RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

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1 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

2 Inroduzione Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale complesso l uscia sara ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza, ma con ampiezza e ase modiicae. A { +ϑ } o Sisema LTI h B { + ϕ } o Risposa in requenza: E la unzione della requenza che descrive come vengono modiicae ampiezza e ase di un esponenziale complesso quando passa araverso un sisema LTI. Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

3 Risposa in requenza { } x Sisema L T I x τ h τ dτ { } H y τ { } h τ dτ { } h τ { τ} y { } H dτ L uscia di un sisema LTI alimenao da un ingresso esponenziale complesso e ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza dell ingresso. L ampiezza e la ase iniziale dell uscia dipendono dalla risposa in requenza H del sisema LTI. 3 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

4 Risposa in requenza di sisemi reali 1 Se il sisema LTI ha risposa all impulso h reale, la risposa in requenza H e una unzione con simmeria complessa coniugaa: H H*- come si veriica acilmene dalla deinizione di H. Dunque il modulo di H e pari simmerico rispeo all origine e la ase di H e dispari anisimmerica rispeo all origine. H H- ase H - ase H- 4 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

5 5 Fondameni TLC Fondameni di segnali e rasmissione Risposa in requenza di sisemi reali H ase ϕ { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] ϕ ϕ ϕ H H H H H H h x y x cos cos

6 Risposa in requenza e banda passane La risposa in requenza H e una unzione complessa della requenza che dipende solo dalla risposa all impulso del sisema h. H { }d h La risposa in requenza H consene d inrodurre il conceo di banda passane di un sisema LTI ipicamene un canale di rasmissione. Il modulo della risposa in requenza avra valori piu elevai in una banda di requenze dea banda passane e relaivamene piu bassi alle alre requenze. All uscia del sisema LTI, gli esponenziali complessi con requenza compresa nella banda passane del sisema avranno ampiezza molo maggiore di quelli con requenza eserna a ale banda. Si usa dire che i primi passano araverso il sisema, menre i secondi no. 6 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

7 Trasormaa di Fourier L operaore che consene di oenere la risposa in requenza H a parire dalla risposa all impulso del sisema h, viene deo rasormaa di Fourier. La rasormaa di Fourier puo essere calcolaa per un generico segnale x, non solo per la risposa all impulso di un sisema LTI: X { }d x L operaore che consene di rioenere il segnale x a parire dalla sua rasormaa di Fourier X viene deo rasormaa inversa di Fourier: x X { }d Si noi che la rasormaa di Fourier e la sua inversa sono uguali, a pare il segno dell esponene. 7 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

8 Trasormaa inversa di Fourier raccia di dimosrazione Calcolaa la rasormaa di Fourier X del segnale x X x d x τ τ dτ dove si preerisce la variabile d inegrazione per non cononderla poi con si anirasormi inegrando nell inervallo a,+a, che si ara poi endere all ininio: a a X d x τ dτ a a sin a x x a a d τ d divena sempre piu ala e srea cioe ende all impulso all aumenare di a. Inolre si puo dimosrare che ha area uniaria, qualunque sia a comunque se anche l area non osse uniaria baserebbe moliplicare per una opporuna cosane la ormula di anirasormazione. 8 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC τ x τ τ dτ sin a τ x τ dτ τ se a ende all ininio. Inai la unzione sin a

9 Segnali come somma di esponenziali complessi La rasormaa inversa di Fourier x X { }d ha la seguene inerpreazione: un qualsiasi segnale x puo essere scomposo nella somma inegrale di esponenziali complessi le cui ampiezze ininiesime e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla rasormaa di Fourier X : Ampiezza : X d Fase iniziale : X 9 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

10 Sisemi LTI: legame ingresso-uscia in requenza 1 - Se l ingresso e un esponenziale complesso x A { }, l uscia e y H A { } - Un generico segnale x puo essere scomposo nella somma di esponenziali complessi di ampiezza ininiesima del ipo X { } d 3 - L uscia di un sisema LTI per un generico segnale d ingresso x e daa dalla somma di esponenziali complessi y H X { } d 4 - L uscia y, come ui i segnali, puo essere scomposa nella somma di esponenziali complessi del ipo Y { } d Quindi: Y H X Queso risulao corrisponde ad una imporane propriea della rasormaa di Fourier, che verra ripresa nel seguio: la rasormaa della convoluzione y h x e il prodoo delle rasormae Y H X. 1 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

11 Risposa in requenza di un ilro passa-basso Quando la risposa in requenza H ha ampiezza diversa da zero solo in una banda di requenze simmerica rispeo all origine, il sisema LTI viene deo ilro passa-basso. Un ilro passa-basso ideale con requenza di aglio c ha come risposa in requenza un reangolo di ampiezza uniaria e base c viene deo ideale perche in praica non e possibile realizzare una ransizione nea da banda passane a banda aenuaa. 1 H - c c 11 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

12 Risposa in requenza di un ilro passa-alo Quando la risposa in requenza H ha ampiezza diversa da zero solo a requenze superiori a c requenza di aglio e, simmericamene, ineriori a - c il sisema LTI viene deo ilro passa-alo. Un ilro passa-alo ideale con requenza di aglio c ha come risposa in requenza una cosane uniaria meno un reangolo di ampiezza uniaria e base c anche il ilro passa-alo ideale non e realizzabile in praica. 1 H - c c 1 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

13 Risposa in requenza di un ilro passa-banda Quando la risposa in requenza H ha ampiezza diversa da zero solo in due bande di requenza cenrae inorno alla requenza o requenza cenrale e, simmericamene, inorno alla requenza - o il sisema LTI viene deo ilro passa-banda. Un ilro passa-banda ideale con requenza cenrale o e banda passane c ha come risposa in requenza due reangoli di ampiezza uniaria e base c cenrai inorno alle requenze + o e - o anche il ilro passa-banda ideale non e realizzabile. 1 H - o - c - o - o + c o - c o o + c 13 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

14 Filro passa-basso x Y H X Le componeni del segnale rapidamene variabili nel empo ad ala requenza vengono eliminae dalla risposa in requenza del ilro passa-basso H y x h 14 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC

15 Filro passa-alo x Y H X Le componeni del segnale lenamene variabili nel empo a bassa requenza vengono eliminae dalla risposa in requenza del ilro passa-alo H y x h 15 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC