Gravitazione. Dati due corpi di massa m 1 e m 2, posti ad una distanza r, tra di essi si esercita una forza attrattiva data in modulo da

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1 Gavitazione Dati due copi di massa m 1 e m 2, posti ad una distanza, ta di essi si esecita una foza attattiva data in modulo da F = G m 1m 2 dove G è una costante univesale, avente lo stesso valoe pe tutte le coppie di copi. Se è il vettoe che va dalla massa m 1 alla massa m 2, la foza F 12 esecitata dalla massa m 1 sulla massa m 2 è F 12 = G m 1m 2 mente la foza esecitata dalla massa m 2 sulla massa m 1 è F 21 = F 12. La costante G è detta costante di gavitazione univesale e venne misuata pe la pima volta da Cavendish nel 1798; il valoe attualmente accettato è G = N m 2 /kg 2 Pe come fomulata questa legge si applica a copi puntifomi, ma si può estendee ad oggetti eali puchè le loo dimensioni siano piccole ispetto alla distanza (ad es. la luna e la tea sono abbastanza lontane da pote essee consideate come puntifomi). Nel caso geneale, occoe sommae (o integae) le foze che agiscono su ogni elemento dm 1 del copo 1 da pate degli elementi dm 2 del copo 2. Ci sono due situazioni paticolai:

2 1) la foza gavitazionale netta esecitata da un guscio sfeico omogeneo di mateia su di un oggetto esteno può essee calcolata come se tutta la massa del copo sfeico fosse concentata nel cento del guscio sfeico. La stessa cosa vale anche pe un solido a simmetia sfeica, es. la Tea, basta suddividelo in tanti gusci sfeici. 2) un guscio sfeico omogeneo di mateia non esecita alcuna foza gavitazionale su di un oggetto che si tovi al suo inteno. In paticolae se un oggetto si tova all inteno di una sfea omogenea di mateia di aggio ad una distanza dal cento della sfea, la foza gavitazionale che agisce sull oggetto è dovuta solo alla massa M int che si tova all inteno della sfea di aggio (se ρ è la densità della sfea, M int = 4π 3 ρ/3 = M 3 / 3 ). Il campo gavitazionale La foza gavitazionale ta i copi è pesente anche quando questi non sono a contatto: questo tipo di inteazione si può chiamae azione a distanza. Un alto modo pe descivee questa inteazione è quello di intodue il concetto di campo. Il campo gavitazionale è geneato delle masse pesenti nello spazio: quando un alta massa viene posta nel campo stesso essa isente di una foza data dal podotto della sua massa pe il valoe del campo in quel punto.

3 Il campo gavitazionale geneato dalla tea viene indicato con g. Una massa m posta in questo campo è soggetta ad una foza pai a F = m g. Il campo gavitazionale è un campo vettoiale: ad ogni punto è associato un vettoe che dà l intensità, la diezione e il veso del campo in quel punto. Pe distanze piccole ispetto al aggio teeste il campo gavitazionale è un campo di intensità unifome pai a g e dietto veso il cento della tea (il concetto di campo è molto impotante pechè pemette di capie, ta le alte, le foze elettodinamiche ta caiche in moto). Enegia potenziale gavitazionale Abbiamo intodotto il concetto di enegia potenziale gavitazionale pe il sistema Tea-oggetto. Oa genealizziamo questo concetto al caso di due oggetti di massa m e M, sepaati da una distanza. Scegliamo come configuazione di ifeimento a cui assegnae enegia potenziale gavitazionale U = 0 quella in cui i due oggetti sono a distanza infinita. Inolte ichiediamo che al diminuie della distanza ta i due oggetti l enegia potenziale diminuisca (come nel sistema Tea-oggetto), quindi l enegia potenziale ad una distanza finita è negativa U = GmM enegia potenziale gavitazionale ( ) L enegia potenziale è una popietà comune al sistema dei due oggetti (solo nel caso di M >> m si può palae di enegia potenziale dell oggetto di massa m).

4 Nel caso di un sistema di più oggetti l enegia potenziale gavitazionale si ottiene calcolando l enegia di una coppia di oggetti ingoando tutti gli alti e poi sommando su tutte le coppie. Ad esempio pe te oggetti ( Gm1 m 2 U = + Gm 1m 3 + Gm ) 2m Pe mostae la (*) calcoliamo il lavoo dl compiuto dalla foza gavitazionale esecitata da M su m duante uno spostamento ds della massa m. Consideiamo pima il caso in cui lo spostamento è lungo la linea congiungente i due oggetti L = ( GmM ) d = GmM Il lavoo compiuto dalla foza gavitazionale F pe spostae la massa m dalla distanza alla distanza + d è dl = F ds = GmM d Il lavoo pe potae la massa m dalla distanza a distanza infinita è = GmM Ma il lavoo è uguale all opposto della vaiazione dell enegia potenziale L = U = (U( ) U()) = U() U() = GmM

5 Il lavoo è indipendente dal pecoso eseguito. Infatti l elemento di linea pe una taiettoia qualunque si può scompoe in una pate lungo le diezioni adiali ispetto a M ed una pate lungo gli achi di ciconfeenza di cento in M. Quest ultima non contibuisce al lavoo poichè ds è a F. La somma dei contibuti al lavoo lungo i aggi dà esattamente lo stesso isultato dell integale lungo la linea 1. In alte paole, la foza gavitazionale è una foza consevativa e il lavoo dipende solo dagli estemi dell integale L A B = (U B U A ) = GmM B GmM A Nota l enegia potenziale è possibile icavae la foza utilizzando la elazione F = du d Nel caso dell enegia potenziale gavitazionale si itova du d = d d ( GMm la legge della gavitazione di Newton. ) = GMm

6 Enegia di un satellite L enegia meccanica di un satellite in moto lungo un obita cicolae attono alla Tea è data dalla somma della sua enegia potenziale e della sua enegia cinetica E mec = K + U K = 1 2 mv2 U = GMm La velocità del satellite dalla la legge di Newton si detemina GMm = m v2 dove v 2 / è l acceleazione centipeta. Da cui K = GMm 2 quindi pe un satellite si ha U = 2K E mec = U + K = GMm 2 = K Velocità di fuga (dalla Tea): è il valoe minimo della velocità iniziale di un oggetto che pemette all oggetto di sfuggie all attazione gavitazionale pe aestasi teoicamente solo a distanza infinita. La foza gavitazionale è una foza consevativa quindi l enegia meccanica si conseva. Quando l oggetto lascia la tea E (i) = 1 2 mv2 GM T m T è uguale all enegia meccanica dell oggetto a distanza infinita dalla Tea. Ma questa è nulla pechè l oggetto si aesta (K = 0) ed ha enegia potenziale gavitazionale nulla (pe convenzione) E (f) = E (i) = mv2 = GM T m 2GMT v = T T v è la velocità di fuga.

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