Circuiti per l Elaborazione del Segnale: Capacità Commutate

Transcript

1 Circuiti per l Elaborazione del Segnale: Capacità Commutate Lucidi del Corso di Microelettronica Parte 6 Università di Cagliari Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica Laboratorio di Elettronica (EOLAB)

2 Segnali a Tempo Discreto L elaborazione a tempo discreto si basa sul campionamento del segnale. Non viene elaborato un segnale continuo nel tempo ma una successione di valori che rappresentano il campionamento a intervalli T (tempo di campionamento) del segnale in ingresso. Questa elaborazione può comunque essere considerata analogica se i campioni non vengono successivamente quantizzati ma possono assumere un valore qualsiasi (continui nell ampiezza). 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 2

3 Segnali a Tempo Discreto Esempio di segnale a tempo discreto nel tempo ed in frequenza. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 3

4 Capacità Commutate L approccio di elaborazione del segnale a capacità commutate (switched capacitors) si basa sull uso di opamp, switch e capacitori i per implementare filtri, amplificatori a guadagno programmabile ed altri dispositivi di elaborazione del segnale molto precisi. I valori in ingresso sono discretizzati nel tempo (non nell ampiezze) e rappresentano quindi successioni di valori (vengono quindi trattati con la trasformata Z). L uso delle capacità commutate permette di fare dipendere i parametri del dispositivo (ad esempio un filtro) non da valori assoluti di grandezze non omogenee fra loro (es. RC, prodotto di resistenza e capacità) ma da RAPPORTI di capacità, quindi di grandezze omogenee e molto ben controllabili. L errore sul valore assoluto di un parametro, infatti, può aggirarsi i intorno al 30%, mentre l errore sul rapporto di valori di capacità può anche ridursi a solo lo 0.1%. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 4

5 Capacità Commutate: Capacitori I capacitori utilizzati sono quelli realizzati con due piatti di polisilicio sovrapposti (capacità poly1-poly2). p y Oltre alla capacità desiderata (C1), tali strutture introducono due capacità parassite (Cp1 e Cp2) delle quali soprattutto quella associata al piatto inferiore (bottom plate) può essere molto grande, circa il 20-30% della capacità C1 realizzata. I circuiti basati su queste capacità devono tenere conto di questi dispositivi parassiti. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 5

6 Capacità Commutate: Principio Base Il principio base da cui si parte è quello dell equivalenza fra capacità commutata e resistenza. Dati due clock non sovrapposti (F1 e F2), ciascuno di frequenza f=1/t la struttura costituita dai due switch e la capacità C1 è equivalente (in media) ad una resitenza inversamente proporzionale al valore della capacità ed alla frequenza di ciascun clock. Infatti: F1) Su C1 compare la tensione V1 e la carica immagazzinata è Q1=C1 V1 F2) Su C1 compare la tensione V2 e la carica immagazzinata è Q2=C1 V2 Questo vuole dire che in un periodo T fra V1 e V2 scorre una carica pari alla differenza fra Q1 e Q2. La corrente media allora è data dalla carica diviso il tempo (T) in cui tale carica si trasferisce da V1 a V2. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 6

7 SC: Filtro Passa-Basso Avendo a disposizione una resistenza è possibile implementare un filtro passa-basso la cui costante di tempo sia: τ = R eq C 2 = f ( C 1 /C 2 ) I parametri del filtro quindi non dipendono da valori assoluti di capacità e resistenza ma dipendono dal rapporto fra due capacità che può essere reso molto preciso. Questo permette inoltre di realizzare filtri che sarebbero irrealizzabili con sole resistenze e capacità perché richiederebbero valori troppo elevati (irrealizzabili su singolo chip). L equivalenza con una resistenza vale solo per segnali a frequenze molto basse (molto inferiori alla frequenza di commutazione). A frequenze intermedie si fa l analisi con la trasformata Z. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 7

8 Capacità Commutate: Analisi L analisi di un circuito a capacità commutate richiede l individuazione della sua funzione di trasferimento. Tale funzione di trasferimento è ricavata scrivendo le equazioni (tempo-discrete) che legano la carica alle tensioni ai nodi ed ai capi delle capacità. Tali equazioni sono l equivalente delle equazioni differenziali che portano all identificazione della funzione di trasferimento t di un sistema LTI mediante trasformata t di Laplace. Nel caso di sistemi tempo-discreti si usa la trasformata Z e si scrivono equazioni alle differenze anzi che equazioni differenziali. L analisi si basa sul principio di conservazione della carica. Per convenzione parlare di un segnale v(n+k) significa parlare del segnale v(t) campionato all istante (n+k)t. I clock F1 e F2 sono non-sovrapposti ed hanno entrambi periodo T: F1 0 T/4 T/2 F2 3/2T T 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 8

9 SC: Filtro Passa-Basso (1) Per implementare un filtro passa-basso (quindi un integratore) con l approccio a capacità commutate la soluzione più semplice e la seguente: 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 9

10 Passa-Basso (1): Analisi (1) Perché il circuito precedente è un passa-basso (integratore)? Supponendo che all istante (n-1)t l uscita sia Vco(n-1) quale sarà l uscita all istante nt? Istante (n-1)t (F1 si è appena spento): Vcx(n-1) = Vci(n-1) quindi le cariche sulle due capacità saranno Q C1 (n-1)=c 1 Vci(n-1) Q C2 (n-1)=c 2 Vco(n-1) Istante (n-3/4)t (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c è una tensione nulla (la massa virtuale è applicata al top plate di C1 e la massa reale al bottom plate) dunque tutta la carica Q C1 deve lasciare la C1 e portarsi su C2 (Q C1 si somma sul top plate di C2 quindi si sottrae dal bottom plate) Q C1 (n-3/4)=0 Q C2 (n-3/4)= C 2 Vco(n-3/4)= Q C2 (n-1)-q C1 (n-1)= C 2 Vco(n-1)- C 1 Vci(n-1) Istante (n-1/2)t (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono variare Q C1(n-1/2)=0 Q C2 (n-1/2)= Q C2 (n-3/4) Istante (n-1/4)t (F1 si è appena acceso): C2 non varia, C1 è connessa all ingresso Q C1 (n-1/4)=c 1 Vci(n-1/4) Q C2 (n-1/4)= Q C2 (n-3/4) 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 10

11 Passa-Basso (1): Analisi (2) Istante nt (F1 si è appena spento): Vcx(n) = Vci(n) Q C1 (n)=c 1 Vci(n) Q C2 (n)=c 2 Vco(n)= Q C2 (n-3/4) = C 2 Vco(n-1)- C 1 Vci(n-1) Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è: Vo(n) = Vco(n) = Vo(n-1)- C 1 /C 2 Vci(n-1) Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la tensione di uscita è incrementata t di una quantità proporzionale (tramite -C1/C2) all ingresso nell istante di campionamento precedente. Questo integratore è invertente (per via del segno meno) ed ha un ritardo di un periodo nel senso che l uscita viene aggiornata dopo unperiodo T (l ingresso in (n-1)t ha effetto sull uscita in nt). Facendo la trasformata Z dell espressione precedente si ottiene la funzione di trasferimento t (in Z) del sistema it che risulta essere proprio un integratore t poiché ha un polo in z=1 (e guadagno in continua -C1/C2). L uscita è significativa solo negli istanti T,, quindi va campionata a sua volta ogni T. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 11

12 Passa-Basso (1): Effetti Parassiti La presenza delle capacità parassite fa degradare le prestazioni del dispositivo, in particolare: Cp2 e Cp3 non hanno influenza perché sono sempre cortocircuitate (Cp3 p per mezzo della massa virtuale) Cp4 non ha effetto perché connesso sull uscita (la sua tensione viene imposta dall amplificatore a prescindere dal suo valore) Cp1 invece risulta in parallelo a C1 e quindi si somma al suo valore, di conseguenza la relazione diventa: Vo(n) = Vo(n-1)- (C 1 +C p1 )/C 2 Vci(n-1) 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 12

13 Passa-Basso Insensibile ai parassiti L effetto della capacità parassita Cp1 può essere molto consistente quindi si ricorre a configurazioni circuitali differenti che eliminano gli effetti parassiti. Adesso la capacità C1 non ha più un terminale sempre connesso a massa ma ogni suo nodo viene alternato fra massa e l ingresso (o massa e il terminale invertente t dell opamp). 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 13

14 Passa-Basso (2): Analisi (1) Considero come morsetto positivo di C1 il top plate e come morsetto positivo di C2 il bottom plate: Istante (n-1)t (F1 si è appena spento): Q C1 (n-1)= - C 1 Vci(n-1) Q C2 (n-1)=c 2 Vco(n-1) Istante (n-3/4)t (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c è cè una tensione nulla (la massa virtuale è applicata al top plate di C1 e la massa reale al bottom plate tramite lo switch) dunque tutta la carica Q C1 deve lasciare la C1 e portarsi su C2 (Q C1 si somma sul top plate di C2 quindi si sottrae dal bottom plate) Q C1 (n-3/4)=0 Q C2 (n-3/4)= C 2 Vco(n-3/4)= Q C2 (n-1)-q C1 (n-1)= C 2 Vco(n-1)+ C 1 Vci(n-1) Istante (n-1/2)t (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono variare Q C1 (n-1/2)=0 Q C2 (n-1/2)= Q C2 (n-3/4) Istante (n-1/4)t (F1 si è appena acceso): C2 non varia, C1 è connessa all ingresso Q C1 (n-1/4)= - C 1 Vci(n-1/4) Q C2 (n-1/4)= Q C2 (n-3/4) 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 14

15 Passa-Basso (2): Analisi (2) Istante nt (F1 si è appena spento): Vcx(n) = Vci(n) Q C1( (n)= - C 1 Vci(n) Q C2 (n)=c 2 Vco(n)= Q C2 (n-3/4) = C 2 Vco(n-1)+ C 1 Vci(n-1) Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è: Vo(n) = Vco(n) = Vo(n-1)+ C 1 /C 2 Vci(n-1) Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la tensione di uscita è incrementata di una quantità proporzionale (tramite C1/C2) all ingresso nell istante di campionamento precedente. Questo integratore è non invertente ed ha un ritardo di un periodo nel senso che l uscita viene aggiornata dopo un periodo T (l ingresso in (n-1)t ha effetto sull uscita in nt). Il guadagno in continua è C1/C2 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 15

16 Passa-Basso (2): Effetti Parassiti Questo filtro è insensibile alle capacità parassite: Cp4 non conta perché è sull uscita uscita e viene sempre pilotato dall opamp Cp3 è cortocircuitato (tramite la massa virtuale) Cp2 è cortocircuitato sia in F1 (tramite switch) sia in F2 (tramite massa virtuale) Cp1 non ha effetto perché è in parallelo a C1 solo quando questa è connessa all ingresso, ma quando F2 va alto Cp1 si scarica tramite lo switch e non influenza la carica immagazzinata su C1 che rimane quindi inalterata. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 16

17 Passo-Basso Invertente (3) Il precedente filtro passa-basso insensibile ai parassiti era non invertente. Questa è la realizzazione di un passa-basso insensibile alle capacità parassite invertente. 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 17

18 Passa-Basso (3): Analisi (1) Considero come morsetto positivo di C1 il top plate e come morsetto positivo di C2 il bottom plate: Istante (n-1)t (F1 si è appena spento): Q C1 (n-1)= - C 1 Vci(n-1) Q C2 (n-1)=c 2 Vco(n-1) Istante (n-3/4)t (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c è una tensione nulla (tramite gli switch) dunque tutta la carica Q C1 deve lasciare la C1. Non va però su C2 ma fluisce a massa tramite gli switch Q C1 (n-3/4)=0 Q C2(n-3/4)= Q C2(n-1) Istante (n-1/2)t (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono variare Q C1 (n-1/2)=0 Q C2 (n-1/2)= Q C2 (n-3/4) = Q C2 (n-1) Istante (n-1/4)t (F1 si è appena acceso): C1 è connessa all ingresso ed alla massa virtuale quindi la sua carica varia. Ma per portare la carica opportuna sul top plate non c è un percorso conduttivo (la carica non può arrivare dal morsetto invertente dell opamp) quindi la carica arriva dal top plate di C2 che cambia così il proprio potenziale e la propria carica. Q C1 (n-1/4)= - C 1 Vci(n-1/4) Q C2 (n-1/4)= Q C2 (n-1) + Q C1 (n-1/4) 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 18

19 Passa-Basso (3): Analisi (2) Istante nt (F1 si è appena spento): Quando si spegne F1 la carica su C2 non può più variare (come quella di C1) Q C1 (n)= - C 1 Vci(n) Q C2 (n)= Q C2 (n-1) + Q C1 (n) = C 2 Vco(n-1) - C 1 Vci(n) Da cui si ricava che la relazione ingresso uscita è: Vo(n) = Vco(n) = Vo(n-1)- C 1 /C 2 Vci(n) Questa relazione descrive un integratore, perché dice che dopo un tempo T la tensione di uscita è incrementata di una quantità proporzionale (tramite -C1/C2) all ingresso ingresso. Questo integratore è invertente ed non ha ritardo nel senso che l uscita viene aggiornata istantaneamente (l ingresso in nt ha effetto sull uscita in nt). Il guadagno in continua è -C1/C2 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 19

20 SC: Filtri In generale, secondo la metodologia proposta si possono implementare filtri di ogni ordine combinando opportunamente i blocchi base. Il più generico filtro del primo ordine è ricavato sostituendo alle resistenze le SC: 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 20

21 SC: Circuito di Guadagno con Reset Le capacità commutate possono essere utilizzate anche per implementare altri circuiti di elaborazione del segnale, come circuiti di guadagno g con opportuno guadagno programmabile (e molto preciso). 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 21

22 Programmable Gain : Analisi (1) Istante (n-1)t (F1 si è appena spento): Q C1( (n-1)= - C 1 Vin(n-1) Q C2 (n-1)=c 2 Vout(n-1) Istante (n-3/4)t (F2 si è appena acceso): ai capi di C1 c è una tensione nulla (la massa virtuale è applicata al top plate di C1 e la massa reale al bottom plate) dunque tutta la carica Q C1 deve lasciare la C1; ma C2 è cortocircuitato da F2 quindi Q C1 (n-3/4)=0 Q C2 (n-3/4)= 0 Istante (n-1/2)t (F2 si è appena spento): sia C1 che C2 sono isolate e non possono variare Q C1 (n-1/2)=0 Q C2 (n-1/2)= 0 Istante (n-1/4)t (F1 si è appena acceso): C1 è connessa all ingresso quindi si carica, ma la carica sul suo top plate può arrivare solo da C2 che acquista quindi la stessa carica di C1 però sull altro morsetto Q C1(n-1/4)= - C 1Vin(n-1/4) Q C2 (n-1/4)= Q C1 (n-3/4) = - C 1 Vin(n-1/4) Istante nt (F1 si è appena spento): Q C1 (n)= - C 1 Vin(n) Q C2 (n)= Q C1 (n) = - C 1 Vin(n) -> C 2 Vout(n) = - C 1 Vin(n) -> Vout(n) = - C 1 /C 2 Vin(n) 24 Aprile 2007 UE - Capacità commutate Massimo Barbaro 22