Docente: Alessandro Melchiorri Slides delle lezioni: oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

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1 Astronomia Lezione 21/11/2014 Docente: Alessandro Melchiorri Slides delle lezioni: oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

2 Equazione del Trasporto Radiativo Durante il suo cammino il raggio luminoso potra anche incrementare la sua intensita grazie a fenomeni di emissione. In questo caso: dove jl e detto coefficiente di emissione. Considerando sia assorbimento che emissione si ha: Dividendo ambo i membri si puo riscrivere come: Ovvero: Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:

3 Equazione del Trasporto Radiativo Se l intensita e uguale alla funzione sorgente allora e costante. Se l intensita e maggiore della funzione sorgente allora decresce. Se l intensita e minore della funzione sorgente allora cresce. L intensita tende ad avere il valore della funzione sorgente, vale a dire pari al rapporto tra emissione e assorbimento nel punto (esempio con targhe di macchine in autostrade americane).

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5 Ipotesi di atmosfera piana E chiaramente molto difficile da risolvere ma si possono fare delle approssimazioni come quella di atmosfera piana. L atmosfera stellare, dato che e molto sottile rispetto alle dimensioni di una stella, puo essere pensata come a strati paralleli, trascurando la curvatura). Abbiamo introdotto la profondita ottica come: Consideriamo adesso una profondita ottica verticale come:

6 Ipotesi di atmosfera piana La profondita ottica verticale incrementa con l incrementare di z vale a dire della profondita e non dipende dalla direzione del raggio. Un raggio proveniente da una direzione diversa avrebbe profondita ottica maggiore alla stessa profondita -z. La profondita ottica verticale puo essere usata come utile coordinata nel caso di ipotesi di atmosfera piana.

7 Ipotesi di atmosfera piana L equazione del trasporto: ricordando la definizione di profondità ottica può essere scritta come: e quindi, usando la definizione di profondità ottica verticale:

8 Ipotesi di atmosfera piana Questa equazione si puo ulteriormente semplicare assumendo che la profondita ottica sia indipendente dalla frequenza (si puo ad esempio utilizzare il coefficiente di assorbimento di Rosseland). Questa approssimazione viene detta approssimazione di atmosfera grigia. In questo caso si puo integrare sulle lunghezze d onda ottenendo: Con:

9 Ipotesi di atmosfera piana Integrando sull angolo solido abbiamo: E ricordando le espressioni del flusso radiativo e dell intensita media: si ha:

10 Ipotesi di atmosfera piana Una seconda equazione si puo ottenere moltiplicando per il coseno e integrando sull angolo solido: Ricordando adesso l espressione della pressione di radiazione: Il primo termine e essenzialmente la pressione di radiazione moltiplicata per la velocita della luce, il secondo termine e il flusso radiativo mentre il terzo termine:

11 Ipotesi di atmosfera piana Si ha quindi: e possibile dimostrare che per una stella a simmetria sferica con r distanza dal centro si ha: C e quindi una specie di «vento di radiazione» che si sposta verso zone a bassa pressione da zone con pressione maggiore. In una stella in equilibrio termodinamico a tanti processi di emissione corrispondono gli stessi processi di assorbimento. Quindi questo comporta che il flusso radiativo sia costante in tutti i punti dell atmosfera stellare e pertanto uguale al suo valore sulla superficie: (ricordiamo che siamo nell ipotesi di atmosfera piana).

12 Se pero e costante, ricordando che: Si deve avere: Inoltre se il flusso e costante l equazione: Puo essere integrata fornendo: con C costante di integrazione.

13 Ipotesi di atmosfera piana: approssimazione di Eddington Quello che noi vogliamo trovare e un andamento che leghi la profondita ottica alla temperatura della stella nell atmosfera. Per fare questo e necessario assumere una distribuzione angolare per l intensita specifica. Si puo assumere il modello di Eddington dove abbiamo semplicemente due valori, uno uscente nella direzione dell asse z ed uno entrante. In questo caso si hanno delle importanti relazioni tra intensita media, flusso e pressione.

14 Ipotesi di atmosfera piana: approssimazione di Eddington Considerando l equazione: Utilizzando l ultima delle espressioni per la pressione dalla pagina precedente: La costante puo essere determinata sulla superficie della stella dove (l ultima relazione si ottiene considerando l approssimazione di Eddington)

15 Ipotesi di atmosfera piana: approssimazione di Eddington Quindi la costante vale: Inserendo otteniamo: Ora dato che il flusso radiativo e costante abbiamo:

16 Ipotesi di atmosfera piana: approssimazione di Eddington Per continuare dobbiamo fare l ulteriore approssimazione di equilibrio termodinamico Locale (LTE) vale a dire che localmente l intensita specifica e data da un corpo nero. In questo caso non si hanno variazioni di intensita specifica, quindi abbiamo che l intensita specifica e pari alla funzione sorgente. Ricordando quindi che per l approssimazione di atmosfera piana: Si ha: La temperatura effettiva indica la temperatura della stella a t=2/3 e non a t=0!!!

17 E somma di due contributi positivi (ricordate che la profondita ottica diminuisce). Oscuramento al bordo Consideriamo l equazione del trasporto: E cerchiamo una soluzione generale moltiplicando per un esponenziale Integrando da dove alla superficie con

18 Oscuramento al bordo Consideriamo ora la profondita ottica verticale: Ponendo uno dei punti quando la profondita ottica e infinita (molto dentro la stella): La quale puo essere risolta conoscendo l andamento della funzione sorgente con la profondita ottica. Assumendo: Si ottiene:

19 Oscuramento al bordo Nel caso di atmosfera piana, approssimazione di Eddington e LTE avevamo trovato: Ovvero: Usano l oscuramento al bordo possiamo Verificare:

20 Profilo delle linee spettrali Un punto importante e che il coefficiente di assorbimento sara maggiore al centro della riga e minore ai bordi. Questo vuol dire che la riga deve essere in zone piu alte dell atmosfera stellare rispetto ai bordi, cioe proviene da zone meno calde rispetto di quelle ai bordi che sono quindi piu profonde. La linea in figura non e satura e quindi si dice che il mezzo e otticamente sottile. Consideriamo una riga spettrale. Si definisce come profondita della riga la quantita : Dove Fc e il valore al continuo e Fl e il flusso radiativo della riga. Si definisce come larghezza equivalente: Che e la base di un rettangolo di area equivalente a quella della riga. Si definisce la larghezza a mezza altezza la quantita l intervallo in lunghezza d onda per cui:

21 Processi fisici che allargano le righe spettrali 1- Principio di indeterminazione: Allargamento Naturale. Se un elettrone e eccitato ad un certo livello energetico questo decadra dopo un certo intervallo di tempo. Non e possibile conoscere l energia dello stato con Precisione infinita perche vale la relazione di indeterminazione di Heisenberg tempo-energia: Quindi si ha una indeterminazione sull energia del fotone e quindi sulla sua lunghezza d onda, data da: Un conto un po piu preciso fornisce una larghezza a mezza altezza pari a: Con valori dell ordine di:

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23 Processi fisici che allargano le righe spettrali 2- Allargamento Doppler. Le particelle che formano il gas dell atmosfera stellare seguiranno una distribuzione di Maxwell-Boltzmann con velocita di massima probabilita data da: Questo produce un effetto doppler sulle righe pari a ovvero pari a: Che, facendo un po di conti corrisponde ad una larghezza di riga a mezza altezza pari a: Attenzione pero : Anche se il segnale a mezza altezza è più grande poi l effetto sulla riga decresce in modo Esponenziale!

24 Processi fisici che allargano le righe spettrali 3- Effetti di Pressione (o collisionali) collisioni con atomi neutri o presenza del campo elettrico di ioni vicini possono anch essi portare ad un allargamento delle righe. La forma dell allargamento e simile a quella dell allargamento naturale dovuto al principio di indeterminazione: dove il tempo pero adesso e la differenza tra due collisioni. Questo puo essere scritto come: dove abbiamo usato la velocita media da Maxwell-Boltzmann e l espressione del libero cammino medio. Si ha quindi: Il fatto che dipenda da n permette di distinguere le classi di luminosita. Stelle piu rarefatte con n minore (giganti luminose) avranno righe piu strette rispetto a quelle di sequenza principale.

25 Classificazione spettrale di Yerkes Questa classificazione distingue sette tipi diversi di stelle: I supergiganti Ia supergiganti più luminose Ib supergiganti meno luminose II giganti luminose III giganti normali IV subgiganti V stelle di sequenza principale (nane), come il Sole VI subnane (usata raramente) VII o D nane bianche (usata raramente) La classificazione spettrale di Yerkes, chiamata anche il sistema MKK, è un sistema di classificazione spettrale introdotto nel 1943 da William W. Morgan, Phillip C. Keenan e Edith Kellman dello Yerkes Observatory. Questa classificazione si basa su linee spettrali sensibili alla gravità superficiale della stella, la quale è in genere legata direttamente alla sua luminosità, invece che alla temperatura come la tradizionale classificazione di Harvard: infatti, poiché il raggio di una stella gigante è molto più elevato di quello di una stella nana, le loro masse possono essere all'incirca comparabili; la gravità e quindi la densità e la pressione dei gas superficiali sono molto inferiori per la stella gigante. Tutte queste differenze si manifestano come effetti di luminosità, che influenzano sia la larghezza che l'intensità delle linee spettrali.

26 Una volta identificata la classe di luminosita e la classe spettrale si puo calcolare la magnitudine assoluta semplicemente ponendo la stella nel diagramma. Questo, conoscendo la magnitudine apparente permette di ottenere la distanza della stella. Questo metodo detto di parallasse spettroscopica e limitato dalle incertezze tra classe di luminosita e magnitudine assoluta.

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28 Profilo di Voigt Il profilo complessivo della riga e detto profilo di Voigt al quale contribuiscono sia i termini Doppler sia quelli di damping (allargamento naturale e collisionale). il termine Doppler domina al centro ma decresce in modo esponenziale per via della distribuzione Maxwell-Boltzmann. Ai bordi dominano i termini di damping degli allargamenti naturali e collisionali.

29 Calcolo delle righe spettrali Il modello alla base del calcolo delle linee spettrali e quello di Schuster-Schwarzschild. Questo assume che la fotosfera della stella sia un corpo nero e che gli elementi che assorbono la luce sono fra noi e la fotosfera. E necessario conoscere i valori di temperatura, densita e composizione della zona dove si forma la riga. Temperatura e densita sono alla base degli allargamenti delle righe. Il calcolo non dipende solo da questo ma anche dai dettagli di meccanica quantistica di come l atomo assorbe il fotone. Per il calcolo si introduce anche la densita di colonna N che e il numero di atomi di un certo elemento frapposti tra noi e la fotosfera per unita di superficie (in pratica si immagini un tubo di sezione di 1 m^2 tra noi e la stella N e il numero di atomi nel tubo). L obbiettivo e quello di calcolare N, cioe la quantita di atomi di un certo elemento, a partire dalla forma delle righe spettrali. In realta il processo e complicato dal fatto che non tutte le transizioni hanno la Stessa probabilita. Una transizione da n=2 ad n=3 nell atomo di Idrogeno e cinque volte piu probabile di una transizione da n=2 ad n=4. Questo porta all introduzione dei fattori di forma f che «pesano» per questo effetto.

30 Curva di Crescita La curva di crescita permette di calcolare la densita di colonna di un elemento a partire dalla larghezza equivalente di una riga W.

31 Curva di Crescita La curva di crescita permette di calcolare la densita di colonna di un elemento a partire dalla larghezza equivalente di una riga W.

32 Esempio: calcolo dell abbondanza del sodio nel Sole

33 Esempio: calcolo dell abbondanza del sodio nel Sole Vi sono circa 10^19 atomi di sodio Per m^2 che producono Le due righe.

34 Esempio: calcolo dell abbondanza del sodio nel Sole Usando Boltzmann Si vede che nel sole tutti gli atomi di sodio neutri sono nello stato di base n=2. Usando Saha si vede pero che la maggior parte degli atomi di sodio sono ionizzati. Quindi quelli neutri che formano le righe sono una piccola parte. Quindi la densita di colonna di tutto Il sodio e molto piu grande di quella misurata dalla curva!!

35 In pratica: lo studio delle righe spettrali e la curva di crescita teorica permette di risalire alle densita di colonna degli atomi che producono la riga. A quel punto grazie a Boltzmann e Saha possiamo ricostruire le abbondanze relative. I conti sono in genere molto piu complicati e tengono conto di vari elementi, tuttavia questo e il procedimento di base.