1) Si ha quindi Un cateto è uguale al prodotto dell ipotenusa per il seno dell angolo opposto.

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1 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin TRIANGOLO RETTANGOLO Considerimo i tringoli rettngoli OPQ e OP ' Q A γ C Essi sono simili per ui Q P : QP OP : OP Essendo Q ' P ' QP sin OP OP ottenimo : sen : e quindi sen ) Si h quindi Un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il seno dell ngolo opposto. Aimo nhe OQ : OQ OP : OP e quindi : os : per ui sen ) Un teto è ugule l prodotto dell ipotenus per il oseno dell ngolo uto d esso diente. Dll proporzione OQ : OQ P Q : PQ vremo : os : sen e quindi os tg sen tg inoltre sen tg os tg ) un teto è ugule l prodotto dell ltro teto per l tngente dell ngolo opposto o per l otngente dell ngolo uto diente

2 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 4 AREA DI UN TRIANGOLO A α H γ C L re di un tringolo è ugule l semiprodotto di due lti per il seno dell ngolo tr essi ompreso. Considerimo il tringolo qulunque AC e supponimo noti, e γ, si inoltre h AH l ltezz reltiv l lto C Avremo, indindo l re del tringolo on S h S essendo h sen γ ottenimo S sen γ Anlogmente se il tringolo è ottusngolo A γ α γ C H In questo so S h h sen ( γ ) sen γ e quindi: S sen γ Pertnto: S sen γ sen senα TEOREMA DELLA CORDA L lunghezz di un ord di un ironferenz è ugule l prodotto del dimetro per il seno di uno qulunque degli ngoli ll ironferenz he insistono su uno dei due rhi determinti dll ord stess.

3 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 5 Se l ord Aè un dimetro si h A r Gli rhi d ess sottesi risultno due semiironferenze. Poihé gli ngoli ll ironferenz he insistono su questi rhi sono ngoli retti risult sinα sin e quindi A r senα r Se l ord A non è un dimetro, onsiderimo dimetro AM : il tringoloam è rettngolo e pertnto per il teorem dei tringoli rettngoli vremo A r senα Se onsiderimo l ro AL, per un proprietà reltiv i qudrilteri insritti in un ironferenz vremo he l ngolo ll ironferenz srà α e quindi essendo sin( α) sinα vremo A r sen( α) r sinα TEOREMA DEI SENI C γ A α Le misure dei lti di un tringolo sono proporzionli i seni degli ngoli opposti. Applindo ogni lto del tringolo irosritto d un ironferenz il teorem dell ord si h: r senα ; r sen ; r sen γ essendo r il dimetro ne seguono le seguenti uguglinze: r senα ; sen r ; sen r γ

4 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin Avremo quindi r senα sen sen γ TEOREMA DELLE PROIEZIONI A α H γ C In un tringolo qulunque l misur di un lto è ugule ll somm dei prodotti degli ltri due lti per il oseno dell ngolo he isuno di essi form ol primo. Sppimo he: C H + HC essendo H os e HC osγ vremo osγ + os nlogmente osγ + osα os + osα TEOREMA DEL COSENO A α H γ C A α H γ C In un tringolo il qudrto dell misur di un lto è ugule ll somm dei qudrti delle misure degli ltri due, diminuiti del doppio prodotto delle misure dei due lti per il oseno dell ngolo d essi formto. dl teorem delle proiezioni imo osγ + os osγ + osα os + osα moltiplindo, l per, l per, l terz per osγ + os osα osγ os osα sommndo memro memro ottenimo: + osα inoltre vremo

5 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 7 + os + osγ Si h nhe + osα + os + osγ IDENTITA ED EQUAZIONI GONIOMETRICHE Si definise identità goniometri ogni uguglinz fr due espressioni ontenti funzioni goniometrihe di uno o più ngoli. Tli identità sono risolviili in modo nlogo lle identità lgerihe. Inftti si può lsire invrito il seondo memro, e risolvere il primo (sviluppndolo e/o semplifindolo) in modo d ottenere due espressioni identihe. senα os α + sen α senα ( ) senα os α + sen α senα essendo senα senα os α sen α + ottenimo tgα + tgα senα osα osα senα + senα osα senα osα os α + sen α senα osα senα osα senα osα senα osα α tg α + tgα ( ) sin α os α + tg + osα tg + osα tg α + tgα + osα tg + ( ) ( ) sinα osα os α sin α + + osα sinα osα os α + sin α + os α sinα osα sin α os α + + tg α + tgα tg α + tg + tgα tg α +

6 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 8 Sostituendo sin α + os α ottenimo: α α α α α α sin os + sin os + sin + os E quindi: sin α + sin α os α os α tg α + tg α tg + Quindi sostituendo sin α + os α otterremo: sin α + sinα osα os α tg α + tgα sin α + os α tg α + Dividendo si il numertore he il denomintore per tg α + tgα tg α + tgα tg α + tg α + EQUAZIONI tg α + tgα tg α + os α ottenimo Si definise equzione goniometri un uguglinz fr due espressioni goniometrihe he viene definit per luni vlori he si ttriuisono gli ngoli. Esempi di equzioni goniometrihe elementri sono: sin x on os x on tg x l equzione è sempre possiile qulunque si il numero rele 4.. tg x l equzione è sempre possiile qulunque si il numero rele Esempio P P sin x Il seno di x ssume il vlore in due punti, ome si not dl grfio, e preismente: ) x + κ ) 5 x + κ x + κ I due vlori ottenuti srnno dunque le soluzioni dell equzione.

7 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 9 Esempio os x P P Il oseno di x ssume il vlore ) x + κ ) x + κ Od nhe x ± + κ Esempio n tg x in due punti, ome si not dl grfio, e preismente: + α α x + κ Si not he l tngente è un funzione periodi di e pertnto h un sol soluzione. Equzioni dell form sin( x + ) sin( x + d) os( x + ) os( x + d) tg( x + ) tg( x + d) tg( x + ) tg( x + d)

8 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 0 sin( x + ) sin( x + d) Si h x + x + d + k e x + ( x + d) + k os( x + ) os( x + d) Si h x + ± ( x + d) + k tg( x + ) tg( x + d) Si h x + x + d + k 4 tg( x + ) tg( x + d) Si h x + x + d + k EQUAZIONI RICONDUCIILI AD ELEMENTARI Sono equzioni rionduiili d elementri tutte quelle equzioni he ttrverso ssmento di grdo o semplifizione ssumono l form sin x, os x, tg x Esempio os x + os x 0 risolvendo ome un equzione lgeri di grdo otterremo, essendo 9 e quindi ± os x + imo osì riondotto l equzione inizile quelle dell form elementre seguente: ) os x ) os x L prim equzione non h soluzione poihé il vlore di os x vri d. L seond equzione h due soluzioni: x κ x + κ EQUAZIONI LINEARI Un espressione linere generi in sen x e os x vrà form: sin x + os x + 0 Se 0 l equzione è omogene. Se l equzione è omogene si divide l inter equzione per os x supposto he os x 0 e. x + κ vrà form: tg x + 0

9 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin Esempio sin x os x 0 dividendo per os x otterremo: tg x 0 tg x L soluzione srà: x + κ Se l equzione non è omogene si può risolvere medinte l uso delle formule prmetrihe x supposto he tg + k e x + k riordndo le formule prmetrihe del seno e del oseno: t sin x + t t os x t Esempio sin x + os x 0 sostituendo otterremo: t t t + t d ui si vrà: t + t t 0 t t 0 t t 0 t t 0 ( ) t 0 Quindi: ) x tg k x k ) x tg + k x + k 4 Metodo grfio L equzione del tipo sen x + os x + 0 può essere risolt ttrverso il metodo he onsente grfimente di trovre le soluzioni. Tle metodo onsiste nel porre os x X sen x Y L equzione ssume l form:

10 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin X + Y + 0 ssoindo quest l equzione di un ironferenz goniometri, dunque: X + Y otterremo un sistem del tipo: X + Y + 0 X + Y Le soluzioni del sistem, drnno le soluzioni dell equzione. N..) si riord he tle metodo è il più pproprito per l risoluzione di un equzione goniometri linere. Esempio sen x + os x 0 ponendo: os x X sen x Y e ssoindo l ironferenz goniometri vremo un sistem del tipo: X + Y 0 X + Y sviluppndo otterremo: Y X X + Y Y X Y X Y X X X X ± ± ottenimo Y Y X X le oordinte dei punti he himeremo rispettivmente A e srnno: A ; θ ; Grfimente si h:

11 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin A 4 4 Le soluzioni reli sono due m poihé sommndo d entrmi gli ngoli si ottiene l ngolo opposto, se ne dedue he l soluzione srà: x + κ 4 EQUAZIONI LINEARI Dt l equzione sin x + os x + 0 dividendo per + ottenimo: sin x + os x Ponimo si h: + k e + h () h + k Essendo + e + possimo porre k osϕ h sinϕ ioè + osϕ Sostituendo nell (), ottenimo + sinϕ

12 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 4 sin x osϕ + os xsinϕ ioè sin ( x + ϕ ) Ponendo x + ϕ z + vremo sin z + Posto A + si h A x + sin ( ϕ ) Se 0 ottenimo ( ) Asin x + ϕ 0 Esempio sin 4x + os 4x Ponimo 4x Si h: α sinα + osα e quindi per ui + ottenimo sinα + osα Inoltre osϕ sinϕ

13 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 5 e quindi ϕ L equzione diviene sinα os + osα sin ioè sinα + Avremo quindi ) sinα + α k essendo ) 4x α ottenimo 4x k x k 5 α + + k 5 α + k α + k ioè 4x + k x + k

14 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO Un equzione si die omogene di grdo qundo h l seguente form: sin x + sin x os x + os x 0 Supposto he x + k Tle equzione può essere risolt dividendo per os x ottenendo quindi un o più equzioni elementri in tg x. Si h: tg x + tg x + 0 Esempio ( ) sin x + sin x os x os x 0 dividendo per os x ottenimo: tg x + ( ) tg x 0 ( ) + 4 ( + ) + ( ) ± ( + ) tg x le soluzioni sono: ) tg x x + κ ) tg x x + κ 4 EQUAZIONI RICONDUCIILI AD OMOGENEE Un equzione è rionduiile d omogene qundo h l seguente form: sen x + sen x os x + os x + d 0 È rionduiile d un equzione omogene di grdo moltiplindo il termine d per sen x + os x ( ) dunque otterremo: sen x + sen x os x + os x + d sen x + os x 0 ( ) dunque sommndo: + d sen x + sen x os x + + d os x 0 ( ) ( ) ssumendo osì l form di un equzione omogene di grdo risolviile pertnto on lo stesso metodo, ioè dividendo l inter equzione per os x o sen x : ( + d ) tg x + tg x + ( + d ) 0 Esempio:

15 Trigonometri prte esy mtemti Elin pgin 7 ( ) ( ) + sen x + os x + sen x os x 0 moltiplindo ( sen x os x) + otterremo: ( ) ( ) x x x x ( x x) sen x + ( ) sen x os x os x 0 + sen + os + sen os sen + os 0 dividendo per os x ottenimo: tg x + ( ) tg x 0 ( ) + 4 ( + ) + ( ) + ± + tg x x + k 4 ) tg x x + k le soluzioni srnno ) tgx

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