Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2011/2012. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome in stampatello) n di matricola n dordine v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 "Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: D % a"bd % Þ. Studio allinfinito. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä, stabilendo se ha crescita lineare, sopralineare o sottolineare; quindi stabilire se esiste un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. Š 0ab / " Þ. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale teorema di De LHospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim log ˆ cos sin $/ Ä ˆ tanab Þ 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dellinsieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, studio della derivata seconda, determinazione dei punti di flesso. 0ab a kk$ b/ "Î

2 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. log " Š " ˆ "ÎÈ$ / cosa"îb " È$ Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale indefinito, semplificando lespressione ottenuta: È$ arctan.þ 7. Calcolare il seguente integrale definito, semplificando lespressione ottenuta: sin $ kcos k.þ. Si consideri la funzione: sin 0ab Þ %Î$ a"b Stabilire se convergono o divergono i seguenti integrali generalizzati, giustificando le affermazioni fatte: " 0a b.à 0a b.à 0a b.

3 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Tema n Cognome e nome in stampatello) n di matricola n dordine v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/00 "Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. arrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Numeri complessi. Dopo aver determinato modulo e argomento del numero complesso: D Š È$ con argadb cß d), scrivere in forma algebrica D, semplificando lespressione ottenuta.. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim Ä. Punti di non derivabilità Þ Sia & sinalogb a log b logasinb 0ab arcsin Š È $ ". a. Determinare linsieme di definizione di 0. b. Calcolare 0 w nei punti in cui esiste, e studiare i punti di non derivabilità, classificandoli punti angolosi, di cuspide, ecc.). 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dellinsieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, determinazione o qualche localizzazione dei punti di flesso, senza calcolare la derivata seconda. 0ab k k/ ˆ Þ

4 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Tema n. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. $ " a b x $ " Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: $%.Þ 7. Calcolare il seguente integrale definito, semplificando lespressione ottenuta: È$ $ È$.Þ. Calcolare la somma delle seguenti serie, riconoscendole come serie di Taylor notevoli calcolate in un punto: $ cosa b " a+ b " à a, b " x " " "

5 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: D % a"bd % Þ a"b È% % a"b È a" b È a"b D a"bš È a" bš È a" bš È Le soluzioni sono due. Ú Š È Š È Û ÜŠ È Š È. Studio allinfinito. Dare una stima asintotica della funzione 0ab per Ä, stabilendo se ha crescita lineare, sopralineare o sottolineare; quindi stabilire se esiste un asintoto obliquo, in caso affermativo determinandolo. Š 0ab / " Þ / Š " Vediamo se esiste asintoto obliquo: "Î µ / Ä con crescita lineare. " $ " " " " Œ 9Œ à " " % Š " ˆ " " " / " "Î %9 "Î "Î / / Š / / Œ" 9Œ / 9 a" bß % % "Î

6 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n pertanto la funzione ha asintoto obliquo "Î "Î / C / Þ %. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite facendo uso anche, se necessario, degli strumenti del calcolo differenziale teorema di De LHospital / formula di Taylor - MacLaurin): lim log ˆ cos sin $/ Ä ˆ tanab Þ Poiché ˆ cos$/ sin Ä " e ab Ä ß calcoliamo questo limite con De LHospital: $/ " 0ab µ ˆ ˆ Ä ß cos sin lim cos ˆ sin $/ " a$ sin$ cosb Ä " ˆ ancora De LHospital: ˆ $/ " lim cos sin a* b Ä " ˆ ß w ˆ sin cos$/ " a* b $ lim w lim ˆ sin $ sin$ cos/ Ä " ˆ Ä che è il limite cercato. $ a* b ß 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dellinsieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, studio della derivata seconda, determinazione dei punti di flesso. 0ab a kk$ b/ "Î Definita per Á Þ Per Ä ß 0a b µ $/ "Î Ä asintoto verticale da destra. con tangente orizzontale

7 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Per Ä ß0a b µ kk Ä con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obiquo. " " 0ab kk k kˆ "Î / " "Î "Î $/ kkœ 9Œ $/ Perciò la funzione ha asintoti obliqui: Calcoliamo, per Á ß sgnab$9 a" b Ä sgnab$ C " per Ä à C & per Ä Þ w "Î 0 " a $ b per ā a b / Œ a kk$ b sgnab ā "Î / a $ b per Per ā ß / "Î 0 w a b per $ ß sempre; 0 sempre crescente. Per ß 0 w " È " È ab per $ Ÿ ß Ÿ Ÿ cioè, essendo ß0 è crescente per quindi " È Ÿ Ÿ Þ Quindi " È punto di minimo relativo. Calcoliamo, per Á ß0 ww ab. Conviene prima riscrivere 0 w "Î ˆ $ / per ā ab ā "Î / ˆ $ per "Î ˆ " ˆ $ ww / $ per ā 0 ab ā "Î ˆ " / ˆ $ per 0 ww ab ā "Î $ ˆ per ā ˆ per / $ % /"Î $ ) Per ā ß0 wwa b sempre, e 0 è sempre concava verso il basso. Per ß0 ww ab per $ ) Ÿ ß$) Ÿ ß Ÿ $ ). $ $ ) ) 0 è concava verso lalto per Ÿ, e è punto di flesso a tangente obliqua.

8 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n $ $ Infine, 0 si annulla per kk ß. Grafico:. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. log " Š " ˆ "ÎÈ$ / cosa"îb " È$ Serie a termini positivi, la studiamo con confronto asintotico. "ÎÈ " " " " " Š / $ cos a"îb " 9 È È Œ" 9Œ µ à $ $ È$ È $ È$ È% log " " " µ µ à " $Î e poiché ā " la serie converge. $Î + " È $ µ ß Î Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale indefinito, semplificando lespressione ottenuta: È$ arctan.þ È$ È $ È$ " arctan. arctan. " 4

9 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n $ " " " È$ Œ". c arctand $ " È$ " Š $ È $ $ È$ Þ 7. Calcolare il seguente integrale definito, semplificando lespressione ottenuta: $ sin kcos k.þ $ sin sin a" cos b.. kcos k kcosk ccos >àsin..> d " " " a"> b "> $.>.> >.> > a b k k > Œ > " " > >$ logk> k Œ " $ log $ $ log $ Þ. Si consideri la funzione: sin 0ab Þ %Î$ a"b Stabilire se convergono o divergono i seguenti integrali generalizzati, giustificando le affermazioni fatte: " 0a b.à 0a b.à 0a b. " Per Ä 0a b µ ß che ha integrale convergente. %Î$ "Î$ Per Ä ß " " k0abk Ÿ %Î$ a"b µ che allinfinito è integrabile a"î con ā " b. sin" Per Ä "ß0a b µ non integrabile in ". Conclusioni: a"b 0a b. converge à 0a b. converge à 0a b. diverge Î$ "

10 Es Tot. Punti Secondo appello di Analisi Matematica Ingegneria Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/0. Prof. M. ramanti Svolgimento Tema n. Numeri complessi. Dopo aver determinato modulo e argomento del numero complesso: D Š È$ con argadb cß d), scrivere in forma algebrica D, semplificando lespressione ottenuta. Sia e per il teorema di De Moivre È A È $ " $ à si ha: kak ß argaab & Riduciamo ora: & A / & &ˆ %) & Š Œ ) ß $ Þ perciò & in particolare kdk e arg adb e $ & D / $ ß " È D & $ %* %* È $Þ. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e corretto: lim Ä sinalogb a log b logasinb alogb alogb µ log Ä à logasinb log

11 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n ksinalogbk Ÿ ", perciò essendo prodotto di una funzione limitata ed una infinitesima, la funzione è infinitesima e il limite è zero.. Punti di non derivabilità Þ Sia 0ab arcsin Š È $ ". a. Determinare linsieme di definizione di 0. b. Calcolare 0 w nei punti in cui esiste, e studiare i punti di non derivabilità, classificandoli punti angolosi, di cuspide, ecc.). a. La 0 è definita per cioè per " Ÿ È$ " Ÿ " È Ÿ Ÿ È. b. La 0 è certamente derivabile per Á " punti in cui si annulla il radicando) ß per Á È punti in cui largomento di arcsin vale " ) e per Á punto in cui largomento di arcsin vale "). Dove esiste, è: w 0 ab Þ É" " Î$ $ " Î$ a b a b Per Ä " ß0 Ä ß quindi " punto di flesso a tangente verticale, discendente. Per simmetria 0 è pari), " è punto di flesso a tangente verticale, ascendente. Per Ä È w ß0 ab Ä ß È è un punto di arresto a tangente verticale. Lo stesso è vero per ÈÞ Per Ä ß w 0 a b µ µ $ É" " Î$ $ É" " 9 $ É a b ˆ a b quindi è punto angoloso. $ $ Ê Ê sgnab Ä Ê ß $ k k $ $ 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dellinsieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità, determinazione o localizzazione dei

12 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n punti di flesso, senza calcolare la derivata seconda. Definita per Á Þ 0ab k k/ ˆ Þ Per Ä ß0a b µ %/ˆ Ä con tangente orizzontale. asintoto verticale da destra. Per Ä ß0a b µ k k/ Ä con crescita sopralineare, quindi senza asintoto obliquo. Per Ä ß0a b µ k k/ ", quindi è punto di flesso a tangente orizzontale, ascendente in particolare, 0 è derivabile anche in ). w 0 a b a b ˆ / a b a b sgn a b ˆ " ˆ " % / sgn a b/ kkˆ % per: a b a b kkˆ % Þ Oltre al punto stazionario già studiato di flesso a tangente orizzontale), è 0 w ab per $ È&ß Ÿ $ È& $ È & punto di minimo; $ È & punto di massimo.

13 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n Oltre al punto di flesso in nellintervallo aß b. Grafico: devono esserci due punti di flesso a tangente obliqua. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. Serie a termini positivi. Anzitutto, $ " a b x $ " $ a bx x + µ, $, " e per il criterio del confronto asintotico è sufficiente studiare il carattere della serie. Questo lo studiamo col criterio del rapporto: perciò la serie converge. ", " a" bx, " " " " a b a b ˆ " Ä x / "ß Calcolo integrale 6. Calcolare il seguente integrale indefinito: $%.Þ 4

14 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n $% $ " Þ $% $ +, $ ") à+ ß, à $% a" b a% b & & $ " ") ". Œ". $% & a" b & a% b $ ") logk" k logk% k-þ & & 7. Calcolare il seguente integrale definito, semplificando lespressione ottenuta: È$ $ È$.Þ È$ È$ $.. È$ È$ È $ >à$ > à $> à. >.> È$ $ $> > a> b.> $>.> $> $ $ $ $Þ > ˆ È È È È $ $ È$. Calcolare la somma delle seguenti serie, riconoscendole come serie di Taylor notevoli calcolate in un punto: a+ b Poiché $ cosa b " a+ b " à a, b " x " " " / " x si ha: $ cosa b a$ b " " x x " $ " / "Þ

15 appello di Analisi. A.A. 0/. Prof. M. ramanti. Svolgimento Tema n si ha: a, b Poiché " loga b " a " b " per kk " " " " a" b " " " " Œ " log " Þ " a Œ log b " " " 6