Simulazione dei sistemi: esercitazione 1

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1 Simulazione dei sistemi: esercitazione 1 Esempio 1: studio di un sistema massa-molla Si consideri il sistema di figura 1 in cui ad un corpo di massa M, vincolato ad un riferimento tramite una molla di costante elastica k 0, viene applicata una forza esterna F. Applicando la forza F il corpo si muove di moto rettilineo ed è soggetto ad un attrito viscoso caratterizzato dal coefficiente di attrito h. Il modello che descrive la dinamica del sistema si ottiene applicando il principio fondamentale della dinamica Mẍ(t) = kx(t) hẋ(t) + F(t) (1) Scegliendo come variabili di stato la posizione del corpo (x 1 = x) e la sua velocità (x = ẋ) e come uscita una combinazione lineare delle due varibili di stato si ottiene ẋ 1 (t) = x (t) ẋ (t) = k M x 1(t) h M x (t) + 1 M u(t) y(t) = αx 1 (t) + βx (t) () Per cui le matrici di stato del sistema sono [ ] [ A =, B = k/m h/m 1/M ], C = [α, β], D = 0 (3) Gli autovalori del sistema si calcolano imponendo det(λi A) = 0 e si ottiene λ 1, = h h M ± 4M k M (4) La tipologia degli autovalori è determinata dal valore dei coefficienti. Infatti, andando a studiare il segno del termine sotto la radice si hanno le seguenti situazioni 1. Due radici reali e distinte se h > 4Mk. Due radici reali coincidenti se h = 4Mk Figure 1: Sistema massa-molla 1

2 3. Due radici complesse coniugate se h < 4Mk Si noti come questo sistema non possa avere radici con parte reale positiva. Infatti per avere una radice con parte reale positiva dovrebbe essere soddisfatta la condizione k < 0 che fisicamente non ha senso: né la massa del corpo né la costante M elastica possono assumere valori negativi. La funzione di trasferimento G(s) è G(s) = 1 M (α + βs) (s + s h M + k M ) (5) Si noti come le radici del polinomio caratteristico siano date dagli autovalori di A. Rappresentando la funzione di traserimento in forma di poli-zeri si ottiene G(s) = β ( α + s) β M (s λ 1 )(s λ ) (6) Un altra rappresentazione importante di G(s) è data dalla fattorizzazione in forma di Bode G(s) = α (1 + β s) α k ( M k s + s h + 1) (7) k Si studi il comportamento del sistema al variare dei parametri, quando si applichino come segnali di ingresso un impulso di Dirac, una sinusoide, un gradino ed un onda quadra. Si ponga la massa M pari ad 1 nella opportuna unità di misura. Tutti i valori dei parametri qui di seguito assegnati sono considerati nell opportuna unità di misura. In particolare si considerino le seguenti situazioni caso: due radici reali e distinte a) β = 0, h =, k = 0.1. Si studi il comportamento del sistema per le diverse tipologie di segnale di ingresso prima elencate e si faccia un confronto fra le risposte al gradino, ottenute per α = 0.5, 1,. Inoltre si confrontino le risposte al gradino del sistema anche per i seguenti valori dei parametri: h =, k = 0.1 e α = 1 h =, k = 0.9 e α = 10k h = 4, k = 3.5 e α = 10k Si riporti in un grafico la posizione dei poli del sistema per i valori dei parametri considerati. b) Si confronti la risposta al gradino del sistema imponendo h =, k = 0.1 e α = 1 per i seguenti valori del parametro β β = 0 (lo zero è assente) β = 1.5 (il valore dello zero è compreso tra quello dei due poli) β = 30 (il valore dello zero è negativo e piú grande di quello dei poli) β = 50 (il valore dello zero è negativo e più grande di quello dei poli)

3 β = 0 (lo zero ha un valore approsimativamente pari a quello del polo più vicino all origine) β = 0.0 (il valore dello zero è molto più piccolo di quello dei poli) β = 1/1.95 (lo zero ha un valore approsimativamente pari a quello del polo più lontano all origine) β = 0.05 (il valore dello zero è più piccolo di quello dei poli) Inoltre si confronti le risposte al gradino ottenute con quelle originate dai seguenti sistemi del primo ordine G 1 (s) = α h h k 4 ) (8) k (s + h h k 4 G (s) = α k h + h k 4 ) (9) (s + h + h k 4 c) Nel caso β = 0, h =, k = 1 e α = 1 si simuli il sistema per h = 3, 10, 100 e si confronti la risposta ottenuta con quella del sistema descritto dalla funzione di trasferimento (8) d) Si analizzi la risposta del sistema quando si applica come segnale di ingresso un gradino e un onda quadra per h =, k = 0.1, α = 0 e β = 1, 10. e) Si analizzi il comportamento del sistema ad un ingresso a gradino per h =, k = 0.1 e α = 1, β = 1, 3, 5.. caso: due radici reali coincidenti: Si ponga h =, k = h /4, β = 0, α = 1 e si confronti il comportamento del sistema con il seguente sistema del primo ordine G(s) = α h k (s + h) (10) 3. 3 caso: due radici complesse coniugate; in questo caso facciamo riferimento ai seguenti parametri di interesse: ω n = k (pulsazione naturale) ξ = ωn h = k h (smorzamento) k k a) Si consideri ω n = 1, β = 0, α/k = 1 e si confrontino le risposte all impulso che si ottengono per ξ = 0, 0.1, 0.9. b) Si consideri ω n = 1, β = 0, α/k = 1 e si confrontino i moti del sistema ottenuti con un segnale a gradino in ingresso per ξ = 0, 0.1, 0.4, 0.6, 0.7, 1. Sul grafico si riportino anche le traiettorie y u (t) = 1 e ξωnt e y l (t) =

4 1 + e ξωnt. Tali traiettorie possono essere generate come risposte al gradino dei seguenti sistemi: G l (s) = s ξω n, G u (s) = G l (s) c) Si confrontino gli andamenti temporali della risposta del sistema al gradino unitario per ω n = 1, ξ = 0.4, α/k = 1 e α/β = 10, 0.5, 0.5, 1, 10. Inoltre si consideri anche il caso in cui sia presente l effetto di una condizione iniziale non nulla pari x(0)=-a 1 B. d) Si analizzi il comportamento del sistema per ω n = 1, β = 0, α/k = 1, ξ = 0 applicando come segnale di ingresso una sinusoide In particolare si considerino le seguenti due sinusoidi u(t) = Usin(ωt) ω = 1, ω = 10 Esercizio Si consideri la funzione di trasferimento G(s) = ω n(1 + s) (s + ξω n s + ω n)(1 + τ p s) (11) dove ω n = 1 e ξ = 0.6. Si confrontino le risposte al gradino del sistema per valori di τ p e che soddisfano la seguenti condizioni 1. 0 < 1 τ p < ω n 0 < 1 < ω n < 0 = ω n. 1 τ p = ω n >> ω n 0 < 1 < ω n < 0 = ω n >> ω n 3. 1 τ p >> ω n 0 < 1 < ω n < 0 = ω n

5 >> ω n 4. τ p = 0 = 0 Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema con ritardo T, ω n = 1 e ξ = 0.3 G(s) = e st ωn. s + ξω n s + ωn Si visualizzi la sua risposta al gradino per T=0, 1, e si analizzi per ciascuno dei casi considerati il valore del tempo di salita e assestamento. Simulazioni mediante Matlab Matlab è un interprete di comandi. Gli stessi comandi che si possono digitare dal prompt possono essere editati in un file con estensione.m: tutte le istruzioni vengono interpretate ed eseguite in sequenza digitando il nome del file dal prompt (senza estensione.m). N.B. non è consentito iniziare un nome di file o di variabile con un carattere numerico Il simbolo % indica i commenti. L istruzione per pulire il workspace cancellando tutte le variabili in memoria è la seguente: clear all Vediamo come si procede partendo dal primo caso dell esempio 1 Definizione di un sistema dinamico Per prima cosa dobbiamo definire le variabili del sistema inserendo i valori dei parametri secondo la seguente convenzione (il ; a fine riga impedisce la visualizzazione dei dati inseriti) M = 1.0; k = 0.1; h = ; a=0.5; b=0; Inseriamo poi le matrici del sistema dinamico in esame: ogni sequenza di valori separata da un ; rappresenta una riga della matrice (ad es. B è un vettore colonna, mentre C è un vettore riga) A = [0 1; -k/m -h/m]; B = [0; 1/M]; C = [a b]; D = [0]; Definiamo quindi il sistema dinamico da studiare (per esempio nello spazio degli stati) come una variabile qui denominata sys. ss è una funzione Matlab ( state space ). Per una completa descrizione dell utilizzo di ciascuna funzione si digiti help nomefunzione. Il comando help da solo restituisce un elenco di tutti

6 i toolbox (insiemi di istruzioni e funzioni) disponibili help nometoolbox offre un elenco delle istruzioni e funzioni del singolo toolbox sys = ss(a,b,c,d); È possibile ottenere la funzione di trasferimento del sistema dalla variabile sys tramite la funzione tf G=tf(sys) Naturalmente è possibile definire direttamente la funzione di trasferimento per esempio nel seguente modo s=tf( s ) % Definisce la funzione di trasferimento s G=(a+b*s)/M/(s +s*h/m+k/m) Per poter visualizzare la risposta al gradino, all impulso e anche la mappa polizeri del sistema, è sufficiente lanciare l interfaccia grafica ltiview e dal menù file importare la rappresentazione del sistema di interesse. Quindi è possibile scegliere il tipo di grafico e le caratteristiche desiderate. Per riportare sullo stesso grafico il comportamento del sistema per altri valori dei parametri va definito un sistema per ognuno di essi e importato all interno dell interfaccia grafica. È possibile anche ottenere i grafici voluti con la seguente procedura Definiamo un vettore contenente tutti i valori di a che ci servono a=[0.5, 1, ]; for i=1:3 a=a(i); C=[a, b]; sys=ss(a,b,c,d); [ys, ts, xs]=step(sys); [yi, ti, xi]=impulse(sys); figure(1) plot(ts,ys), grid on, hold on figure() plot(ti,yi), grid on, hold on pause end Ad ogni esecuzione del ciclo, cambiando il valore del parametro a, andrà ridefinita la matrice C ed il sistema sys

7 il comando hold on consente di sovrascrivere un grafico senza cancellare il contenuto già presente, il comando pause attende che l utente dia invio per proseguire. (N.B. invio va dato con Matlab finestra attiva. Si supponga adesso di voler scrivere in modo esplicito la risposta al gradino del sistema in esame, cioè y(t) = r 1 + r e p 1t + r 3 e p t. Questo significa che è necessario conoscere il valore dei parametri A 1, A, p 1 A 3 e p. I parametri p 1 e p sono i poli della funzione di trasferimento e si possono calcolare mediante la funzione pole oppure calcolando gli autovalori della matrice A con il comando eig p=pole(g) la=eig(a) N.B. Se ci sono cancellazioni tra poli e zeri i poli della funzione di trasferimento non coincidono con gli autovalori del sistema. Un comando per poter calcolare sia i poli che i residui è residue ystep=g/s; % Risposta al gradino [num,den]=tfdata(ystep, v ); [r,p,k]=residue(num,den); Il vettore r contiene i valori dei residui associati ai rispettivi poli in p. Il vettore k è vuoto nel caso in cui il grado del polinomio a denominatore sia strettamente maggiore di quello al numeratore. Per poter studiare la risposta del sistema rispetto alle altre tipologie del segnale di ingresso e alle condizioni iniziali si può utilizzare le seguenti funzioni initial(sys,x0,t) % visualizza la risposta libera del sistema [U,T]=gensig(type,TAU,TF,TS) % genera un opportuno segnale periodico lsim(sys,u,t,x0) La variabile sys specifica il sistema che si desidera simulare e deve contenere una rappresentazione di stato del sistema. x0 indica la condizione iniziale, T è un vettore contenente gli istanti temporali in cui viene valutata la risposta del sistema, U è il vettore contenente i valori assunti dall ingresso negli istanti temporali specificati in T, TAU contiene il periodo del segnale, TF specifica la durata del segnale e Ts lo spazio fra gli istanti di campionamento. Il tipo di ingresso che viene generato è specificato in type e può essere uno dei seguenti segnali type = sin sinusoide type = square onda quadra

8 type = pulse treno di impulsi Esempio: [U,T]=gensig( sin,*pi,tf,ts) % genera una sinusoide di periodo π Definizione in Matlab di un sistema con ritardo Si possono considerare ritardi presenti sia nella variabile di uscita che nel segnale di ingresso. Prima si definisce il sistema in una variabile (per esempio sys) trascurando il ritardo. Quindi il ritardo si specifica nel seguente modo sys.inputd=tu % si definisce un ritardo dell ingresso pari a Tu sys.output.d=t0 % si definisce un ritardo dell uscita pari a T0 Esempio 1, caso 3, punto c): Grafico del moto dell uscita per una condizione iniziale diversa da zero ed un ingresso a gradino. Si supponga che la variabile sys contenga la rappresentazione in forma di stato del sistema. Si procede generando la risposta al gradino e quella a condizioni iniziali x0 e quindi si applica il principio di sovrapposizione degli effetti [yf, T ]=step(sys); % Risposta al gradino x0=-inv(sys.a)*sys.b; % Condizione iniziale di interesse yl=initial(sys,x0,t); % Risposta libera plot(t,yf+yl);