Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità
|
|
- Serena Orsini
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Raggiungibilità, Controllabilità, Osservabilità e Determinabilità Si determini se i sistemi lineari tempo invarianti ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), Σ c : y(t) = Cx(t) + Du(t). x(k + ) = Ax(k) + Bu(k), Σ d : y(k) = Cx(k) + Du(k). sono raggiungibili, controllabili, stabilizzabili, osservabili o rilevabili date le seguenti matrici A, B, C e D.. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Commentare gli effetti della scelta di una matrice degli ingressi al posto della matrice B definita al punto a). B =, Q = , che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. Per quanto riguarda le proprietá di raggiungibilità e controllabilità del sistema un analisi preliminare permette di notare che lo stato x del sistema evolve in maniera indipendente dagli altri stati e dall ingresso u(t). Di conseguenza il sistema non può essere raggiungibile, come si verifica calcolando la matrice di Raggiungibilità 3 P = 4 che ha rango pari a. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili dei sistemi Σ c e Σ d, X r, è data da span{(,, ) T, (,, ) T }. Inoltre i sistemi Σ c e Σ d non sono controllabili. Infatti, per quanto riguarda Σ d si nota che rank(a 3 ) = 3 e di conseguenza non può essere soddisfatta la condizione Im(A 3 ) Im(P ). La stessa conclusione poteva essere ottenuta notando che la matrice dinamica A è non singolare. In questo caso dunque il sottospazio controllabile X c coincide con il sottospazio raggiungibile X r Infine il PBH test di raggiungibilità per gli autovalori di A, λ =, λ = e λ 3 =, fallisce per λ = e dal momento che rank(p ) = possiamo evitare di calcolare il test per gli altri due autovalori. Dunque si conclude che Σ c e Σ d sono entrambi stabilizzabili. b) Sostituendo la matrice degli ingressi B le proprietá di osservabilità e determinabilità, che dipendono solo dalle matrici A e C, non vengono modificate. Calcoliamo la matrice di,
2 Raggiungibilità per la nuova matrice degli ingressi e otteniamo P = 4, che ha rango pari ad. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono ancora non raggiungibili e non controllabili. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili e controllabili è data da span{(,, ) T }. Notiamo che il PBH test di raggiungibilità è soddisfatto per l autovalore λ = in quanto rank 5 = 3. Dal momento che un solo modo è raggiungibile, e si tratta proprio di quello associato all autovalore λ =, possiamo concludere direttamente che con la nuova matrice degli ingressi Σ c è stabilizzabile, mentre Σ d non è stabilizzabile in quanto λ 3 >.. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Stabilire se i seguenti stati del sistema Σ d sono raggiungibili ed eventualmente determinare il numero minimo di passi necessari a raggiungerli e una possibile legge di controllo: x = [,, ] T, x = [,, 3] T e x 3 = [,, ] T. Q =, 3 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono osservabili, e di conseguenza determinabili e rilevabili. La matrice di Raggiungibilità è data da P = , 6 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Gli stati x, x e x 3 del sistema Σ d sono ovviamente raggiungibili al piú in 3 passi. Per determinare il numero di passi necessari a raggiungerli occorre calcolare la matrice di raggiungibilità in h passi, con h =,. Per h = la matrice coincide con la matrice B ed è immediato verificare che rank([b x ]) =, rank([b x ]) = 3 e rank([b x 3 ]) = 3, ovvero lo stato x puó essere raggiunto in un passo. Per determinare la legge di controllo dobbiamo risolvere il sistema lineare [ ] w =, w da cui si ottiene u() = [, ] T. Calcolando la matrice di raggiungibilità in passi si nota che rank([b AB]) = 3, dunque ogni stato puó essere raggiunto in al piú passi. Risolviamo i due
3 sistemi lineari 3 w 3 w w 3 = 3 w 4 risp., e otteniamo le leggi di controllo u() = [, ] T, u() = [, ] T per x e u() = [, ] T, u() = [, 3] T per x a) A = [ ] [ ], B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste, una legge di controllo che trasferisca lo stato del sistema Σ c da x = [, ] T a x f in t =.5s, con: x f = [ 3 e, e] T e x f = [, ] T. [ ] Q = che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono osservabili, e di conseguenza determinabili e rilevabili. La matrice di Raggiungibilità è data da [ ] P = che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Dal momento che il sistema è completamente raggiungibile e controllabile esiste sicuramente una legge di controllo che trasferisce lo stato del sistema da x a x f in un intervallo arbitrario di tempo. Il primo passo è determinare la matrice Gramiana di raggiungibilità G ( ) = [ t e t te t te t e t ] dt = [ 8 (e ) ] 4, (e ) ottenuta integrando iterativamente per parti i singoli elementi della matrice simmetrica. Il secondo passo consiste nel trovare la soluzione del sistema lineare G( )β = x fi e A x. Si nota immediatamente che per la prima coppia di stati x, x f si ha x f e A x = e di conseguenza la soluzione è un controllo identicamente nullo sull intervallo [, ]. Infatti si vede che x f è esattamente l evoluzione libera del sistema Σ c al tempo t =.5s. 4 4 Supponiamo ora di voler portare lo stato del sistema da x all origine in.5s. La soluzione del corrispondente sistema lineare é data da β = 4(3e 5) 4(e 5) β =, e(3 e) e(3 e) e dunque il controllo é u(τ) = ( τ)e τ β + e τ β, per ogni τ [, ]. 4. [ ] A =, B =, C =, D =. Svolgimento: Si nota facilmente che il sistema è in forma canonica di raggiungibilità e di conseguenza è raggiungibile e controllabile. Per quanto riguarda l osservabilità si può calcolare la matrice di osservabilità che ha rango pari a 3, dunque il sistema è anche osservabile e determinabile. 3
4 5. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste una legge di controllo in retroazione dallo stato del sistema Σ c tale che il sistema a ciclo chiuso abbia tutti gli autovalori in C = {λ C : λ }. Q = 4 che ha rango pari a, ovvero il sottospazio osservabile ha dimensione. La stessa conclusione poteva essere ottenuta osservando le matrici del sistema e notando che la matrice dinamica è composta da due blocchi, di cui uno è raggiungibile e l altro è osservabile. I sistemi Σ c e Σ d dunque non sono osservabili e nemmeno determinabili, dal momento che la matrice A è non singolare. Una base per il sottospazio degli stati inosservabili, X i, é data da Ker(Q) = span{(,, ) T, (,, ) T }. Inoltre i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili e controllabili, in quanto la matrice di raggiungibilitá P = ha rango pari a. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r (equivalentemente X c ), é data da span{(,, ) T, (,, ) T }. b) Notiamo che il PBH test di raggiungibilità fallisce per l autovalore λ 3 =, e quindi, dal momento che λ 3 C, è possibile determinare una legge u = F x tale che σ(a + BF ) C. In particolare assegniamo i due autovalori che è possibile spostare in λ = λ =, ottenendo σ(a + BF ) = {,, }. Poniamo F = [f, f, f 3 ] e consideriamo il polinomio desiderato p des (λ) = λ 3 + 4λ + 5λ +. Uguagliando i termini di ordine corrispondente del polinomio caratteristico di (A + BF ) e del polinomio desiderato otteniamo la soluzione F = [ 4, 4, ]. 6. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se possibile, una legge di controllo u = F x tale che il sistema a ciclo chiuso abbia tutti gli autovalori in λ =. Q = 5, che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. La matrice di Raggiungibilità è data da P = 7 3, 6 4
5 che ha rango pari a 3. Dunque i sistemi Σ c e Σ d sono raggiungibili, e di conseguenza controllabili e stabilizzabili. b) Dal momento che il sistema è completamente raggiungibile è possibile determinare una legge di controllo con le proprietá desiderate. Calcoliamo l ultima riga dell inversa della matrice di raggiungibilità, π = [,, ], e il polinomio desiderato valutato per la matrice A, p(a) = A 3 + 3A + 3A + I. La soluzione dunque è data da F = π p(a) = [ 9, 4, 7]. 7. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Utilizzando la formula di Mitter determinare, se esiste, una legge di controllo u = F x tale che il sistema Σ c a ciclo chiuso sia asintoticamente stabile. Q =, 6 che ha rango pari a 3. Dunque il sistema è osservabile, e di conseguenza determinabile, sia a tempo continuo che a tempo discreto. La matrice di Raggiungibilità è data da P =, che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili e controllabili, dal momento che la matrice dinamica A è non singolare. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r (equivalentemente X c ), é data da span{(,, ) T, (,, ) T }. b) Il PBH test di raggiungibilità fallisce per l autovalore λ 3 =, dunque il sistema è stabilizzabile mediante una legge in retroazione dallo stato. Calcoliamo come prima cosa un autovettore sinistro relativo all autovalore che vogliamo spostare ovvero λ =. Otteniamo ad esempio v = [6, 3, ] T. Per spostare l autovalore in γ =, occorre determinare f a tale che v T Bf a = γ λ =. Una soluzione è data da f a = 9 da cui si ottiene una legge in retroazione u = [ 4 3, 3, 4 9 ]x. 8. a) A =, B =, C = [ ], D =. b) Determinare, se esiste, un osservatore per il sistema Σ d tale che la stima converga in tempo finito al valore reale. Q =, che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono osservabili. Una base per il sottospazio degli stati inosservabili, X i, è data da span{(,, ) T }. La matrice di Raggiungibilità è data da P =, 5
6 che ha rango pari a. Dunque i sistemi Σ c e Σ d non sono raggiungibili. Una base per il sottospazio degli stati raggiungibili, X r è data da span{(,, ) T }. Dal momento che la matrice dinamica A è singolare, dobbiamo verificare se il sistema Σ d è controllabile, ma la risposta è negativa in quanto rank(a 3 ) = e dunque Im(A 3 ) non può essere contenuto in Im(P ). b) Utilizziamo un osservatore lineare della forma ˆx(k +) = Aˆx(k)+Bu(k) L(y(k) C ˆx(k)). Per ottenere convergenza in tempo finito è necessario selezionare il vettore L in modo tale che la matrice A + LC abbia tutti gli autovalori in λ =. Notiamo che il PBH test di osservabilità fallisce per l autovalore λ 3 =, di conseguenza è possibile determinare un vettore L che soddisfa le richieste, spostando in zero i due autovalori in λ = λ =. Uguagliando i termini di ordine corrispondente del polinomio caratteristico di (A + LC) e del polinomio desiderato, p des (λ) = λ 3, otteniamo il sistema lineare l =, l l =, una cui soluzione è ad esempio L = [,, ] T. 6
Raggiungibilità e osservabilità
Raggiungibilità e osservabilità January 5, 2 La raggiungibilità e l osservabilità sono due proprietà che caratterizzano lo spazio di stato associato ad un sistema. Raggiungibilità Uno stato x è raggiungibile
DettagliControlli Automatici I
Ingegneria Elettrica Politecnico di Torino Luca Carlone Controlli Automatici I LEZIONE V Sommario LEZIONE V Proprietà strutturali Controllabilità e raggiungibilità Raggiungibilità nei sistemi lineari Forma
Dettagliẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
DettagliCONTROLLI AUTOMATICI I 03AKWcc Ing. Elettrica - Consorzio Nettuno Torino
Tipologia Esercizio (modellistica) CONTOLLI AUTOMATICI I 03AKWcc Esercizio. (tema d'esame del //007) Nel sistema in figura, la tensione e u (t) è l ingresso e la tensione v (t) della resistenza è l uscita.
DettagliEsame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) SOLUZIONE
Esame di FONDAMENTI DI AUTOMATICA (9 crediti) Prova scritta 16 luglio 2014 SOLUZIONE ESERCIZIO 1. Dato il sistema con: si determinino gli autovalori della forma minima. Per determinare la forma minima
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliCorso di Matematica II Anno Accademico Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori
Esercizio 1 Corso di Matematica II Anno Accademico 29 21. Esercizi di Algebra Lineare. Calcolo di autovalori ed autovettori May 7, 21 Commenti e correzioni sono benvenuti. Mi scuso se ci fosse qualche
DettagliPOTENZE DI MATRICI QUADRATE
POTENZE DI MATRICI QUADRATE In alcune applicazioni pratiche, quali lo studio di sistemi dinamici discreti, può essere necessario calcolare le potenze A k, per k N\{0}, di una matrice quadrata A M n n (R)
DettagliSistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
DettagliModel reduction. Gramiano di controllabilità. (materiale. di approfondimento) dove R è la matrice di raggiungibilità della coppia (A,B)
Model reduction (materiale di approfondimento) Gramiano di controllabilità Gramiano di controllabilità per sistemi a tempo discreto Teorema: W c (k) è non singolare per qualche k< rank R=n, dove R è la
DettagliMODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO. Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato. = Cx(t) + Du(t) x(0) = x 0
MODELLI A TEMPO CONTINUO IN EQUAZIONI DI STATO Sistema lineare stazionario a tempo continuo in equazioni di stato ẋ(t) y(t) = Ax(t) + Bu(t) = Cx(t) + Du(t) x() = x Risposta completa (risposta libera e
DettagliUniversita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni
Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
DettagliTempo a disposizione: 150 minuti. 1 È dato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
Università degli Studi di Catania Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Informatica Prova in itinere di Matematica Discreta (12 CFU) 17 Aprile 2015 Prova completa Tempo a disposizione: 150 minuti
DettagliLezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico
ELABORAZIONE dei SEGNALI nei SISTEMI di CONTROLLO Lezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico Motivazioni Formulazione del problema Osservazione dello stato Osservabilità Osservatore asintotico
Dettagli3. Sistemi Lineari a Tempo Discreto
. Sistemi Lineari a Tempo Discreto .5 y(t), y(kt) 4 y(t), y(kt).5.5.5.5.5 4 5 4 5 Campionamento di un segnale continuo Fig. (a) Segnale discreto Fig. (b) Esprimono relazioni fra variabili campionate ad
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si
DettagliProdotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali
CAPITOLO 0 Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali Esercizio 0.. Dati i seguenti vettori di R si calcoli il prodotto scalare (v i,v j per i,j =,,...,6: v = (6,3 v = (,0 v 3 = (, v 4 = (,0 v 5
DettagliEsercizi sui sistemi di equazioni lineari.
Esercizi sui sistemi di equazioni lineari Risolvere il sistema di equazioni lineari x y + z 6 x + y z x y z Si tratta di un sistema di tre equazioni lineari nelle tre incognite x, y e z Poichè m n, la
DettagliCaso di A non regolare
Caso di A non regolare December 2, 2 Una matrice A è regolare quando è quadrata e in corrispondenza di ogni autovalore di molteplicità algebrica m si ha una caduta di rango pari proprio a m Ovvero: rk
DettagliLo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici
Lo studio dell evoluzione libera nei sistemi dinamici December, Un sistema lineare, dinamico, a dimensione finita e continuo (ovvero in cui il tempo t appartiene all insieme dei reali) può essere descritto
DettagliTEORIA DEI SISTEMI OSSERVABILITA E RICOSTRUIBILITA
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI OSSERVABILITA E RICOSTRUIBILITA Ing. Cristian
DettagliESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI
ESERCIZI SUI SISTEMI LINEARI Consideriamo ora il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti associato alla matrice A M n n, cioè SLO Vale il seguente = A. Teorema. Sia v R n \ } e sia λ C. Condizione
DettagliCONICHE. Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oxy sia data la conica C di equazione
CONICHE Esercizi Esercizio 1. Nel piano con riferimento cartesiano ortogonale Oy sia data la conica C di equazione 7 2 + 2 3y + 5y 2 + 32 3 = 0. Calcolare le equazioni di una rototraslazione che riduce
DettagliCLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI
CLASSIFICAZIONE DELLE CONICHE AFFINI Pre-requisiti necessari. Elementi di geometria analitica punti e rette nel piano cartesiano, conoscenza delle coniche in forma canonica). Risoluzione di equazioni e
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliEsercitazione Scritta di Controlli Automatici
Esercitazione Scritta di Controlli Automatici --6 Il velivolo VTOL (Vertical Takeoff and Landing) riportato in figura puó decollare e atterrare lungo la verticale. Figure : odello di velivolo in grado
Dettagli1 Disquazioni di primo grado
1 Disquazioni di primo grado 1 1 Disquazioni di primo grado Si assumono assodate le regole per la risoluzione delle equazioni lineari Ricordando che una disuguaglianza è una scrittura tra due espressioni
DettagliSPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:
SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)
DettagliEsercitazioni di Geometria A: curve algebriche
Esercitazioni di Geometria A: curve algebriche 24-25 maggio 2016 Esercizio 1 Sia P 2 il piano proiettivo complesso munito delle coordinate proiettive (x 0 : x 1 : x 2 ). Sia r la retta proiettiva di equazione
DettagliSviluppi e derivate delle funzioni elementari
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim ordine e le formule di derivazioni delle principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze lim
DettagliSISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1
MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
DettagliStabilità e retroazione
0.0. 4.1 1 iagramma Stabilità e retroazione Stabilità dei sistemi dinamici lineari: Un sistema G(s) è asintoticamente stabile se tutti i suoi poli sono a parte reale negativa. Un sistema G(s) è stabile
DettagliCalcolo di integrali definiti utilizzando integrali dipendenti da parametri
Calcolo di integrali definiti utilizzando integrali dipendenti da parametri Mosè Giordano 6 novembre Introduzione I seguenti esercizi mostrano alcuni esempi di applicazioni degli integrali dipendenti da
DettagliTECNICHE DI CONTROLLO
TECNICHE DI CONTROLLO Richiami di Teoria dei Sistemi Dott. Ing. SIMANI SILVIO con supporto del Dott. Ing. BONFE MARCELLO Sistemi e Modelli Concetto di Sistema Sistema: insieme, artificialmente isolato
DettagliESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE
ESERCIZI SVOLTI SUL CALCOLO INTEGRALE * Tratti dagli appunti delle lezioni del corso di Matematica Generale Dipartimento di Economia - Università degli Studi di Foggia Prof. Luca Grilli Dott. Michele Bisceglia
DettagliNome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.
Teoria dei Sitemi Teoria dei Sitemi e del Controllo Compito A del 24 Giugno 2 Domande ed eercizi Nome: Nr. Mat. Firma: C.L.: Info. Elet. Telec.. Nel cao di itemi lineari continui tempo-varianti, la matrice
DettagliLa riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)
CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere
DettagliAppunti di Algebra Lineare - 2
Appunti di Algebra Lineare - Mongodi Samuele - s.mongodi@sns.it 8/5/ Queste note hanno lo scopo di illustrare il metodo della riduzione a scala (o algoritmo di Gauss e di Gauss-Jordan) e alcune delle sue
DettagliMATRICI E SISTEMI LINEARI
- - MATRICI E SISTEMI LINEARI ) Calcolare i seguenti determinanti: a - c - d - e - f - g - 8 7 8 h - ) Calcolare per quali valori di si annullano i seguenti determinanti: a - c - ) Calcolare il rango delle
DettagliSTUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI
M. G. BUSATO STUDIO DELLE RADICI DI UNA EQUAZIONE ALGEBRICA DI TERZO GRADO A COEFFICIENTI REALI mgbstudio.net PAGINA INTENZIONALMENTE VUOTA SOMMARIO In questo scritto viene compiuto lo studio dettagliato
DettagliSoluzioni. 152 Roberto Tauraso - Analisi Risolvere il problema di Cauchy. { y (x) + 2y(x) = 3e 2x y(0) = 1
5 Roberto Tauraso - Analisi Soluzioni. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) = 3e x y() = R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Una primitiva di a(x) = è A(x) = a(x) dx = dx = x e il fattore
Dettagli2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =
Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):
Dettagliax 1 + bx 2 + c = 0, r : 2x 1 3x 2 + 1 = 0.
. Rette in R ; circonferenze. In questo paragrafo studiamo le rette e le circonferenze in R. Ci sono due modi per descrivere una retta in R : mediante una equazione cartesiana oppure mediante una equazione
DettagliGeometria BIAR Esercizi 2
Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si
DettagliEsercizi di Geometria Affine
Esercizi di Geometria Affine Sansonetto Nicola dicembre 01 Geometria Affine nel Piano Esercizio 1. Nel piano affine standard A (R) dotato del riferimento canonico, si consideri la retta τ di equazione
DettagliCorso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni
Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 23-4. Canale 3 Prof. P. Piazza Magiche notazioni Siano V e W due spazi vettoriali e sia T : V W un applicazione lineare. Fissiamo una base B per V ed una base
DettagliPrecorso di Matematica
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTA DI ARCHITETTURA Precorso di Matematica Anna Scaramuzza Anno Accademico 2005-2006 4-10 Ottobre 2005 INDICE 1. ALGEBRA................................. 3 1.1 Equazioni
DettagliEsercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente
Esercizi di Matematica di Base Scienze biologiche e Scienze e Tecnologie dell Ambiente Dati i vettori di R (i) Calcolare il prodotto scalare v w, (ii) Stabilire se v e w sono ortogonali, (ii) Stabilire
DettagliMetodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa
Scuola universitaria professionale della Svizzera italiana Dipartimento Tecnologie Innovative Metodo dei minimi quadrati e matrice pseudoinversa Algebra Lineare Semestre Estivo 2006 Metodo dei minimi quadrati
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliAnno 4 Matrice inversa
Anno 4 Matrice inversa 1 Introduzione In questa lezione parleremo della matrice inversa di una matrice quadrata: definizione metodo per individuarla Al termine della lezione sarai in grado di: descrivere
DettagliCalcolo del movimento di sistemi dinamici LTI
Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Analisi modale per sistemi dinamici LTI TC Modi naturali di un sistema dinamico Analisi modale Esercizio 1 Costante di tempo Esercizio 2 2 Analisi modale per
Dettagli1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate
Il modello lineare-gaussiano e il filtro di Kalman Prof. P.Dai Pra 1 Alcuni risultati sulle variabili Gaussiane multivariate In questo paragrafo verranno enunciate e dimostrate alcune proprietà del valor
DettagliAnalisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a Scritto del secondo appello, 1 febbraio 2017 Testi 1
Analisi Matematica I per Ingegneria Gestionale, a.a. 206-7 Scritto del secondo appello, febbraio 207 Testi Prima parte, gruppo.. Trovare le [0, π] che risolvono la disequazione sin(2) 2. 2. Dire se esistono
DettagliEsercitazione ENS su processi casuali (13 e 14 Maggio 2008)
Esercitazione ES su processi casuali ( e 4 Maggio 2008) D. Donno Esercizio : Calcolo di autovalori e autovettori Si consideri un processo x n somma di un segnale e un disturbo: x n = Ae π 2 n + w n, n
DettagliCONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica
CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CONTROLLO DI SISTEMI ROBOTICI ANALISI DEI SISTEMI LTI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti
FUNZIONI ELEMENTARI, DISEQUAZIONI, NUMERI REALI, PRINCIPIO DI INDUZIONE Esercizi risolti Discutendo graficamente la disequazione x > 3 + x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne
DettagliSIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI
www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione. Esercizi svolti
. Applicazioni lineari Esercizi svolti. Si consideri l applicazione f : K -> K definita da f(x,y) = x + y e si stabilisca se è lineare. Non è lineare. Possibile verifica: f(,) = 4; f(,4) = 6; quindi f(,4)
DettagliEsercizi Svolti di Analisi Numerica
Esercizi Svolti di nalisi Numerica Esercizi Svolti di nalisi Numerica Gli esercizi che proponiamo qui di seguito si riferiscono ai contenuti del libro. M. Perdon, Elementi di nalisi Numerica, Pitagora
DettagliDerivazione numerica. Introduzione al calcolo numerico. Derivazione numerica (II) Derivazione numerica (III)
Derivazione numerica Introduzione al calcolo numerico Il calcolo della derivata di una funzione in un punto implica un processo al limite che può solo essere approssimato da un calcolatore. Supponiamo
Dettagliy 3y + 2y = 1 + x x 2.
Università degli Studi della Basilicata Corsi di Laurea in Chimica / Scienze Geologiche Matematica II A. A. 03-04 (dott.ssa Vita Leonessa) Esercizi svolti: Equazioni differenziali ordinarie. Risolvere
DettagliEsercizio 1. Esercizio 2
Sia data la matrice A A(α) = Esercizio α 2 2α 2 2, α R.) determinare per quali valori del parametro reale α é verificata la condizione necessaria e sufficiente di convergenza per il metodo di Jacobi;.2)
DettagliAppunti ed esercizi sulle coniche
1 LA CIRCONFERENZA 1 Appunti ed esercizi sulle coniche Versione del 1 Marzo 011 1 La circonferenza Nel piano R, fissati un punto O = (a, b) e un numero r > 0, la circonferenza (o cerchio) C di centro O
DettagliSistemi di Controllo Multivariabile
Sistemi di Controllo Multivariabile Controllo in retroazione di stato di un robot manipolatore PUMA Carmine Dario Bellicoso M58/028 Andrea Gerardo Barbato M58/036 Processo implementato Robot PUMA Riferimento
DettagliCorso di Calcolo Numerico
Corso di Calcolo Numerico Dott.ssa M.C. De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Risoluzione di Equazioni Algebriche Le equazioni
Dettagli20 + 2y = 60 2y y = 10
Esercizio 7.1 Il testo dell esercizio richiede di calcolare il prezzo ottimale per l impresa in concorrenza monopolistica (noto questo prezzo, è infatti possibile calcolare la variazione di prezzo richiesta).
DettagliParte 12a. Trasformazioni del piano. Forme quadratiche
Parte 12a Trasformazioni del piano Forme quadratiche A Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Trasformazioni del piano, 1 2 Cambiamento di coordinate, 8 3 Forme quadratiche,
DettagliFunzioni implicite - Esercizi svolti
Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita
DettagliTEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI
TEORIA DEI SISTEMI Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale Indirizzo Gestione Industriale TEORIA DEI SISTEMI SISTEMI LINEARI Ing. Cristian Secchi Tel.
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché
DettagliFacoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A
Facoltá di Scienze MM.FF.NN. Corso di Studi in Informatica- A.A. 5-6 Corso di CALCOLO NUMERICO / ANALISI NUMERICA : Esempi di esercizi svolti in aula 5//5 ) Dato un triangolo, siano a, b le lunghezze di
DettagliDisequazioni - ulteriori esercizi proposti 1
Disequazioni - ulteriori esercizi proposti Trovare le soluzioni delle seguenti disequazioni o sistemi di disequazioni:. 5 4 >. 4. < 4. 4 9 5. 9 > 6. > 7. < 8. 5 4 9. > > 4. < 4. < > 9 4 Non esitate a comunicarmi
DettagliFondamenti di Automatica
Fondamenti di Automatica Introduzione e modellistica dei sistemi Introduzione allo studio dei sistemi Modellistica dei sistemi dinamici elettrici Modellistica dei sistemi dinamici meccanici Modellistica
DettagliAnalisi Numerica. Debora Botturi ALTAIR. Debora Botturi. Laboratorio di Sistemi e Segnali
Analisi Numerica ALTAIR http://metropolis.sci.univr.it Argomenti Argomenti Argomenti Rappresentazione di sistemi con variabili di stato; Tecniche di integrazione numerica Obiettivo: risolvere sistemi di
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema
DettagliEsercizi svolti. Geometria analitica: rette e piani
Esercizi svolti. Sistemi di riferimento e vettori. Dati i vettori v = i + j k, u =i + j + k determinare:. il vettore v + u ;. gli angoli formati da v e u;. i vettore paralleli alle bisettrici di tali angoli;
DettagliCoseno, seno, e pi greco
L. Chierchia. Dipartimento di Matematica e Fisica, Università Roma Tre 1 Coseno, seno, e pi greco In queste note daremo una presentazione analitica e autocontenuta della definizione e delle proprietà fondamentali
DettagliESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI
ESERCIZI SUI NUMERI COMPLESSI Esercizio Calcolare il modulo e l argomento principale del seguente numero complesso: z = ) 5 + i i) 7 Per risolvere l esercizio proposto applichiamo le formule per il calcolo
DettagliSistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari 2 2... 2 2 Sistemi lineari 3 3... 10
Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 2 2 Sistemi lineari 3 3 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliRETI DI TELECOMUNICAZIONE
RETI DI TELECOMUNICAZIONE Modelli delle Sorgenti di Traffico Generalità Per la realizzazione di un modello analitico di un sistema di telecomunicazione dobbiamo tenere in considerazione 3 distinte sezioni
DettagliSomma diretta di sottospazi vettoriali
Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
SRCIZI DI ALGBRA LINAR COMPLMNTI DI GOMTRIA Foglio 3 sercizio 1. Determinare la decomposizione LU della matrice reale simmetrica A = 1 2 1 2 5 3 1 3 4 sercizio 2. Determinare la decomposizione LU della
DettagliAppunti sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine
Appunti sulle equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del secondo ordine A. Figà-Talamanca 22 maggio 2005 L equazione differenziale y + ay + by = 0, (1) dove a e b sono costanti, si chiama
DettagliEsercitazione 03: Sistemi a tempo discreto
0 aprile 06 (h) Alessandro Vittorio Papadopoulos alessandro.papadopoulos@polimi.it Fondamenti di Automatica Prof. M. Farina Analisi di investimenti Una banca propone un tasso d interesse i = 3% trimestrale
DettagliAnalisi Matematica e Geometria 1
Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica e Geometria 1 Ingegneria Industriale aa 2015 2016 y f 1 g 0 La funzione seno e la funzione esponenziale Raccolta delle tracce di Analisi Matematica e
DettagliIl metodo di Gauss-Newton per le regressioni non-lineari
Il metodo di Gauss-Newton per le regressioni non-lineari Andrea Onofri Dipartimento di Scienze Agrarie ed Ambientali Università degli Studi di Perugia Versione on-line: http://www.unipg.it/ onofri/rtutorial/index.html
DettagliUNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA
UNIVERSITÀ di ROMA TOR VERGATA Corso di PS-Probabilità P.Baldi Tutorato 9, 19 maggio 11 Corso di Laurea in Matematica Esercizio 1 a) Volendo modellizzare l evoluzione della disoccupazione in un certo ambito
DettagliApplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base.
pplicazioni lineari tra spazi euclidei. Cambi di base. Esercizio. Data la seguente applicazione lineare f : R R : f(x, y, z) = (x z, x + y, y + z), scrivere la matrice B, rappresentativa di f rispetto
DettagliINTEGRALI IMPROPRI. Esercizi svolti. dx ; 2. Verificare la convergenza del seguente integrale improprio e calcolarne il valore:
INTEGRALI IMPROPRI Esercizi svolti. Usando la definizione, calcolare i seguenti integrali impropri: a b c d e / +5 d ; arctan + d ; 8+ 4 5/ +e + d ; 9 +8 + + d. d ;. Verificare la convergenza del seguente
DettagliSapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.
Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si
DettagliAnalisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del f(x, y) = e (x3 +x) y
Analisi Matematica II Corso di Ingegneria Gestionale Compito del 8--7 - È obbligatorio consegnare tutti i fogli, anche la brutta e il testo. - Le risposte senza giustificazione sono considerate nulle.
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliCapitolo 6. Sistemi lineari di equazioni differenziali. 1
Capitolo 6 Sistemi lineari di equazioni differenziali L integrale generale In questo capitolo utilizzeremo la forma canonica di Jordan per studiare alcuni tipi di equazioni differenziali Un sistema lineare
Dettagli