CAPITOLO 13 SPINTA DELLE TERRE

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1 INT DELLE TERRE CITOLO 13 INT DELLE TERRE La determinazione della spinta esercitata dal terreno contro un opera di sostegno è un problema classico di ingegneria geotecnica che, ancora oggi, nonostante l enorme ampliamento delle conoscenze, viene affrontato utilizzando due teorie storiche, opportunamente modificate e integrate alla luce del principio delle tensioni efficaci: la teoria di Rankine (1857) e la teoria di Coulomb (1776). Entrambi i metodi assumono superfici di scorrimento piane, ma per effetto dell attrito fra la parete e il terreno, le reali superfici di scorrimento sono in parte curvilinee, ed risultati che si ottengono applicando i metodi classici, specie per le condizioni di spinta passiva (resistente) sono spesso non cautelativi. È pertanto opportuno riferirsi, almeno per il calcolo della spinta passiva, al metodo di Caquot e érisel (1948) che è il più noto e applicato metodo fra quelli che assumono superfici di scorrimento curvilinee Teoria di Rankine (1857) i consideri un generico punto alla profondità in un deposito di terreno incoerente (c = ), omogeneo e asciutto (o comunque sopra falda), avente peso di volume costante con la profondità, e delimitato superiormente da una superficie piana e orizzontale (Figura 13.1). er ragioni di simmetria lo stato tensionale (geostatico) è assialsimmetrico. La pressione interstiziale è zero (terreno asciutto), per cui le tensioni totali ed efficaci coincidono. Nel punto : = h - la tensione verticale è staticamente determinata dalla condizione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale, e vale: = ; - la tensione orizzontale h è eguale in tutte le direzioni, non è staticamente determinata, e vale: h =. Il coefficiente di spinta a riposo,, può essere misurato sperimentalmente o più spesso stimato con formule empiriche 1. = Figura 13.1 Tensioni geostatiche in un deposito di terreno omogeneo, incoerente, delimitato da una superificie piana e orizzontale 1 er la stima del coefficiente di spinta a riposo,, sono state proposte diverse equazioni empiriche, come già visto nel Capitolo 3, le più note e utilizzate delle quali sono: 13 1 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

2 INT DELLE TERRE oiché di norma è minore di 1, la tensione verticale corrisponde alla tensione principale maggiore 1, mentre la tensione orizzontale h corrisponde alla tensione principale minore 3. er simmetria assiale la tensione principale intermedia è eguale alla tensione principale minore 3. ia la tensione verticale che la tensione orizzontale h valgono zero in superficie (=) e variano linearmente con la profondità, rispettivamente con gradiente e con gradiente. ssumiamo che il terreno abbia resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr- Coulomb: tan h In Figura 13. è rappresentato nel piano di Mohr il cerchio corrispondente allo stato tensionale geostatico nel punto e la retta inviluppo a rottura. upponiamo ora di inserire, a sinistra e a destra del punto, due pareti verticali ideali, cioè tali da non modificare lo stato tensionale nel terreno (Figura 13.3). lla generica profondità z, sui due lati di ciascuna parete, si esercita la tensione orizzontale efficace h = z. Cerchio O Figura 13. tato tensionale geostatico nel punto La spinta orizzontale (risultante delle tensioni orizzontali efficaci) presente sui due lati di ciascuna parete, dal piano di campagna fino ad una generica profondità, vale: 1 h dz La profondità della retta di applicazione di, vale: (Eq. 13.1) (Eq. 13.) h z dz 3 (Eq. 13.3) per terreni NC: (NC) 1 sen, 5 e per terreni OC: (OC) (NC) OCR er avere un idea anche quantitativa dei valori di si consideri che per =3, applicando le equazioni sopra scritte si stima: per OCR = 1 (terreno normalmente consolidato),5 per OCR = (terreno debolmente sovraconsolidato),71 per OCR = 4 (terreno mediamente sovraconsolidato) 1, per OCR = 1 (terreno fortemente sovraconsolidato) 1,58 ovvero, in un terreno NC la tensione geostatica orizzontale h è circa la metà di quella verticale, per OCR = 4 lo stato tensionale geostatico è isotropo, mentre per OCR > 4 la tensione geostatica orizzontale h diviene tensione principale maggiore. 13 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

3 INT DELLE TERRE che corrisponde alla profondità del baricentro dell area triangolare del diagramma di pressione orizzontale di altezza e base. upponiamo ora di allontanare gradualmente le due pareti (Figura 13.4). Nel punto permangono condizioni di simmetria, per cui le tensioni verticale ed orizzontali sono ancora principali. La tensione verticale = non varia, mentre la tensione orizzontale efficace si riduce progressivamente. h h = /3 ha Figura 13.3 pinta a riposo Figura 13.4 Condizione di spinta attiva Il cerchio di Mohr, rappresentativo dello stato tensionale in, si modifica di conseguenza: la tensione principale maggiore 1 = rimane costante, mentre la tensione principale minore 3 si riduce progressivamente dal valore iniziale h al valore minimo compatibile con l equilibrio, ha, detta tensione limite attiva, che corrisponde alla tensione principale minore del cerchio di Mohr tangente alla retta di inviluppo a rottura (Figura 13.5). Il raggio del cerchio di Mohr dello stato di tensione limite attiva è R = ½ ( - ha ), ed il centro è ad una distanza dall origine OC = ½ ( + ha ). Considerando il triangolo rettangolo OFC (Figura 13.5), si ha: R 1 FC OC sen ha ha 1 sen ha (1 sen) 1 sen 1 sen ha (1 sen) tan 4 f F O R C /4+ / ha h Cerchio Cerchio O Figura 13.5 tato tensionale attivo (limite inferiore) 13 3 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

4 INT DELLE TERRE Il rapporto: 1 sen tan (Eq. 13.4) 1 sen 4 è detto coefficiente di spinta attiva. Dunque si può scrivere: ha vo (Eq. 13.5) La tensione tangenziale critica, il cui valore f è l ordinata del punto F di tangenza del cerchio di Mohr con la retta di inviluppo a rottura, agisce su un piano che forma un angolo di con la direzione orizzontale (Figura 13.5). In condizioni di rottura per rag- 4 giungimento dello stato di equilibrio limite inferiore (spinta attiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.6). /4+ / /4+ / f ha f Figura 13.6 iani di scorrimento nella condizione di spinta attiva La spinta orizzontale presente sui lati interni di ciascuna parete ideale, dal piano di campagna fino ad una generica profondità (Figura 13.7), vale: ha = /3 h 1 dz (Eq. 13.6) oiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare, la profondità della retta di applicazione di vale: (Eq. 13.7) 3 Figura 13.7 Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta attiva 13 4 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

5 INT DELLE TERRE e si suppone ora di avvicinare le due pareti verticali ideali, alla destra ed alla sinistra del punto, la tensione verticale efficace non subisce variazioni mentre quella orizzontale progressivamente cresce fino al valore massimo compatibile con il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Figura 13.8). In tali condizioni la tensione verticale efficace, corrisponde alla tensione principale minore, = 3, e quella orizzontale, detta tensione limite passiva, hp, alla tensione principale maggiore, hp = 1 (Figura 13.9). hp rocedendo in modo analogo a quanto già fatto per la condizione di spinta attiva, si ottiene: hp 1 sen 1 sen Il rapporto: tan 4 (Eq. 13.8) 1 sen 1 tan 1 sen 4 (Eq. 13.9) è detto coefficiente di spinta passiva. Le tensioni tangenziali critiche agiscono su piani che formano un ango- lo di con la direzione orizzontale (Figura 13.9). In condizioni 4 di rottura per raggiungimento dello stato di equilibrio limite superiore (spinta passiva), il terreno inizia a scorrere lungo questi piani (Figura 13.1). f O Figura 13.8 Condizione di spinta passiva Cerchio O /4- / Cerchio La spinta orizzontale presente sui lati interni di ciascuna parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità (Figura 13.11), vale: oiché anche in questo caso il diagramma di pressione orizzontale è triangolare la profondità della retta di applicazione di, vale: h C Figura 13.9 tato tensionale passivo (limite superiore) 1 h d (Eq. 13.1) (Eq ) 3 F R C hp 13 5 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

6 INT DELLE TERRE I coefficienti di spinta attiva,, e passiva,, rappresentano i valori limite, rispettivamente inferiore e superiore, del rapporto tra le tensioni efficaci orizzontale e verticale: h (Eq. 13.1) In particolare il valore del coefficiente di spinta a riposo,, è compreso tra il valore di e quello di. /4 - / /4 - / hp f f Figura 13.1 iani di scorrimento nella condizione di spinta passiva hp = /3 Figura Diagramma delle tensioni efficaci orizzontali in condizione di spinta passiva Utilizzando per la stima di le equazioni empiriche viste in precedenza si può constatare che i valori di sono molto più prossimi al limite inferiore che al limite superiore. titolo di esempio per = 3 si stima: =,333; =,5; = Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

7 INT DELLE TERRE Osservazioni sperimentali sull effetto del movimento della parete sul diagramma di pressione orizzontale La distribuzione delle pressioni orizzontali dipende dal movimento della parete. In Figura 13.1 sono qualitativamente mostrati i diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida in funzione del movimento della parete. Inoltre, è stato sperimentalmente osservato (Tabella 13.1 e Figura 13.13) che le deformazioni di espansione necessarie per far decadere la pressione orizzontale dal valore h, che corrisponde allo stato indeformato, al valore limite inferiore ha, sono piccole, e comunque molto inferiori alle deformazioni di compressione necessarie per far elevare la pressione orizzontale dal valore h, al valore limite superiore hp. ertanto è buona norma riferirsi all angolo di resistenza al taglio di picco per il calcolo della spinta attiva, ed all angolo di resistenza al taglio a volume costante (ovvero per grandi deformazioni) per il calcolo della spinta passiva. ressione orizzontale assiva ttiva Rotazione rispetto alla testa p a ressione orizzontale assiva ttiva Rotazione rispetto al piede p a ressione orizzontale assiva ttiva Effetto dell inclinazione della superficie del deposito e il deposito di terreno incoerente (c = ), omogeneo e asciutto, avente peso di volume costante con la profondità, è delimitato superiormente da una superficie piana, inclinata di un angolo < rispetto all orizzontale, le tensioni principali non corrispondono più alle tensioni verticale ed orizzontali. i consideri un concio di terreno di larghezza b e altezza, delimitato inferiormente da una superficie parallela al piano campagna e lateralmente da due superfici ideali verticali (Figura 13.14). er ragioni di simmetria, le risultanti delle tensioni che agiscono sulle due superfici laterali sono due forze, eguali ed opposte, aventi la stessa retta d azione inclinata dell angolo sull orizzontale. Consideriamo l equilibrio del concio: - le forze si elidono l una con l altra e non intervengono nelle equazioni di equilibrio; - il concio ha peso W = b; la forza W è verticale; 13 7 Traslazione uniforme p a Figura 13.1 Diagrammi di pressione orizzontale contro una parete rigida. Dipendenza dai movimenti della parete Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

8 INT DELLE TERRE - la base del concio ha lunghezza l = b/cos; - la risultante delle tensioni normali alla base del concio vale: N = W cos ; - la risultante delle tensioni tangenziali alla base del concio vale: T = W sen; - la tensione normale alla base del concio vale: n =N/l = cos ; - la tensione tangenziale alla base del concio vale: =T/l = sen cos. Tabella 13.1: Entità delle rotazioni della parete per raggiungere la rottura (con riferimento ai simboli di Figura 13.13) Terreno Rotazione Y / Decompressione (tato attivo) Compressione (tato passivo) Incoerente denso,1, Incoerente sciolto,4,6 Coesivo consistente,1, Coesivo molle,,4 Nel piano di Mohr il punto Q di coordinate n rappresenta la tensione agente sul piano di base del concio, alla profondità inclinato dell angolo rispetto all orizzontale. Il punto Q appartiene ad una retta di equazione = tan (Figura 13.15). Il segmento OQ = cos = rappresenta la tensione verticale sul piano alla base del concio. Tutti i cerchi di Mohr passanti per il punto Q e sottostanti alla retta di inviluppo a rottura di equazione = tan rappresentano stati di tensione alla profondità compatibili con l equilibrio. Rapporto tra pressione orizzontale e verticale, tato attivo abbia sciolta abbia compatta abbia densa Rotazione del muro, Y/ abbia densa abbia sciolta tato passivo Lo stato di tensione limite inferiore (attivo) e lo stato di tensione limite superiore (passivo) alla profondità sono rappresentati dai cerchi e di Figura I segmenti O e O (essendo e il polo dei relativi cerchi) sono rispettivamente il valore minimo, in condizioni di spinta attiva, ed il valore massimo, in condizioni di spinta passiva, della tensione, inclinata dell angolo sull orizzontale, agente sulla superficie verticale alla profondità (il piano verticale non è principale, su di esso insistono una tensione normale ed una tensione tangenziale). a p Figura Effetti del movimento della parete sulla pressione orizzontale esercitata da sabbia 13 8 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

9 INT DELLE TERRE b W Q N T sencos O = cos n l Figura Condizione di equilibrio in un semispazio omogeneo, incoerente e asciutto delimitato da una superficie piana e inclinata Figura tato di tensione sul piano alla base del concio Cerchio Cerchio O E Q B C Figura tati di tensione limite in un deposito di terreno incoerente in pendio Le spinte attiva,, e passiva,, sono le forze limite di equilibrio agenti su una parete verticale e inclinate dell angolo rispetto all orizzontale, corrispondenti alle rispettive aree dei diagrammi di pressione. i consideri il cerchio : a O OB B OQ cos OB BQ OB B OB B a cos OB B OB OC cos C EC R OC sen BC OC sen B C BC OC sen OC sen OC sen sen 13 9 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

10 INT DELLE TERRE OCcos OC sen sen cos a cos OCcos OC sen sen cos cos cos cos cos cos cos cos Da cui: a nalogamente, considerando il cerchio, si ottiene: 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos cos (Eq ) essendo: cos cos cos cos cos cos e = cos. Il modulo della spinta attiva, inclinata di rispetto all orizzontale ed agente dal piano di campagna fino alla profondità, è dato da : p (Eq ) cos (Eq ) essendo: cos cos cos cos cos cos La modulo della spinta passiva dal piano di campagna fino alla profondità risulta: (Eq ) (Eq ) cos (Eq ) er la condizione di spinta a riposo, staticamente indeterminata, si assume in genere:,i (1 sen) (1 sen) (1 sen ) (Eq ) 13 1 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

11 INT DELLE TERRE Effetto della coesione O c tan c F R C e il deposito di terreno asciutto, omogeneo e delimitato da una superficie orizzontale è dotato anche di coesione oltre che di attrito, ovvero ha resistenza al taglio definita dal criterio di rottura di Mohr-Coulomb: c tan (Eq. 13.) Figura tato tensionale di equilibrio limite per un terreno dotato di coesione e di attrito Le relazioni che legano le tensioni principali per uno stato tensionale di equilibrio limite sono le seguenti (Figura 13.17): tan 1 3 c tan (Eq. 13.1) 4 4 tan 3 1 c tan (Eq. 13.) 4 4 ertanto, in condizioni di spinta attiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale minore e la tensione verticale a quella maggiore, si ha: 4 4 h,a tan c tan c (Eq. 13.3) oiché il terreno non ha resistenza a trazione, l equazione soprascritta è valida per > c, essendo c la profondità critica per la quale risulta ha = : c c (Eq. 13.4) mentre per < c si assume h =. er il calcolo della spinta attiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura In condizioni di spinta passiva, quando la tensione orizzontale corrisponde alla tensione principale maggiore e la tensione verticale a quella minore, si ha: 4 4 h,p tan c tan c (Eq. 13.5) er il calcolo della spinta passiva e della profondità di applicazione si fa riferimento al diagramma di Figura 13.19: 3 Nella fascia di spessore c il terreno sarà interessato da fessure verticali di trazione che possono riempirsi di acqua, ad esempio per la pioggia. i tiene conto di tale possibilità considerando, per il calcolo della spinta, anche un triangolo di pressione idrostatica di altezza c e base w c Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

12 INT DELLE TERRE () ( ) 1,1, c (Eq. 13.6),1, () 3 (Eq. 13.7) c a c p /3 ( - ) C c = C a w c W /,1 /3, () ha Figura Diagramma di spinta attiva in un terreno dotato di coesione e attrito () hp Figura Diagramma di spinta passiva in un terreno dotato di coesione e attrito Nel caso in cui, in presenza di un terreno coesivo, si faccia riferimento a condizioni non drenate (come quelle che possono verificarsi immediatamente dopo l esecuzione di uno scavo o la costruzione di un opera di sostegno), per determinare la spinta attiva e passiva bisogna applicare il criterio di rottura di Mohr-Coulomb (Eq. 13.) in termini di tensioni totali ( =, c = c u ) e le tensioni limite attiva e passiva diventano rispettivamente (Figura 13.): ha u c u = h,a h,p Figura 13. tati tensionali limite attivo e passivo per un terreno coesivo in condizioni non drenate c (Eq. 13.8) c (Eq. 13.9) hp u 13 1 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

13 INT DELLE TERRE Terreni stratificati e il deposito di terreno è costituito da strati orizzontali omogenei, la spinta totale esercitata sulla parete verticale è la somma dei contribuiti di ciascuno strato. Il generico strato i- esimo, di spessore i, fra le profondità i-1 e i, costituto da un terreno avente peso di volume i e resistenza al taglio: ci tan i, eserciterà contro la parete verticale ideale una spinta i pari all area del diagramma delle pressioni orizzontali nel tratto di sua competenza, applicata alla quota del baricentro di tale area (Figura 13.1). ha hp 1 1 i-1 ( ) ha i-1 ( ) hp i-1 i i,i,,i i+1 ( ) ha i ( ) hp i Figura 13.1 pinta attiva e passiva in un terreno a strati orizzontali omogenei La tensione verticale agente al tetto dello strato i-esimo, alla profondità i-1, vale: i1 i 1 j1 ( ) (Eq. 13.3) j j La tensione verticale agente alla base dello strato i-esimo, alla profondità i, vale: ( ) ( ) (Eq ) i i 1 i i Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta attiva è un trapezio avente: altezza i, base minore ) ( ) c ha ( i 1 i1,i i, i, e base maggiore ) ( ) c ha ( i i,i i, i oiché il terreno non ha resistenza a trazione: - se i valori di ha ( i-1 ) e di ha ( i ), calcolati con le formule precedenti, risultano entrambi minori di zero lo strato non esercita alcuna spinta, Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

14 INT DELLE TERRE - se il valore di ha ( i-1 ), calcolato con la formula precedente, risulta minore di zero per il calcolo della spinta si considera il diagramma di pressione positiva triangolare 4 (ovvero si assume ha ( i-1 ) = ). Il diagramma delle pressioni orizzontali in condizioni di spinta passiva è un trapezio avente: altezza i, base minore hp ( i 1) (i 1),i ci, i, e base maggiore hp ( ) ( ) c i i,i i, i 13. Teoria di Coulomb (1776) Molto prima di Rankine, il problema della determinazione della spinta esercitata dal terreno su un opera di sostegno era stato affrontato dall ingegnere militare francese Coulomb con un metodo basato sull equilibrio delle forze in gioco. i consideri una parete di altezza che sostenga un terrapieno di sabbia omogenea e asciutta. er semplicità di esposizione assumiamo, per il momento, le seguenti ipotesi: 1. assenza di attrito tra parete e terreno,. parete del muro verticale, 3. superficie del terrapieno orizzontale, 4. terreno omogeneo, incoerente e asciutto, con peso di volume e resistenza al taglio: = tan 5. superficie di scorrimento piana. er determinare il valore della spinta attiva,, limite inferiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l esterno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distacco di un cuneo di terreno BC che scorre verso l esterno e verso il basso su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo sull orizzontale, incognito (Figura 13.). Il cuneo BC trasla nella posizione B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.3, sono: 1 - il peso proprio W cot, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso l alto, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, 4 In entrambi i casi, nelle zone non compresse in direzione orizzontale si dovrà tenere conto della spinta esercitata dall acqua di percolazione Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

15 INT DELLE TERRE - e la spinta attiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. B B tan C C W R W R Figura 13. Cuneo di spinta attiva di Coulomb Figura 13.3 oligono delle forze relativo al cuneo di spinta attiva di Coulomb er l equilibrio è: 1 W tan( ) cot tan f ( ) (Eq. 13.3) er determinare il valore di che corrisponde alla condizione di equilibrio limite attivo, crit, e quindi, occorre fare la ricerca di massimo 5 della funzione f(), che può essere condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione:. Così facendo si ricava il valore critico dell angolo, che risulta: crit (Eq ) 4 ostituendo il valore critico di nell equazione di si ottiene infine: tan (Eq ) L espressione trovata coincide con quella di Rankine. nalogamente, per determinare il valore della spinta passiva,, limite superiore dell equilibrio, supponiamo di traslare gradualmente la parete verso l interno fino a produrre la rottura del terreno. La rottura si manifesta, nell ipotesi di Coulomb, con il distac- 5 i tratta di una ricerca di massimo (e non di minimo) della funzione f(), poiché si ricerca il valore di corrispondente al cuneo critico, ovvero al cuneo che richiede il valore più alto di per l equilibrio limite inferiore. e si immagina, partendo ad esempio dalla condizione a riposo, di ridurre progressivamente la forza, quando si perviene al valore si manifesta la rottura con la formazione del cuneo inclinato dell angolo crit sull orizzontale Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

16 INT DELLE TERRE co di un cuneo di terreno BC che scorre verso l interno e verso l alto su una superficie di rottura piana e inclinata di un angolo sull orizzontale, incognito (Figura 13.4). Il cuneo BC trasla nella posizione B C. In condizioni di equilibrio limite le forze che agiscono sul cuneo, rappresentate nel poligono delle forze di Figura 13.5, sono: B B tan W C C W R R Figura 13.4 Cuneo di spinta passiva Coulomb Figura 13.5 oligono delle forze relativo al cuneo di spinta passiva di Coulomb 1 - il peso proprio W cot, che agisce in direzione verticale, - la risultante R delle tensioni normali e tangenziali sulla superficie di scorrimento, che è inclinata di un angolo rispetto alla normale alla superficie C, con componente tangente diretta verso il basso, ovvero tale da opporsi al movimento incipiente del cuneo, - e la spinta attiva, che agisce in direzione orizzontale per l ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno. er l equilibrio è: 1 W tan( ) cot tan f ( ) (Eq ) er determinare il valore di che corrisponde alla condizione di equilibrio limite passivo, crit, e quindi p, occorre fare la ricerca di minimo della funzione f(), che può essere condotta per via grafica o numerica, imponendo la condizione:. Così facendo si ricava il valore critico dell angolo, che risulta: crit (Eq ) 4 ostituendo il valore critico di nell equazione di si ottiene infine: tan (Eq ) Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

17 INT DELLE TERRE L espressione trovata coincide con quella di Rankine. Le ipotesi semplificative inizialmente introdotte, eccetto l ipotesi di superficie di scorrimento piana, possono essere rimosse, a costo di una soluzione analitica più complessa o a costo di rinunciare alla soluzione analitica per una soluzione grafica o numerica. i considerino, ad esempio gli schemi delle Figure 13.6 e 13.7, che rappresentano i cunei di spinta attiva e passiva nelle seguenti ipotesi: - parete di altezza inclinata di un angolo sulla verticale, - terrapieno omogeneo e incoerente delimitato da una superficie inclinata di un angolo sull orizzontale, - presenza di attrito tra parete e terreno, con coefficiente d attrito tan, - superficie di scorrimento piana. W Figura 13.6 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) R W R Figura 13.7 Cuneo di spinta passiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati, presenza di attrito tra terreno e muro, terreno incoerente) viluppando il calcolo analitico, con riferimento ai simboli delle figure, si ottiene - per la condizione di spinta attiva: 1 (Eq ) Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

18 INT DELLE TERRE cos cos cos 1 sen cos sen cos (Eq ) - e per la condizione di spinta passiva: 1 (Eq. 13.4) cos cos cos 1 sen cos sen cos In Figura 13.8 è schematicamente rappresentato il caso per la condizione di spinta attiva nell ipotesi, ancor più generale, di : - parete non verticale, - terreno dotato di coesione e di attrito ( = c + tan ), - superficie del terrapieno inclinata, - resistenza per adesione ed attrito all interfaccia parete-terreno ( = c a + tan), - fessure di trazione nella fascia superiore di terreno (per la condizione di spinta attiva) 6. La soluzione può essere ricercata per via grafica, con la costruzione di Culmann rappresentata in Figura 13.9, o numerica. er lo spessore della zona di trazione si assume: (Eq ) c ca c 1 c (Eq. 13.4) La teoria di Coulomb è più versatile della teoria di Rankine, poiché permette di risolvere condizioni geometriche e di carico generali ed è alla base del più diffuso metodo pseudostatico di calcolo della spinta in condizioni sismiche. 6 Come già detto, nelle fessure di trazione può infiltrarsi acqua di percolazione, per cui è opportuno considerare anche la conseguente spinta idrostatica aggiuntiva Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

19 INT DELLE TERRE D c E R W C a F W C B R C = c BC C = c abc C C a Figura 13.8 Cuneo di spinta attiva di Coulomb (terrapieno e parete inclinati,presenza di attrito tra terreno e muro, terreno coesivo)e poligono delle forze c C Linea di Culmann C a C C oligono delle forze (su una sezione) Diagramma delle forze Figura 13.9 Costruzione di Culmann 13.3 Teoria di Caquot e érisel ia la teoria di Rankine che quella di Coulomb ipotizzano superfici di scorrimento piane. Tale ipotesi non è verificata a causa dell interazione fra la parete dell opera di sostegno ed il terreno. In Figura 13.3 sono mostrati gli effetti dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, per i casi di: a) spinta passiva, con movimento del cuneo di terreno verso l interno e verso l alto rispetto al movimento del muro ( < ). b) spinta attiva, con movimento del cuneo di terreno verso l esterno e verso il basso rispetto al movimento del muro ( > ); I casi a) e b) possono essere confrontati con le soluzioni di Coulomb per la spinta attiva e passiva Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

20 INT DELLE TERRE a) C /4 - / b) C /4 + / /3 B /+ D D / - /3 Figura 13.3 Effetto dell attrito parete-terreno sulla forma della superficie di scorrimento, nel caso di spinta passiva (a) e attiva (b) B La soluzione fu ottenuta per via numerica da Caquot e érisel (1948) accoppiando le teorie di Rankine e di Boussinesq, ed è riportata in grafici e tabelle in termini di coefficienti di spinta al variare degli angoli di resistenza al taglio, di attrito parete-terreno, di inclinazione della parete rispetto alla verticale, e di inclinazione del piano che delimita il terrapieno rispetto all orizzontale, con la convenzione sui segni indicata in Figura Figura Convenzione sui segni delle variabili angolari nelle Tabelle di Caquot and érisel Dipendenza di e dall angolo Il valore di non può superare il valore di, poiché in tal caso si formerebbe una pellicola di terreno solidale alla parete e lo scorrimento avverrebbe internamente al terreno con coefficiente di attrito tan. I coefficienti di spinta e crescono con continuità da = + a = -. Il segno di dipende, come abbiamo detto, dal movimento verticale relativo fra la parete e il terreno. In generale: - in condizioni di spinta attiva, il terreno si abbassa rispetto alla parete e risulta compreso tra + e, - in condizioni di spinta passiva, il terreno sale rispetto alla parete e risulta compreso tra e -. In genere, ma in modo più o meno arbitrario, si assume = /4 per pareti in muratura o in cemento armato intonacate, e compreso tra /3 e / per pareti in muratura o in cemento armato non lisciate. titolo di esempio in Tabella 13. sono riportati i valori di e di al variare di per =3, = e =. i può osservare che in condizioni di spinta attiva il coefficiente varia poco, ovvero è poco influenzato dalla rugosità della parete. In condizioni di spinta passiva invece la dipendenza del coefficiente da è molto sensibile. 13 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

21 INT DELLE TERRE Tabella oluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta e al variare di per =3, = e = 3 1,31,3,3,33 6,56 5,5 4, 3, Dipendenza di e dall angolo Il valore dei coefficienti di spinta sia attiva che passiva cresce con, poiché aumenta il volume di terreno coinvolto nella rottura. titolo di esempio in Tabella 13.3 sono riportati i valori di e di al variare di per = 3, =, = in condizioni di spinta attiva e = - in condizioni di spinta passiva. i osservi che il caso = + = 3 in condizioni di spinta attiva ( = ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite inferiore di Rankine, poiché la spinta risulta parallela alla superficie libera e, analogamente, in condizioni di spinta passiva ( = - ) corrisponde al caso particolare dell equilibrio limite superiore di Rankine. Tabella oluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta e al variare di per =3, =, = + in condizioni di spinta attiva e = - in condizioni di spinta passiva ,3,57,38,49,866,84,85 6,56 11,8 16, Dipendenza di e dall angolo In condizioni di spinta attiva, il coefficiente si riduce fino ad annullarsi quando l angolo decresce gradualmente dal valore, corrispondente all inclinazione 4 dei piani di scorrimento di Rankine, al valore, che corrisponde all angolo di naturale declivio. In condizioni di spinta passiva, il coefficiente cresce molto rapidamente quando l angolo diminuisce dal valore, corrispondente all inclinazione dei piani di 4 scorrimento di Rankine, al valore, che corrisponde ad una fondazione superficiale. titolo di esempio, in Tabella 13.4 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta e al variare di per =, = 3, = + in condizioni di spinta attiva e = - in condizioni di spinta passiva Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

22 INT DELLE TERRE Tabella oluzione di Caquot e érisel: coefficienti di spinta e al variare di per =3, =, = + in condizioni di spinta attiva e = - in condizioni di spinta passiva ,5,41,38,3,19,39 -,8 1,65,8 4,4 6,56 9,5 13,6 19, Dipendenza di e dall angolo e dal rapporto In Tabella 13.5 sono riportati i valori dei coefficienti di spinta (prima riga) e (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio e del rapporto per terrapieno orizzontale ( = ) e parete verticale ( = ). Come già detto, nella maggior parte dei casi pratici, si assume che il rapporto sia positivo in condizioni di spinta attiva e negativo in condizioni di spinta passiva. i osserva che al crescere dell angolo di resistenza al taglio il coefficiente di spinta attiva decresce lentamente, mentre il coefficiente di spinta passiva cresce molto rapidamente. Tabella oluzione di Caquot e érisel: Coefficienti di spinta (prima riga) e (seconda riga) al variare dell angolo di resistenza al taglio e del rapporto per terrapieno orizzontale ( = ) e parete verticale ( = ) ,81,65,53,44,37,31,6,,19,16 1,6 1,66, 3,4 4,6 6,56 1,7 18, 35, 75,,81,66,54,44,36,3,5,,16,13 3 1,4 1,59,6,7 3,61 5,5 8, 1,8 1, 41, 1,8,67,56,45,37,3,5,,16,13 3 1, 1,5 1,89,38 3,3 4, 5,55 8,1 1, 19,,84,7,59,49,41,33,7,,17,13 1,19 1,4 1,7,4,46 3, 3,7 4,6 5,8 7, Confronto con la soluzione di Coulomb Il metodo di Coulomb ipotizza e impone la forma della superficie di scorrimento piana. ertanto i valori di e di, rispettivamente ottenuti dalle condizioni di massimo e di minimo, limitatamente alla forma imposta della superficie di scorrimento, non sono il massimo ed il minimo assoluti, ovvero per qualunque ipotetica forma della superficie di scorrimento. ertanto i valori dei coefficienti di spinta attiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre inferiori ai valori stimati con il metodo di Caquot e érisel, che ipotizza una superficie di scorrimento curvilinea, e analogamente i valori dei coefficienti di spinta passiva che si stimano con il metodo di Coulomb sono sempre superiori ai valori 13 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

23 INT DELLE TERRE stimati con il metodo di Caquot e érisel. Le differenze minori si osservano proprio quando risulta minore la differenza fra le superfici ipotizzate. Nel caso di spinta attiva, nella maggior parte dei casi pratici, ovvero per, e positivi, le differenze sono modeste. Nel caso di spinta passiva invece le differenze possono essere molto sensibili, e poiché in genere la spinta passiva è una forza resistente, non è cautelativo calcolarla con il metodo di Coulomb. Inoltre, come già fatto osservare, poiché le deformazioni necessarie per mobilitare la spinta passiva sono molto grandi, il valore di progetto dell angolo di resistenza al taglio non è, come nel caso di spinta attiva, il valore di picco, ma piuttosto il valore critico, a volume costante pinta dovuta alla pressione interstiziale Le teorie sulla spinta delle terre che abbiamo esaminato si riferiscono a terreni asciutti o comunque non sotto falda e quindi con acqua nei pori non in pressione (si ricorda che convenzionalmente e per semplicità si assume in genere che l acqua nei pori possa avere pressione solo positiva, ovvero maggiore della pressione atmosferica. i assume che l acqua presente nei terreni sopra falda sia a pressione zero). e un terreno è anche solo parzialmente sotto falda, la spinta totale esercitata contro una parete sarà somma di due forze: la prima forza è la spinta esercitata dal terreno, valutata con le formule sopra citate, utilizzando le tensioni verticali efficaci 7, la seconda forza è la spinta esercitata dall acqua interstiziale. Quest ultima si calcola integrando il diagramma delle pressioni interstiziali. La presenza di acqua in pressione contro una parete di sostegno del terreno determina un forte incremento della spinta totale, pertanto, ove possibile, è sempre opportuno realizzare opere di drenaggio a tergo dell opera allo scopo di abbattere il livello di falda. Nel caso particolare, ma frequente, di falda freatica alla profondità w (Figura 13.3) si ottiene: u() per < w u() w ( ( ) per w w w w 1 ( + ) w 3 w(- w) w Figura 13.3 pinta idrostatica 1 () w w (Eq ) w 1 1 ) ( w ) ( w ) (Eq ) Le tensioni verticali efficaci, per il principio delle tensioni efficaci, si ottengono sottraendo le tensioni interstiziali alle tensioni verticali totali Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

24 INT DELLE TERRE e vi è differenza tra il livello dell acqua a monte e a valle dell opera di sostegno, e vi è filtrazione sotto e intorno alla parete, la pressione interstiziale dovrebbe essere determinata in base al reticolo idrodinamico, come descritto nel Capitolo 4. Tuttavia, nel caso di terreno omogeneo, un approccio ragionevole e semplificato consiste nell assumere che il carico idraulico vari linearmente come mostrato in Figura La differenza di carico piezometrico tra monte e valle è: h = (h + k j), il percorso di filtrazione è L = (h + d j) + (d k) = (h + d j k), il gradiente idraulico è: i = h/l = (h + k j) / (h + d j k) (Eq ) h j d k ercorso di filtrazione u b u b ressione dell acqua totale ressione dell acqua netta Figura chema semplificato della pressione dell acqua su una parete in presenza di filtrazione Nel tratto di monte del percorso la filtrazione è discendente e comporta una riduzione della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. Nel tratto di valle la filtrazione è ascendente e comporta un aumento della pressione interstiziale rispetto alla condizione idrostatica. l piede della parete (supponendo che il suo spessore sia trascurabile rispetto alla lunghezza del percorso di filtrazione) la pressione interstiziale vale: u b (h d j) (1 i) (d k) (1 i) (Eq ) w w 13 4 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

25 INT DELLE TERRE 13.5 Incremento della spinta attiva dovuta a carichi applicati sul terrapieno ressione verticale uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie del deposito. Una pressione q verticale, uniforme ed infinitamente estesa sulla superficie di un deposito delimitato da un piano orizzontale produce in ogni punto del semispazio un incremento costante della tensione verticale = q ed un incremento costante della tensione orizzontale h = q (Figura 13.34), avendo indicato con il coefficiente di spinta che, a seconda dello stato di deformazione orizzontale, assume valori compresi tra e. Ne consegue che: - le tensioni verticale ed orizzontali continuano ad essere le tensioni principali, - il diagramma delle tensioni orizzontali è trapezio, - la spinta orizzontale presente su una parete ideale dal piano di campagna fino ad una generica profondità, è l area del diagramma di pressione orizzontale e può essere calcolata come somma dell area rettangolare di base q e altezza, e dell area triangolare di base e altezza : 1 (q) ( ) q (Eq ) - la profondità della retta di applicazione della componente (q) è /, la profondità della retta di applicazione di () è /3, dunque la profondità della retta di azione di è: (q) ( ) () 3 (Eq ) q q h q q Figura Effetto di una pressione verticale uniforme ed infinitamente estesa Carichi concentrati sulla superficie del deposito e, in condizioni di spinta attiva, sulla superficie del deposito delimitato da un piano orizzontale agiscono carichi che possono essere schematizzati come puntuali o come distri Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

26 INT DELLE TERRE buiti su una linea parallela al muro, di intensità piccola (minore del 3%) rispetto alla spinta attiva, l incremento di pressione orizzontale può essere valutato con le formule indicate in Figura 13.35, ottenute da Terzaghi (1954) modificando empiricamente le equazioni di Boussinesq. e i carichi sono molto elevati o hanno una diversa distribuzione, occorre utilizzare il metodo del cuneo di Coulomb. Valori di n = z/ Carico lineare Carico puntiforme Valori di (/Q ) h L Valori di h ( /Q ) Carico lineare Q L er Carico puntiforme Q er er Risultante er Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico lineare Q L (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) ezione a - a Diagramma delle pressioni relativo al caso di carico puntiforme Q (equazione di Boussinesq modificata sperimentalmente) Figura ressioni orizzontali su una parete in condizioni di spinta attiva dovute a carichi concentrati sulla superficie orizzontale del terrapieno 13 6 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

27 INT DELLE TERRE 13.6 Effetto del costipamento meccanico del terrapieno Molto spesso, ad esempio per la costruzione di strade, il terrapieno retrostante un opera di sostegno è costituito da un terreno incoerente asciutto, messo in opera in strati successivi, costipati con rullo compressore per aumentarne la densità e quindi la rigidezza e la resistenza. Tale tecnica produce uno stato di coazione nel terreno ed un conseguente aumento delle pressioni orizzontali nella condizione di spinta attiva. e l azione esercitata dal rullo compressore può essere schematizzata con un carico di intensità p distribuito lungo una linea parallela alla parete, e se il terreno viene messo in opera in strati di piccolo spessore, per tenere conto dell effetto di costipamento, si può assumere come diagramma di pressione orizzontale sul muro quello indicato in Figura La profondità critica è: p c (Eq ) Il valore del carico p, dipende dai mezzi impiegati per il costipamento, e in particolare dal peso statico e dalle dimensioni del rullo, e dalla eventuale azione vibratoria che si assume equivalente ad un incremento di peso. c h = hp v h c = Figura Effetto del costipamento sul diagramma di spinta attiva ha v 13 7 Università degli tudi di Firenze - Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale ezione Geotecnica J. Facciorusso, C. Madiai, G. Vannucchi Dispense di Geotecnica (Rev. Ottobre 11)

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