LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

Transcript

1 LEZIONE N 3 METODI E TECNOLOGIE PER L INSEGNAMENTO DELLA MATEMATICA

2 GLI INSIEMI NUMERICI N Numeri naturali Z : Numeri interi Q : Numeri razionali R : Numeri reali

3 Q A meno di isomorfismi!!! R 5 π Digitare l'equazione qui N Z

4 I NUMERI NATURALI

5 IL CONCETTO DI SUCCESSIVO Il fulcro della consapevolezza numerica dei bambini è la successione dei vocaboli numerali che: - inizia da un numero particolare: uno - dopo ogni numero c è sempre un altro numero - nel contare non si torna mai indietro Ciò è espresso con il concetto di «passaggio al successivo»

6 Da conquistare 1) il successivo di n è n+1 (cioè passare al successivo equivale ad aggiungere 1) 2) I numeri naturali sono infiniti N.B.: Il meccanismo dell aggiungere uno è legato ragionamento per ricorrenza, con il quale una proprietà può essere estesa da un caso particolare all altro.

7 I Naturali e l ordinamento Comunque presi due numeri naturali m e n, può accadere soltanto una delle tre possibilità: n < m oppure n = m oppure n > m (Legge di Tricotomia) È sempre possibile quindi confrontare due qualunque numeri naturali!!

8 LE OPERAZIONI DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

9 ADDIZIONE Che vuol dire a + b? Sommare ad a tante unità quante sono quelle contenute in b E necessario quindi l aspetto cardinale del numero, cioè la consapevolezza che il numero b esprime una numerosità, ma anche il ragionamento per ricorrenza, cioè aggiungere 1 b volte

10 I termini dell addizione 18+ addendo 13= addendo 31 Somma

11 PROPRIETÀ DELL ADDIZIONE È una operazione interna: m, n N, m + n N Vale la proprietà associativa: m, n, p N, m + n + p = m + (n + p) Vale la proprietà commutativa: m, n N, m + n = n + m Neutralità dello 0: n N, n + 0 = 0 + n = n

12 Sottolineatura importante Rivediamo le proprietà dell uguaglianza: Proprietà riflessiva: a = a Proprietà simmetrica: a = b b = a Proprietà transitiva: a = b e b = c a = c N.B.: la proprietà simmetrica fa si che io possa leggere una uguaglianza in entrambi i sensi Es: (12+5)+7=17+7 perciò 17+7=(12+5)+7 quindi: Non esiste la proprietà dissociativa!!!!!!

13 SOTTRAZIONE Che vuol dire a b? Si può vedere in due modi: (1)Togliere ad a tante unità quante sono quelle contenute in b (2)Trovare quel numero c che sommato a b da come risultato a L espressione (1) presenta una procedura con cui eseguire l operazione L espressione (2) presenta la sottrazione come operazione inversa dell addizione.

14 I termini della sottrazione 65 - minuendo 31 = sottraendo 34 differenza

15 Proprietà la sottrazione non è una operazione interna all insieme dei numeri naturali: è possibile associare un risultato solo se a b (requisito necessario: saper riconoscere il maggiore tra due numeri) Non vale la proprietà commutativa Non vale la proprietà associativa Es.: (15-7)-5 15-(7-5) Vale la proprietà invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero. a b = a + c (b + c)

16 Le proprietà delle operazioni e il calcolo mentale 55+27=55+(20+7)= (55+20)+7=75+7=82 Quali proprietà abbiamo applicato? In ogni passaggio (escluso l ultimo) sempre la proprietà associativa 55+27= = (50+20)+(5+7)=70+12=82 In questo caso proprietà associativa e proprietà commutativa = (125-25)-(75-25)=100-50=50 Qui è applicata la proprietà invariantiva

17 Con attenzione possiamo coinvolgere insieme addizione e sottrazione: 33+49=33+(50-1)=(33+50)-1=83-1= 82 Di fatto abbiamo applicato la proprietà associativa anche in presenza della sottrazione. Perché è possibile?

18 LE OPERAZIONI DI MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE

19 I termini della moltiplicazione

20 Proprietà della moltiplicazione È una operazione interna: Vale la proprietà associativa: m, n N, m n N m, n, p N, Vale la proprietà commutativa: m, n N, Neutralità dell 1: n N, m n p = m (n p) m n = n m n 1 = 1 n = n 0 è elemento assorbente: n N, n 0 = 0

21 Proprietà distributiva E la proprietà che lega le operazioni di addizione e moltiplicazione e precisamente: la moltiplicazione è distributiva rispetto all addizione, poiché m, n, p N, m + n p = m p + n p L addizione invece non è distributiva rispetto alla moltiplicazione, infatti: N.B. 1: Quando la sottrazione è possibile, si può parlare anche di proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione. Es.: = N.B. 2: Per affermare che una cosa è vera bisogna dimostrare che è vera sempre, per affermare che è falsa, basta un singolo caso!!!

22 Ancora un po di calcolo mentale = = = (proprietà...) = = (proprietà ) = = = = (proprietà..) = = 425 (proprietà....) Oppure: = = = = 425

23 Concetto di Multiplo Il numero a si dice multiplo di b se esiste un numero c tale che: a = b c Dato un qualunque numero n, i suoi multipli sono tutti i numeri che si ottengono moltiplicando n per i vari numeri naturali. Per esempio, se il numero assegnato è 3, i suoi multipli sono: 3 0=0, 3 1=3, 3 2=6, 3 3=9,, 3 10=30,, 3 25=75, Quanti sono? Evidentemente tanti quanti sono i numeri naturali. 0 è multiplo di qualsiasi numero I multipli di 2 si chiamano numeri pari Se un numero non è pari allora si dice dispari

24 LA DIVISIONE non è una operazione interna all insieme dei numeri naturali: all operazione a: b è possibile associare un risultato solo se a è multiplo di b Non vale la proprietà commutativa Non vale la proprietà associativa: 12: 4 : 3 è possibile 12: 4: 3 non è possibile

25 Proprietà della divisione Neutralità dell 1 n N n: 1 = n Comportamento dello 0: - n N 0: n = 0 -non è possibile la divisione per 0 infatti non esiste un m N tale che 0 m = n Vale la proprietà invariantiva m: n = m p : n p = m: c : (n: c) Vale la proprietà distributiva della divisione rispetto all addizione o sottrazione (quando le operazioni sono possibili) m ± n : p = (m: p) ± (n: p)

26 Il concetto di Divisore Il numero b si dice divisore di a se esiste un numero c tale che: a = b c Ogni numero è divisore di se stesso 1 è divisore di ciascun numero I divisori di un numero sono sempre in numero finito: quanti sono?

27 I Numeri primi Un numero che ammette come divisori solo se stesso e l unità si dice primo Se un numero non è primo si dice composto 0 e 1 non sono né primi né composti I numeri primi sono infiniti: la prima dimostrazione la dobbiamo a Euclide La distribuzione dei numeri primi all interno dei naturali non ha una apparente regolarità. Oggi i numeri primi sono molto utilizzati in crittografia

28 Criteri di divisibilità un numero è divisibile per 2 se termina con una cifra pari (0,2,4,6,8) un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3 un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4 un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5 un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3 un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9 un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0

29 La Divisione con il resto Dati due qualunque numeri naturali a e b (b 0), esistono sempre, e sono unici, due numeri q ed r tali che: a = b q + r Ciò vuol dire che la divisione con il resto è sempre possibile. N.B.1: il resto è sempre minore del divisore, cioè 0 r < b N.B.2: La divisione con resto può essere vista come una generalizzazione della divisione