Corso di Laurea in Ingegneria Energetica FISICA GENERALE T-A (9 Settembre 2011) Prof. Roberto Spighi

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1 Coro di Laurea in Ingegneria Energetica FIICA GENERALE -A (9 ettebre 0) Prof. Roberto pighi ) Uain Bolt, pritita ondiale, partecipa ad una gara di 00 etri. Partendo ovviaente da fero, decide di accelerare per i prii 0 con a = 6 / e poi di procedere con velocità cotante. eterinare: a) la i velocità raggiunta; b) il tepo finale realizzato. Alla gara partecipa anche Orete Petalozzi della ocietà Corri & pera che non avendo olta potenza decide di accelerare con a = / lungo tutto il percoro. onda: c) chi vince tra Bolt e Petalozzi? ) Un ite è copoto da corpi ripettivaente di a = kg ed = kg che poggiano u di un piano orizzontale e ono uniti da un corda inetenibile e priva di a (vedi figura). Il ite è tirato r da una forza F N che for un angolo = 60 ripetto F all orizzontale. Nell ipotei che il piano di appoggio ia licio, deterinare: a) l accelerazione del ite; b) la tenione della corda. Nell ipotei che il piano di appoggio ia cabro con coefficiente di attito dinaico 0. c) l accelerazione del ite; d) la tenione della corda. µ =, deterinare: 3) Un ite è copoto da una barra oogenea di lunghezza l =, a = kg e ezione travera tracurabile e da un dico di raggio R., a = kg anch eo oogeneo incollato nel uo punto centrale ad una etreità della barra. Il ite può ruotare enza attrito u un piano verticale O attorno ad un ae fio paante per 0. Inizialente il ite è tenuto fero in poizione orizzontale (vedi figura), poi è laciato libero. eterinare, ripetto al punto O: a) il vettore accelerazione angolare del ite quando la barra ha effettuato una rotazione = 60 o ; b) il vettore oento angolare del ite quando la barra ha effettuato una rotazione = 60 o ; c) il odulo del vettore velocità angolare quando il ite ha effettuato una rotazione di = 80 o. r d I oenti d inerzia di un dico di raggio r e di una barra lunga d ripetto ai loro c ono e r 3 4 4) ato il capo di forze F(,, z) = ( iˆ + ˆj ) deterinare: a) le dienioni fiiche della cotante ; b) e il capo è conervativo e nel cao calcolarne l energia potenziale in un punto P(,,z); c) il lavoro copiuto dalla forza quando pota il punto di applicazione da R(0,0,0) a (,,). 5) Una a è appea ad una filo inetenibile, di lunghezza l = e di a tracurabile. La a decrive un oto circolare unifore con velocità angolare ω = π rad / (vedi figura). eterinare: a) le forze fittizie che agicono ulla a ; b) l angolo che il filo for con la direzione verticale. ω v 6) Ricavare i vettori poizione, velocità ed accelerazione in coordinate intrineche.

2 oluzioni copito: Eercizio : a-b) I prii 0 della gara di Bolt ono un oto rettilineo uniforeente accelerato. Prendendo coe direzione l ae, criviao le epreioni per l accelerazione e la velocità (oettiao i iboli di vettore): dv a= dt da cui apendo che l accelerazione è cotante e che Bolt parte da fero, i ottiene: d v = dt v= at dove è lo pazio percoro e t è il tepo ipegato per percorrere lo pazio uddetto. = at Quete ono equazioni in incognite ( t e v ) che riolte danno: 0 i t = = =.83 a 6 v= a = a= 0.95 / a dove t e v ono ripettivaente il tepo neceario per percorrere lo pazio e la velocità raggiunta dopo lo teo pazio. Per calcolare il tepo che Bolt ipiega a percorrere i retanti 90 bata uare l equazione per il oto rettilineo unifore: 90 v = t 8. t = v.95 = che aggiunto al tepo ipiegato per i prii 0 dà: ttot= = 0.05 La velocità i raggiunta è quella già calcolata v.96 / che è tata raggiunta dopo 0 e ntenuta fino al traguardo. c) Il oto di Orete Petalozzi è un oto uniforeente accelerato per tutti i 00 dunque utilizzando le tee equazioni di pri: v= at che riolte nelle incognite t e v danno: = at v = a = a.0 / a 00 t= =.0 a unque per pochi centeii vince il grande Petalozzi (in realtà un uoo non può fiicaente raggiungere la velocità v / che corriponde a v= 7 k/ h ).

3 Eercizio a e b) r r Per riolvere il proble è neceario crivere la F = per entrabi i corpi del ite (la corda non deve eere coniderata in quanto ha a nulla). cegliao coe ae la direzione orizzontale nel vero del oto e coe quella verticale vero l alto. Corpo Fco = R+ Fen dove R, e a ono ripettivaente la reazione vincolare ul corpo di a, la tenione della corda e l accelerazione del corpo di a (che coincide con l accelerazione del ite in quanto la fune è inetenibile). R g F Corpo = R dove R, e a ono ripettivaente la reazione vincolare ul corpo di a, la tenione della corda e l accelerazione del corpo di a. a notare, coe già epreo, che ed a ono gli tei per entrabi i corpi.. In g queto cao, in cui l attrito non è preente, per ottenere l accelerazione del ite e la tenione del filo è ufficiente utilizzare le epreioni della F= lungo l ae per i corpi: R Fco = = quete ono equazioni in incognite ( ed a ) che riolte danno: Fco 5 a= = =.67 / = = = + 3 Fco 3.34N c) d) Il proble deve eere ipotato coe nel cao precedente, tenendo però conto anche della forza di attrito: Corpo Fco Fa = R+ Fen R F dove F a e R ono ripettivaente la forza di attrito e la reazione vincolare ul corpo di a. Eplicitiao la forza di attrito: F a g Fco µ R = R= Fen µ ( ) Fco Fen = R= Fen R F a g

4 Corpo Fa= R dove F a e R ono ripettivaente la forza di attrito e la reazione vincolare ul corpo di a. Eplicitiao la forza di attrito: µ R= R= µ = R= a ottolineare che, in preenza di attrito, per ottenere l accelerazione e la tenione della corda è neceario coniderare anche l epreione della F= lungo l ae (non era tato coì nel cao precedente). A queto punto, avendo già uato le inforzioni lungo l ae, conideriao la F= olo lungo l ae per entrabi i corpi: µ ( ) Fco Fen = µ = quete ono equazioni in incognite ( ed a ) che riolte danno: ( co µ in ) µ ( ) F + + g a=.8 / + = F( co + µ in) = 4.49N + Oervazione: e la forza che tira il ite foe tata orizzontale ( ), le oluzione al cao enza e con attrito arebbero tate: enza attrito F a= + = + F con attrito µ ( ) F + a= + + = F + g ove i evince che la tenione della corda è la tea in entrabi i cai, entre l accelerazione è ovviaente diinuita. Eercizio 3 Per la oluzione di tutti i queiti è neceario calcolare il oento d inerzia del ite I ripetto all ae di rotazione paante per O: queto è dato dalla o del oento di inerzia della barra I oto a quello del dicoi : I = I + I dove I l l l = + = 3 ottenuto uando il teore di Hugen-teiner

5 R = + l ottenuto uando il teore di Hugen-teiner I ondoi due terini i ottiene: l R 0. I l kg 3 3 = + + = + + =.35 a) L accelerazione angolare è deterinabile dalla econda equazione cardinale della eccanica: M= I.ul ite agicono 3 forze: le forza peo della barra applicata nel uo centro di a (punto di ezzo), la forza peo del dico anch ea applicata nel uo centro di a e la reazione del vincolo applicata in O (vedi figura). ovendo calcolare il oento della forza M ripetto al punto O, intervengono olo le forze peo e non la reazione vincolare (che è applicata in O), coe otrato in figura. Calcoliao il oento della forza dei vari corpi del ite ripetto al punto O e cegliendo coe ai,, z quelli in figura con l ae z ucente dal foglio.: O =60 β β l barra ˆ l π ˆ l M co ˆ = r F= en βk= en + k= k ico ˆ π M ˆ co ˆ = r F= lenβk= len + k= l k La riultante del oento della forze è: l co ˆ co ˆ M co ˆ 7.35ˆ = M+ M= k l k= l + g k= kn unque l co ˆ + g k M 7.35ˆ k = = = = 5.44 krad ˆ / I l R l 3. b) Il vettore oento angolare K di un corpo rigido (quale è il notro ite) lo i ottiene da: K= Iω dunque è neceario ricavare la velocità angolare ω quando il ite ha ruotato di = 60 O Le forze che agicono ul ite ono o forze che non copiono lavoro (la =60 h forza del vincolo in O) o forze conervative (le forze peo) e dunque hd poiao applicare la conervazione dell energia eccanica prendendo coe itante iniziale quello in cui la barra è in poizione orizzontale e quello finale quando ha ruotato di = 60. cegliendo lo teo ite di riferiento otrato nella precedente figura, otteniao E E ini= fin ini Vini fin Vfin + = + In particolare: E ini eendo nulla ia l energia cinetica poiché il ite è fero, ia l energia potenziale perchè il ite giace ull ae del notro ite di riferiento.

6 Al contrario quando il ite è ruotato di = 60 poiede ia energia cinetica che potenziale l π π Efin= Iω h hd= Iω co lco l Efin= Iω in lin unque E = E fin ini 3 + gl in + g ω= = = 4.34 rad/ I.35 c) La velocità angolare ω dopo una rotazione di = 80 (vedi figura) può eere ottenuta eattaente coe nel cao precedente attravero la conervazione dell energia; prendiao coe itante iniziale quello in cui il O ite non ha ancora iniziato a ruotare e coe itante finale quello dopo una rotazione di =80 ; E E ini= fin ini Vini fin Vfin + = + In particolare: E ini (vedi ripota b) eendo nulla ia l energia cinetica poiché il ite è fero, ia l energia potenziale perchè il ite giace ull ae del notro ite di riferiento. E Iω riferiento. unque fin= eendo nulla l energia potenziale perchè il ite giace ull ae del notro ite di Iω ω= 0 Il ite, dopo aver copiuto una rotazione di = 80 è fero. Eercizio 4 La cotante ha dienioni fiiche fondaentali [ML -4 - ] e unità di iura N/ 5 oppure Kg/ 4. Il rotore del capo è nullo, dunque il capo è conervativo. Calcolando il lavoro u un caino rettilineo a 4 tratti tra l origine O(0,0,0) ed un punto generico P(,,z) i ottiene l energia potenziale V=. Il lavoro tra i punti R(0,0,0) e (,,) i ottiene dalla relazione: L = V( R) V( ) = 64 R

7 Eercizio 5 a) Vediao tutte le forze (reali e fittizie) che agicono ulla notra a. z Forze reali. Per deterinare le forze reali che agicono ulla a (denotate dal colore blu in figura), prendiao un ite di riferiento fio (dunque inerziale e anch eo in blu) con gli ai, e z fii e diretti coe in figura. Ripetto a le uniche forze agenti ulla a ono la forza peo tenione del filo dirette coe in figura, dunque: F p e la ω O l v F p F = F + = + reali p z Forze fittizie. Per deterinare le forze fittizie (denotate dal colore roo in figura) che agicono ulla a prendiao un ite di riferiento rotante (dunque non inerziale e anch eo in roo) con l ae z diretta lungo la verticale e l ae che egue la a (vedi figura). Ripetto al ite di riferiento, la riultante delle forze F è data da: i F = F + F = F ω v ω ( ω r ) ω r reali fittizie reali oo ω O v F p l F c dove F reali ono le forze reali ripetto al ite valutate precedenteente. ei 4 terini delle forze fittizie olo quello centrifugo è divero da zero, in quanto: ω v (forza di Corioli) nullo poiché v è nullo nel ite di riferiento ; ω ω r = R ( ) ω (forza centrifugaf c ) con R ditanza tra a e origine O ' R= lin ω r i nullo in quanto ω è cotante 0 oo = nullo in quanto le origini dei due itei di riferiento ed coincidono. Pertanto ω ˆ ω in ˆ' Ffittizie= Rj' = l j b)

8 Nel ite di riferiento, le forze che agicono ulla a devono avere riultante nulla poiché in queto ite di riferiento la a è fer, dunque F = F + F = + + ω lin ˆj ' reali fittizie coponiao le forze lungo gli ai e z (non c è coponente lungo ) Ffittizia in= 0 co = 0 lin in 0 ω = co= ωl = 0 co= = ω l g co= = = ω ω l l g unque = aco che in condizioni ideali non dipende dalla a dell oggetto olo dalla ω l velocità angolare ω e dalla lunghezza del filo l. Inerendo i nueri del teto i ottiene: 9.8 = aco = 75.6 ( π)