schema a conribuo definio senza garanzia di minimo; del gesore, sia nell ambio di uno schema a conribuo definio con garanzia di minimo sia nell ambio di uno schema a presazione definia allorché le inegrazioni, evenualmene richiese in conseguenza di una diminuzione del asso di rendimeno, sono a carico del gesore. Per quano concerne il rischio di spese, causao dai possibili andameni delle varie caegorie di spese (spese di incasso conribui e spese generali di gesione) che gravano sulla gesione previdenziale, le problemaiche risulano noevolmene differenziae a seconda della modalià auaiva dello schema di previdenza complemenare. Infai, menre la considerazione delle spese e dei relaivi caricameni è esranea alla prassi dei fondi pensione auogesii, specifici caricameni per spese sono previsi nelle assicurazioni colleive (anche se l enià delle spese è inferiore a quella previsa, a parià di ogni alra condizione, nell ambio dell assicurazione privaa individuale). Per quano concerne il rischio di comporameno, deerminao dalle possibili scele operae dagli assicurai, ha noevole imporanza l opzione capiale che consene all assicurao di ricevere, all epoca n di ingresso in quiescenza, un imporo eguale al capiale di coperura della rendia o ad una pare del capiale (rimanendo la pare residua erogaa soo forma di rendia). Effei negaivi possono aversi, in paricolare, per la presenza di aniselezione ra gli assicurai che eserciano ale opzione. Il rischio in esame, raducendosi in una moralià inferiore a quella aesa per i perceori delle rendie e manifesandosi al momeno di ingresso in quiescenza dell assicurao che esercia ale opzione, è ovviamene a carico del gesore. Per quano concerne infine il rischio economico, prodoo dall evoluzione dello scenario economico nel quale si aua la dinamica dello schema di previdenza complemenare, ra gli alri si segnalano: il rischio legao all andameno delle reribuzioni; il rischio legao all andameno dell inflazione; il rischio legao all andameno della previdenza pubblica di base. 20

21 4. Fondi pensione Con riferimeno ai fondi pensione, come è evidene dalla classificazione delle modalià conrauali degli schemi di previdenza complemenare presenaa nel paragrafo 2.5, si disinguono: a) fondi pensione auogesii; b) fondi pensione assicurai. Nei primi, a differenza dei secondi, non si ha la parecipazione di almeno un inermediario finanziario (banca, ) nella gesione previdenziale. Per quano riguarda le relazioni inercorreni ra i conribui e le presazioni, si può sineicamene osservare che: i fondi pensione auogesii possono essere a conribuo definio o a presazione definia (in prevalenza, aggiuniva) ed i relaivi conribui (con evenuale parecipazione degli assicurai al finanziameno delle presazioni) possono essere deerminai in base ad un principio di equilibrio individuale o in base al principio di equilibrio colleivo (in ques ulimo caso è generalmene adoao, in paricolare, il sisema del premio medio generale); i fondi pensione assicurai possono essere anch essi a conribuo definio (generalmene con garanzia di minima presazione) o a presazione definia (in prevalenza, aggiuniva) ed i relaivi conribui sono deerminai in base ad un principio di equilibrio individuale (per lo più, finanziario). Con riferimeno ai fondi pensione assicurai, occorre inolre disinguere ra le segueni due ipologie: a) fondi chiusi: sono originai da conrai colleivi di lavoro e si riferiscono ai lavoraori che apparengono ad una daa colleivià (azienda, associazione professionale, ); b) fondi aperi: sono cosiuii unilaeralmene da un inermediario finanziario e ad essi un lavoraore può aderire individualmene, in modo del uo indipendene da uno specifico rapporo di lavoro, allo scopo di cosiuire per sé una pensione complemenare. Nell ambio dei fondi pensione assicurai si collocano anche le assicurazioni colleive, le quali prevedono che la gesione previdenziale sia compleamene affidaa ad un impresa di assicurazioni. Esse saranno più approfondiamene esaminae nel seguene paragrafo 5. 21

22 5. Assicurazioni colleive 5.1 Premesse Nell ambio delle varie forme di previdenza complemenare, un assicurazione colleiva rappresena senza alcun dubbio la modalià ecnicamene più vicina all assicurazione privaa individuale. Un assicurazione colleiva si differenzia uavia da un insieme di coperure assicuraive individuali in conseguenza dell unicià di conraenza (nel caso di previdenza definia a livello di azienda, ad esempio, conraene è l azienda ed assicurai sono i dipendeni dell azienda) e quesa caraerisica ha imporani effei anche in ermini di pricing della coperura assicuraiva. Per quano riguarda i rischi oggeo della coperura (e, quindi, le presazioni erogae), si disinguono le segueni forme di previdenza: a) assicurazioni colleive previdenziali, le quali prevedono l erogazione di presazioni in caso di via del ipo rendia vializia; b) assicurazioni colleive di puro rischio, le quali prevedono l erogazione di presazioni in caso di more (e, alvola, in caso di invalidià permanene) del ipo capiale. 5.2 Assicurazioni colleive previdenziali Lo srumeno ecnico uilizzao per la cosruzione di un assicurazione colleiva previdenziale è cosiuio da un insieme di assicurazioni individuali di rendia vializia differia. L equilibrio ra i conribui (premi) e le presazioni, nell ambio di uno schema previdenziale a presazione definia (in prevalenza, aggiuniva) o a conribuo definio, può essere di ipo individuale auariale o individuale finanziario. Con riferimeno all equilibrio individuale auariale, vengono radizionalmene prese in considerazione le segueni due possibili modalià di acquiso della rendia vializia: a) a premi annui cosani; b) a premi unici ricorreni. 22

23 Con riferimeno all equilibrio individuale finanziario, si procede all acquiso della rendia mediane la cosiuzione finanziaria del capiale di coperura della rendia. Indipendenemene dalla prescela modalià d acquiso della rendia, i principali aspei caraerisici di un assicurazione colleiva previdenziale sono di seguio sineicamene richiamai: a) è generalmene previso un meccanismo di rivaluazione delle presazioni, mediane rerocessione del sovraineresse; b) negli schemi conribuori è anche frequenemene previsa una clausola di conroassicurazione, generalmene limiaa alla pare di conribuzione posa a carico dell assicurao; c) è generalmene concessa agli assicurai la possibilià di eserciare diverse opzioni, in paricolare l opzione capiale (riguardane di norma una pare del capiale di coperura della rendia); d) l enià dei caricameni per spese è usualmene deerminaa in via forfearia ed è sensibilmene inferiore (in forza dell unicià di conraenza e della conseguene minore incidenza di alcune caegorie di spese) rispeo a quella che si oerrebbe dalla somma delle singole assicurazioni di rendia vializia. Nei segueni esempi 3, 4 e 5 si considerano, rispeivamene, le descrie re modalià di acquiso di una rendia vializia differia n anni, anicipaa, relaiva ad un assicurao, ad esempio di sesso maschile e di eà iniziale x. La raa annua della rendia, nell ambio di uno schema previdenziale a presazione definia, è posa eguale a R. Nelle espressioni che seguono è omesso, per brevià, l indice che denoa il sesso dell assicurao. Esempio 3 Nell ipoesi di pagameno di una sequenza di premi annui equi cosani per l inera duraa del differimeno (n anni), ciascuno di essi indicao con P, si oiene R n / ä x (9) P, ä /n x con ovvio significao dei simboli n / ä x e / n ä x. 23

24 Il monane auariale, all epoca n, dei premi versai è eguale a Rä x+n (vale a dire, il capiale di coperura della rendia). Infai, si ha P / nä x R n / ä x (10) P / n s x R ä x n, E E n x n x con ovvio significao dei simboli e. / n s x n E x In ale ipoesi la riserva maemaica pura, valuaa prospeivamene all epoca k (k=0,1, ) ed indicaa con V k, assume la seguene espressione: (11) V k R n-k/ ä x k R ä P x k / n k ä x k se se k n k n Esempio 4 Nell ipoesi di pagameno di una sequenza di premi unici equi ricorreni, indicai con U 1, U 2,, U n, vale la seguene relazione di equilibrio: n (12) U E R ä. h1 h h 1 x n / x Considerando una scomposizione della raa R in n assegnae rae R 1, R 2,, R n, una per ciascun anno di differimeno, e richiedendo che il generico premio U h finanzi la raa R h, si ha (13) Uh R h n h 1/ ä x h 1, h 1,2,...,n. In paricolare, si ha (14) U1 U2... Un R se è R h. n 24

25 La riserva maemaica pura, V k (k=0,1, ), assume la seguene espressione: (15) V k n-k/ ä x k R ä k h1 xk R h se se k n k n Lo schema a premi annui cosani (esempio 3) può essere convenienemene reinerpreao nell ambio dello schema a premi unici ricorreni. Infai, poso U h = P, è immediaa la deerminazione della pare di raa, R h, acquisaa mediane il pagameno di ciascun premio, vale a dire P (16) R h, h 1,2,...,n, ä nh1/ dove è R R... R. 1 2 n xh1 Esempio 5 Nell ipoesi di cosiuzione finanziaria del capiale di coperura della rendia mediane una sequenza di versameni annuali (anicipai) Q 1, Q 2,, Q n, è n (17) Q (1 i) R ä. h1 h nh1 xn Nel caso di versameni cosani, vale a dire Q h = Q (h=1,2,,n), si ha R ä xn (18) Q. s n Essendo s n / ns x, è immediao verificare come il versameno annuale Q sia, a parià di ipoesi finanziaria (asso annuo di ineresse i), maggiore del premio annuo P deerminao nell esempio 3. Tale risulao è una direa conseguenza del fao che, in caso di more dell assicurao durane il periodo di aivià, il principio di equilibrio individuale finanziario compora che il monane finanziario cosiuio al momeno della more venga accrediao agli evenuali supersii che ne abbiano dirio. 25

26 5.3 Assicurazioni colleive di puro rischio Lo srumeno ecnico uilizzao per la cosruzione di un assicurazione colleiva di puro rischio, nell ipoesi che non sia presa in considerazione l evenuale presazione relaiva all invalidià permanene, è cosiuio da un insieme di assicurazioni individuali caso more di duraa annuale, rinnovabili a scadenza. L equilibrio ra i conribui (premi) e le presazioni è di ipo individuale auariale e l acquiso delle coperure assicuraive avviene in base allo schema a premi naurali (quindi, non si ha alcuna formazione di riserva maemaica). Il riferimeno annuale va però considerao ai soli fini delle valuazioni auariali in quano il conrao, ad esempio sipulao dal daore di lavoro nel caso di previdenza definia a livello di azienda, è ipicamene pluriennale. Con riferimeno ad un assicurao, ad esempio di sesso maschile e di eà x, il premio annuo equo (per unià di capiale assicurao), indicao con P x, è quindi (19) P A, x /1 x con ovvio significao del simbolo / 1Ax, nell ipoesi che l evenuale pagameno del capiale avvenga subio dopo il decesso e nell uleriore (consuea) ipoesi di uniforme disribuzione dei decessi nell anno. Nella (19) e nelle espressioni che seguono è omesso, per brevià, l indice che denoa il sesso dell assicurao. In corrispondenza, il premio annuo di ariffa (per unià di capiale assicurao), indicao con, è dao dall espressione x (20) x P x P x (1 )Px (x), 1 x x (x) nell ipoesi (frequenemene accola) che: a) il caricameno esplicio di sicurezza sia eguale ad un aliquoa per unià di premio equo; b) il caricameno per spese di incasso premi sia eguale ad un aliquoa per unià di premio di ariffa; 26

27 c) il caricameno per spese generali di gesione sia eguale alla somma dei segueni due addendi: un aliquoa per unià di premio di ariffa; un aliquoa (x) per unià di capiale assicurao, generalmene crescene al crescere dell eà dell assicurao. Con riferimeno all insieme degli assicurai della daa colleivià, il premio annuo di ariffa colleivo, indicao con, è eguale alla somma dei premi, x, relaivi ai singoli assicurai e calcolai mediane la (20). Tuavia, le assicurazioni colleive di puro rischio prevedono radizionalmene riduzioni del premio di ariffa colleivo legae alla numerosià del gruppo degli assicurai e/o alla sinisrosià (moralià) osservaa. In paricolare, è accordao: a) uno scono di quanià, usualmene deerminao in funzione del numero N di assicurai ed applicao al premio annuo di ariffa colleivo ; b) un bonus di premio, usualmene concesso nel caso N non sia inferiore ad una prefissaa soglia e deerminao in funzione dell uile che l impresa di assicurazioni ha conseguio, in un deerminao orizzone emporale (di norma di ampiezza decrescene al crescere di N), per effeo di una moralià effeiva inferiore a quella aesa (si aua così una personalizzazione del premio in base all esperienza, ipicamene in vigore in alcune assicurazioni conro i danni). Soo il profilo operaivo, il bonus di premio può essere: corrisposo in derazione dei premi annui relaivi all anno successivo a quello nel quale esso maura; liquidao in conani al ermine dell assicurazione colleiva. Va segnalao infine che le assicurazioni colleive di puro rischio richiedono di norma una sufficiene omogeneià dei capiali assicurai. Infai, ali coperure sono generalmene sipulae senza alcuna visia medica e, perano, l evenuale assenza di vincoli sui capiali assicurai porebbe favorire un fenomeno di aniselezione dei rischi (vale a dire, una domanda di capiali assicurai più elevai da pare degli assicurai conraddisini da aggravameni di moralià). Al fine di ridurre ale fenomeno, caraerisico delle assicurazioni sulla duraa di via, le assicurazioni colleive di puro rischio prevedono di norma anche l adesione obbligaoria. 27

28 Bibliografia [1] Booh P., Chadburn R., Cooper D., Haberman S., James D., Modern acuarial heory and pracice, Chapman & Hall, London, [2] Bowers N., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbi C., Acuarial mahemaics, The Sociey of Acuaries, Schaumburg, Illinois, [3] Farrimond W., Mayer D., Acuarial cos mehods: a review, American Sociey of Pension Acuaries, New York, [4] Fedele U., Tecnica auariale delle assicurazioni sociali, Il Cigno Galileo Galilei, Roma, [5] Grasso F., Sulla misura della solidarieà in alcuni sisemi Bonus-Malus, Ai del VI Congresso Nazionale degli Auari, Milano, [6] Grasso F., Elemeni di ecnica auariale della previdenza complemenare, Diparimeno di Maemaica per le Decisioni, n.4, Firenze, [7] Lee E., An inroducion o pension schemes, The Insiue of Acuaries and The Faculy of Acuaries, London, [8] McGill D., Fundamenals of privae pensions, Universiy of Pennsylvania Press, Pennsylvania, [9] Piacco E., Maemaica e ecnica auariale delle assicurazioni sulla duraa di via, LINT, Triese, [10] Spreeuw J., Solidariy in group life insurance, Proceedings of he XXVII Inernaional ASTIN Colloquium, vol.1, Copenaghen, [11] Tomassei A., Lezioni di ecnica auariale delle assicurazioni sociali, Veschi, Roma, [12] Tomassei A. (a cura di), Tecnica auariale per colleivià, voll.1-2, Edizioni Kappa, Roma, [13] Tomassei A. (a cura di), Ricerche di ecnica auariale per colleivià, Universià di Caania, Facolà di Economia, Caania, [14] Wolhuis H., Life insurance mahemaics (he markovian model), CAIRE Educaion Series, n.2, Bruxelles,

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