In un sistema (economico) un ampia varietà di eventi incerti possono determinare la ricchezza di uno o più individui del sistema.

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Clemente Pini
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1 Rischio In un sistema economico) un ampia varietà di eventi incerti possono determinare la ricchezza di uno o più individui del sistema. Alcuni esempi rappresentativi: - il verificarsi di un terremoto - l estrazione di un determinato numero del lotto - l errore di valutazione ad un esame da parte del docente - il furto di un automobile - il verificarsi di un incidente stradale - la diffusione di un virus - la manifestazione di una malattia genetica - la dinamica dei corsi azionari - i millimetri di pioggia caduti in una determinata area

valutazione ad un esame da parte del docente - il furto di un automobile - il verificarsi di un incidente stradale - la diffusione di

2 La natura del rischio Se proviamo a classificare gli effetti di questi eventi troviamo differenze significative: - alcuni eventi possono aumentare o diminuire la ricchezza iniziale rischi finanziari) altri possono solo ridurla rischi assicurativi); - alcuni eventi determinano la ricchezza di uno specifico individuo, altri di una collettività; inoltre, alcuni eventi sono correlati con altri analoghi, altri no; - alcuni eventi possono essere influenzati nella loro probabilità di verificarsi, altri possono essere influenzati nella severità dei loro effetti, altri hanno natura totalmente esogena; - se influenzabili, alcuni eventi possono essere influenzati da parte di chi poi ne sperimenta gli effetti, altri da parte di terzi.

eventi sono correlati con altri analoghi, altri no; - alcuni eventi possono essere influenzati nella loro probabilità di verificarsi, altri possono essere influenzati nella severità

3 La valutazione sociale dell allocazione del rischio Poiché i soggetti economici sono abitualmente non indifferenti al rischio, la loro utilità è influenzata dal profilo di rischio cui sono sottoposti, in quanto i piani di consumo e i piani di produzione risultano aleatori L attitudine al rischio dei soggetti economici Le imprese e i consumatori sono in grado di alterare il profilo di rischio cui sono sottoposti: -svolgendo attività di consumo - investendo in mitigation, cioè producendo prevenzione/protezione - facendo risk trading sui mercati assicurativi e finanziari) Le allocazioni ammissibili) efficienti dei rischi in linea di principio sono differenti dalle dotazioni di rischio iniziali

sono in grado di alterare il profilo di rischio cui sono sottoposti: -svolgendo attività di consumo - investendo in mitigation, cioè producendo prevenzione/protezione -

4 TEORIA DELLA OFFERTA DI ASSICURAZIONE L assicurazione è un istituzione economica che assume rischi. Quali tipi di rischio e a quali condizioni? Esistono altre possibilità di riallocare i rischi in un sistema economico ad es. la mutualizzazione )? La tecnologia di una compagnia assicurativa si fonda su due principi: la riallocazione del rischio ne altera il valore aggregato il che consente di mettere in opera un meccanismo di risk spreading); la distribuzione di probabilità delle perdite aggregate è diversa dalla distribuzione di probabilità delle perdite individuali il che consente di mettere in opera un meccanismo di risk pooling); La compagnia assicurativa, in particolare, rappresenta una molteplicità di individui che assumono i rischi in capo ad un gran numero di soggetti economici Concretamente, un contratto assicurativo prevede che in cambio di un premio prezzo) la compagnia assicurativa garantisca una prestazione risarcitoria contingente

La tecnologia di una compagnia assicurativa si fonda su due principi: la riallocazione del rischio ne altera il valore aggregato il che consente di mettere in opera un meccanismo di risk spreading);

5 RISCHIO SINGOLO E INFORMAZIONE SIMMETRICA Il modello più semplice prevede di considerare il generico individuo i dotato di ricchezza W i > 0 e sottoposto ad un rischio rappresentato dalla variabile casuale ŷ i ŷ i misura la perdita di ricchezza del consumatore ed è distribuita in qualche modo sul supporto [0, L i ], L i W i Il contratto assicurativo è condizionato unicamente ad y, realizzazione della variabile casuale ŷ, e prevede una prestazione Iy) a fronte del pagamento di un premio P Si assume 0 Iy) y e I 0 Iy) y per l indemnity principle) Sia la distribuzione che la realizzazione di ŷ sono conoscenza comune

[0, L i ], L i W i Il contratto assicurativo è condizionato unicamente ad y, realizzazione della variabile casuale ŷ, e prevede una prestazione Iy) a

6 RISK POOLING/1 L assicuratore ha attivo un contratto di copertura con ognuno di n individui Assumiamo copertura completa una distribuzione uniforme di forme di copertura condurrebbe allo stesso risultato) Assumiamo ŷ i distribuita identicamente e indipendentemente con media μ e varianza σ 2 finita) Cov[ŷ i, ŷ j ]= 0 i, j = 1,.. n, i j La proprietà della somma di variabili casuali i.i.d. prevede che ŷ n = Σ ŷ i sia ancora una variabile casuale con media n μ e varianza: E[Σ ŷ i n μ) 2 ] = E[Σ ŷ i μ) 2 ] = Σ E[ŷ i μ) 2 ] = n σ 2 cioè la deviazione standard n σ è strettamente concava in n. Se l assicuratore raccoglie premi pari a n μ raggiunge il break-even in valore atteso. μ si definisce quindi fair o puro

7 RISK POOLING/2 Naturalmente in ogni periodo la realizzazione di ŷ n, y n, sarà maggiore o minore di n μ, indipendentemente dal numero dei contratti in essere visto che la varianza n σ 2 è positiva e cresce con n Per ridurre a zero la probabilità di fallimento, l assicuratore dovrebbe dotarsi di riserve patrimoniali R max = n L P) La probabilità di dover pagare risarcimenti pari a nl è tuttavia molto bassa e il capitale è costoso. L assicuratore il regolatore) si accontenta perciò di una ruin probability ρ cui si associa un livello di riserve patrimoniali Rρ) tale per cui: Pr[ŷ n > Rρ)+nP] = ρ

riserve patrimoniali R max = n L P) La probabilità di dover pagare risarcimenti pari a nl è tuttavia molto bassa e il capitale è costoso.

8 RISK POOLING/3: LA LEGGE DEI GRANDI NUMERI E I RISARCIMENTI / RISERVE PER CONTRATTO Se considero una particolare realizzazione di sinistri [y 1, y 2,, y n ], essa può essere vista come un random sample da una distribuzione con media μ e varianza σ 2 Se ў è la media campionaria o risarcimento medio, Σy i /n), la legge dei grandi numeri dice che ε > 0, lim n Pr[ ў μ <ε]=1. Ciò significa che per un numero di contratti sufficientemente grande, la probabilità che il risarcimento per contratto cada al di fuori di un intorno di μ adeguatamente piccolo è trascurabile La varianza di ў infatti è: E[1/n Σ ŷ i μ) 2 ] = E[1/n 2 Σ ŷ i n μ) 2 ] = 1/n 2 E[Σ ŷ i n μ) 2 ] = n σ 2 /n 2 = σ 2 /n che tende a zero per n che tende a infinito Possiamo interpretare questa proprietà come una forma di economia di scala: nonostante la varianza dei risarcimenti aggregati cresca con il numero di contratti, cioè le riserve devono aumentare in valore assoluto per mantenere la ruin probability, le riserve per contratto tendono a zero al crescere della dimensione dell assicuratore

Ciò significa che per un numero di contratti sufficientemente grande, la probabilità che il risarcimento per contratto cada al di fuori di un intorno di μ adeguatamente piccolo è trascurabile La

9 RISK SPREADING/1: TEOREMA DI ARROW-LIND La compagnia assicurativa è una associazione di N individui azionisti) avversi al rischio supposti uguali, sia nell attitudine al rischio u ) sia per il reddito W eventualmente aleatorio, definito come reddito al netto di quello del business assicurativo) Ognuno riceve s = 1/N dei profitti dell impresa Cosa succede al variare di N e in particolare sotto che condizioni è lecito supporre che al crescere di N diminuisca il premio per il rischio che gli azionisti richiedono, determinando quindi premi decrescenti? In questo caso avremmo un secondo tipo di economia di scala Sia Ž - la variabile aleatoria che individua il risarcimento aggregato che la compagnia assicurativa deve corrispondere e E[Ž] il suo valore atteso Definiamo come R il premio aggregato che gli assicurati versano alla compagnie e r = sr. Il vincolo di partecipazione per ognuno degli azionisti è E[UW + s Ž + r)] = E[UW)] r che risolve l equazione sopra è quindi il minimo profitto certo che incentiva ogni azionista ad assumersi il rischio degli assicurati. Ovviamente r = rs)

sotto che condizioni è lecito supporre che al crescere di N diminuisca il premio per il rischio che gli azionisti richiedono, determinando quindi premi decrescenti?

10 RISK SPREADING/2: TEOREMA DI ARROW-LIND Ovviamente al tendere di N a infinito, r tende a zero Ma si può dimostrare un altra proprietà, meno ovvia, e cioè che R = rs)/s tende a E[Ž] per N che tende ad infinito cioè per s che tende a 0) Dal teorema della funzione implicita abbiamo che d rs)/d s = E[ U/ s]/e[ U/ r], cioè dr E[ U W + sz + r) Z] = ds E U W + sz + r [ )] Considerando il limite di rs)/s per s che tende a zero N che tende a infinito) e applicando la regola di Hôpital lim s 0 E U = drs)/ds E[ U W + sz + r) Z] = lim = lim s 0 ds/ds s 0 E[ U W + sz + r) ] [ W) ] E[ Z] Cov[ U W ),Z] rs) s [ W) ] E U E U = E U [ W) Z] [ W) ] =

dr E[ U W + sz + r) Z] = ds E U W + sz + r [ )] Considerando il limite di rs)/s per s che tende a zero N che tende a infinito) e applicando la regola di

11 RISK SPREADING/3: TEOREMA DI ARROW-LIND Ma se la covarianza tra il reddito derivante dalla proprietà della compagnia assicurativa e il reddito residuo è nulla il che è ovviamente sempre vero quando il reddito residuo è certo), allora rs) lim = E[ Z] s 0 s cioè i premi aggregati R richiesti dalla compagnia assicurativa finiscono per coincidere con il valore atteso dei risarcimenti naturalmente abbiamo normalizzato a 0 il valore di tutti gli altri costi diversi dai risarcimenti), ovvero l azionista si comporta come individuo indifferente al rischio

aggregati R richiesti dalla compagnia assicurativa finiscono per coincidere con il valore atteso dei risarcimenti naturalmente abbiamo

12 LA STRUTTURA DEL PREMIO E I CARICAMENTI L assicuratore svolge un attività istituzionale di investimento dei premi raccolti ciclo inverso di produzione) e delle riserve patrimoniali, e inoltre i costi di produzione non sono nulli La forma più generale per il premio è il funzionale: P[I )] = E[Iŷ) + c[iŷ)]] La c ) è una funzione di costo latu sensu, che comprende tutti i costi dei fattori compreso il costo della riserva patrimoniale), gli eventuali extra-profitti e i proventi dagli investimenti. Potrebbe quindi anche assumere valore negativo Il premio è quindi fair quando c ) = 0 Se consideriamo un indennizzo lineare o co-insurance, cioè Iy) = α y con 0 α 1 ed assumiamo costi proporzionali il che non è indolore): P[α] = E[α ŷ + λ αŷ] = α 1 + λ) E[ŷ] dove λ prende il nome di loading factor o caricamento NB Il classico indicatore di redditività assicurativa, il loss ratio, ha valore atteso 1/1+λ) La ricchezza terminale dell assicurato è dunque: Ŷ = W α 1 + λ) E[ŷ] ŷ + α ŷ NB Se α = 1, Ŷ non è stocastica

il costo della riserva patrimoniale), gli eventuali extra-profitti e i proventi dagli investimenti.

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