Sommario 2. Introduzione 3. Capitalizzazione semplice 4 Esercizi sulla capitalizzazione semplice 5 Primo livello 5 Secondo livello 5

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2 Sommaro Sommaro 2 Introduzone 3 Captalzzazone semplce 4 Esercz sulla captalzzazone semplce 5 Prmo lvello 5 Secondo lvello 5 Sconto commercale 6 Esercz sullo sconto commercale 7 Sconto razonale 7 Esercz sconto razonale 8 Captalzzazone composta 9 Esercz captalzzazone composta 9 Tass equvalent e tass convertbl 11 Esercz su tass equvalent 12 Sconto composto 12 Esercz sconto composto 12 Prncpo d equvalenza fnanzara 13 Legg scndbl 13 Esercz sulla equvalenza fnanzara 14 Esercz replogatv 14 Rendte fnanzare 15 Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, postcpata 16 Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, antcpata 17 Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, p ann dopo l ultma rata 17 Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, postcpata 18 Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, antcpata 18 Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, p ann prma della prma 18 Rendte llmtate o perpetue 19 Rendte frazonate 19 Esercz 20 Applcazone delle rendte 22 Costtuzone d un captale 23 Rmborso d un prestto (o mutuo) 23 Leasng fnanzaro 25 2

3 Introduzone Defnzone. La matematca fnanzara studa le operazon fnanzare. Defnzone. Una operazone fnanzara è un contratto che prevede scamb d denaro (tra contraent n epoche dverse. Esemp. 1. Tzo presta a Cao la somma d e Cao s mpegna a restture, tra 2 ann, la somma d Tzo dovrà restture a Cao, fra 6 mes, la somma d Tzo chede a Cao d antcpare l pagamento del debto pagando ogg la somma d Osservazone. I due esemp sopra rpropongono due stuazon tpche: una operazone d prestto e una operazone d sconto. Le operazon fnanzare s dvdono n operazon d prestto o captalzzazone e n operazon d sconto o attualzzazone. Defnzone. S chama operazone d prestto (o d captalzzazone) una operazone fnanzara nella quale un debtore rceve una somma (captale) che s mpegna d restture al credtore n un epoca futura, aumentata d una somma (nteresse). La somma resttuta (captale + nteresse) s chama montante. Osservazone. Il prestto d un captale C all epoca t 1, n cambo d un montante M all epoca t 2 (t 2 >t 1 ), può essere mmagnata come una trasformazone della coppa (C; t 1 ) nella coppa (M; t 2 ). L operazone d prestto trasfersce l captale dall epoca t 1 all epoca futura t 2 trasformandolo nel montante. C t M Defnzone. S chama operazone d sconto (o d attualzzazone) una operazone fnanzara nella quale un debtore antcpa l pagamento d un debto futuro usufruendo d una rduzone, detto sconto. Il debto futuro s chama valore nomnale, la somma pagata antcpatamente s chama valore attuale (o somma scontata), la rduzone del debto s chama sconto (sconto = valore nomnale valore attuale). Osservazone. Il pagamento antcpato d un debto V n esgble all epoca t 2 con una somma Va ad un epoca antecedente t 1, può essere mmagnato come una trasformazone della coppa (V n ; t 2 ) nella coppa (V a ; t 1 ). L operazone d sconto trasfersce l captale Vn dall epoca t 2 all epoca antecedente t 1. Spostare ndetro nel tempo l captale Vn provoca una sua dmnuzone (lo sconto) e lo trasforma nel valore attuale. V a t 1 t 2 t V n t 1 t 2 Defnzone. S chama legge d captalzzazone l nseme delle regole attraverso le qual s esegue l calcolo dell nteresse (o del montante) n un operazone d prestto. Defnzone. S chama legge d attualzzazone l nseme delle regole attraverso le qual s esegue l calcolo dello sconto (o del valore attuale) n un operazone d sconto. Osservazone. Le legg d captalzzazone utlzzate sono due: semplce, composta. Le legg d attualzzazone utlzzate sono tre: commercale, razonale, composta. 3

4 Captalzzazone semplce Defnzone. In una operazone d prestto s applca la captalzzazone semplce se gl nteress I maturat sono drettamente proporzonal 1 al captale C e alla durata del prestto t. Nota. La captalzzazone semplce, d norma, vene utlzzata n operazon d prestto d breve durata (n genere non superore all anno). Osservazone. Se l nteresse I è drettamente proporzonale a C e a t, allora I è drettamente proporzonale I al prodotto C t. In altre parole l rapporto è costante. La costante d proporzonaltà rappresentata C t da questo rapporto s ndca con (anzché k) e vene chamata tasso d nteresse untaro. Defnzone. In una operazone d captalzzazone semplce s chama tasso d nteresse untaro l rapporto I (costante) tra l nteresse maturato e l prodotto C t. La formula è = C t Osservazone. Il tasso d nteresse untaro rappresenta l nteresse maturato su un captale d 1, prestato per una untà d tempo (nfatt se nella formula sopra sosttusc 1 sa al captale che al tempo, otten =I). Defnzone. Il tasso d nteresse untaro s chama annuale se l untà d tempo necessara a maturare un nteresse su un captale untaro è l anno; se l untà d tempo è un perodo nferore all anno (ad esempo un semestre) allora l tasso s dce perodale. I tass perodal generalmente utlzzat sono: mensle, bmestrale, trmestrale, quadrmestrale, semestrale. Quest tass, rfert a perod nferor all anno, sono anche dett frazonat. Osservazone. Il tasso untaro: annuo s ndca con mensle s ndca con 12 (perché mes n un anno sono 12) bmestrale con 6 (perché ) trmestrale con (perché ) quadrmestrale con (perché ) semestrale con (perché ). Osservazone. Le formule pù mportant per affrontare problem d captalzzazone semplce sono due: quella dell nteresse: I = C t e quella del montante: M = C + I = C( 1+ t). NB. Quando s applcano queste formule l tempo deve sempre essere espresso nell untà ndcata dal tasso untaro. Ad esempo, se l tasso è annuo l tempo sarà msurato n ann, se l tasso è semestrale l tempo sarà n semestr, se l tasso è quadrmestrale l tempo sarà n quadrmestr, ecc. Nelle trasformazon del tempo consderamo sempre l anno commercale (360 gorn = 12 mes, cascun mese da 30 gorn. Esemp ann, 3 mes e 20 gorn quant ann sono? Ann=2+3/12+20/360=2+1/4+1/18=83/36 2,3 ann. 1 Due grandezze x e y s dcono drettamente proporzonal se sono n corrspondenza bunvoca e l rapporto de valor corrspondent sono costant (y/x=k). Il legame d proporzonaltà dretta è espresso dalla funzone y=kx. 4

5 2. 3,45 ann quant ann, mes, gorn sono? Ann=3, mes=0,45*12=5,4. Ma mes 5,4 sono mes=5 e gorn=0,4*30=12. Qund ann=3,45 sono 3ann, 5 mes e 12 gorn. Esercz sulla captalzzazone semplce Prmo lvello 1. Calcola l nteresse e l montante ne seguent cas (nelle formula l tasso da utlzzare è sempre untaro, qund l tasso del 5,32% dventerà, nella formula, 0,0532): a) C= 3.000; =8%; t=2 ann. I = ,08 2 = 480; M = b) C= 6.500; =6,3%; t=1 anno, 6 mes. 6 I = , = 614,25; M = 7114, c) C= 8.000; =5,35%; t=2 ann, 5 mes, 13 gorn. I = , = 1.049,79; M = 9049, d) C= 4.500; 2 =3%; t=8 mes. 8 I = ,03.2 = 180; M = Tasso perodale semestrale= 2 perod n un anno e) C= 2.750; 3 =2,7%; t=5 mes e 10 gorn I = , = 99; M = f) C= 3.750; 4 =2,7%; t=9 mes e 25 gorn I = , = 331,88; M = 4.081, Un captale è stato mpegato al tasso d nteresse annuo del 6% per 2 ann, 5 mes, 16 gorn. Determna l captale sapendo che l nteresse semplce maturato è d [C=8.126,41] 3. Un captale è stato mpegato al tasso d nteresse annuo del 4,25% per 1 anno, 7 mes, 20 gorn. Determna l captale sapendo che l montante è d [C=7.572,55] 4. Il captale d 5.000, n captalzzazone semplce, dopo 8 mes ha maturato un nteresse d 150. Determna l tasso annuo applcato. [=4,5%] 5. Il captale d 5.000, n captalzzazone semplce, dopo 7 mes e 22 gorn ha maturato un montante d 5.161,11. Determna l tasso annuo applcato. [=5%] 6. Il captale d 6.500, n captalzzazone semplce, dopo 9 mes e 18 gorn ha maturato un montante d Determna l tasso trmestrale applcato. [ 4 =1,5%] 7. Determna dopo quanto tempo l captale d 7.000, mpegato al tasso d nteresse semplce del 6,55%, ha maturato un nteresse d 300. [t=0,6543=7m+26 g] 8. Determna dopo quanto tempo l captale d 8.500, mpegato al tasso d nteresse semplce del 4,5%, ha maturato un montante d [t=0,5752=6 mes+27g] 9. Rappresenta sul pano cartesano l grafco dell nteresse maturato su d un captale d 4.000, al tasso annuo del 3%, al varare del tempo. Suggermento: l nteresse è drettamente proporzonale al tempo d mpego del captale qund l grafco è. 10. In rfermento all eserczo precedente rappresenta l montante al varare del tempo. Cosa not d comune tra due grafc? Secondo lvello 1. Gl nteress semplc maturat n 9 mes su un captale d ammontano ad ogg a 46. Sapendo che nzalmente l tasso d nteresse semplce corrsposto ammontava al 4% annuo e che 4 mes fa è stato aumentato, determnare l tasso d nteresse applcato negl ultm 4 mes. [=6,5%] 2. Tempo fa ho versato un captale d 3200 al tasso del 7% annuo n captalzzazone semplce presso un sttuto d credto. Se mes fa ho versato altr 1500 e 4 mes fa ho prelevato Determnare quando è stato effettuato l prmo versamento, sapendo che ogg dspongo d

6 [t=0,666 8 mes fa] 3. Il captale d è stato depostato presso un sttuto d credto. Il tasso d nteresse semplce corrsposto, nzalmente del 2,5% annuo, dopo 3 mes è stato portato allo 0,7% quadrmestrale. Calcolare gl nteress maturat e l montante dopo 9 mes dalla data del deposto effettuato. [83,75; 5083,75] 4. Il captale d è stato mpegato per 4 mes al tasso d nteresse semplce del 4% annuo. Il montante ottenuto è stato po renvestto per 6 mes al tasso del 5% annuo. Calcolare l montante fnale e l tasso costante al quale s sarebbe dovuto mpegare lo stesso captale per avere lo stesso montante. [5193,33; 4,64%] 5. Una persona ha versato n banca le seguent somme: mes e 10 gorn fa, mes e 20 gorn fa, mes e 15 gorn fa. Quale montante rtra ogg se la banca corrsponde l nteresse semplce al tasso del 3% annuo? [ ,96 ] 6. Dec mes fa abbamo versato, su un lbretto al rsparmo, un certo captale al tasso annuo del 2% quadrmestrale; dopo 2 mes abbamo versato un captale doppo del prmo. Ogg rtramo l montante d Calcolare l mporto de due versament. [1.541,54; 3.083,08] 7. Una parte d un captale d è stata mpegata al tasso d nteresse semplce del 5% annuo, mentre la parte rmanente al tasso del 7%. Determnare l mporto delle due part d captale, sapendo che dopo 8 mes l montante complessvo rsulta d ,33. [ 4000; 6000 ] 8. Un certo captale è stato mpegato ad nteresse semplce per 4 mes ad un certo tasso annuo e s è rcavato l montante d Se fosse stato mpegato ad un tasso del 2% superore al precedente e per un tempo d 6 mes, l montante sarebbe stato d Determnare l captale e l tasso d nteresse. [ 1600; 9% ] 9. Un anno fa ho mpegato a nteresse semplce al tasso annuo del 3,6%. Dopo un certo tempo l tasso è stato portato al 4% annuo. Sapendo che ogg dspongo d , trovare dopo quanto tempo è stato cambato l tasso. [4 mes e 15 gorn] 10. Nove mes fa ho depostato n banca, al tasso d nteresse semplce del 3,6% annuo, un captale d Dopo due mes ho prelevato 2000 e dopo altr 3 mes ho effettuato un nuovo versamento. Sapendo che gl nteress complessvamente maturat fno ad ogg ammontano a 68,40, determnare l mporto del versamento effettuato quattro mes fa. [2.450] 11. Dec mes fa ho depostato n banca, al tasso d nteresse semplce del 4,5% annuo, la somma d Dopo un certo tempo ho prelevato e ogg dspongo del captale d Determnare quant mes fa ho effettuato l prelevo. [3 mes e 12 gorn] 12. Nove mes fa ho depostato al tasso dello 0,75% trmestrale e alcun mes dopo ho prelevato la somma d Sapendo che ogg dspongo d 3.126, determnare quando è stato effettuato l prelevo. [4 mes e 10 gorn fa] 13. Undc mes fa ho depostato n banca, al tasso annuo del 3%, un captale d Dopo 2 mes ho prelevato 2500 e dopo altr 3 mes ho effettuato un ulterore versamento. Infne, 3 mes fa ho prelevato Determnare l mporto del versamento effettuato se mes fa, sapendo che ogg gl nteress maturat ammontano a 116,25. [ 2.500] Sconto commercale Defnzone. In un operazone d attualzzazone s applca lo sconto commercale quando lo sconto Sc è drettamente proporzonale al valore nomnale Vn del debto e al tempo t d antcpazone. Nota. Lo sconto commercale, d norma, vene utlzzato n operazon d sconto d breve durata (n genere non superore all anno). Osservazone. Rproponendo l ragonamento fatto per la captalzzazone semplce, possamo dre: se lo sconto Sc è drettamente proporzonale al valore nomnale Vn e al tempo t, allora Sc è drettamente 6

7 proporzonale al prodotto Vn t. In altre parole l rapporto Sc è costante. La costante d proporzonaltà V t rappresentata da questo rapporto s ndca con d (anzché k) e vene chamata tasso d sconto untaro. Defnzone. In una operazone d sconto commercale s chama tasso d sconto untaro l rapporto Sc (costante) tra lo sconto applcato e l prodotto V n t. La formula è d = V t Osservazone. Il tasso d sconto untaro d rappresenta lo sconto applcato su un valore nomnale d 1, pagato antcpatamente d una untà d tempo (nfatt se nella formula sopra sosttusc 1 sa al valore nomnale che al tempo, otten d=sc). Osservazone. Le formule pù mportant per affrontare problem sullo sconto commercale sono due: Sc = Vn d t e Sc = Vn Va. Da queste s rcava una terza formula, spesso utlzzata per rsolvere problem: V V ( d t) a = 1. n Esercz sullo sconto commercale 1. Ogg saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 8 mes, scontato al tasso d sconto commercale del 4,5% annuo. Determna lo sconto ottenuto e l valore attuale. [135] 2. Ogg, pagando 5.300, saldo antcpatamente un debto con scadenza tra 10 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto commercale al tasso d sconto del 4%, determna l valore nomnale del debto. [5482,76] 3. Ogg, pagando 5.390, saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 4 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto commercale, determna l tasso d sconto applcato. [6%] 4. Ogg, pagando 6.205, saldo antcpatamente un debto d Sapendo che è stato applcato lo sconto commercale al tasso d sconto del 5%, determna la scadenza futura del debto. [10m+28gg] 5. Con pago antcpatamente tre debt: l prmo d con scadenza tra 4 mes, l secondo d con scadenza tra 7 mes e l terzo d con scadenza tra 10 mes. Determna lo sconto complessvo applcato e l tasso d sconto commercale applcato a tre debt. [359; 5,5%] 6. Ogg rtro l montante semplce d depostat 10 mes fa al tasso del 3,5% annuo e lo utlzzo per antcpare l pagamento d due debt, l prmo d con scadenza fra 5 mes e l secondo con scadenza fra 8 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto commercale al tasso d sconto del 3,5% annuo. Determna l mporto del secondo debto. [1748,20] 7. S hanno due debt d cascuno, l prmo scadente fra 2 mes e l secondo fra 7 mes. S può saldare tutto ogg pagando Determna l tasso annuo d sconto commercale applcato. [8%] 8. Con ho pagato antcpatamente due cambal, una d mporto con scadenza fra un certo tempo e l'altra d con scadenza 3 mes dopo la prma. Determna le due scadenze supponendo che sa pratcato uno sconto commercale al tasso d sconto del 11% annuo. [6m+20gg; 9m+20gg] Sconto razonale Lo sconto commercale ha l vantaggo d essere faclmente calcolable, noto l valore nomnale del debto, ma manca d coerenza logca. Infatt per temp suffcentemente lungh potrebbe dventare uguale ( o superore) al valore nomnale e s arrverebbe all assurdo che l debtore non dovrebbe pagare nulla (o addrttura dventare credtore). Ad esempo, se s antcpasse un debto d con scadenza fra 10 ann, al tasso d sconto del 10%, s avrebbe drtto ad uno sconto commercale S = ,1 10, l cu valore sarebbe esattamente d In questo caso l debtore, antcpando l debto, non pagherebbe assolutamente nulla. Se l tempo d antcpazone fosse stato superore l debtore avrebbe avuto drtto ad uno sconto addrttura superore al valore del debto. n n c 7

8 Lo sconto razonale che s defnsce ora, non presenta questa contraddzone. Defnzone. In un operazone d sconto s applca lo sconto razonale se, fssato un tasso d nteresse, l valore nomnale concde con l montante semplce del valore attuale. La defnzone scrtta, tradotta n formula, dventa: V V ( + t) n = 1. La formula appena scrtta, asseme all altra del valore nomnale: V = V + S, sono suffcent per rsolvere problem sullo sconto razonale, ma un altra formula molto utle che s rcava dalle precedent è quella del V valore attuale: V = n a 1 + t. Nota. Lo sconto razonale può essere pensato come l operazone nversa della captalzzazone semplce: nfatt l valore attuale del montante semplce (allo stesso tasso e per lo stesso tempo) m resttusce l captale. Infatt se un captale C è dato n prestto, al tasso per un tempo t, l suo montante semplce dventa C(1+t). Se questo montante vene attualzzato per lo stesso tempo e allo stesso tasso, con sconto M C(1 + t) razonale, allora s ottene V a = = = C. Coè l valore attuale del montante d C è ancora C. 1+ t 1+ t ( ) Questo ragonamento può essere schematzzato nel seguente modo: a n a c C captalzzazone attualzzazone M Esercz sconto razonale 1. Ogg saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 8 mes, scontato razonalmente al tasso d nteresse del 4,5% annuo. Determna l valore attuale e lo sconto ottenuto. [ ; 131,07] 2. Ogg, pagando 5.300, saldo antcpatamente un debto con scadenza tra 10 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto razonale al tasso d nteresse del 4%, determna l valore nomnale del debto. [5476,67] 3. Ogg, pagando 5.390, saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 4 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto razonale, determna l tasso d nteresse applcato. [6,12%] 4. Ogg, pagando 6.205, saldo antcpatamente un debto d Sapendo che è stato applcato lo sconto razonale al tasso d nteresse del 5%, determna la scadenza futura del debto. [11m+12gg] 5. Ogg rtro l montante semplce d depostat 10 mes fa al tasso del 3,5% annuo e lo utlzzo per antcpare l pagamento d due debt, l prmo d con scadenza fra 5 mes e l secondo con scadenza fra 8 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto razonale al tasso d nteresse del 3,5% annuo. Determna l mporto del secondo debto. [1747,47] 6. Con la somma d saldo antcpatamente due debt, scontat razonalmente: l prmo d scadente tra 6 mes al tasso del 5% annuo e l secondo d scadente fra 8 mes. Determna l tasso d nteresse utlzzato per scontare l secondo debto. [6%] 7. Ogg antcpo l pagamento d due debt, l prmo con scadenza tra 1 anno e l secondo, d mporto doppo del prmo, con scadenza fra 1 anno e 6 mes, ottenendo complessvamente uno sconto d 826. Determnare l mporto de due debt sapendo che è stato applcato lo sconto razonale al tasso d nteresse del 7,6%. [3.000] 8

9 Captalzzazone composta Defnzone. In un operazone d prestto s applca la captalzzazone composta, ad un tasso d nteresse, se gl nteress semplc maturat su ogn perodo (untà d tempo) s aggungeranno al captale e produrranno nuov nteress ne perod successv. Coè l montante semplce calcolato su un perodo dventerà l captale su cu calcolare l montante semplce del perodo successvo. Defnzone. La captalzzazone composta s dce annua quando l perodo d captalzzazone e l tasso d nteresse sono annu. Se l tasso d rfermento è perodale (mensle, bmestrale, trmestrale, quadrmestrale, semestrale) allora la captalzzazone s dce frazonata. Osservazone. Nella captalzzazone composta la formula pù mportante è quella del montante. La sua formula s ottene applcando la defnzone. Vedamo un esempo. Supponamo d nvestre un captale C= 4.000, al tasso annuo del 5%, per 3 ann. Il tasso è annuo, qund dovendo calcolare l montante semplce sul prmo perodo (1 anno) s ha M 1 = C( 1+ 1) = C( 1+. Alla fne del secondo anno l montante sarà M ( ) ( ) ( ( )) ( ) 2 2 M = M 1 1+ = C = C 1+ montante sarà: M M ( 1+ 1) = M ( 1+ = C 1+ 2 ( 1+ = C + =. Alla fne del terzo anno l ( ) ( ) 3 =. Eccetera S ntusce che dopo un tempo t l montante sarà: ( t M = C 1 +. Nota. Useremo questa formula anche nel caso n cu l tempo non sa un numero ntero d ann. La formula scrtta contene 4 varabl: M, C,, t. Come s rcava C?. Come s rcava?. Come s rcava t?. Nota. Nel caso n cu l eserczo proposto facca rfermento ad un tasso perodale k s procederà come nella captalzzazone semplce moltplcando l tempo, espresso n ann, per. Qund la formula della captalzzazone composta frazonata (con tass perodal sarà: M = C 1 ( ) k + t Esercz captalzzazone composta 1. Rappresenta, sul pano cartesano, l grafco del montante n funzone del tempo, utlzzando un captale d e un tasso d nteresse annuo del 5%. (Suggermento: predspon una tabella con due rghe (o colonne); assegn al tempo alcun valor e calcol l montante corrspondente: tempo montante Il grafco che otten non è una retta, nfatt la formula che esprme l montante composto n funzone del tempo è una funzone. Il grafco allora è una curva. 2. Determna l montante composto ne seguent cas: Captale tempo tasso M ann =3,4% a+5m =4,3% a+8m+20g =3,8% ann I 2 =3% k 9

10 a+5m 3 =2,5% a+8m+20g 4 =2% 3. Determna l captale ne seguent cas: Captale tempo tasso M 4 ann =3,4% a+5m =4,3% a+8m+20g =3,8% ann I 2 =3% a+5m 3 =2,5% a+8m+20g 4 =2% Determna l tasso d nteresse ne seguent cas: Captale tempo tasso M ann = 3.646, a+5m = 6.631, a+8m+20g = 8.217, ann I 2 = 3.800, a+5m 3 = 8.042, a+8m+20g 4 = 9.009,00 5. Determna la durata del prestto ne seguent cas: Captale tempo tasso M =3,4% =4,3% =3,8% I 2 =3% =2,5% =2% Nove ann fa ho versato 8.000, dopo due ann ho versato altr e tre ann fa ho prelevato una certa somma. Sapendo che l tasso applcato è stato del 3,5% composto e che ogg dspongo d 9.095, determnare l ammontare del prelevo effettuato tre ann fa. [4.499,68] 7. Se ann fa ho versato al tasso d nteresse composto del 5,5% annuo, dopo un certo tempo l tasso è stato rdotto al 5% annuo. Determnare quando è avvenuto l cambamento d tasso, sapendo che ogg dspongo d [1a+1m+24g] 8. Cnque ann fa sono stat fatt seguent versament: al tasso d nteresse trmestrale del 2,42%; al tasso d nteresse annuo del 3,5%; al tasso d nteresse semestrale dell 1,7%. A quale tasso annuo s sarebbe dovuto nvestre l captale complessvo per avere ogg lo stesso montante? [6,6%] 9. Monca ha regstrato negl ultm 10 ann seguent movment: un versamento nzale d 3.100; un secondo versamento d dopo 3 ann ed nfne, dopo altr 3 ann un terzo versamento d Il tasso d nteresse composto nzalmente applcato dalla banca è stato modfcato, dopo 4 ann dalla data del prmo versamento, dal 3,5% annuale al 4% annuale. Calcolare l montante composto che Monca ha a dsposzone ogg, al termne de 10 ann. [14.329,97] 10. Otto ann e se mes fa ho depostato presso un sttuto d credto che applca la captalzzazone composta al tasso 3,5% annuale un captale d Dopo 1 anno e 3 mes ho depostato un secondo captale d mporto trplo del prmo e successvamente ho prelevato un terzo captale par 10

11 alla metà del secondo. Sapendo che ogg dspongo d , determnare quant ann fa è avvenuto l prelevo. [4 ann] 11. Su un lbretto al rsparmo, 10 ann fa ho versato 5.000; dopo 3 ann ho prelevato ed nfne, dopo altr 3 ann ho versato Il tasso d nteresse composto nzalmente applcato dalla banca è stato modfcato, dopo 5 ann dalla data del prmo versamento, dal 5% annuale al 4% annuale. Calcolare l montante composto che ho a dsposzone ogg. [8.419,31] 12. Sette ann fa ho depostato n banca, al tasso composto del 4% annuo, un captale d Dopo 3 ann ho prelevato una somma che superava d l versamento precedente. L anno successvo la banca ha rdotto l tasso sul deposto. Sapendo che ogg posso dsporre d 2.013,16, determnare l nuovo tasso annuo applcato dalla banca. [3,5%] 13. Dec ann fa ho depostato una certa somma d denaro. Dopo 3 ann ho depostato una seconda somma, par alla precedente aumentata d Dopo altr 3 ann verso una terza somma par a Calcolare l'mporto del prmo versamento sapendo che ogg dspongo d una somma complessva d e che tutte le operazon sono state fatte al tasso composto del 8%. [11.000] 14. Su un deposto bancaro sono state effettuate le seguent operazon: cnque ann fa un versamento d ; tre ann fa un prelevo d Sapendo che ogg dspongo del montante d 5.245,36 e che l tasso d nteresse composto annuo applcato, nzalmente del 6%, è po stato rdotto un anno fa, determnare l nuovo tasso d nteresse applcato. [4%] 15. Dec ann fa ho nvestto presso un sttuto d credto la somma d a nteresse composto, al tasso annuo del 12%. Dopo 5 ann la banca ha dmnuto l tasso al 10% annuo e dopo un certo tempo lo ha dmnuto ancora portandolo all 8% annuo. Sapendo che ogg dspongo della somma d , determnare quando è stata effettuata l ultma rduzone del tasso. [3 ann fa] 16. Ho decso d mpegare la somma d per 2 ann e 8 mes ad un certo tasso n regme d captalzzazone composta. Alla scadenza ho renvestto l montante ottenuto per un tempo d 3 ann e 9 mes, al tasso composto del 7,15% e ho rtrato la somma d Calcolare l tasso annuo applcato nel prmo perodo d nvestmento. [7%] Tass equvalent e tass convertbl Ha gà studato (e anche svolto degl esercz con tass perodal (semestral, trmestral, ecc.). La domanda ora è la seguente: nvesto un captale d per 3 ann al tasso composto annuo del 6%; otterre lo stesso montante se l tasso applcato fosse del 3% semestrale composto? Prova a svolgere calcol e a dare una rsposta: Calcola l montante d al tasso composto del 6% annuo per una durata d 3 ann e otten: M=. Calcola ora l montante n captalzzazone composta frazonata (l tasso è del 3% semestrale e l tempo è espresso n. La formula da applcare dventa M=. I due montant sono ugual?. Qund un tasso del 6% non produce lo stesso montante d un tasso semestrale del 3%, se la captalzzazone è composta. Dcamo allora che due tass n questone non sono equvalent (perché producono montant dvers. Possamo allora, ragonevolmente, dare la seguente defnzone. Defnzone. Fssato un regme fnanzaro, due tass d nteresse perodal s dcono equvalent se, applcat allo stesso captale e per lo stesso tempo, producono montant ugual. In partcolare c nteressa scoprre l legame tra due tass perodal equvalent, n regme d captalzzazone composta. Nel caso d tass equvalent, n base alla defnzone data, l montante n captalzzazone annua = C( 1 t dovrà concdere con quello n captalzzazone frazonata ( ) k M C + t k t ( ) ( ) k 1 + = C 1+ t t. Dvdendo entramb membr per C s ottene: ( ) ( ) k + = 1+ t M + C entramb membr ad 1/t s ottene k = 1, coè 1, elevando po k 11

12 ( + ) = ( 1 ) k 1 + k. Quest ultma formula rappresenta la relazone tra tass equvalent. È possble, a seconda delle necesstà, rcavare l tasso annuo (noto l tasso frazonato o vceversa). Applcando l prmo prncpo d equvalenza (sottraendo 1 ad entramb membr, ottenamo k ( 1+ ) 1 =. Invece per ottenere l tasso frazonato s dovrà (dalla formula nzale) elevare ad 1/k, po sottrarre 1: k 1 = k k ( Nota. Tutt gl esercz sulla captalzzazone composta frazonata possono essere trasformat n captalzzazone composta annua, nfatt con la formula = ( 1+ ) 1 k k è possble trasformare un tasso frazonato n uno annuo equvalente. A volte, negl esercz, vene fornto un tasso nomnale J k che deve essere convertto n tasso effettvo Defnzone. S chama tasso nomnale convertble k volte all anno, che s ndca con J k, l prodotto La defnzone, espressa n formula è: j k = k. k k k. Negl esercz s deve comunque utlzzare l tasso k (detto effettvo), qund l tasso nomnale J k deve sempre j essere trasformato n effettvo con la formula (nversa): = k k k. Esempo. Il tasso nomnale j 3 del 6% è equvalente al tasso effettvo 3 del 2%. 3 0,06 Infatt 3 = j = = 0,02 = 2%. 3 3 Esercz su tass equvalent Completa la seguente tabella: I % 5% 4% 3% 2% 1% Sconto composto Defnzone. In una operazone d attualzzazone s applca lo sconto composto se, fssato un tasso d nteresse, l valore nomnale concde col montante composto del valore attuale. V = V 1 +. Traducendo la defnzone n una formula ottenamo: ( ) t La formula pù usata è quella nversa: V V n a = = Vn 1 t ( 1+ n a ( + t Esercz sconto composto 1. Ogg saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 1 anno e 8 mes, scontato al tasso d nteresse composto del 4,5% annuo. Determna l valore attuale e lo sconto ottenuto. [4.181,69]. 12

13 2. Ogg, pagando 5.300, saldo antcpatamente un debto con scadenza tra 2 ann e 10 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto composto al tasso d nteresse del 4%, determna l valore nomnale del debto. [5.922,94] 3. Ogg, pagando 5.090, saldo antcpatamente un debto d con scadenza tra 3 ann e 4 mes e 12 gorn. Sapendo che è stato applcato lo sconto composto, determna l tasso d nteresse annuo applcato. [2,3%] 4. Ogg, pagando 6.105, saldo antcpatamente un debto d Sapendo che è stato applcato lo sconto composto al tasso d nteresse del 5%, determna la scadenza futura del debto. [1a+3m+13g] 5. Ogg rtro l montante composto d depostat 1 anno e 10 mes fa al tasso del 3,5% annuo e lo utlzzo per antcpare l pagamento d due debt, l prmo d con scadenza fra 1 anno e 5 mes e l secondo con scadenza fra1 anno e 8 mes. Sapendo che è stato applcato lo sconto composto al tasso d nteresse del 4% annuo. Determna l mporto del secondo debto. [1997,36] 6. Con la somma d saldo antcpatamente due debt: l prmo d scadente tra 2 ann e 6 mes al tasso del 5% annuo e l secondo d scadente fra1 anno e 8 mes. Determna l tasso d nteresse utlzzato per scontare l secondo debto, sapendo che è stato applcato lo sconto composto. [5,8%] 7. Ogg pagando 9533,16 antcpo l pagamento d due debt, l prmo con scadenza tra 1 anno e l secondo, d mporto doppo del prmo, con scadenza fra 1 anno e 6 mes. Determna l mporto de due debt sapendo che è stato applcato lo sconto composto al tasso d nteresse del 7,6%. [3.500, 7.000] Prncpo d equvalenza fnanzara Abbamo defnto le operazon fnanzare come contratt ne qual s prevedono scamb d danaro n epoche dverse. Come regolare quest scamb d danaro n modo che le contropart possano rtenere equo l contratto? In altre parole quando un captale C 1 al epoca t 1 è equo scambarlo con un captale C 2 all epoca t 2? La rsposta è data dal seguente prncpo d equvalenza fnanzara. Defnzone. Fssat un regme fnanzaro, un tasso d nteresse e un epoca d rfermento, un captale C1 esgble all epoca t1 e un captale C2 esgble all epoca t2 s dcono fnanzaramente equvalent se concdono loro valor fnanzar all epoca fssata. Eserczo. Verfca se l captale d esgble fra 3 ann e l captale d esgble fra 5 ann e 6 mes sono fnanzaramente equvalent, supponendo d fssare come epoca d rfermento ogg, come regme fnanzaro quello composto e come tasso d nteresse l 4% annuo. Legg scndbl Altro concetto mportante rferto alle legg fnanzare è l concetto d scndbltà. Defnzone. Una legge d captalzzazone è scndble se l montante ottenuto sull ntero perodo è uguale al montante ottenuto su una parte e po rcaptalzzato per l tempo rmanente. Defnzone. Una legge d attualzzazone è scndble se l valore attuale ottenuto sull ntero perodo è uguale al valore attuale ottenuto su una parte e po rattualzzato per l tempo rmanente. In altre parole, se un operazone d prestto (o d attualzzazone) può essere spezzata n pù passagg, ottenendo lo stesso montante (o valore attuale) allora la legge fnanzara applcata è scndble. Qual legg fnanzare sono scndbl? Rflettendo su quanto studato s capsce che: 13

14 sono scndbl le legg d captalzzazone composta e d sconto composto; non sono scndbl le legg d captalzzazone semplce e d sconto semplce. Nota. La scndbltà offre un grande vantaggo nella rsoluzone de problem: quando s applca l prncpo d equvalenza fnanzara, l epoca d rfermento nella quale valutare captal è arbtrara solo quando le legg fnanzare sono scndbl. Esercz sulla equvalenza fnanzara 1. Dovrò pagare fra 1 anno, fra 2 ann, fra 7 ann e fra 9 ann. M accordo col credtore d pagare l ntero debto con un solo versamento fra 5 ann. Calcola la somma da versare al tasso annuo composto del 5%. [13.488,31] 2. Dovrò pagare fra 7 ann e ottengo d estnguere l debto con due versament, d cu l prmo par a 2/3 del secondo, rspettvamente fra 3 e 5 ann. Calcolare l mporto de due versament, applcando un tasso annuo composto del 7%. [6.604,70; 9907,05] 3. Per l acqusto d un automoble che costa , s ottene d pagare fra 3 ann e fra 6 ann. A quale tasso d nteresse composto è stata effettuata l operazone? [4%] 4. Un captale d è stato mpegato a nteresse composto per 6 ann al tasso annuo del 7%. Dopo un anno l tasso è stato rdotto al 6,25% e dopo altr 2 ann aumentato al 6,8%. Qual è l tasso annuo medo, se nell ultmo anno l tasso applcato è stato aumentato al 7,2% annuo? [6,7%] 5. Ho drtto a rscuotere tre credt: tra 1 anno e 6 mes, tra 1 anno e 9 mes, fra un certo tempo. Accetto, n sosttuzone, un unco pagamento d fra 3 ann. Calcola la scadenza del terzo credto, applcando un tasso d nteresse annuo nomnale convertble trmestralmente del 4%. [fra 2 ann e 6 mes] Esercz replogatv 1. Cnque ann fa una persona ha depostato presso una banca , 3 ann fa ha po depostato altr e 1 anno fa ha depostato Decde d rtrare ogg una certa somma e una somma trpla fra tre ann n modo da estnguere l deposto. Determnare l mporto delle due somme sapendo che l tasso d nteresse quadrmestrale corrsposto è par all 1,2%. [7.168,67; ,01] 2. Ho nvestto per 11 ann un determnato captale. Il tasso d nteresse, nzalmente del 9% annuo nomnale convertble quadrmestralmente, dopo 2 ann è sceso al 2,8% quadrmestrale e po, negl ultm 3 ann, l tasso è stato del 7,5% annuo. Sapendo che l montante fnale calcolato n captalzzazone composta è d ,84, calcola l captale nzale. [7.500] 3. Il valore attuale, con sconto razonale al tasso annuo del 2,4%, d due prestt, l prmo d con scadenza fra 1 anno e 8 mes e l secondo d con scadenza fra 4 mes, vene nvestto per 2 ann ottenendo un montante d 9.821,50. Determnare l tasso d nteresse al quale s è effettuato l nvestmento. [3% annuo] 4. Ogg vengono pagat antcpatamente due debt, l prmo d con scadenza fra 3 ann e 2 mes e l secondo d con scadenza tra 4 ann e 8 mes, entramb con sconto composto al tasso annuo del 2,5%. Investo la somma realzzata al tasso annuo nomnale convertble quadrmestralmente del 4,2%. Quale montante avrò fra 2 ann? [12.000,73] 5. Impego la somma d per 4 ann e 4 mes al tasso semestrale del 4,5%. Ogg rtro l montante accumulato e lo renvesto per 2 ann e 9 mes al tasso trmestrale del 2,05%. Determna l montante fnale e l tasso d nteresse effettvo a cu è stato mpegato l captale. [9.519,65; 8,91%] 14

15 6. Dovrò pagare fra 6 mes, fra 1 anno, fra 1 anno e 6 mes. Concordo col credtore d pagare ogg e l resto fra 2 ann. Quale somma dovrò versare tra 2 ann, sapendo che l tasso applcato è stato dello 0,5% trmestrale? [1.937,93] 7. Dovre pagare fra 1 anno e 6 mes, e fra 1 anno e 9 mes, fra un certo tempo. Posso saldare l tutto n un unco pagamento d fra 3 ann. Sapendo che è stato applcato un tasso annuo nomnale convertble trmestralmente del 4%, calcolare la scadenza del terzo debto. [3a+9m+14g] 8. Per l acqusto d un autovettura s hanno due possbltà d pagamento: dopo 2 mes dalla data d acqusto, dopo 6 mes e dopo 1 anno; al momento dell acqusto e l rmanente dopo 1 anno e 6 mes. Sapendo che l tasso d nteresse applcato è del 5% annuo composto, calcola la somma da versare a saldo se s sceglesse la seconda proposta. [2.952,73] 9. Ho acqustato un terreno del valore d Il vendtore propone tre potes d pagamento: Il 30% del valore del terreno alla stpula del contratto, dopo 1 anno e dopo 2 ann; alla stpula del contratto, dopo 3 mes e dopo 6 mes; alla stpula del contratto, e dopo 6 mes e dopo 1 anno. Qual è l potes pù convenente? [ tass applcat sono 1,2%; 2,79%; 1,33%; la pù convenente è la prma] Rendte fnanzare Defnzone. Una rendta è una successone d somme pagabl o esgbl a determnate scadenze. Esemp d rendte. Lo stpendo percepto da un lavoratore dpendente; l afftto d un appartamento; l acqusto d ben medante pagament rateal, la pensone, ecc. Defnamo alcun concett che sono alla base dello studo delle rendte. Cascuna somma che compone una rendta s chama rata, l tempo che ntercorre tra due rate è detto perodo, l numero delle rate è detto durata della rendta. Le rendte s classfcano n base ad alcune caratterstche: tpologa della rendta (fnanzara o vtalza); rata; durata; perodo. Lo schema seguente sntetzza tutte le opzon possbl: fnanzara o certa RENDITA: vtalza o attuarale rata costante rata varable temporanea llmtatata o perpetua annua frazonata polennale mmedata dfferta antcpata postcpata Le rendte s dcono fnanzare quando s suppone che le rate sano pagate e/o rscosse con certezza; vtalze se l pagamento delle rate è subordnato a qualche evento legato alla vta o alla morte d una persona (asscurazon. 15

16 Le rendte sono a rata costante se tutte le rate hanno l medesmo mporto. Le rendte sono temporanee se la durata (l numero delle rate) è fnta (non nfnta) ed è stata fssata. Le rendte sono annue se l perodo (l tempo che ntercorre tra una rata e la successva) è un anno; frazonate se l perodo è nferore all anno (mensl, bmestral, trmestral, quadrmestral, semestral; polennal se l perodo è formato da pù ann. Gl altr concett saranno chart n seguto. Osservazone. Non studeremo: le rendte vtalze, a rata varable (tranne cas molto semplc d rate varabl, polennal. Il prmo e pù mportante problema che rguarda una rendta è la determnazone del suo valore fnanzaro ad una certa epoca determnata (all epoca della prma rata, o prma; all epoca dell ultma rata o successvamente). Tale valore lo applcheremo usando le legg della captalzzazone composta e dello sconto composto. Defnzone. Il valore fnanzaro d una rendta calcolato all epoca dell ultma rata o n un epoca successva s chama montante. Il montante n una certa epoca s ottene, qund, sommando montant delle sngole rate (n captalzzazone composta) gà pagate (o rscosse). Defnzone. Il valore fnanzaro d una rendta calcolato all epoca della prma rata o n un epoca precedente s chama valore attuale. Il valore attuale, n una certa epoca, s ottene, qund, sommando valor attual delle sngole rate (con sconto composto) ancora da pagare (o da rscuotere). Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, postcpata Defnzone. Il montante d una rendta all epoca del pagamento (o rscossone) dell ultma rata vene detto postcpato. In questo caso anche la rendta vene detta postcpata. Esempo. Calcola l montante d una rendta formata da 5 rate annue, cascuna da 800, all atto dell ultmo versamento, al tasso annuo del 4% composto. Soluzone. Rappresenta sulla lnea del tempo dat del problema: Il montante M sarà la somma de montant d cascuna rata. L ultma rata, essendo pagata (o rscossa) all epoca n cu s calcola l montante, non dovrà essere captalzzata, la penultma dovrà essere captalzzata per 1 anno, la terzultma per 2 ann, la seconda per 3 ann e la prma per 4 ann. Qund l montante sarà: M ( 1,04 ) 1 + R ( 1,04) 2 + R ( 1,04) 3 + ( 1, 04 ) 4 = R + R R =. Come sarebbe l mpostazone nel caso n cu l numero delle rate fosse 8? M=. Come sarebbe l mpostazone nel caso n cu le rate fossero 15? M=. E nel caso n cu fossero n un numero non precsato n e l tasso non fosse precsato? 16

17 . Osservazone. S capsce mmedatamente come l calcolo del montante sa lungo e nooso quando l numero delle rate è superore a poche untà. S rende necessara scoprre una formula pù comoda da utlzzare per calcolare l montante, qualunque sa l numero n delle rate. Teorema. Il montante postcpato d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, è dato da: ( M = R Dmostrazone: Ha scrtto prma che l montante è la somma de montant delle sngole rate: M = R + R n 2 n 1 ( 1+ + R ( 1+ + R ( R ( 1+ + R ( 1+ Moltplcando prmo e secondo membro per (1+ otten: ( + = M 1. Sottra, membro a membro, questa uguaglanza con quella sopra e otten: ( + M = M 1. n Coè: M + M M = R ( 1 + R. Semplfcando s ottene la formula M = R ( + R n ( 1+ 1 n. n 1 e nfne M = R. Esempo. Calcola ogg l valore d una rendta costtuta da 15 rate annue cascuna da 900, l ultma versata ogg, al tasso annuo del 4,5% composto. M=. Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, antcpata Defnzone. Il montante d una rendta (annua) un anno dopo l pagamento (o rscossone) dell ultma rata vene detto antcpato. In questo caso anche la rendta vene detta antcpata. Osservazone. Rspetto al montante postcpato, n questo caso ogn rata vene captalzzata un anno n pù, qund l montante antcpato sarà quello postcpato rcaptalzzato d un altro anno. Teorema. Il montante antcpato d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, è dato da: ( 1+ 1 M = R ( 1+. Esempo. Calcola ogg l valore d una rendta costtuta da 25 rate annue cascuna da 900, l ultma versata un anno fa, al tasso annuo del 3,5% composto. M=. Calcolo del montante d una rendta a rata costante, annua, temporanea, p ann dopo l ultma rata Rspetto al montante postcpato, n questo caso ogn rata vene captalzzata per p ann n pù, qund l montante sarà quello postcpato rcaptalzzato d altr p ann. n Teorema. Il montante d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, p ann dopo l ultma rata è dato da: 17

18 ( 1+ 1 M = R 1+ n ( p Esempo. Calcola ogg l valore d una rendta costtuta da 10 rate annue cascuna da 900, l ultma versata 2 ann, 10 mes e 19 gorn fa, al tasso annuo del 4% composto. M=. Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, postcpata Defnzone. Il valore attuale d una rendta un anno prma del pagamento (o rscossone) della prma rata vene detto postcpato. In questo caso anche la rendta vene detta postcpata. Teorema. Il valore attuale postcpato d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, è dato da: ( 1+ 1 Va = R. Dmostrazone. Per l calcolo del valore attuale della rendta è suffcente attualzzare l montante postcpato (d cu conoscamo gà la formula) esattamente per n ann: ( 1+ n n. ( 1 n 1 n 1 + Va = M ( 1 + = R ( 1+ = R. Esempo. Calcola l valore d una rendta costtuta da 15 rate annue cascuna da 900, un anno prma del versamento della prma rata, al tasso annuo del 4,5% composto. V a =. n Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, antcpata Defnzone. Il valore attuale d una rendta all epoca del pagamento (o rscossone) della prma rata vene detto antcpato. In questo caso anche la rendta vene detta antcpata. Teorema. Il valore attuale antcpato d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, è dato da: ( 1+ 1 Va = R ( 1+. Dmostrazone. In questo caso l valore attuale antcpato è calcolato un anno prma d quello postcpato, qund è suffcente captalzzare per un anno quello postcpato. Esempo. Calcola l valore d una rendta costtuta da 15 rate annue cascuna da 900, nel momento del versamento della prma rata, al tasso annuo del 4,5% composto. V a =. n Calcolo del valore attuale d una rendta a rata costante, annua, temporanea, p ann prma della prma Defnzone. Il valore attuale d una rendta p ann prma del pagamento (o rscossone) della prma rata vene detto antcpato e dfferto. In questo caso anche la rendta vene detta antcpata e dfferta. Teorema. Il valore attuale antcpato e dfferto d p ann d una rendta costtuta da n rate costant annue, cascuna d mporto R, valutato n regme d captalzzazone composta, al tasso annuo, è dato da: 18

19 ( 1+ n 1 V ( ) ( ) p a = R Dmostrazone. In questo caso l valore attuale antcpato è calcolato p ann prma d quello antcpato, qund è suffcente attualzzare per p ann quello antcpato. Esempo. Calcola l valore d una rendta costtuta da 25 rate annue cascuna da 900, 2 ann 3 mes e 10 gorn prma del versamento della prma, al tasso annuo del 4% composto. V a =. Nota. Cosa s ntenderà per valore attuale dfferto e postcpato? Rendte llmtate o perpetue Defnzone. Una rendta llmtata è costtuta da un numero nfnto d rate. Osservazone. Una rendta llmtata non possede l ultma rata, qund non è possble calcolarne l montante. Teorema. Il valore attuale d una rendta annua postcpata, llmtata, a rata costante è dato da : R V a = Esempo. Calcola l valore d una rendta annua perpetua, un anno prma del versamento della prma, al tasso annuo del 5% composto. V a =. Teorema. Il valore attuale d una rendta annua antcpata, llmtata, a rata costante è dato da : R V a = ( 1 + Esempo. Calcola l valore d una rendta annua perpetua, nel momento del versamento della prma, al tasso annuo del 5% composto. Va=. Eserczo. Scrv la formula del valore attuale d una rendta annua, llmtata, p ann prma della prma.. Rendte frazonate Quanto vsto per le rendte annue è trasferble mmedatamente alle rendte frazonate con queste avvertenze: l tasso da utlzzare nelle formule non sarà quello annuale ma quello frazonato (se vene fornto quello annuo sarà necessaro convertrlo n quello frazonato equvalente); nelle defnzone date s dovrà sostture la parola anno con la parola perodo (nteso a seconda de cas: semestre, quadrmestre, trmestre, ecc.), con partcolare attenzone al calcolo del valore attuale. Eserczo. Calcola l montante d una rendta costtuta da 18 rate trmestral, cascuna d 2.000, dopo 1 anno e 6 mes dal versamento dell ultma, al tasso annuo del 7%. Soluzone. La rendta è frazonata (trmestrale), qund è necessaro utlzzare un tasso trmestrale equvalente a quello annuo. Calcolalo:. Po dovra applcare la formula del montante p trmestr dopo l ultma rata. 19

20 M=. Eserczo. Calcola l valore attuale d una rendta costtuta da 12 rate quadrmestral, cascuna d 2.500, 2 ann, 5 mes e 20 gorn prma del versamento della prma, al tasso annuo del 6%. Soluzone. La rendta è frazonata (quadrmestrale), qund è necessaro utlzzare un tasso quadrmestrale equvalente a quello annuo. Calcolalo:. Po dovra applcare la formula del valore attuale p quadrmestr prma della prma rata. Va=. Esercz 1. Calcola, ogg, l montante delle seguent rendte, al tasso annuo del 5% composto: a) 10 rate annue, cascuna da 2.500, l ultma versata ogg; b) 12 rate annue, cascuna da 1.500, l ultma versata un anno fa; c) 20 rate annue, cascuna da 3.500, l ultma versata 3 ann fa; d) 15 rate annue, cascuna da 500, l ultma versata 2 ann, 5 mes e 18 gorn fa; e) 12 rate semestral, cascuna da 2.500, l ultma versata ogg; f) 18 rate bmestral, cascuna da 500, l ultma versata 1 anno fa; g) 40 rate trmestral, cascuna da 1.500, l ultma versata 1 anno e 7 mes fa; h) 24 rate quadrmestral, cascuna da 2.500, l ultma versata 2 ann, 8 mes e 10 gorn fa. 2. Calcola, ogg, l valore attuale delle seguent rendte, al tasso annuo del 5% composto: a) 10 rate annue, cascuna da 2.500, la prma versata ogg; b) 12 rate annue, cascuna da 1.500, la prma verrà versata fra un anno; c) 20 rate annue, cascuna da 3.500, la prma verrà versata fra 3 ann; d) 15 rate annue, cascuna da 500, la prma verrà versata fra 2 ann, 5 mes e 18 gorn; e) 12 rate semestral, cascuna da 2.500, la prma verrà versata ogg; f) 18 rate bmestral, cascuna da 500, la prma verrà versata fra 1 anno; g) 40 rate trmestral, cascuna da 1.500, la prma verrà versata fra 1 anno e 7 mes; h) 24 rate quadrmestral, cascuna da 2.500, la prma verrà versata fra 2 ann, 8 mes e 10 gorn. 3. Determnare l montante, all atto dell ultmo versamento, d una rendta d 7 rate annue d cascuna, al tasso del 7,5% annuo. [ ,98] 4. Il montante d una rendta postcpata d 15 rate d 1.200, valutato all 11%, è uguale a quello d un captale mpegato per 25 ann al tasso del 12%. Determnare l captale. [ 2.428,60] 5. Ho versato presso una banca, che applca l tasso del 2,25% annuo, ogn anno per 10 ann. Tre ann dopo l ultmo versamento ho rtrato l montante e l ho rempegato presso un altra banca che applca l tasso del 2%. Quanto potrò rtrare dopo 5 ann? [ ,95] 6. Ho drtto a rscuotere annu per 12 ann a partre da ogg. Cedo tale drtto ad un sttuto d credto che lo valuta al 9% e mpego la somma così rscossa al 6% annuo nomnale convertble semestralmente. Quale montante avrò a dsposzone fra 6 ann e 6 mes. [ ,76] 7. Determnare, al 4%, l valore attuale d una rendta costtuta da 18 rate annue d cascuna, la cu prma rata scade fra 5 ann. [ ,88] 8. Ho versato annualmente per 4 ann e, successvamente, 2700 per 5 ann. Determnare l montante un anno dopo l ultmo versamento, sapendo che l tasso applcato è del 6%. [ ,22] 9. Il montante d una rendta annua d 17 rate, calcolato al tasso del 12%, è d ,15. Calcolare la rata: a) nel caso d rendta antcpata; b) nel caso d rendta postcpata. [ 3.000; 3.360] 10. Intendo costture la somma d , con 5 versament annu postcpat costant, al 4,5%. Calcolare la rata d costtuzone. [ 2.467,69] 11. Ho versato per 9 ann presso una banca che applca l tasso annuo del 4%. Ogg, all atto dell ultmo versamento, concordo con la banca d rtrare, per 15 ann, somme costant a partre 20

21 dall anno prossmo, n modo da esaurre l deposto. Qual è l mporto d tal somme? [ 1142,19] 12. Una persona ha depostato ogn 3 mes, per 6 ann, al tasso dell 8% annuo nomnale convertble trmestralmente. Due ann e 6 mes dopo l ultmo versamento comnca a prelevare una certa somma trmestrale costante, n modo da esaurre l deposto dopo 8 ann dall ultmo versamento. Determnare l mporto della rata trmestrale prelevata. [ 5.962, 69] 13. Il montante d una rendta postcpata, valutato al tasso del 9,50%, è ,89. la rata della rendta è 520. determnare l numero delle rate. [25] 14. Ho versato annualmente presso una banca per 15 ann. Quanto tempo dopo l ultmo versamento potrò dsporre d un montante d , se l tasso applcato è del 4,32%? [1a, 7m, 28g] 15. Per l acqusto d un mpanto stereo posso sceglere fra le seguent alternatve: a. versare subto, fra un anno, e 500 fra 2 ann; b. versare 500 subto e po, ogn due mes, 125 per 15 volte. Qual è la scelta pù convenente, effettuando la valutazone al 7% annuo? 16. Calcola l montante, tre ann dopo l ultma rata, d una rendta costtuta da 15 rate quadrmestral, cascuna par a 3.000, valutata al tasso annuo del 6%. [61.604,98] 17. Ho versato presso un sttuto d credto, per 10 ann consecutv, rate da Sapendo che è stato applcato un tasso annuo del 5%, determna dopo quanto tempo, dall ultma rata, potrò dsporre d una somma par a [4 ann] 18. Cnque ann fa ho nzato a versare rate quadrmestral, cascuna d mporto d 700, al tasso d nteresse del 4% annuo e l ultma è stata versata 1 anno fa. Ogg rtro l montante accumulato ed estnguo antcpatamente un debto d , scontato al tasso d sconto composto del 5% annuo. Determnare la scadenza futura del debto. (attenzone!!! Le rate sono 13). [3a+2m+23g] 19. Cedo l drtto a rscuotere 40 rate trmestral d 500 cascuna, la prma delle qual ha scadenza fra 3 mes. In cambo rcevo al momento della cessone e un altro captale dopo 4 ann. Determnare quest'ultmo captale valutando gl mpegn al 6,55% annuo. [12.467,25] 20. Un mmoble del valore d vene venduto convenendo seguent pagament: subto, fra 5 ann, 10 rate semestral, la prma fra un anno. Supponendo un tasso d valutazone del 7% annuo, calcolare l mporto d cascuna rata. [9.047,31] 21. Ogg nzo a versare all anno per 5 ann consecutv, po effettuerò altr 6 versament annu d cascuno. Determnare, al tasso del 4% annuo, la somma d cu potrò dsporre fra 13 ann. (Attenzone: l ultma rata è al decmo anno) [26.486,06] 22. Verso all anno per 5 ann consecutv e po effettuo altr 6 versament annu d cascuno. Determnare quanto tempo deve trascorrere dall ultmo versamento, per poter dsporre d una somma d , al tasso del 9% annuo. [1a+9m] 23. S sono versat per 12 ann consecutv. Il tasso, nzalmente del 3,75% annuo è stato dmnuto al 3,5% annuo dopo l versamento della nona rata. Ogg, 1 anno dopo l ultmo versamento, quale somma possamo rtrare? [15.397,61] 24. Ho effettuato 6 versament annual da 1000 cascuno e successvamente altr 8 d mporto ncognto. Ogg, tre ann dopo l ultmo versamento, dspongo d un montante d Sapendo che l tasso d nteresse applcato è del 3%, determnare l mporto delle 8 rate ncognte. [1.136,80] 25. Dodc ann fa ho nzato a versare rate annue da 1.200, l ultma è stata versata tre ann fa e un anno fa ho prelevato Il tasso d nteresse, nzalmente del 5% annuo, cnque ann fa è stato rdotto al 4% annuo. Determnare la somma dsponble ogg. [11.495,21] 26. S sono versat per 15 ann consecutv. Il tasso, nzalmente del 7,75% annuo è stato portato all 8,5% annuo dopo l versamento della nona rata. Ogg, 3 ann dopo l ultmo versamento, rtramo una parte del montante accumulato per saldare antcpatamente un debto d , scadente tra 5 ann, che vene scontato al tasso del 12% annuo. Quale somma rmarrà depostata dopo l pagamento del debto? [28.432,11] 27. Tzo ogg presta un certo captale e concorda con l debtore l estnzone del debto medante l versamento d 20 rate semestral d cu le prme 8 d e le successve d 1.500, con la prma 21

22 esgble fra un anno. Calcolare l mporto del captale prestato, sapendo che l tasso applcato è del 6% annuo. [C=25.179,33 usando 5 decmal per l tasso] 28. S sono versate per 15 ann consecutv. Il tasso, nzalmente del 7,75% annuo è stato portato all 8,5% annuo dopo l versamento della nona rata. Ogg, 3 ann dopo l ultmo versamento, quale somma possamo rtrare? [M=35.241,23] 29. S sono versate ogn trmestre e per 8 ann consecutv 500 al tasso nomnale convertble 4 volte all anno del 10%. Ogg, all atto dell ultmo versamento, s stablsce d rtrare per 10 ann, a partre dal prossmo anno, una rata annua costante tale da estnguere l deposto. Determnare tale rata, supponendo nvarato l tasso. [R=3.982,47 usando 5 decmal per l tasso] 30. Ogg cedo l drtto a rscuotere 40 rate trmestral d 500 cascuna, la prma delle qual ha scadenza fra 3 mes. In cambo rcevo subto e un altro captale dopo 4 ann. Determnare quest'ultmo captale valutando gl mpegn al 6,55% annuo. [C=16.357,33 usando 5 decmal per l tasso] 31. Un padre, alla nascta d un fglo, versa n banca e, noltre, stablsce d depostare l gorno del compleanno del fglo, per 18 ann consecutv, Sapendo che l tasso, nzalmente fssato al 9% annuo, è stato aumentato al 10,5% annuo dopo l versamento della decma rata, determnare la somma che l fglo avrà al compmento del dcottesmo anno d età. [55.940,58] 32. Un debto d 8.000, contratto ogg al tasso del 12% nomnale convertble semestralmente, vene ammortzzato con 10 rate semestral, la prma delle qual scade fra 6 mes. Sapendo che le prme 5 rate sono d cascuna, determnare l'mporto costante delle rmanent 5. [1.203,29] 33. Tzo ogg presta un certo captale e concorda con l debtore l estnzone del debto medante l versamento d 20 rate semestral d cu le prme 8 d e le successve d 1.500, con la prma esgble fra un anno. Calcolare l mporto del captale prestato, sapendo che l tasso applcato è del 6% annuo effettvo. [25.178,61] 34. S sono versate ogn trmestre e per 8 ann consecutv 500 al tasso nomnale convertble 4 volte all anno del 10%. Ogg, all atto dell ultmo versamento, s stablsce d rtrare per 10 ann, a partre dal prossmo anno, una rata annua costante tale da estnguere l deposto. Determnare tale rata. (Attenzone: J 4 =0,1, qund 4 = ; n=32). [3.918,12] 35. Il valore attuale d 15 rate semestral, la prma fra un anno, concde col montante composto d un captale d , depostato 6 ann fa. Utlzzando un tasso d nteresse annuo del 5% annuo, determnare l mporto delle rate della rendta. [1.438,63] 36. Ho versato 20 rate annual, cascuna da 1.500, l ultma 2 ann fa. Il tasso nzalmente del 4% annuo è stato rdotto al 3,5% annuo dopo l versamento della dodcesma rata. Ogg, con quanto maturato antcpo l pagamento d un debto d con scadenza tra 5 ann. Sapendo che è stato applcato uno sconto composto, determnare l tasso d nteresse applcato. [6%] 37. Calcola l valore attuale d una rendta quadrmestrale al tasso del 5% annuo, la prma rata esgble fra due ann, costtuta da 24 rate, le prme 8 d mporto 700, le successve 10 d mporto 800 e le ultme 6 d mporto 900. [14.239,26] 38. Ogg chedo n prestto che m mpegno a restture, al tasso del 6,5% annuo, medante 15 versament annu, l prmo fra 2 ann. Determnare l mporto degl ultm 7 versament, sapendo che cascuno de prm otto ammonta a [13.763,92] Applcazone delle rendte Le rendte fnanzare trovano applcazone, n partcolare, n 3 problem fnanzar: la costtuzone d captale; l rmborso d un prestto (debto); contratt d leasng. 22

23 Costtuzone d un captale Il problema della costtuzone d un captale rguarda l caso n cu, pensando d voler dsporre d un certo captale ad una certa data futura, s pensa d accantonare perodcamente delle somme d denaro che, asseme agl nteress che matureranno, permetteranno d raggungere l obettvo prefssato. Due sono cas lmte per affrontare questo problema: medante l versamento d un unco captale, l cu montante sarà propro l captale che voglamo costture; medante l versamento perodco d somme d denaro (rate d una rendta) cu montant, sommat, daranno l captale che s vuole costture. Nota. Un problema relatvo alla costtuzone d captale rguarda sempre un problema d captalzzazone (calcolo del montante). Esercz 1. Che captale devo versare ogg, al tasso del 4,5% annuo, per poter dsporre d tra 5 ann 4 mes e 10 gorn? [19.745] 2. Verso 15 rate semestral cascuna d 1.300, al tasso annuo del 4%. D quale captale potrò dsporre dopo 1 anno e 6 mes dall ultmo versamento? [23.809,31] 3. S vuole dsporre d un captale d fra 2 ann, da costture medante versament mensl postcpat. Supponendo un tasso d nteresse del 3,5% annuo, determna l mporto de versament necessar. [1.209,24] 4. Ho versato 20 rate annue cascuna d 850, al tasso annuo del 5%. Determnare dopo quanto tempo dall ultmo versamento potrò dsporre d un captale d [4a+5m+26g] Rmborso d un prestto (o mutuo) Rcevuta una somma d denaro n prestto questa può essere resttuta dopo un certo tempo e avremo: prestt a breve scadenza (l estnzone del debto avvene entro l anno); prestt a meda scadenza (l estnzone del debto avvene n genere entro 5 ann; prestt a lunga scadenza (l estnzone del debto avvene n genere dopo 5 ann. La resttuzone del debto può avvenre, semplfcando, n tre mod: medante un rmborso globale: alla scadenza s rmborsa l debto e relatv nteress maturat (montante); medante l rmborso, alla scadenza, del captale rcevuto n prestto e del pagamento perodco degl nteress maturat; medante ammortamento: rmborso graduale del debto e pagamento perodco degl nteress. Nota. Esstono var tp d ammortamento: amercano, francese, talano. Defnzone. Se un prestto vene rmborsato medante l pagamento d rate costant l ammortamento s dce francese, o progressvo, o a rata costante. Esempo 1. Chedo un prestto d , al tasso annuo composto del 4%, che dovrò restture fra 5 ann medante rmborso globale. Soluzone. Dopo 5 ann restturò l montante composto d , calcolato al tasso annuo del 4%. La somma da restture sarà: M=. 23

24 Esempo 2. Il prestto d , al tasso annuo composto del 4%, lo restturò dopo 5 ann, e gl nteress maturat l pagherò alla fne d ogn anno. Soluzone. Alla fne del prmo anno pagherò gl nteress maturat sulla somma prestata (semplc o compost concdono) I=C**t=. Alla fne del secondo anno pagherò ancora la stessa somma (non avendo resttuto ancora un centesmo della somma prestata) e così va per l terzo e per l quarto anno. Alla fne del qunto anno restturò l captale avuto n prestto ( ) + gl nteress maturat l ultmo anno (ugual a quell degl altr ann. Esempo 3. Il prestto d , al tasso annuo composto, vene rmborsato medante 5 versament annu costant postcpat. Soluzone. In questo caso alla fne d ogn anno s pagherà una rata R. Il valore attuale (postcpato) d 1 1,04 questa rendta concderà col valore del prestto. Coè: = R ; R=. 0,04 Esercz 1. Rcevo n prestto che m mpegno a rmborsare fra 4 ann, untamente agl nteress calcolat al tasso composto del 4,5% annuo. Calcola la somma che dovrò restture alla scadenza per estnguere l debto. [5.962,59] 2. Rcevo n prestto che m mpegno a rmborsare fra 3 ann, untamente agl nteress calcolat al tasso composto del 2% trmestrale. Calcola la somma che dovrò restture alla scadenza per estnguere l debto. [5.072,97] 3. Rcevo n prestto che m mpegno a rmborsare fra 3 ann. La somma che dovrò restture alla scadenza per estnguere l debto ammonta a , determna l tasso d nteresse annuo applcato. [3,5%] 5 Pano d ammortamento Defnzone. Il pano d ammortamento è una tabella (ved sotto) che permette d controllare le voc che descrvono l andamento d un ammortamento. Esempo d pano d ammortamento a rata costante. 24