7. Sistemi articolati.

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1 7. Sistemi aticolati. In questo capitolo sono fonite alcune infomazioni di base sui meccanismi aticolati piani. Si affonteanno essenzialmente poblematiche elative alla analisi di posizione. Vediamo alcuni semplici esempi di meccanismo. Quadilateo aticolato: meccanismo composto di membi collegati da coppie otoidali. Esempi applicativi PINZA CON MECCANISMO ARTICOLATO PER AUMENTARE L EFFETTO LEVA (GUADAGNO MECCANICO) Sospensione automobilistica Applicazione del quadilateo aticolato. Meccanismo a membi (fou ba linkage) CERNIERE (COPPIE ROTOIDALI) MEMBRI (ELEMENTI DEL MECCANISMO) SOSPENSIONI MONOAMMORTIZZATORE PROGRESSIVE Meccanismi a più membi con coppie otoidali Meccanismi con camme: coppie supeioi 5

2 Manovellismo di spinta Gli esempi di meccanismo appena visti possono essee appesentati mediante degli schemi che appesentano gli aspetti cinematici del sistema, cioè le leggi di moto dei vai membi. Iniziamo a discutee i meccanismi aticolati patendo da semplici esempi. Paallelogammo. Tasla senza uotae Il meccanismo è composto di membi collegati mediante coppie otoidali; essi hanno stessa lunghezza (intesa come 3 distanza ta le coppie di un elemento) a coppie di membi non collegati diettamente (vedee figua). Se fissiamo un membo (telaio) il moto dei membi adiacenti saà una otazione, mente quello del membo opposto saà una taslazione pua. O 1 1 O Questo meccanismo aticolato tova molte applicazioni ta cui possiamo citae: tecnigafi e pantogafi. Una vaiante di questo meccanismo è l antipaallelogammo: esso è composto dagli stessi membi e stesse coppie del paallelogammo, ma è in una seconda configuazione. Il membo opposto al telaio non tasla, ma compie un moto di ototaslazione ispetto ala telaio stesso. ototaslazione Il passaggio dal paallelogammo si ha quando quest ultimo si tova in una paticolae configuazione: tutte le coppie otoidali sono sulla stessa etta; questo è detto punto moto ed qui il paallelogammo può tasfomasi in antipaallelogammo. O 1 3 O 1 55

3 7.1 Quadilateo aticolato. Si tatta di un meccanismo piano composto da membi e coppie otoidali. In figua è ipotato un esempio in cui: uno dei membi è fissato (telaio); un membo può compiee una otazione completa (manovella); un membo può compiee una otazione non completa, altena, (bilanciee, un membo compie un moto di ototaslazione (bilanciee). Il meccanismo ha un solo gado di libetà se si fissa un membo (telaio). Si possono peò pesentae alte situazioni, come quelle appesentate in figua. In un caso abbiamo manovelle ed una biella, due membi possono peciò compiee una otazione pua completa. In un alto caso nessun membo può compiee una otazione pua completa ed abbiamo bilanciei ed una biella. La diffeenza di compotamento dipende da come sono dimensionati i membi, in paticolae dalla loo lunghezza. Definizioni. o Manovella: membo adiacente al telaio che può compiee un moto otatoio continuo. o Bilanciee: membo adiacente al telaio che può compiee solo un moto otatoio alteno (sono impossibili otazioni pai a π). o Biella: membo non adiacente al telaio che in geneale compie un moto di ototaslazione. Distinguiamo vai casi: o Bilanciee-manovella. o Doppio bilanciee. o Doppia manovella. I vai casi si possono distinguee dalla confomazione dei vai membi, in paticolae dalla lunghezza di essi, dove pe lunghezza intendiamo la distanza ta le due ceniee appatenenti ad un membo. Citetio di Gashof. La somma della lunghezza del membo maggioe e del minoe di un quadilateo aticolato piano non può essee maggioe della somma delle lunghezze degli alti due membi, se si vuole pemettee un moto otatoio continuo ta due membi qualsiasi del meccanismo. Si noti che il citeio di dall esistenza di un telaio. Gashof è scitto in temini di moti elativi, si pescinde peciò Si può tadue il citeio di Gashof in fomule; definiamo le seguenti lunghezze: 1) l = lunghezza del membo maggioe 56

4 ) s = lunghezza del membo minoe 3) p, q = lunghezze dei membi imanenti. 1) l + s < p + q : meccanismo di Gashof, possibilità; a) Manovella-bilanciee: il membo più coto è la manovella, il telaio è uno dei membi adiacenti. b) Doppia manovella: il membo più coto è telaio. c) Bilanciee manovella: il membo più coto è cedente (analogo al caso a)). d) Doppio bilanciee: il membo opposto al più coto è telaio. ) l + s > p + q : meccanismi non - Gashof; a) si hanno te bilanciei, definiti dalla scelta del telaio, non è possibile il moto otatoio continuo. 3) l + s = p + q : possibilità di invesione del moto; ) l = q, s = p : caso paticolae del punto 3), a) paallelogammo o deltoide (due membi coti adiacenti); In seguito si appesentano i casi menzionati: 57

5 Dobbiamo intodue i seguenti concetti: o Invesione o Punti moti o Cicuiti Che desciviamo in seguito mediante degli esempi. 6. Invesione cinematica. È il pocesso in cui si fissano divesi membi di una catena cinematica pe ceae divesi meccanismi. Il meccanismo esta lo stesso, ma fissando il telaio in modo diveso si ottengono divesi tipi di moto. Un esempio è il quadilateo appesentato nella figua in basso e fa ifeimento al seguente caso: l+s<p+q. 58

6 Un alto caso è quello appesentato in figua, la catena è composta di membi collegati con due coppie otoidali ed una pismatica. A seconda di come si fissa il telaio si hanno divesi meccanismi: manovellismo di spinta, glifo oscillante ed alto. 7.3 Invesione geometica e punti moti. Nell invesione geometica di un quadilateo aticolato si ha che il meccanismo passa pe una posizione in cui te ceniee sono allineate. Da questo punto il meccanismo può avee due divese configuazioni a paità di posizione del movente. 59

7 7. Cicuiti. In tutti i quadilatei di Gashof sono sempe possibili due tipi di movimento ottenibili staccando fisicamente biella e manovella (o alti due membi) e icollegandole in una nuova configuazione o Meccanismi non-gashof hanno un solo cicuito avente invesione geometica 60

8 7.5 Analisi di posizione. Un poblema impotante da affontae nello studio dei meccanismi è l analisi di posizione. Consideiamo un meccanismo ad un gado di libetà: data la posizione del cedente si vuole deteminae la posizione di tutti gli alti membi. Stoicamente si eseguiva una analisi gafica, di cui un esempio è ipotato in figua: sono note le taiettoie cicolai dei punti A e B, si disegna la biella su un foglio taspaente che si sovappone al disegno oiginale, a questo punto, facendo coincidee i punti A e B della biella, con due punti qualsiasi delle taiettoie cicolai tacciate, si deteminano le posizioni della biella stessa e di tutti i suoi punti. L analisi gafica, nella sua semplicità è piuttosto laboiosa, è peò molto dietta e intuitiva. Analisi esatta. o Si imposta l analisi in modo igooso e si ottiene una soluzione in foma chiusa in temini di funzioni elementai. o Il tipo di soluzione non è geneale, pe ogni meccanismo seve uno studio dedicato. o La soluzione si ottiene soltanto pe alcuni meccanismi. o Non è automatizzabile. Analisi di posizione mediante loop closue equations : appoccio numeico. Questo tipo di analisi consiste in una pate iniziale analitica che può fonie anche una soluzione esatta in casi semplici; nella seconda pate si mosta come l appoccio è genealizzabile, mediante soluzione numeica, a qualunque tipo di meccanismo. o Metodo numeico appossimato o Impostazione geneale o Pocedimento facilmente automatizzabile 61

9 Consideiamo il quadilateo aticolato appesentato in figua. Il membo 1 è telaio e il è movente. Nell analisi di posizione le incognite sono gli angoli di otazione dei membi 3 e, le lunghezze dei membi sono note. Rappesentiamo i membi con vettoi passanti pe le due ceniee di ogni membo. I vettoi fomano un ciclo chiuso (closed loop) che possiamo scivee: 1 + = sciviamole pe componenti: 1 + cos cos 3 cos 3 = 0 7.a sin sin 3 sin 3 = 0 7.b Le 7. si possono isolvee esattamente, data la semplicità del meccanismo. Ricaviamo cos 3, sin 3 dalle 7., ne calcoliamo il quadato e sommiamo: 1 1 = 3 1 da cui: ( sin + cos sin cos cos ) sin sin cos + cos + 1 cos 7.3 ( sin ) sin ( cos 1 ) cos = cos + 7. che fomalmente si può scivee come: A sin + B cos = C 7.5 la cui soluzione è: accos BC ± A A + B =± C A + B 7.6 Come si vede si hanno in geneale soluzioni, in geneale complesse; ovviamente saemo inteessati solamente alle soluzioni eali. Dalla 7.6, tamite una delle 7., si icava l ultima incognita. Ma non basta, anche in caso di soluzioni eali, le opeazioni compiute pe aivae alla 7.6 possono potae a soluzioni spuie. Pe eliminale si può pocedee come segue: si icava 3 dalla 7.a (attenzione: cos( 3 )= cos(- 3 ); si hanno due soluzioni pe 3 ) e si contolla che la 7.b sia veificata. Si può anche usae la 7.b estaendo 3 (attenzione: sin( 3 )= sin(π- 3 ); si hanno due soluzioni pe 3 ) e si veifica la 7.a. Vediamo che anche la soluzione di questo semplicissimo caso si pesenta piuttosto laboiosa. E ovvio che pe meccanismi più complessi tale appoccio è impoponibile. 6

10 Soluzione numeica. E possibile pensae ad una soluzione appossimata delle equazioni di chiusua. Sciviamo le 7. in foma vettoiale: f1( ) f ( ) = = f( ) dove =[ 3, ] T. Dal confonto ta la 7.7 e le 7. si individuano facilmente le funzioni f 1, f. Chiamiamo la soluzione della 7.7. Cechiamo una soluzione appossimata mediante il metodo di Newton. Selezioniamo abitaiamente un vettoe ˆ ; tale vettoe saà detto dato iniziale. Indichiamo con la diffeenza ta e ˆ : = ˆ sciviamo oa l equazione di chiusua: ( ) = f ( + ) 0 f ˆ = 7.9 Lineaizziamo la 7.9 sviluppando f in seie di Taylo: () ( ) = f ( ˆ ) + ( f ) ˆ + L 0 f ˆ D = = dove f è la matice Jacobiana di f: D f1, f 3 1, D () f = f, f 3, 7.11 la matice Jacobiana, calcolata pe = ˆ è inominata A, pe semplicità di notazione, essa a questo punto è una matice numeica. A = D f 7.1 () = ˆ Dalla 7.10 possiamo scivee: f ( ˆ ) + A( ˆ ) = ε 7.13 La lineaizzazione della f non fonisce ovviamente la soluzione, ma possiamo impostae un pocedimento iteativo iniziando con il calcolo in pima appossimazione della soluzione che si ottiene imponendo ε = 0: = ˆ A ( ˆ ) 1 pima appossimazione f 7.1 Il pocedimento si può genealizzae impostando un calcolo iteativo: ( ˆ ), 1,... ˆ 1 n+ 1 = n n f n n = A 7.15 Il calcolo inizia con un dato iniziale abitaio n = ˆ, la scelta di questo dato è citica pe ciò che concene la convegenza a soluzione del pocedimento. Se si è sufficientemente vicini alla soluzione, nel dominio di convegenza, alloa si convege veso la soluzione; in caso contaio si può divegee con andamenti oscillanti, casuali non stazionai o cescenti. 63

11 Si possono utilizzae divesi citei di convegenza pe deteminae quando bloccae il pocesso iteativo: f ( n ) ε 7.16 δ n+ 1 n dove ε e δ sono delle costanti oppotune. Nel poblema analizzato la matice Jacobiana è: 3 sin3 sin D () f = 3 cos3 cos 7.17 Esempio numeico. 1 =7m, = 3m, 3 = 8m, =6m, = 60 valoi iniziali: ˆ =[0,100 ]. Andamento della soluzione 3 f 1 f Dalla soluzione esatta 7.6 otteniamo: = ± ; = ± ; di cui sono accettabili = ; = Esecizi. Tovae numeicamente le soluzioni mancanti dell esecizio pecedente. Tovae le due possibili configuazioni di un paallelogammo, avente uno dei membi più lunghi come telaio ed uno di quelli più coti come movente. Tovae le due possibili configuazioni di un meccanismo non Gashof. Analizzae il meccanismo in figua utilizzando le dimensioni del disegno