Nome Cognome. Classe 3D 25 Febbraio Verifica di matematica

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1 Nome Cognome. Classe D Febbraio Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza b) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse con i fuochi sull asse c) Disegna l ellisse che si ottiene per k e, scritta l equazione della tangente t nel suo punto P del primo quadrante di ordinata, trova quali rette parallele a t staccano sull ellisse una corda lunga ) Scrivi l equazione dell ellisse riferita agli assi che ha un vertice in B(;-) ed è tangente alla retta r nel punto T. Determina poi sull arco di ellisse che si trova nel terzo quadrante un punto P in modo che l area del triangolo BPT sia uguale a. ) Risolvi graficamente le seguenti disequazioni: a) ) Traccia il grafico delle seguenti funzioni e rispondi alle richieste a) b) c) b) 8 è una funzione iniettiva? 9 ( ) Scegliendo opportuni dominio e codominio, è una funzione invertibile? In caso affermativo traccia il grafico dell inversa. 8 6 Deduci il grafico di 8 6 e 8 6 ) Considera l ellisse di vertici A (;), A (; ) ; B(; ) e B (;) Determina: a) Centro e assi di simmetria b) Coordinate dei fuochi ed eccentricità c) Equazione 6) Scrivi l equazione della funzione rappresentata a fianco. 6 7

2 Verifica di matematica ) Data l equazione: k 6 a) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse, precisando per quali valori è una circonferenza Perché l equazione rappresenti un ellisse i coefficienti dei termini di secondo grado devono essere concordi, quindi: k 6 > k > 6, perché sia una circonferenza devono essere uguali k 6 k 8 6<k<8 k>8 k8 b) Scrivi per quali valori di k rappresenta un ellisse con i fuochi sull asse I fuochi sono sull asse delle se a>b k 6 > k > 8 c) Disegna l ellisse che si ottiene per k e, scritta l equazione della tangente t nel suo punto P del primo quadrante di ordinata, trova quali rette parallele a t staccano sull ellisse una corda lunga k a b 8 I punti di ordinata sull ellisse hanno ascissa che si determina risolvendo l equazione: ±, poiché P è un punto del quadrante P (;). 8 La retta tangente ad una ellisse in un suo punto si può determinare con la formula di sdoppiamento: t : b a 8 C' t P C D' D

3 Le rette parallele a t hanno equazione: k k, alcune, intersecano l ellisse in due punti C, D le cui coordinate sono date dalla soluzione del sistema: k k 8 k k La seconda equazione ammette soluzioni se k k e valgono k ± k C, D e di conseguenza C, D k m k La lunghezza della corda CD è funzione di k e vale: CD ( ) ( ) ( k ) C D C D imponendo che CD ( k ) k k ± accettabili. Le rette sono quindi ± ) Scrivi l equazione dell ellisse riferita agli assi che ha un vertice in B(;-) ed è tangente alla retta r nel punto T. Determina poi sull arco di ellisse che si trova nel terzo quadrante un punto P in modo che l area del triangolo BPT sia uguale a. L equazione dell ellisse riferita agli assi è dato il vertice B, b b a Il valore di a si determina imponendo la condizione di tangenza cioè: a a a ( 6a ) 7 6 6a a non acc. a acc. L ellisse ha quindi equazione: il punto T è dunque il punto di intersezione tra ellisse e retta tangente, cioè la soluzione del sistema T : T P B

4 Per determinare il punto P che individua un triangolo di area, fissiamo come incognite le coordinate (,) di P, la base del triangolo è BT L altezza del triangolo BPT è la distanza tra P e la retta per BT, La retta passante per B e T ha equazione: quindi 9 h Le condizioni su, di P sono dunque: 9 9 ) ( figura in verdi rette 6 < imp : P Trattandosi di un punto nel terzo quadrante P ; ) Risolvi graficamente le seguenti disequazioni: a) Si tratta di confrontare i grafici delle funzioni: (;) 6 ) ( 6 b a C quadrato del completamento

5 α La retta si trova sotto alla semiellisse per α b) 8 Si devono confrontare i grafici di 8 semi parabola traslata a sinistra di 8 8 ( ) C(;) a b 8 α La semi ellisse è sempre sotto alla semi parabola, dove sono confrontabili, cioè

6 ) Traccia il grafico delle seguenti funzioni e rispondi alle richieste 6 a) è una funzione iniettiva? completamento del quadrato ( ) C(;) a b b) La funzione con dominio naturale [ ; ] corrispondono controimmagini. 9 ( ) Scegliendo opportuni dominio e codominio, è una funzione invertibile? In caso affermativo traccia il grafico dell inversa. Discutendo il valore assoluto si ha: 9 ( ) > 9 ( ) < Entrambe le curve scritte sopra sono parti dell ellisse di equazione: ( ) C(;) a b, in 9 9 particolare se >, se < D non è iniettiva poiché esistono valori di ai quali La funzione f: ; ; ( ; ) non è invertibile perché ha due controimmagini, affinché sia invertibile si può definire:

7 7 f: ( ) ; ; ; e il grafico dell inversa si ottiene scambiando facendo il simmetrico rispetto alla bisettrice del - quadrante (grafico in blu). c) 6 8 ) ; ( 6 ) ( b a C quadrato nto del completame....

8 8 Deduci il grafico di 8 6 (è sufficiente ribaltare la parti negative, cioè dei punti con ordinata negativa si devono considerare i simmetrici rispetto all asse delle ascisse) (è sufficiente considerare tutti i punti con ascissa positiva o nulla più i corrispondenti simmetrici rispetto all asse delle ordinate)... ) Considera l ellisse di vertici A (;), A (; ) ; B(; ) e B (;) Determina: a) Centro e assi di simmetria Il centro di simmetria è il punto medio di A A C(; ) Gli assi di simmetria sono la retta passante per A A che ha equazione - e quella passante per B B che ha equazione - b) Coordinate dei fuochi ed eccentricità La lunghezza del semiasse maggiore è A A La lunghezza del semiasse minore è B B Quindi la semidistanza focale è c a b 6 c L eccentricità è e a Le coordinate dei fuochi si ottengono intersecando l equazione dell asse maggiore con la circonferenza che ha centro nel centro di simmetria e raggio uguale alla semidistanza focale: F ( ; ) F ( ; ) ( ) ( ) 6

9 c) Equazione Ricordando che l ellisse è il luogo dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti detti fuochi PF PF a, l equazione è: ( ) ( ) 9 6) Scrivi l equazione della funzione rappresentata a fianco. La funzione è definita a tratti, per è la semiellisse di centro (;) con a b ( ) 6 7

10 ±, dovendo prendere la parte sotto l asse di simmetria orizzontale: Per > è la semi parabola con asse orizzontale che si ottiene traslando a destra di e in alto di la funzione, quindi:. >

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si

determinare le coordinate di P ricordando la relazione che permette di calcolare le coordinate del punto medio di un segmento si PROBLEMA Determinare il punto simmetrico di P( ;) rispetto alla retta x y =0 Soluzione Il simmetrico di P rispetto ad una retta r è il punto P che appartiene alla retta passante per P, perpendicolare ad

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