ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO a.s. 2000/2001 Tema di MATEMATICA Sessione suppletiva CORSO DI ORDINAMENTO. di variabile reale x tale che:

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1 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros EAME DI TATO DI LICEO CIENTIFICO s / Te di MATEMATICA essioe suppletiv CORO DI ORDINAMENTO PROBLEMA i cosideri l uzioe rele di vribile rele tle ce:, dove è u pretro rele o ullo ) Trovre gli isiei di deiizioe, di cotiuità e di derivbilità dell uzioe b) Idict co C l curv rpprettiv dell uzioe () corrispodete d, studirl e digrl i u pio rierito d u siste di ssi crtesii ortogoli, dopo ver deterito, i prticolre, le equzioi dei suoi sitoti e il coporteto el puto A di sciss c) Clcolre l re dell regioe iit di pio deliitt dll curv C e dll rett prllel ll s delle scis codott per il puto A PROBLEMA U piride rett, di vertice, per b il trigolo ABC, rettgolo i A, l cui re è, AB dove è u lugezz sgt i s ioltre ce e ce il pio dell cci AB dell BC piride or col pio dell b ABC u golo ϕ tle ce si ϕ ) Clcolre l ltezz dell piride b) Cotrollto ce ess è, clcolre l distz del vertice C dl pio dell cci AB c) Codotto, prllelete ll b ABC, u pio α ce ci l piride e cosiderto il pris retto vete u b coicidete co il trigolo zioe e per ltezz l distz di α dll b ABC, clcolre per qule vlore di tle distz il pris volue ssio d) Il pris di volue ssio ce l ssi re totle? QUETIONARIO Cosidert u uzioe rele di vribile rele (), si predo i ese le due gueti proposizioi: A: codizioe ecessri e suiciete icé () si deiit i u puto è ce si cotiu i B: codizioe ecessri e suiciete icé () si cotiu i u puto è ce si derivbile i wwwteticeteit

2 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros U sol delle gueti cobizioi è corrett: idividurl e orire u esuriete giustiiczioe dell rispost: ) A ver B ver; b) A ver B ls; c) A ls B ver; d) A ls B ls i cosideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, i cui due cce opposte soo i qudrti ABCD e A B C D Idicto co E il puto edio dello spigolo AB, si CF l rett perpedicolre DE codott per C I pii D DE e C CF dividoo il cubo i quttro prti Clcolre qule rzioe del cubo equivle ciscu di es Clcolre esiste u uero turle per il qule risulti: k 87 k i () u uzioe rele di vribile rele, derivbile co derivt cotiu i tutto il cpo rele, tle ce: () ed () Clcolre: ( t) li cos dt Diostrre ce l derivt, rispetto d, dell uzioe, dove è u uero rele positivo diverso d, è l Fr i rettgoli di dto perietro deterire quello di re ssi 7 U priitiv dell uzioe () è e è possibile clcolre d, deterire il vlore dell itegrle I cso cotrrio spiegre percé il clcolo o è possibile 8 I u pio, rierito d u siste di ssi crtesii ortogoli (Oy), si T u trpezoide di b [,b] reltivo ll uzioe (), cotiu i tle itervllo Diostrre l orul ce esprie il volue del solido geerto dl trpezoide qudo ruot di u giro copleto ttoro ll s 9 Clcolre l derivt dell uzioe rispetto ll vribile, ricorredo ll deiizioe di derivt di u uzioe Cosidert u uzioe rele di vribile rele (), derivbile leo due volte i u dto puto, icé l uzioe () bbi i u puto di lesso l codizioe "() è: ) ecessri e suiciete; b) ecessri o suiciete; c) suiciete o ecessri U sol ltertiv è corrett: idividurl e orire u esuriete spiegzioe dell rispost wwwteticeteit

3 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros PROBLEMA Puto Doiio di deiizioe Il doiio dell uzioe possibilità: è dto d : i preto > : l codizioe : è pre soddistt; < : l codizioe : Il doiio di deiizioe di Doiio di cotiuità è soddistt per ± {, } è duque R > D : R{,} < Per quto rigurd l cotiuità possio erre ce l uzioe è cotiu i R > D c : e ei puti, pret due discotiuità di cod specie R{,} < Doiio di derivbilità L uzioe è riscrivibile el odo guete: ; di coguez l derivt pri è < ( ) < ( ) eeo derivbile, ed ioltre v lizzt l tur del puto li li li ( ) li ( ) 8 ; ei puti i cui l uzioe o è cotiu o è i : Ricorddo ce per ipotesi, il puto è u puto goloso e quidi di o wwwteticeteit

4 essioe suppletiv Liceo di ordieto derivbilità I coclusioe il doiio di derivbilità è Puto { } {,,} oluzioe di Nicol De Ros R > D d : R < Per si tudio l uzioe: > < Doiio: esdo > il doiio è R; Iterzioe s scis: ; Iterzioe s ordite: y ; Positività: l uzioe è pre o egtiv i quto si il uertore ce il deoitore soo pre o egtivi, cioè R ; Asitoti verticli: esdo > il doiio di cotiuità è tutto R d cui deducio l sz di sitoti verticli; Asitoti orizzotli: o ve e soo i quto li li li li li li Asitoti obliqui: o equzioe y q i o due csi: : li li, q li( ) li li > per cui y è sitoto obliquo destro: < : li li, q li cui y è sitoto obliquo siistro: ( ) li li per wwwteticeteit

5 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros Crescez e decrescez: derivt pri è l derivt pri è > ( ) ; per > l < ( ) ( ) ce è pre positiv, per cui i (, ) ( ) strettete crescete; per < l derivt pri è l uzioe è ( ) ( ) per cui ( ) > < <, cioè l uzioe è strettete decrescete i (,) ( ) strettete crescete i (,) Quidi il puto (,) puto (,) e è di iio reltivo ed ssoluto Il A è u puto goloso co tgete destr di equzioe y e tgete siistr di equzioe y 8 ; Cocvità e covessità: per > l derivt cod è cui i (, ) " " ce è pre positiv, per ( ) l uzioe cocvità verso l lto; per < l derivt cod è 8 ce è pre positiv, per cui ce i (,) ( ) l lto; i coclusioe l uzioe pret pre cocvità verso l lto Di guito il grico: l uzioe cocvità verso Puto c L rett psste per (,) A e prllel ll s delle scis equzioe y Le iterzioi di wwwteticeteit

6 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros wwwteticeteit y co l curv di equzioe si ricvo risolvedo l equzioe, cioè ( ) ( ) < < d cui ( ) ( )( ) < < Le iterzioi soo llor ( ) ( ),,, B A L re d clcolre è di guito colort i grigio: Tle re vle: ( ) 8l 9l 9 8 9l d d d d

7 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros PROBLEMA Puto Cosiderio l igur lto i cui è rpprett l piride co b u trigolo rettgolo i A i cui è iscritt u circoerez di rggio OH Il cteto AC per il teore di Pitgor, spedo ce isur AB, BC AC BC AB AB AB AB 9 L re del trigolo rettgolo è llor AB AC ABC AB Ipoedo ABC AB,AC 8, BC AB ricvio Il rggio dell circoerez iscritt è pri l rpporto tr re e iperietro del trigolo rettgolo e cioè OH, per cui l ltezz dell piride isur siϕ O OH tϕ OH OH cosϕ Puto b siϕ si ϕ 9 e idicio co l distz di C dll cci AB, ess è ltezz dell piride di b AB L re del trigolo AB è di coguez AB H 7 AB dove H O OH ; AB H 78 AB cui corrispode il volue dell piride AB M il volue dell piride è ce pri O 9 ABC ; ipoedo l ugugliz tr i due volui si wwwteticeteit 7

8 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros 9 9 Puto c Cosiderio l igur lto rpprette l geoetri del quesito Poio l ltezz del pris è O co < <, per cui OO I trigoli ABC e A B C soo siili i quto il pio α è prllelo ll b, per cui vle l guete proporzioe tr perietri di b ed ltezze: p ABC p : p ABC ABC p O : O ABC O O Dll siilitudie tr i trigoli ABC ed A B C deducio ce i lti del trigolo A B C sto ello stesso rpporto dei lti di ABC e cioè,,, cioè A B: BC: AC : : d cui copoedo l proporzioe si ricv ( AB BC AC ): AB ( ) p A BC : p ABC AB : AB : AB p AB AB p ABC ABC Di coguez A C,BC e l re del trigolo A B C è AB AC A B C Il volue del pris è P A B C co < < Il vlore ssio del ( ) OO per cui 8 volue lo clcolio edite derivzioe: ( ) P P ( ) 8 8 < < > < < P < < ( ) < < < wwwteticeteit 8

9 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros d cui deducio ce il volue ssio lo si per isur e quidi qudo l ltezz del pris 8 OO e tle volue ssio vle P Puto d L re totle del pris è pri ll so delle due ree di b e dell re lterle: P ( ) A B C ( )( 7) p A B C OO 8 co < < Notio ce l re totle è u rco di prbol co cocvità verso il bsso ce rggiuge il suo ssio ell sciss del vertice e cioè i cui corrispode OO I coclusioe il pris di volue ssio o coicide co quello di re totle ssi i quto le ltezze ssie o coicidoo wwwteticeteit 9

10 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros QUETIONARIO Quesito L rispost estt è D Itti l proposizioe A è ls percé u uzioe può esre deiit i u puto z esrvi cotiu, coe per ( ) ce è deiit o è cotiu i ; ioltre l proposizioe B è ls percé u uzioe può esre cotiu e o derivbile i u puto sgto coe per ( ) ce i pret u cuspide è ivi cotiu Quesito Cosiderio l igur lto rpprette l geoetri del proble Idicio co l l isur dello spigolo del cubo e co,,, i volui dei prisi retti di b DFG, DFC, FGAE e FEBC D Notio izitutto ce i trigoli rettgoli CDG e DAE soo C D F C cogrueti vedo ADDC e di C ĜD AÊD i quto copleetri A Dˆ E, per cui DGAE I suddetti trigoli o i coue il trigolo DFG, per cui sottredo d essi l re del trigolo DFG deducio ce il trigolo DFC ed il qudriltero FGAE o A stess re; ioltre, poicé l ltezz dei prisi co b DFC, FGAE è l stess e coicide co l lugezz dello spigolo del cubo, deducio ce Esdo l DG AE si per il teore di Pitgor B l l DE CG l ; per i teorei di Euclide si ivece: l DG l l l l l FG, DF CF FG ( CG FG) FG CG l per cui l re del trigolo DFG è l deducio ; di coguez l l DF FG l DFG d cui deducio l l l FGAE CDG DFG d cui DFC l e G A E B wwwteticeteit

11 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros Quesito Ricorddo ce Quesito k k si 87 Il liite ( t) li cos dt si pret ell or ideterit per cui possio pplicre il teore di De L Hospitl, e ricorddo ce per il teore odetle del clcolo d itegrle ( t) d dt ( ) si ( t) dt ( ) li li ; il liite otteuto si pret cos si cor ell or ideterit, per cui ripplicdo il teore di De L Hospitl otteio li ( t) dt li li cos si cos Quesito ( ) ( ) ( ) Applicdo l deiizioe di derivt coe liite del rpporto icreetle si : ( ) d d li risultto oto Quesito li li l li Idicio co p il perietro del rettgolo e co ( p ) L re corrispodete vle ( ) ( ) l i cui bbio sruttto il, co < < p le sue diesioi p p ; tle re è u rco di prbol co cocvità rivolt verso il bsso ce rggiuge il suo ssio ell sciss del vertice corrispodez di ssi è u qudrto di lto p I p il rettgolo degeer i u qudrto, per cui il rettgolo di re p Altertivete possio procedere edite derivzioe I questo cso l derivt pri dell uzioe re è ( ) p per cui ( ) è strettete crescete i, p e strettete wwwteticeteit

12 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros decrescete i per p Quesito 7 p, p ; ioltre ( ) < d cui deducio l prez di u ssio reltivo Operdo l sostituzioe t l itegrle d divet ( t) dt [ t t] Quesito 8 Cosiderio l igur lto i cui è rppretto il trpezoide deliitto dll curv di equzioe ( ) dll s delle e dlle rette y,, b e l uzioe ( ) è costteete pri K, il trpezoide T è u rettgolo e il solido di rotzioe coguete è u cilidro di ltezz ( b ) e b ( ) K il cui volue è π K ( b ) π ( ) ( b ) l curv di equzioe ( ) e y o è costte, si può procedere guedo i gueti pssi: si suddivide [, b] i sottoitervlli equispziti: ( ) b,,, L,, dove si clcol per ogi sottoitervllo il vlore iio i e ssio b ; ce corrispodoo lle ltezze dei rettgoli corrispodeti l sottoitervllo i; M dell uzioe ( ) si deterio le soe v π ( ), π ( M ) i i b i i i b rppretti le soe dei volui di tutti i cilidri ce o per b u cercio di rggio iio i e ssio M i e ce oriscoo l pprossizioe per dietto e per eccesso del volue geerto dll rotzioe del trpezoide itoro ll s delle scis, v ; wwwteticeteit

13 essioe suppletiv Liceo di ordieto oluzioe di Nicol De Ros cedo u rgioeto l liite, per Quesito 9, i sottoitervlli di [ b], ueto e i rettgoli corrispodeti l sottoitervllo i vro liite u ltezz iiitesi o ull; duque per, pssdo dl discreto l cotiuo, il sibolo di sotori può esre sostituito d quello di itegrle ed i vlori ( ) i b e ( ) M i b coicidoo co i vlori ssuti dll uzioe ( ) ; i sostz v li ( ) li π d Applicdo l deiizioe di derivt coe liite del rpporto icreetle si : d ( si ) si( ) si( ) d li p q p q si p si q cos si si d Applicdo l orul di prosteresi ( si ) si( ) si( ) cos( ) si( ) d [ ( ) ] li cos Quesito li 78 si li ( ) cos li L rispost corrett è l b) cioè l codizioe è ecessri o suiciete Coe cotro epio b cosiderio l uzioe y ce coe derivt cod y ce si ull i è ltrove pre positiv, per cui y volge pre cocvità verso l lto e o ette lessi wwwteticeteit