Elementi di meccanica dei fluidi

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1 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

2 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3. Introduzione In molti imianti il collegamento fra i vari comonenti è costituito da una tubazione in grado di contenere un fluido. Lo scoo del fluido uò essere quello del trasorto di una qualsiasi delle grandezze di stato che lo caratterizzano; la finalità dell imianto uò quindi essere quella del trasorto di una massa (collegata quindi alla densità) come ad esemio nell imianto combustibile o nell imianto di ventilazione, del trasorto di una forza (collegata quindi alla ressione) come ad esemio nell imianto oleodinamico, del trasorto di calore (collegato quindi alla temeratura) come ad esemio nell imianto di condizionamento. Le leggi che reggono il funzionamento dell imianto sono le stesse indiendentemente dalle sue finalità; otranno al massimo assumere maggiore o minore imortanza, e quindi essere in ratica trascurabili, alcuni termini. Verranno in seguito richiamate le rinciali caratteristiche fisiche e le leggi fondamentali er il calcolo del flusso interno utili er il rogetto e la verifica degli imianti a fluido con articolare riferimento a fluidi allo stato liquido. 3. Caratteristiche rinciali dei fluidi I fluidi in genere sono caratterizzati da un certo numero di rorietà fisiche di cui qui si elencano le iù rilevanti, con articolare riguardo er i liquidi, indicando le unità di misura utilizzate secondo il sistema metrico internazionale ed nella ratica. 3.. Densità La densità (o massa volumica) è la massa dell'unità di volume di una determinata sostanza, diende dalla ressione e dalla temeratura, ha dimensioni [ML -3 ] e viene esressa con le seguenti unità di misura: sistema metrico internazionale kg/m 3 sistema tecnico kgfs /m 4 sistema anglosassone lbfs /ft 4 Nel caso dei gas la diendenza della densità da temeratura e ressione è esressa dalla equazione di stato valida er i cami di temeratura e ressione utilizzati negli RT imianti; er i liquidi non è ossibile stabilire una legge così semlice, ma si ricorre ad arossimazioni lineari come trattato nel aragrafo ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

3 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.. Peso secifico Il eso secifico è il eso dell'unità di volume. Ha dimensioni [FL -3 ] o, iù roriamente, [ML - T - ]. E' legato alla densità dalla relazione = g, dove g è l'accelerazione di gravità. nche esso è quindi diendente da ressione e temeratura; vi è inoltre una diendenza dall accelerazione di gravità, asetto non trascurabile nelle alicazioni saziali. Il eso secifico è esresso con le seguenti unità di misura: sistema metrico internazionale N/m 3 sistema tecnico kgf/m 3 sistema anglosassone lbf/ft Pressione La ressione è data dal raorto fra una forza e l'area su cui questa agisce. Dimensionalmente è quindi [FL - ], le unità di misura utilizzate sono varie: sistema metrico internazionale Pa=N/m sistema tecnico kgf/cm sistema tecnico anglosassone si = lbf/in Il Pascal è una ressione iccola er cui vengono iù usati il kpa o il MPa. Sono ancora molto in uso vecchie unità, comrese quelle che misurano la ressione come altezza equivalente di una colonna di acqua o mercurio: atm 035 Pa at 9806 Pa kg/cm bar Pa atm kg/m 9.8 Pa si 6890 Pa mmhg 33.3 Pa mho Pa atm, at, bar, 760 mmhg, 0 mho corrisondono all incirca alla ressione atmosferica alla quota zero in condizioni standard. Ricordiamo che quando si arla di misura di ressione molte volte si trascura di recisare se si tratta di una misura di ressione assoluta o relativa; in moltissimi casi questo è chiaro dal contesto o è inessenziale; occorre comunque ricordare che la misura uò essere eseguita in entrambi i modi e sesso gli strumenti misurano la ressione relativa risetto a quella atmosferica nel luogo di misura. Se la misura è utilizzata er valutare differenze di ressioni fra due unti diversi o le sollecitazioni indotte dalla ressione, l una o l altra misura ortano agli stessi risultati, dato che conta solo la differenza fra le due ressioni; esistono erò fenomeni legati alla ressione assoluta: uno di questi è il fatto che la ressione assoluta non uò diventare negativa. In tale caso si avrebbe, infatti, il assaggio da uno stato di comressione ad uno di trazione, stato di sforzo al quale i fluidi non ossono resistere; in ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.3

4 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi articolare er i liquidi esiste un valore di ressione minimo al disotto del quale il fluido assa allo stato gassoso. Il valore di ressione al quale questo fenomeno avviene è la tensione di vaore ed è in genere fortemente influenzato dalla temeratura Viscosità La viscosità è la caacità di un fluido a resistere a forze tangenziali. Per far scorrere l uno risetto all altro due iani aralleli searati da un fluido, è necessaria una forza F roorzionale alla suerficie di contatto, alla velocità relativa v ed inversamente roorzionale alla distanza h delle due suerfici: v F h il coefficiente di roorzionalità è la viscosità: Fh v Le dimensioni della viscosità sono quindi [FL - T]. Le unità di misura utilizzate er la viscosità sono le seguenti: sistema metrico internazionale Ns/m o Pas sistema tecnico kgfs/m sistema anglosassone lbfs/m ma in ratica vengono semre usati il oise P o il centioise cp, essendo: P = dyne s/cm = 0. Pas. E sesso usata anche la 000 viscosità cinematica, data dal raorto fra la viscosità e la densità: ed avente le dimensioni di 00 lunghezza er velocità [L T - ], è usualmente misurata in Stokes: VISCOSIT' CINEMTIC [cst] 0 St = cm /s o iù comunemente in centistokes: cst = 0-6 m /s TEMPERTUR [ C] Fig Viscosità in funzione della temeratura (liquido a base etrolifera) La viscosità diende fortemente dalla temeratura, come evidente nel diagramma di fig.3. relativo ad un tiico liquido a base etrolifera. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.4

5 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3..5 Tensione di vaore La tensione di vaore è la grandezza iù significativa er descrivere la volatilità di un liquido. Un fluido allo stato liquido è caratterizzato dall'avere un volume rorio; se il fluido viene osto in un reciiente di volume maggiore del volume del liquido, nel reciiente il fluido si trova arzialmente allo stato liquido e arzialmente allo stato gassoso. La ressione alla quale viene a trovarsi lo stato gassoso è detta tensione di vaore e diende dalla temeratura (fig. 3.); er esemio la tensione di vaore dell acqua a 00 C è notoriamente di atm. La tensione di vaore è un indice della tendenza del liquido ad evaorare e definisce il unto di ebollizione, la temeratura cioè alla quale il liquido ad una certa ressione tende a assare allo stato gassoso. La tensione di vaore definisce l'equilibrio fra le due fasi del fluido ed è un arametro fondamentale er i fenomeni di cavitazione (ossibile formazione TENSIONE DI VPORE [Pa] TEMPERTUR [ C] Fig Tensione di vaore in funzione della temeratura (liquido a base etrolifera) di bolle di vaore nella tubazione con conseguente alterazione del corretto funzionamento della linea) Infiammabilità L infiammabilità è una caratteristica molto imortante er la sicurezza dell'imianto e del velivolo stesso, uò essere il criterio di scelta determinante er il fluido da imiegare in un determinato imianto. L infiammabilità viene caratterizzata attraverso tre temerature caratteristiche valutate in condizioni refissate di ressione e di resenza di aria:. unto di infiammabilità: temeratura minima alla quale il liquido, vaorizzato in modo definito, crea una miscela caace in resenza di una fiamma di creare una vamata;. unto di fiamma: temeratura minima alla quale si genera vaore sufficiente a mantenere la combustione che deve comunque essere innescata; 3. unto di auto ignizione: temeratura alla quale si crea una fiamma sontaneamente senza che debba essere innescata. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.5

6 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3..7 Comrimibilità I fluidi imiegati negli imianti idraulici sono liquidi e quindi caratterizzati dall'avere un volume rorio; in realtà sotto effetto della ressione il fluido tende a comrimersi e a ridurre il rorio volume; una misura di questo effetto è data dal modulo di comrimibilità definito come raorto fra la variazione ercentuale di volume e la variazione di ressione che la ha rodotta, come meglio descritto in seguito (ar 3.3) Resistenza all aria L aria uò essere resente in un liquido sotto diverse forme: disciolta, disersa in bollicine ben distinte e in schiuma, ossia bolle agglomerate in suerficie. Gli ultimi due casi sono da evitare er il corretto funzionamento dell imianto, in quanto vengono radicalmente modificate alcune caratteristiche fisiche del liquido (in articolare densità e comrimibilità) Stabilità La stabilità chimica è la tendenza a mantenere invariate le rinciali caratteristiche. Si arla in genere di: stabilità all ossidazione, ossia alla reazione con l ossigeno; stabilità termica, ossia alla decomosizione rodotta dalla temeratura; stabilità all idrolisi, ossia alla reazione con l acqua Corrosione Indica l aggressività del fluido sui materiali usati negli imianti. Può essere di due tii: corrosione chimica, in genere ossidazione o attacco acido; corrosione elettrochimica, tiicamente quella galvanica, che interviene nel contatto di due metalli bagnati da un elettrolito. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.6

7 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.3 Equazione di stato e modulo di comrimibilità Le grandezze fondamentali che definiscono lo stato di un fluido sono, come noto: ressione [FL - ]=[MLT - ] densità [ML -3 ] temeratura T [ ] Le grandezze di stato non sono indiendenti, ma legate dall equazione di stato che nel caso dei gas erfetti assume la nota forma: R T questa relazione è valida er gas erfetti, in un ben reciso camo di ressioni e temerature; il coefficiente di roorzionalità R ha un valore diendente dalla comosizione del gas ed in articolare dal eso molecolare degli elementi che lo comongono. Per i gas esistono anche formulazioni dell equazione di stato iù comlesse valide in condizioni iù amie. Per i liquidi non è invece ossibile determinare un equazione di stato così semlice che abbia un sufficiente camo di validità; si ricorre quindi ad una linearizzazione che orta ad un equazione di stato valida solo nell intorno di un unto noto. Tale equazione, esressa iù comunemente in funzione del volume secifico, o direttamente di volumi, se ci si riferisce ad una determinata massa, ha la forma: 500 V V T Coefficiente di comrimibilità [MPa] Pressione [MPa] Fig ndamento del modulo di comrimibilità con la ressione La arte dell equazione di stato che fornisce il legame ressionedensità (sia ure questo esresso in termini di volume), a temeratura costante, diventa così in termini finiti: V V o in termini differenziali : dv d V ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.7

8 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Il fatto che anche i liquidi siano comrimibili ha diverse conseguenze tra le quali le iù rilevanti consistono nel fatto che è necessario un certo lavoro di comressione er ortarli ad una determinata ressione e che una trasmissione idraulica non è rigida, ma resenta una certa elasticità. È da notare che er molte alicazioni ratiche la comrimibilità è sufficientemente iccola da risultare trascurabile nei calcoli, occorre comunque ricordare che fisicamente essa esiste ed è strettamente collegata al meccanismo di generazione della ressione. Il modulo di comrimibilità (bulk modulus nella letteratura anglosassone) è diendente in modo non lineare dalla ressione, secondo un andamento qualitativamente descritto in fig.3.3; er l utilizzo della relazione in termini finiti occorrerà quindi considerarne un valore medio. ha le dimensioni di una ressione ed il suo valore diende dalla ressione; si uò assumere er i vari fluidi utilizzati negli imianti oleodinamici, imianti oeranti alle iù alte ressioni, dove quindi la comrimibilità è in grado di far sentire i suoi effetti, valori dell ordine di grandezza di 500 MPa. ssumendo tale valore come valore medio indiendente dalla ressione ne derivano le variazioni di volume del fluido riortate in tab. 3.. V V [MPa] Tab Contrazione del volume in funzione del salto di ressione Variazioni di ressione dell ordine di grandezza dei 0 MPa, che sono valori tiici negli imianti oleodinamici di bordo, sono quindi in grado di ridurre il volume del fluido già di una quantità sueriore all.3%; recirocamente variazioni di volume dell ordine dell % sono necessarie er far nascere variazioni di ressione dell ordine dei 5 MPa. In effetti l equazione di stato deve essere vista come l analoga dell equazione di Hooke er i solidi; la ressione definisce lo stato di sforzo e la variazione ercentuale di volume corrisonde alle deformazioni. Per quanto riguarda il termine legato alla temeratura: V V T Il valore di è circa C - er un olio idraulico. Le conseguenze dalla dilatazione rovocate da incremento della temeratura sono in incremento di ressione se il liquido è contenuto in un volume chiuso, come ure è ossibile una variazione di volume del contenitore come ad esemio in un cilindro attuatore con sostamento del istone. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.8

9 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.4 Modulo di comrimibilità effettivo Per quanto riguarda i valori del modulo di comrimibilità, occorre fare attenzione che nella ratica si deve tenere conto anche del fatto che in un imianto, nonostante tutte le recauzioni che si ossono rendere, è inevitabilmente contenuto, oltre al liquido, anche una frazione di gas e che i comonenti dell imianto, er quanto rigidi, ossono resentare una certa elasticità e quindi er effetto della ressione si deformano aumentando il loro volume. Il comortamento del gas esresso in termini di modulo di comrimibilità è facilmente ottenibile dato che questo è ricavato in condizioni isoterme; er un gas in tali condizioni quindi: V cost dv Vd 0 dv d V Se un certo volume Vtot è occuato arzialmente da liquido Vl e arzialmente da gas Vg, si uò ricavare un modulo di comrimibilità effettivo: V V V tot l g V V V tot l g V V V V V tot l l g g e Vtot Vtot Vl Vtot V g V V l g V V e tot l tot Dato che normalmente il volume di gas contenuto nel reciiente è iccolo risetto a quello del liquido, il modulo di comrimibilità effettivo uò essere arossimato con: g V g V e l Evidentemente il modulo di comrimibilità diende dalla quantità di gas contenuto nel volume in esame, quantità che deve essere normalmente iccola. La tabella 3. riorta i valori di variazione di volume che si ottengono con varie ercentuali di gas, considerando er il modulo di comrimibilità del gas il valore corrisondente alla ressione media. Si uò notare che l effetto corrisondente alla ressione di 30 MPa con solo liquido si ha alla ressione di.5 MPa con una ercentuale dell % di gas, di 5 MPa con una ercentuale del % e sotto i.5 MPa con ercentuali sueriori. tot g ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.9

10 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi V/V Vg/Vtot [MPa] Tabella 3. - Contrazione del volume in diendenza della concentrazione di gas Il discorso uò erò essere invertito: er ortare a 30 MPa il liquido con resenza del % di aria devo ridurne il volume del 50% in iù risetto al liquido senza aria, devo quindi comiere un lavoro maggiore del 50%. Effetti nello stesso senso si hanno er la dilatazione dei comonenti che contengono il liquido, er cui è ossibile definire un modulo di comrimibilità dovuto all incremento di volume del reciiente ed avere in definitiva: c tot V g V e V V l tot g c In ratica quindi il modulo di comrimibilità è normalmente iù basso di quanto atteso in base ai valori del solo liquido e questo ha conseguenze, er quanto iccole, sulla quantità di liquido necessario a riemire un dato volume. Inoltre il legame ressione - volume è da vedersi come una rigidezza e questa in ratica risulta iù bassa di quanto di cometenza del solo liquido. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.0

11 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.5 Idrostatica: il rinciio di Pascal L idrostatica è governata dal rinciio di Pascal; se si considera un iccolo elemento di fluido in condizioni statiche, la ressione che si misura sulle areti di quell elemento si trasmette a tutto il fluido, con eguale intensità ed in ogni direzione: = cost Si consideri, er meglio chiarire la ortata del rinciio di Pascal, il sistema in fig. 3.4, costituito essenzialmente da due cilindri differenti muniti di istone, collegati tra loro da un condotto, il tutto riemito di liquido. F S F S ll equilibrio deve essere: Fig Torchio idraulico F F F F il che significa che un sistema del genere è in grado di trasmettere forze variandone l intensità a seconda del raorto tra le aree dei istoni (torchio idraulico). D altro canto, se non ci sono erdite di liquido, il volume sostato da una arte deve ritrovarsi dall altra: V s s s V s ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

12 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi ossia gli sostamenti vengono anch essi variati dal raorto delle aree. Ovviamente il lavoro si conserva: L F s s s Fs L Con tale disositivo, che sta alla base della trasmissione idraulica, si uò trasmettere lavoro variandone l intensità della forza e dello sostamento, ovvero si uò amlificare la forza a atto di ridurre lo sostamento, e viceversa. 3.6 Equazione di continuità Sotto questo termine si intende l equazione che esrime il rinciio di conservazione della massa, e del quale già si è vista un esressione elementare nel aragrafo recedente. Per un volume chiuso la conservazione della massa si traduce in: dm dt d dt V dv 0 se nel volume ossono esserci entrata o uscita di fluido; d dt V dv i vd 0 dove V è il volume considerato, sono le aree attraverso le quali uò aversi entrata o uscita di massa nel volume considerato e v è la comonente di velocità normale alla suerficie ositiva se entrante. uando il fluido uò essere ritenuto incomrimibile, è costante e uò quindi essere eliminato; er le alicazioni imiantistiche non ha quasi mai interesse l effettiva distribuzione di velocità nelle sezioni di assaggio er cui si considera una velocità media: v vd l equazione di continuità si riduce quindi a: dv v i i dt i, n d 0 o, introducendo la ortata volumetrica dalla singola sezione di assaggio: i dv dt v i n i i i 0 dove i sono le singole ortate volumetriche, ositive entranti. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

13 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi La relazione recedente è utile ad esemio er calcolare il volume di liquido contenuto in certo istante in un serbatoio. arte i serbatoi raticamente tutti gli altri comonenti di imianti a fluido sono comletamente riemiti di liquido. Per tutti i comonenti dove non si ha variazione di volume si ha quindi: n i i Una classe imortante di comonenti nei quali si uò avere variazione di volume è costituita dagli attuatori lineari (normalmente detti martinetti); in questi l incremento o decremento di volume è ottenuto a sezione costante e quindi si ha un legame di roorzionalità fra la ortata entrante o uscente e la velocità di azionamento del martinetto: 0 x 3.7 Conservazione dell energia Il rimo rinciio della termodinamica imone la conservazione dell energia; ragionamenti energetici ortano a formulazioni estremamente utili er il calcolo del flusso in tubazioni. Esso infatti ossiede energia in forma cinetica, dovuta cioè alla sua velocità, in forma otenziale, dovuta cioè all elevazione del condotto ed alla ressione del fluido e in forma termica. uando si studia il moto del fluido in un condotto si osservano le varie grandezze fisiche in sezioni di controllo fisse. Viene utile riferirsi all energia er unità di massa, o di eso, o di volume del fluido. Vediamo di seguito le varie forme di energia ossedute dal fluido, esresse er unità di volume. Energia cinetica L energia cinetica di qualsiasi massa m che viaggi alla velocità v è notoriamente data da: E mv c Nel caso in esame, riferendosi all unità di volume ed essendo la densità, sarà: E c v Energia otenziale L energia otenziale, in senso classico, di una articella di fluido di massa m diende dalla sua altezza z misurata risetto ad un iano arbitrario di riferimento. L energia otenziale er unità di volume è quindi: E z gz ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.3

14 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Energia di ressione L energia di ressione uò essere definita attraverso il lavoro che la ressione uò comiere. Si consideri un reciiente come quello indicato nella fig. 3.5, contenente del liquido. d una certa distanza dal elo libero si suonga vi sia un tubo che si stacca dal contenitore, chiuso da un istone mobile di area. La forza esercitata dal liquido su tale istone, dovuta alla sua ressione idrostatica, è. Il lavoro comiuto dal fluido er sostare il istone di una lunghezza L, dalla sezione alla sezione, sarà L; il volume di fluido che comie tale lavoro è quello che assa er la sezione, ossia L. Il lavoro er unità di volume risulta quindi: E L Fig Lavoro di ressione Energia interna L energia interna è legata alla temeratura del fluido ed al calore secifico a volume costante e, er unità di volume, ossiamo scriverla come insegna la termodinamica: E i cv T Conservazione dell energia Il rimo rinciio della termodinamica assicura che l energia viene conservata o meglio che le variazioni di energia in un sistema sono uguali al lavoro che viene esercitato sul sistema stesso. Per un tubo di flusso le variazioni comlessive delle quattro energie sora viste devono quindi uguagliare il lavoro ed i calori forniti dall esterno: v gz c vt v gz c vt L q dove lavoro e calore sono considerati er unità di volume. La stessa esressa er unità di eso orta alla seguente dove è il eso secifico: v v z cv T z cv T L q g g ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.4

15 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi In tale esressione le dimensioni sono quelle di una lunghezza. uesto modo di esrimere la conservazione dell energia è sfruttato sorattutto nell idraulica classica dove i termini legati ai dislivelli resenti negli acquedotti e quindi all energia otenziale hanno imortanza redominante. 3.8 Moto stazionario di un fluido incomrimibile Se il fluido è incomrimibile ρ è costante: gz v c vt gz v c vt L q 3.9 Fluido in quiete Se la velocità è nulla, il fluido in equilibrio termico e non si verifica scambio di lavoro e di calore con l esterno, ci si riduce a: gz gz gz uando le ressioni sono consistenti e le variazioni di quota iccole, il termine dell energia otenziale uò essere trascurato risetto al termine della ressione e ci si riduce al rinciio di Pascal er i fluidi in quiete: = cost 3.0 Perdite di carico distribuite In assenza di lavoro e calore scambiato con l esterno, considerando trascurabile l energia otenziale risetto alle altre grandezze in gioco ed iotizzando un condotto a sezione costante (il che imlica er fluidi incomrimibili la conservazione della velocità), l equazione di conservazione dell energia si riduce a: c T c v vt In effetti si nota serimentalmente che, se il moto è nella direzione dalla sezione alla, la ressione è inferiore alla, questo imlica un aumento della temeratura. Esistono quindi fenomeni dissiativi, er cui arte dell energia di ressione viene trasformata in energia termica e quindi considerata ersa dal unto di vista meccanico, tanto che è usuale chiamare questo termine erdita di carico. È conveniente esrimere questo trasformando la relazione recedente in: T T cv ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.5

16 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi dove il termine cv (T-T) è stato sostituito da una generica caduta di ressione. Le tubazioni sono state amiamente studiate dagli idraulici nel diciannovesimo secolo ed è stata riconosciuta una relazione tra la caduta di ressione e l energia cinetica: v L'intensità delle erdite di carico risente molto della resenza di un moto regolare, caratterizzato dall'avere nelle singole articelle velocità sensibilmente dirette come l'asse del condotto e nel verso del moto, o moto irregolare con comonenti di velocità in tutte le direzioni; il rimo tio di moto è detto moto laminare, il secondo moto turbolento. Se si osserva serimentalmente il moto del fluido, si vede che in certe condizioni il moto è di tio laminare ed in altre diventa turbolento. La transizione del moto da laminare a turbolento è dominata dal raorto fra le forze di massa e le forze viscose, esrimibile da una grandezza adimensionale, il numero di Reynolds, definito da: Re vd vd dove è la densità, v la velocità media, D il diametro idraulico, la viscosità e ν la viscosità cinematica. La caduta di ressione lungo la linea è quindi dovuta a disuniformità nella velocità che rovoca conseguenti effetti viscosi. Il diametro idraulico è definito come: S D 4 C dove S è l area della sezione e C il erimetro; nel caso di sezione circolare il diametro idraulico corrisonde al diametro geometrico: 4S C D 4 4 D D Per le tubazioni si è giunti er via serimentale a determinare la seguente esressione di : L D dove è un coefficiente di erdite distribuite, L è la lunghezza della tubazione e D il diametro idraulico. La caduta di ressione sull intera tubazione è quindi data dalla legge di Darcy - Weisbach: L v D Il coefficiente diende dal tio di moto, indicato dal numero di Reynolds, e dalla rugosità suerficiale del condotto, definita come raorto tra lo sessore medio delle irregolarità ed il ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.6

17 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi diametro del tubo. Il diagramma di Moody di fig. 3.6 riorta l andamento del coefficiente in funzione del numero di Reynolds della corrente fluida e arametrato sulla rugosità suerficiale. Fig Diagramma di Moody LM INRE TURB OLENTO Fig Profili di velocità tiici nel moto laminare e turbolento Si riconosce che er Re < 000 il moto è laminare, la velocità è nulla al contorno, diretta come l asse della tubazione e massima al centro del tubo (fig. 3.7), con una distribuzione arabolica; in questo caso è ossibile ricavare anche teoricamente il valore di che risulta: e quindi: 64 Re ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.7

18 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 64 L 64 L L v v 3 Re D vd D D v Nel moto laminare la erdita di carico risulta diendente, oltre che dai arametri geometrici, in modo lineare dalla viscosità e dalla velocità del fluido. La diendenza dalla viscosità orta ad una diendenza dalla temeratura dato che la viscosità è fortemente influenzata da questa. uando il numero di Reynolds suera il valore di 4000, il moto diventa turbolento, la distribuzione di velocità sulla sezione nella direzione normale a questa si aiattisce (fig. 3.7), la velocità massima si avvicina quindi alla velocità media, ma la velocità ha comonenti anche erendicolari alla tubazione: in questo caso i valori di sono desumibili da curve serimentali o da formule emiriche. Per numeri di Reynolds molto alti, è sensibilmente indiendente dal numero di Reynolds e diende solo dalla rugosità. In tale camo di moto la erdita di carico risulta quindi diendente dal quadrato della velocità ed indiendente dalla viscosità del fluido (questa interviene comunque nel calcolo del numero di Reynolds). Per i valori del numero di Reynolds fra 000 e 4000 si ha una zona di transizione non ben definita, dato che il assaggio dallo stato laminare a quello turbolento è un fenomeno di instabilità che uò avere quindi un certo margine di indeterminazione. Sono state rooste formule che ermettono di ottenere valori interolati di : er tubi lisci e 4000 Re er tubi lisci e Re log Re 0. 8 Re 0 er la zona di transizione fra tubi lisci e ruvidi con Re 4000 :.4 log 0 e 9.35 D Re er tubi ruvidi e flusso turbolento comletamente sviluato: e.4 log 0 D dove e/d è la rugosità relativa. Per le tubazioni si arla comunemente di erdite distribuite dato che la caduta di ressione è distribuita uniformemente su tutta la linea; la ressione decresce quindi sulla linea con andamento lineare: x x v D In realtà le erdite di carico così determinate avvengono quando il moto nella tubazione è a regime; se consideriamo l inizio del tubo si ha una zona di una certa lunghezza nella quale la velocità assa da una distribuzione iniziale nella sezione alla distribuzione tiica del moto ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.8

19 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi laminare o turbolento che si ha oi nell intero tubo; er tubazioni di una certa lunghezza questo fenomeno non orta a differenze significative, ma er tubazioni corte questo uò non essere iù vero. 3. Comonenti discreti Le erdite di carico sono dovute agli effetti viscosi causati da differenze di velocità nei vari unti nel fluido; questo avviene tutte le volte che il fluido trova nel suo cammino un ostacolo di natura qualsiasi o comunque la geometria del condotto orta a variazioni del vettore velocità (fig. 3.8). Nell idraulica classica, dove le tubazioni hanno una lunghezza molto elevata, queste erdite ossono essere di entità molto minore risetto a quelle nelle tubazioni, tanto che nella letteratura anglosassone vengono definite erdite minori; negli imianti di nostro interesse le tubazioni sono invece relativamente corte ed esistono molti comonenti in grado di causare erdite di valore significativo. Verranno genericamente indicate come erdite concentrate. Fig Cause di erdite di carico concentrate nche in questo caso le erdite ossono essere esresse come funzione di un energia cinetica: v I coefficienti necessari er il calcolo delle erdite di carico concentrate sono ovviamente funzione della geometria del comonente, ma anche di un numero di Reynolds di riferimento. È da notare che dal unto di vista degli imianti di interesse aeronautico non ha molta imortanza la variazione di ressione lungo un tubo, quanto i valori alle sue estremità. Di conseguenza si uò considerare il tubo come un elemento discreto con ressioni alle sue estremità legate dalla: L v con D Nei aragrafi seguenti vengono riortati alcuni esemi di coefficienti di erdite di carico concentrate er le situazioni iù comuni. mia mole di dati sull argomento sono reeribili su varie fonti ed in articolare sui data sheet ESDU e sul volume Idel cik Memento des ertes de charge (versione francese dal russo). ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.9

20 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata Orifizio L orifizio consiste in un restringimento seguito da un allargamento; nel caso ideale ossiamo ensarlo realizzato da un orifizio a bordi affilati. seconda del numero di Reynolds il flusso uò avere andamento laminare (a) o turbolento (b) come mostrato nella figura 3.9: 3... Orifizio con flusso turbolento Nel caso di flusso turbolento il assaggio attraverso l orifizio rovoca un restringimento del tubo di flusso; la sezione ristretta uò essere collegata a quella dell orifizio mediante un coefficiente di contrazione Cc. Si ha quindi: 0 C c Tra la sezione e la si uò ritenere di non avere erdite di carico e di conseguenza: v v v v essendo: v v si ha v v In realtà a causa degli attriti viscosi la velocità v sarà leggermente inferiore; introducendo un coefficiente di velocità, la ortata risulta: c v c v v considerando il coefficiente di contrazione, in modo da riferirsi alla sezione dell orifizio: Fig. 3.9 Orifizio

21 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi c c c v c c 0 0 con: c d c c v c 0 c c cd 0 cv è di oco inferiore a e normalmente 0 è molto minore di ; in tali condizioni cd è arossimativamente uguale a cc. Per orifizi a sigoli vivi è ossibile calcolare teoricamente cc ed il risultato è mostrato nella figura 3.0. L eserienza mostra che er orifizi a sigolo vivo, se il flusso è turbolento e la sezione dell orifizio è sufficientemente iccola risetto al diametro del tubo si uò utilizzare il valore: c d c c 0.6 Fig. 3.0 Coefficiente di scarica L esressione delle erdite di carico uò essere ortata nelle consuete forme: v con K cd 0 K c d 0 ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

22 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3... Orifizio di lunghezza finita Per orifizi di una certa lunghezza ossono essere usati i valori del coefficiente di scarica cd desumibili dal diagramma di figura 3.. Fig. 3. Coefficiente di scarica Orifizio con flusso laminare Per bassi numeri di Reynolds il coefficiente di scarica uò essere desunto dalla figura 3.; er Re=500 il coefficiente tende al valore 0.6 indicato er il flusso turbolento. Fig. 3. Coefficiente di scarica er flusso laminare ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.

23 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3.. llargamenti - Restringimenti La figura 3.3 riorta coefficienti di erdita di carico er allargamenti o restringimenti imrovvisi in tubazioni. Fig. 3.3 Variazione di sezione La figura 3.4 riorta coefficienti relativi a erdite di carico di imbocco (assaggio da reciiente di grandi dimensioni a tubazione) e sbocco (scarico in ambiente di grandi dimensioni). Fig. 3.4 Imbocco e sbocco I coefficienti K indicati sono relativi all energia cinetica nella sezione a velocità maggiore: K v ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.3

24 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Le figure seguenti riortano altri esemi di allargamenti o restringimenti: Fig. 3.5 llargamenti Fig. 3.6 Restringimenti ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.4

25 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Curve La erdita di carico er un tratto curvo uò essere calcolato con: L K g v d L dove esrime le erdite distribuite nel tratto di gomito e K g le erdite dovute al cambio d di direzione del vettore velocità. K g e sono ricavabili dai diagrammi di figura 3.7. Fig. 3.7 Perdite di carico in tratti curvi ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.5

26 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Diramazioni La figura 3.8 riorta coefficienti erdita er diramazioni con un ramo cieco. Fig. 3.8 Diramazioni cieche La figura 3.9 riorta coefficienti er searazioni o riunioni di correnti. Fig. 3.9 Searazione e riunione di correnti ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.6

27 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi 3. Colo d ariete Se a valle di una tubazione con un certo flusso si ha la chiusura imrovvisa di una valvola, l energia cinetica della colonna di fluido si trasforma in energia otenziale di comressione con relativo incremento di ressione. L incremento di ressione uò in determinate condizioni essere tale da creare seri roblemi. Una colonna di fluido in movimento ha una energia cinetica: Ec Lv suonendo di assare istantaneamente a velocità nulla tutta l energia cinetica si trasforma in energia otenziale di ressione: E V i dove ΔV è la variazione di volume e i l incremento di ressione. Dalla relazione che definisce la comrimibilità: V L E i i Se tutta l energia cinetica si trasforma in energia di ressione si ha un incremento di ressione ari a: i v Con valori tiici er un olio minerale (β=800 MPa; ρ=850 kg/m ) si ha: 6 6 i 800 *0 *850 v.4 *0 v L arresto istantaneo di un flusso a 0 m/s rovoca quindi un incremento di ressione maggiore di MPa. In realtà il fenomeno è iù comlesso erché non si comrime contemoraneamente tutta la colonna di fluido, ma si ha un onda di comressione che si roaga a monte alla velocità delle iccole erturbazioni (velocità del suono nel liquido c ; er olio minerale c 450 m / s ); doo un temo ari a L/c l onda di comressione arriva all inizio della colonna di fluido che risulta così tutta comressa, a questo unto arte un onda di decomressione verso la chiusura. Il fenomeno si riete fino a quando i fenomeni dissiativi assorbono tutta l energia in gioco. uanto sora visto è valido er una chiusura istantanea della valvola; tale chiusura si uò ritenere istantanea se avviene in un temo inferiore a quello richiesto dall onda di erturbazione er comiere un ciclo comleto di andata e ritorno: L T Tcr c Per tubi corti il temo critico risulta molto iccolo (er un tubo di 0 m risulta dell ordine del centesimo di secondo) e il temo di chiusura risulta difficilmente minore del temo ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.7

28 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi critico. In questo caso il calcolo dell incremento di ressione risulta iù comlesso, diende anche dalla lunghezza del tubo, dalla ressione iniziale e dal temo di chiusura della valvola. Il valore di ressione alla quale si arriva uò essere ricavato dal diagramma seguente. dove: i K ; i v ; 0 ressione iniziale 0 N Fig. 3.0 Colo d ariete er velocità di chiusura inferiori alla critica T T c ; T temo necessario er la chiusura; L T c temo critico di chiusura c N raresenta il numero di volte che il fenomeno di roagazione e ritorno dell onda di comressione si verifica nel temo di chiusura della valvola. È da notare che il valore massimo di ressione è semre inferiore a quello corrisondente ad una chiusura istantanea; salvo casi articolari viene quindi sesso assunto come valore di rogetto i. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.8

29 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata Collegamento di comonenti Può essere conveniente esrimere le erdite di carico in funzione della ortata, sostituendo al termine di velocità il corrisondente raorto tra ortata ed area del condotto: K D L D D L v D L o, nel caso di elemento con erdite concentrate: K D D v L esressione del tio K (*) uò essere utilizzata er esrimere il legame fra le ressioni alle estremità e la ortata che attraversa un generico comonente dove la ortata entrante ed uscente coincidono, un comonente quindi dove non ossono esserci variazioni di volume del fluido contenuto. uesta esressione definisce quindi il legame fra ressione e ortata, le due grandezze caratteristiche della otenza idraulica, individua quindi la curva caratteristica valida er un generico comonente assivo. Il valore di K deve essere ricavato artendo dai coefficienti o del comonente, ma conviene ortarsi a tale forma che consente di esrimere iù facilmente la conservazione di massa nei nodi di collegamento fra i vari comonenti. Per il singolo comonente la relazione consente di ricavare una grandezza essendo note le altre due: conoscendo le ressioni all estremità si uò ricavare la ortata, conoscendo una ressione e la ortata si uò ricavare l altra ressione. L esressione (*) è valida se è maggiore di e il flusso è di conseguenza diretto da verso ; quando questa viene utilizzata in rogrammi di calcolo dove non è noto a riori il verso della ortata l esressione deve essere sostituita da: K dove si assume ositiva la ortata se diretta da a e negativa in senso contrario. Collegando due comonenti con collegamento in serie, essendo uguali le ortate nelle due tubazioni, si ha (fig. 3.): K K K K K K K K M M Si sommano quindi i coefficienti caratteristici.

30 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi k M k k k Fig Linee in serie e in arallelo Nel collegamento in arallelo, essendo uguali le ressioni alle due estremità, si ha (fig.3.): K K K K K K K K K K Le relazioni sono analoghe a quelle delle resistenze elettriche in serie o in arallelo, con la differenza che il legame è quadratico anziché lineare. 3.4 Reti idrauliche La struttura degli imianti a fluido di interesse aerosaziale è normalmente semlice e facilmente risolvibile con i collegamenti in serie o arallelo visti nel aragrafo recedente. Si riorta comunque una rocedura adatta a ricercare le condizioni di equilibrio di una rete comunque connessa. La rete viene schematizzata come un insieme di tratti connessi in un certo numero di nodi; nei dati di ingresso la rete è definita attraverso un certo numero di nodi e di tratti; i tratti vengono identificati dal nome del nodo iniziale e del nodo finale. ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.30

31 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi Per la ricerca delle condizioni di equilibrio vengono assunte come incognite tutte le ortate nei tratti e tutte le ressioni nei nodi. Il numero di incognite nella soluzione è di conseguenza ari alla somma del numero di tratti e del numero di nodi. Le ortate considerate nel calcolo sono ortate volumetriche, suonendo quindi costante la densità, e vengono assunte come ositive le ortate nel senso definito dal nodo iniziale al nodo finale. Per ognuno degli m tratti considerati è si uò scrivere la relazione fra ressioni ai nodi di estremità e ortata; quindi un equazione che chiamiamo di tio : i f i 0 dove f i è una funzione normalmente non lineare in i, che diende dai vari effetti considerati, er una rete di distribuzione di fluido i tratti ossono ad esemio essere costituiti dei seguenti elementi: a) Tubi, raresentati come erdite di carico distribuite: l f d v v K d d b) Elementi discreti, raresentati come erdite di carico concentrate: f c k v v K c c) Pome, definite attraverso una curva caratteristica ortata ressione. f Per ognuno degli n nodi considerati è ossibile scrivere una equazione che chiamiamo di tio B e che esrime la conservazione della massa, se si tratta di un nodo interno, o assegna un valore alla ressione o alla ortate, se queste sono note nel nodo; in alternativa quindi una delle tre equazioni seguenti: B B B l l l n i i i i i 0 i 0 0 Il sistema formato dalle m equazioni di tio e dalle n equazioni di tio B è un sistema non lineare, er la sua soluzione si ricorre al metodo iterativo di Newton-Rason, che orta alla soluzione del sistema: i / Bl / j j i / k j i Bl / k k Bl ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.3

32 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.3 Per tutti i tratti (in alternativa a seconda del tio di elemento) j i j c j d j i d df K K fornisce elementi solo sulla diagonale rinciale k i nelle colonne corrisondenti ai nodi di entrata e uscita nel tratto Per i nodi interni: j l B nelle colonne corrisondenti ai tratti in arrivo o in artenza dal nodo 0 k l B Per i nodi esterni in cui è assegnata la ressione: 0 j l B k l B sulla diagonale rinciale Per i nodi esterni in cui è assegnata la ortata: j l B a seconda che si tratti di ortata entrante o uscente 0 k l B Il calcolo, essendo basato sul metodo di Newton-Rason, è di tio iterativo; ad ogni asso si utilizzano i valori di j e k del asso recedente e si calcolano le correzioni j e k da alicare, il rocesso rosegue fino a convergenza.

33 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi scoo eslicativo si riorta un semlice esemio di rete. La rete è formata da 9 elementi e 8 nodi. I dati di definizione degli elementi ossono essere descritti in una matrice contenente i nodi di estremità dei vari elementi, l ordine dei nodi definisce il verso ositivo della ortata: Tratto Nodo Nodo Suoniamo siano note le ressioni ai due nodi di estremità e costruiamo la matrice M risolutrice. Le rime 9 righe della matrice sono relative ai tratti, si avrà quindi nelle rime 9 colonne: M ii K di i M 0 er i j ij Nelle colonne successive si ha: M i, Ntratti j se il tratto i inizia dal nodo j, M i, Ntratti j se il tratto i termina nel nodo j i M 0 se il nodo j non aartiene al tratto i i, Ntratti j Per le righe successive, nelle rime 9 colonne, si ha: M Ntratti i, j se il nodo i è interno e il tratto j termina in esso M Ntratti i, j se il nodo i è interno e il tratto j inizia da esso M 0 nei rimanenti casi Ntratti i, j Nelle colonne successive si ha: M Ntratti i, Ntratt j se i=j e il nodo i è esterno M 0 se i j o il nodo i è interno Ntratti i, Ntratt j ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.33

34 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi La matrice dei coefficienti nel nostro esemio diventa quindi: E il vettore dei termini noti: K 3 K K K K K K K K ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.34

35 IMPINTI E SISTEMI EROSPZILI Disense del corso, versione 03 Caitolo 3 Elementi di meccanica dei fluidi È necessario stabilire dei valori iniziali di ortata e ressione con cui avviare il calcolo. Per una rete del tio in esame si otrebbe assumere come valore iniziale delle ressioni interne un valore medio fra le ressioni fissate nei nodi di estremità e er le ortate il valore di ortata che ne deriverebbe sul rimo tratto. 3.5 Bibliografia Sono numerosi i testi di Meccanica dei fluidi, la materia è inoltre trattata in tutti i testi relativi a imianti a fluido. R.W.Jeson, nalysis of Flows in Pie Networks, nn rbor Science Publishers. Daugherty and Franzini, Fluid mechanics with engeering alication, McGraw Hill. Idel cik, Memento des ertes de charge, Eyrolles ueste disense ossono essere liberamente scaricate dal sito internet del Politecnico di Milano. La vendita è vietata. 3.35