Capitolo 16 Esercizi sugli integrali doppi

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1 Capitolo 6 sercizi sugli integrali doppi Brevi richiami di teoria Sia f : [a, b] [c, d] B IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] [c, d]. Dividiamo l intervallo [a, b] in n intervallini, diciamo I k, k =,... n, e l intervallo [c, d] in m intervallini, diciamo J h, h =,..., m; denotiamo con (x k, y h ) il punto centrale del rettangolino I k J h. Si definisce integrale doppio di f(x, y) sul rettangolo R il limite: R lim n n,m k= h= m f(x k, y h ) area(i k J h ) Se gli intervallini I k e J h sono tutti uguali, l espressione di sopra diventa: R lim n m n,m k= h= (b a)(d c) f(x k, y h ) nm Per definire l integrale doppio esteso ad un insieme limitato che non è un rettangolo, si procede come segue. Sia R un rettangolo contenente al suo interno; allora si pone R f (x, y)dxdy { f(x, y) se (x, y) ove f (x, y) = se (x, y) R Si chiama dominio normale rispetto all asse x un insieme del tipo = {(x, y) IR 2 : a x b, α(x) y β(x)}, dove α(x) e β(x) sono due funzioni di x.

2 2 Capitolo 6 Si chiama dominio normale rispetto all asse y un insieme del tipo F = {(x, y) IR 2 : a y b, α(y) x β(y)}, dove α(y) e β(y) sono due funzioni di y. Per calcolare l integrale doppio di f(x, y) esteso ad un dominio normale rispetto all asse x, si procede come segue: b a ( ) β(x) dx f(x, y)dy in cui si calcola prima l integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di x, e poi si calcola l integrale esterno, integrando in dx. Per calcolare l integrale doppio di f(x, y) esteso ad un dominio F normale rispetto all asse y, si procede come segue: F b a α(x) ( ) β(y) dy f(x, y)dx in cui si calcola prima l integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di y, e poi si calcola l integrale esterno, integrando in dy. Se si può scrivere sia come dominio normale rispetto all asse x, che come dominio normale rispetto all asse y, l integrale doppio si calcola indifferentemente in uno dei due modi, pervenendo allo stesso risultato, grazie al Teorema di Fubini. Se l insieme si può scrivere come unione di più insiemi, l integrale doppio di f(x, y) esteso ad risulta essere la somma degli integrali doppi estesi agli insiemi la cui unione è (additività dell integrale doppio). L integrale doppio esteso ad di una combinazione lineare di funzioni f(x, y) e g(x, y) risulta essere la combinazione lineare degli integrali doppi (linearità dell integrale doppio). Il significato geometrico dell integrale doppio di f(x, y) esteso ad è il volume della parte di spazio compresa sotto al grafico (superficie) della funzione f(x, y) ed individuata dall insieme. Se f(x, y) =, si ottiene dxdy = area(). α(y) sercizio 6. Calcolare l integrale doppio esteso all insieme a fianco indicato:. x3 y dxdy, = {(x, y) IR 2 : x ; y }; 2. sin x cos y dxdy, = {(x, y) IR2 : x π; y π}; 3. x + y 2 dxdy, = {(x, y) IR 2 : x ; y 3}; 4. x y+xy dxdy, = {(x, y) IR2 : 2 x 2 ; y 2 };

3 sercizi sugli integrali doppi 3 5. sin(x + y) dxdy, = {(x, y) IR2 : x π 2 ; y x}; 6. xy dxdy, = {(x, y) IR2 : x ; x 2 y < + x}; 7. (x )y dxdy, = {(x, y) IR2 : x + y 2}. sercizio 6.2 Per α >, calcolare l area dell insieme = {(x, y) IR 2 : x ; y ; xy α}. sercizio 6.3 Calcolare l integrale doppio esteso all insieme a fianco indicato:. xα dxdy, = {(x, y) IR 2 : x 2π; sin x y +sin x}, α > ; 2. e (x y) dxdy, = {(x, y) IR 2 : x ; y αx, y 2 2αx}, α > ; 3. xy dxdy, = {(x, y) IR2 : y 2π; + cos x x cos y}; sercizio 6.4 Trovare il baricentro del triangolo di vertici (, ), (, ), ( 2, ). sercizio 6.5 Calcolare x 2 +y2 3 x2 + y 2 dxdy sercizio 6.6 Calcolare 2xy dxdy, = {(x, y) IR2 : x 2 + y 2 9; y x, x } sercizio 6.7 Provare che per ogni f(x, y) integrabile sul quadrato unitario, risulta dx x f(x, y)dy = dy f(x, y)dx y sercizio 6.8 Calcolare l area di F = {(x, y) IR 2 : < x < 2; x 2 < y < x + 2} sercizio 6.9 Calcolare l area dei seguenti domini: = {9 < x 2 + y 2 < 8y}, F = { < y < 8; G = {(x 2 + y 2 ) 3 < 6x 2 } y 2 4 < x < 2y}, sercizio 6. Calcolare 4 sercizio 6. Calcolare dx x x (x2 + y 2 ) /2 dy 4x x 2 dx x2 + y 2 dy 4x x 2

4 4 Capitolo 6 sercizio 6.2 Calcolare + + +y 2) e (x2 dxdy sercizio 6.3 Calcolare (x 2)2 dxdy, = { x 2, y 2, x 2 + y 2 } sercizio 6.4 Calcolare x dxdy, = { x2 + y 2 4, x y x} sercizio 6.5 Calcolare l area racchiusa dall ellisse di equazione x2 a + y2 2 b = 2 sercizio 6.6 Calcolare xey dxdy, ove è il triangolo formato dalla retta di equazione y = x + e gli assi coordinati. sercizio 6.7 Calcolare x(y+sin πy)dxdy, ove A è la figura piana la cui frontiera percorsa A in verso orario è formata dal grafico di y = 2 x, per x ; dal segmento di retta y = x + 3, per x 2; dal segmento di retta y = x per x 2; dal segmento x dell asse x. sercizio 6.8 Calcolare A ( + x + y) 2 dxdy, ove A è l insieme dell sercizio 6.7 sercizio 6.9 Calcolare area e baricentro di B, ove B è delimitato dalla parabola di equazione y = x 2 e dalla retta y =. sercizio 6.2 Calcolare C ex+y dxdy, ove C = [, π/2] [, π]. sercizio 6.2 Calcolare D (x2 +y)dxdy, ove D è la parte di piano delimitata dalla parabola di equazione y = x 2 + e dall asse delle x. sercizio 6.22 Se G = {x 2 +y 2 /4 2; y 2x}, calcolare l area di G e G x3 ydxdy. Calcolare inoltre G y dxdy.

5 Capitolo 32 Soluzione degli esercizi del Capitolo 6 sercizio 6.. I = x3 dx ydy = x3 dx[y 2 /2] =... = I = π sin xdx π cos ydy = π sin xdx[sin y]π =. 3. I = xdx 3 + y2 dy. Ricordiamo che + y 2 dy = y 2 + y2 + 2 ln(y+ + y 2 )+C, dunque I = [x 2 /2] [ y 2 + y2 + 2 ln(y+ + y 2 )] 3 = 2 (3 + ln(3 + ). 4. La funzione integranda si può scrivere ( x)( y), pertanto I = /2 /2 x /2 y dy =... = ln 2 ln I = π/2 dx x dy sin(x + y) = π/2 dx[cos(x + y)] y=x y= + π/2 dx(cos 2x cos x) =... =. 6. I = xdx +x ydy = x 2 xdx[y2 /2] +x x =... = L insieme è la cornice racchiusa tra il quadrato Q di vertici (2, ), (, 2), ( 2, ), (, 2) e il quadrato Q di vertici (, ), (, ), (, ), (, ). Quindi I = Q f(x, y)dxdy f(x, y)dxdy. Q Ora Q 2 ydy 2 y y 2 (x )dx+ 2 ydy y+2 y 2 (x )dx =... = 8; l altro integrale Q ydy y (x )dx si calcola in y maniera analoga. sercizio 6.2 l iperbole di equazione xy = α interseca la retta y = nel punto (α, ). L insieme è quindi l unione del rettangolo di base α e altezza con il sottografico di y = α/x per x (α, ). Pertanto, l area di è uguale a α + αdx/x =... = α( ln α). α 5

6 6 Soluz. Cap. 6 sercizio 6.3. I = 2π x α dx +sin x sin x 2 I = 2/3α e x dx 2 2αx 3. I = 2π ydy cos y +cos y dy = 2π x α dx = (2π) α+ /(α + ). e y dy =... αx xdx =... =. sercizio 6.4 Le coordinate del baricentro di un insieme IR 2 sono: x c = x dxdy, y c = y dxdy area() area() Se è il triangolo dato, si può scrivere = { y, y/2 x y/2 + } con area() = /2. Si ha quindi: xdxdy = dy y/2+ xdx =... e y/2 ydxdy = ydy y/2+ dx =... y/2 sercizio 6.5 Passando a coordinate polari piane centrate in (, ) : I = 2π dθ 3 dρρ 2 =... 2π 3. sercizio 6.6 I = 5π/4 dθ 3 π/2 2ρ3 cos θ sin θ = sercizio 6.7 Il primo è l integrale doppio di f(x, y) esteso al triangolo T = { x, y x} che si può anche scrivere (come dominio normale rispetto all asse y) T = { y, y x }. Da ciò segue il risultato. sercizio 6.8 area(f ) = F dxdy = 2 dx x+2 x 2 dy = 2 (x + 2 x2 )dx = sercizio 6.9 Si ha = {(ρ, θ) : 3 ρ 8 cos θ} per cui area() = 2π dθ 8 cos θ ρdρ = 3... = 23π. area(f ) = 8 dy 2y 64 dx =... y 2 /4 3. Si ha G = {(ρ, θ) : ρ < 2 cos θ} per cui area(g) = π/2 π/2 dθ 2 cos θ ρdρ =.... sercizio 6. L insieme di integrazione è il cerchio di centro (2, ) e raggio 2. Pertanto, passando a coordinate polari centrate in (, ), esso si rappresenta come

7 Soluzione degli esercizi del Capitolo 6 7 {(ρ, θ) : π/2 θ π/2, ρ 4 cos θ}. Si ottiene quindi I = π/2 π/2 dθ 4 cos θ ρ 2 dρ =... = 4π. sercizio 6. I = dy y (x 2 + y 2 ) /2 dy =... y 2 sercizio 6.2 Passando a coordinate polari centrate in (, ) si ottiene I = 2π dθ + ρe ρ2 dρ = 2π [ e ρ2 /2] + =... = π. sercizio 6.3 L insieme di integrazione è la parte di piano interna al quadrato Q di lato 4 con centro nell origine ed esterna al cerchio con centro l origine e raggio. Quindi I = 2 2 (x 2)2 dx 2 2 dy 2π dθ ρdρ(ρ cos θ 2)2 =... = π 4. sercizio 6.4 L insieme di integrazione è un settore di corona circolare di raggi e 2, precisamente si ha I = π/4 π/4 dθ 2 ρdρ ρ cos θ = π/4 dθ π/4 cos θ = [ ln tan(π/4 = ln tan(3π/8) ln tan( π/8). x/2) ] π/4 π/4 sercizio 6.5 Usando le coordinate polari ellittiche { x = aρ cos θ y = bρ sin θ la parte di piano racchiusa dall ellisse si scrive come {(ρ, θ) : ρ <, θ [, 2π)}. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione inversa è ( ) a cos θ aρ sin θ J = b sin θ bρ cos θ con detj = abρ. Pertanto, l area dell ellisse è 2π dθ abρ = πab. Nel caso del cerchio (ovvero per a = b = r) si riottiene la nota formula A = πr 2. sercizio 6.6 I = xdx x+ e y dy =... = e 5 2. sercizio 6.7 I = dx 2 x dy x(y + sin πy) + 2 dx 3 x dy x(y + sin πy) =... x

8 8 Soluz. Cap. 6 sercizio 6.8 I = dx 2 x dy ( + x + y) dx 3 x x dy ( + x + y) 2 ) =... sercizio 6.9 L area di B è uguale a 2 2 x2 dx = 4 3 ; l ascissa x c del baricentro di B è ovviamente per motivi di simmetria, mentre y c = B ydy/(4/3) = 3 4 dx ydy =... = 3 x 2 5. sercizio 6.2 I = π/2 e x dx ( π ) π/2 ( ey dy = e x π dx ey dy ) = (e π )(e π/2 ). sercizio 6.2 I = dx x 2 + (x 2 + y)dy = dx[x2 y + y 2 /2] x2 + =... sercizio 6.22 L equazione dell ellisse x 2 + y 2 /4 = 2 si riduce in forma canonica dividendo entrambi i membri per 2, ovvero x2 2 + y2 8 =. L insieme G è costituito dalla parte di ellisse sopra la retta y = 2x; questa interseca l ellisse nei punti di ascissa x = ±. Pertanto, passando a coordinate polari ellittiche (v. sercizio 6.5), si può scrivere G = { ρ, π/4 θ 5π/4}. Quindi, l area di G è uguale a 5π/4 dθ πab abρ = π/4 2. Sostituendo a = 2 e b = 8, si ottiene area(g) = 2π. Risulta poi G x3 ydxdy = 5π/4 dθ π/4 abρ5 cos 3 θρ sin θdρ = = 4 5π/4 cos 3 θ sin θdθ π/4 ρ5 dρ =.... Infine G y dxdy = 4 5π/4 dθ π/4 ρdρ ρ sin θ = 4 5π/4 3 sin θ dθ = π/4 = 4 π 3 π/4 sin θdθ 4 5π/4 3 sin θdθ =... 8 π 3.