DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE FACOLTA DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO

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1 DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA MECCANICA E STRUTTURALE FACOLTA DI INGEGNERIA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRENTO Corso di Aggiornamento su Problematiche Strutturali Verona, Aprile - Maggio 2005 INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DELLE STRUTTURE Massimiliano Gei

2 SOMMARIO Oscillatore semplice: vibrazioni libere e forzate Oscillatore semplice soggetto ad azione sismica Spettro di risposta elastico Calcolo dello stato di sollecitazioni di strutture a 1 e a 2 gradi di libertà Confronto tra analisi statica e dinamica Simmetria strutturale, baricentro elastico, effetti torcenti 2

3 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE Esempi di oscillatore semplice k m u(t) m u(t) k u(t) m h k=3 EI/h 3 h k/2 m k/2 Equazione del moto Forza elastica k=2 12 EI/h 3 (2 pilastri) Forza d inerzia.. m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) 3

4 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE m u(t) h.. u(t)+ω 2 u(t)=0.. m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) k= 12 2 EI/h 3 ω= k/m pulsazione (freq. circolare) (2 pilastri) T=2 π/ω =2 π m/k periodo proprio Nelle strutture civili il periodo proprio T è dell ordine di secondi 4

5 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI LIBERE u(t) m Equazione del moto:.. m u(t)+k u(t)=0 (vibrazioni libere) (1) h k=3 EI/h 3.. u(t)+ω 2 u(t)=0, ω= k/m Legge oraria del moto (soluzione dell equazione 1): spostamento: u(t)=u sin(ωt+φ) max spostamento: u max =U.. velocità: u(t)=u ω cos(ωt+φ) max velocità: u max =U ω.... accelerazione u(t)= U ω 2 sin(ωt+φ) max accelerazione: u max =U ω 2 5

6 OSCILLATORE SEMPLICE: RIGIDEZZA E PERIODO T F Periodo proprio della struttura: T =2 π k m h k/2 m k/2 Struttura molto rigida, k alto, T basso (pochi decimi di secondo) F h k/2 m k/2 Struttura poco rigida, k basso, T alto (nell ordine del secondo) 6

7 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE Si applica all oscillatore una forza di pulsazione costante ω 0 e di intensità massima F 0 m F(t)=F 0 sin ω 0 t Equazione del moto (con smorzamento) h... k/2 k/2 u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω 2 u(t)=f(t)/m ξ: coefficiente di smorzamento (2 5 %) D: fattore di amplificazione dinamica: rapporto tra lo spostamento causato dall azione dinamica e quello provocato dalla forza agente staticamente. 7

8 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZIONI FORZATE Amplificazione (bassi ξ) Risonanza Riduzione La risonanza si ha per ω 0 = ω Per ω 0» ω, D 0, la struttura non risente della forzante 8

9 STRUTTURE A PIU G.D.L.: MODI DI VIBRARE In una struttura a più Gradi Di Libertà (G.D.L.) l analisi dinamica mostra l esistenza di configurazioni privilegiate di vibrazioni, chiamati MODI DI VIBRARE della struttura. I modi di vibrare sono in numero pari ai G.D.L. della struttura. Esempio: struttura a 2 G.D.L. 1 modo, U (1) 2 modo, U (2) 9

10 MODI DI VIBRARE DI STRUTTURE A PIU G.D.L. Sono in n pari ai gradi di libertà della struttura Ogni modo di vibrare è associato ad una pulsazione (o periodo) ω 1 {U (1) }, ω 2 {U (2) }, ω 3 {U (3) }, ecc. Pulsazione naturale o fondamentale Periodo proprio o fondamentale ω 1 ω 2 ω 3 ecc. T 1 T 2 T 3 ecc. 2π T= ω 3 piani, 3 modi di vibrare T 1 T 2 T 3 1 modo 2 modo 3 modo 10

11 MODI DI VIBRARE: PROPRIETA (II) Una vibrazione generica di una struttura è una combinazione dei modi di vibrare della struttura (dipende dalle condizioni iniziali). Se le condizioni iniziali corrispondono ad un modo di vibrare allora la struttura vibrerà liberamente secondo il modo stesso. 1 modo 2 modo 11

12 OSCILLATORE SEMPLICE: VIBRAZ. FORZATE SMORZ. m u(t) F(t) F(t) Impulso elementare h t u(t)... u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω 2 u(t)=f(t)/m (vibrazioni smorzate forzate) t u(t) 1 ω t 0 F( τ) m 1 exp[ ξ ω (t τ)] sin [ω (t τ)] dτ V(t,ξ) ω vale per bassi valori di ξ (1-5%) V(t): è una velocità = PSEUDO VELOCITA (PSV) 12

13 OSC. SEMPLICE: SPOSTAMENTO IMPRESSO ALLA BASE u(t)..... m m (u+y)+c u+ k u = 0 h..... u(t)+2 ξ ω u(t)+ ω 2 u(t)= y(t) y(t) y(t) u(t) 1 ω V(t) legge del moto.. y(t): ACCELEROGRAMMA.. y(t) Accelerogramma tipico di un sisma V(t) = y&( & τ) exp[ ξω(t τ)] sin [ω(t τ)] dτ t t 0 13

14 ACCELEROGRAMMA.. y(t) g Componente Nord-Sud dell accelerazione al suolo per il terremoto di El Centro del

15 ACCELERAZIONE EFFICACE u(t) h m Quale forza d inerzia (m a eff ), agendo staticamente, provoca in ogni istante lo spostamento u(t)? y(t) y(t) m a eff (t) = k u(t) (2) u F inerzia = F elastica m ma eff Le sollecitazioni della struttura sono legate al valore della forza elastica F elastica. h Attraverso la relazione (2) si trasforma il problema dinamico in un problema statico. Se conosco a eff max posso calcolare le massime sollecitazioni della struttura indotte dal sisma. a eff (t)= m k u(t)=ω 2 u(t)= ω V(t) 15

16 SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI Ai fini progettuali è necessario disporre di V max è la quantità fondamentale. a eff max : accelerazione efficace massima, u max : massimo spostamento, V max : pseudo-velocità massima Spettro di risposta elastico in termini di velocità (Velocità spettrale).. y(t).. Accelerogr. y(t) applicato ad un oscillatore di pulsazione ω e smorz. ξ V(t;ω,ξ) V max =S ve (ω,ξ) S ve (T,ξ) S ve ξ crescente t T=2π/ω 16

17 SPETTRI DI RISPOSTA ELASTICI Ottenuto S ve (ω,ξ): u max = S de (ω,ξ)= ω 1 Sve (ω,ξ) Spostamento spettrale a eff-max = S ae (ω,ξ)=ω S ve (ω,ξ) Accelerazione spettrale Lo spettro dà il massimo valore della grandezza per un determinato oscillatore e per un determinato accelerogramma. Per uno stesso sito si calcolano gli spettri per diversi sismi SPETTRI MEDI S de ξ crescente S ve ξ crescente S ae ξ crescente T=2π/ω T=2π/ω T=2π/ω 17

18 CALCOLO AZIONI SISMICHE TRAMITE SPETTRO ELAST. (1 grado di libertà) h m S ae a h m ma T T=2π/ω Struttura (1 gdl): Calcolo dell accel. a Calcolo delle sollecit. noti ω (o T) e ξ mediante lo spettro indotte dal sisma medio DIMENSIONAMENTO PROGETTO DI MASSIMA DI DETTAGLIO 18

19 SPETTRO DI RISPOSTA ELASTICO (NORMATIVA) Periodo proprio Tipologie del terreno di fondazione Dipende dal terreno di fondazione D A Accelerazione max del terreno zona a g g g g g g = 9.81 m/s 2 Dipende dallo smorzamento 19

20 OSSERVAZIONI SULLO SPETTRO ELASTICO i valori dello spettro sono più elevati quanto è minore lo smorzamento se la struttura è molto rigida (T 0), il suo moto coincide con il moto del terreno, e la massima accelerazione subita dalla massa m coincide con la max accelerazione del terreno, per cui.. S ae (0,ξ) y max se la struttura è molto deformabile (T > 2 s) la max accelerazione subita dalla massa m è inferiore al valore della massima accelerazione del terreno, per cui.. S ae (T,ξ) < y max se la struttura ha valori del periodo fondamentale T intermedi (0.1 s < T < 1 s ) la max accelerazione subita dalla massa m supera notevolmente la max accelerazione del terreno.. S ae (T,ξ) > y max 20

21 ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE 3 m q=40 kn/m Pilastri 30x30 in c.a. E (c.a.)=2000 kn/cm 2 I pil =30 4 /12=67500 cm 4 5 m Rigidezza: k = 2 12 EI pil /h 3 = / = 120 kn/cm = N/m Massa: m= W / g = 200 / kn s 2 /m = kg = 20 t Periodo: T = 2 π / ω = 2 π m = 2 π k =0.26 s S ae (T=0.26 s)=a g S η 2.5 = 0.35 g = g Spettro elastico (da normativa) F max = W S ae /g = = 175 kn 21

22 ESEMPIO: TELAIO SEMPLICE, SOLLECITAZIONI q=40 kn/m F max =175 kn + = M knm 32 M knm 131 M knm Carichi Sisma con periodo di Totale Verticali ritorno di circa 500 anni 22

23 Esempi di calcolo delle azioni sismiche sulla base dello spettro elastico proposto nell Ordinanza 3274/03 q=30 kn/m 3 m q=30 kn/m 3 m 5 m 23

24 ESEMPIO: ANALISI STATICA (I) q=30 kn/m Periodo fondamentale: T = 0.36 s 3 m 3 m 5 m q=30 kn/m Pilastri 30x30 in c.a. Peso sismico di ogni piano: W 1 =W 2 =150 kn Peso sismico tot: W= W 1 + W 2 = 300 kn S ae (T=0.36 s)=a g S η 2.5 = g Quote dei due piani: z 1 = 3 m; z 2 = 6 m Azione tagliante totale alla base del fabbricato 0.35 g (zona 1) F base = S ae λ W/g = = 263 kn massa λ: coefficiente che dipende dall altezza della struttura 24

25 ESEMPIO: ANALISI STATICA (II) Quote dei due piani: z 1 = 3 m; z 2 = 6 m F 2 =175 kn W Forze di piano: F i = F base z i i j zjwj Σ j z j W j = = 1350 kn m F 1 =88 kn 150 F 1 = = 88 kn F 2 = = 175 kn

26 ESEMPIO: ANALISI STATICA (III) Sollecitazioni indotte dall azione sismica 175 kn 175 kn kn 88 kn 197 N p T p M p T p N p M p M knm (sui pilastri) Momento al piede (M p ) = 197 knm Taglio al piede (T p ) = 132 kn Sforzo normale al piede (N p ) = 184 kn 26

27 ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (I) q=30 kn/m u (1) 2=1 u (2) 2= m 3 m 5 m q=30 kn/m Pilastri 30x30 in c.a. u (1) 1=0.618 u (2) 1=1 I modo II modo T 1 =0.36 s T 2 =0.14 s Coefficienti di partecipazione g 1, g 2 : (g r = g 1 = ( 0.618) =1.171, g 2 = ( 0.618) 2 j j W u j (r) j j (r) (r) j uj W u =0.276 ) 27

28 ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (II) Ogni modo di vibrare (j) conduce un insieme di forze di piano (indice i) F j i F j i = g 1 Sae (T j ) W i γ (j) i γ (j) i = u (j) i g i : coeff. di distribuzione Nell esempio: γ (1) 1 = u (1) 1 g 1 = =0.724, γ (1) 2 = u (1) 2 g 1 = =1.171 γ (2) 1 = u (2) 1 g 2 = =0.276, γ (2) 2 = u (2) 2 g 2 = =

29 ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (III) Spettri elastici S η S ae S ae (T 1 )= S ae (0.36 s)= 0.35 g =0.875 g S ae (T 2 )= S ae (0.14 s)= 0.35 g 1 ( /0.15) =0.84 g Forze di piano F 1 1 = S ae (T 1 ) W 1 γ 1 1/g= = 95 kn T 2 T 1 F 1 2 = S ae (T 1 ) W 2 γ 1 2/g= = 154 kn F 2 1 = S ae (T 2 ) W 1 γ 2 1/g= = 34 kn F 2 2 = S ae (T 2 ) W 2 γ 2 2/g= ( 0.171) = 22 kn 29

30 ESEMPIO: ANALISI DINAMICA (IV) 154 kn 22 kn 156 kn 34 kn 95 kn 101 kn 1 modo 2 modo Azioni totali quadratura Le azioni totali si determinano per quadratura: F tot = ( 2 2 F 1 modo) + (F2 modo) 30

31 ESEMPIO: CONFRONTO ANALISI STATICA E DINAMICA 175 kn 156 kn 88 kn 101 kn Analisi statica Analisi dinamica In questo caso l Analisi statica si dimostra più cautelativa di quella dinamica 31

32 ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO 32

33 ANALISI DIN.: TELAIO PIANO, PRIMI MODI DI VIBRARE 33

34 ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, FORZE DI PIANO 34

35 SIMMETRIA STRUTTURALE Struttura Struttura doppiamente simmetrica simmetrica Rotazione! solaio di piano Spostamenti indotti dal SISMA Spostamenti indotti dal SISMA pilastri Direzione del SISMA Direzione del SISMA 35

36 BARICENTRO DELLE RIGIDEZZE DI PIANO e x eccentricità y C G e y C θ x G: baricentro della massa Sotto un azione torcente del solaio di piano il solaio ruota attorno a C C: baricentro delle rigidezze C corrisponde al baricentro dei momenti statici dei mom. d inerzia dei pilastri i xi Ixi x c =, I i xi y c = i y i I I i yi yi 36

37 ROTAZIONI TORSIONALI INDOTTA DAL SISMA Rotazione indotta da M Traslazione pura Traslazione indotta da F in M=F in e G C Forza d inerzia F in =my& & Forza d inerzia F in =my& & G e C G e C 37

38 ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE 38

39 ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE 39

40 ANALISI DINAMICA: TELAIO SPAZIALE 40

41 ANALISI DIN.: TELAIO SPAZ., PRIMI MODI DI VIBRARE 41

42 ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO, MODI DI VIBRARE (ultimo piano con massa notevolmente inferiore a quelli sottostanti) 42

43 ANALISI DINAMICA: TELAIO PIANO ISOLATO AL PIEDE 43