Modellistica dei Sistemi Meccanici

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1 1 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Corso di Fondamenti di Automatica A.A. 016/17 odellistica dei Sistemi eccanici Prof. Carlo Cosentino Dipartimento di edicina Sperimentale e Clinica Università degli Studi agna Graecia di Catanzaro tel: carlo.cosentino@unicz.it

2 Principali Componenti: assa s f s = spostamento f = forza applicata Relazione costitutiva : f s Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17

3 Principali Componenti: olla f s 1 K f s K=rigidezza Relazione costitutiva: f K ( s s1) Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 3

4 Principali Componenti: Smorzatore s 1 f B f s B=coefficiente di attrito viscoso Relazione costitutiva: f B ( s s1) Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 4

5 Esempio: Sistema assa-smorzatore s B f u y t t f t velocità s + Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 5

6 Esempio: Sistema assa-smorzatore Alla fine si arriva alla seguente rappresentazione IU y( t) By( t) u( t) Oppure alla seguente rappresentazione ISU utilizzando come variabile di stato la velocità: B 1 x( t) x( t) u( t) y( t) x( t) x s Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 6

7 Scelta delle Variabili di Stato Per i sistemi meccanici le variabili di stato tipiche sono la posizione e la velocità della massa. Riconsideriamo ora l esempio precedente, prendendo come uscita la posizione della massa invece della velocità. Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 7

8 Rappresentazione ISU Si arriva alla rappresentazione IU: oppure alla rappresentazione ISU y( t) By( t) u( t) x( t) B x( t) 1 u( t) 0 y( t) 1 0 x( t) st () xt () st () Si noti che, prendendo come uscita la velocità, era sufficiente un modello del primo ordine; per avere come uscita la posizione, invece, il modello deve essere del secondo ordine Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 8

9 Classificazione del Sistema Il sistema considerato negli esempi precedenti è lineare, stazionario, dinamico; in entrambi i casi la rappresentazione ottenuta è strettamente propria. Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 9

10 Esempio: Sistema assa-olla-smorzatore s B f u(t)=f(t) y(t)=s(t) K + 10 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17

11 Esempio: Sistema assa-olla-smorzatore Si arriva alla rappresentazione IU: y( t) By( t) Ky( t) u( t) oppure, scegliendo alla rappresentazione ISU x x 1 s s x K B x 1 u y 1 0 x 11 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17

12 Esempio: Sistema con Doppia olla e Smorzatore Prof. Carlo Cosentino 1 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 s 1 s s B 1 B f K 1 u(t)=f(t) y(t)=s(t) K +

13 Esempio: Sistema con Doppia olla e Smorzatore Prof. Carlo Cosentino 13 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Si arriva alla rappresentazione IU oppure alla ISU y( t) B B y( t) K K y( t) u( t) x K x 1 K B1 B 1 u y 1 0 x

14 Prof. Carlo Cosentino 14 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Esempio: Sospensione Automobilistica s 1 è la quota del supporto inferiore (supposto privo di massa) s è lo spostamento della massa, g è la forza peso + g s u=s 1 y=s K B s 1

15 Prof. Carlo Cosentino 15 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Esempio: Sospensione Automobilistica Si arriva alla rappresentazione IU y( t) By( t) Ky( t) Bu( t) Ku( t) g In questo caso non è possibile scrivere la rappresentazione ISU scegliendo lo stato in modo usuale (posizione e velocità). Vedremo che esistono tecniche sistematiche per passare da una rappresentazione IU ad una ISU e viceversa.

16 Prof. Carlo Cosentino 16 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Cambio di Variabile E possibile far scomparire la forza peso dall equazione ingresso-uscita effettuando un opportuno cambio di variabile. Indichiamo con ŷ lo spostamento rispetto alla posizione di equilibrio statico che la massa assume sotto l azione della forza peso in assenza di ingressi esterni (u=0). Quindi dove yˆ y sˆ Ksˆ g

17 Prof. Carlo Cosentino 17 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Cambio di Variabile Con questa nuova scelta della variabile di uscita la rappresentazione IU diventa yˆ ( t) Byˆ ( t) Kyˆ ( t) Bu( t) Ku( t)

18 Prof. Carlo Cosentino 18 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Rotazione di un Corpo Libero La relazione costitutiva è analoga al caso lineare: è l angolo T J T rappresenta la risultante dei momenti J è il momento di inerzia del corpo

19 Prof. Carlo Cosentino 19 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Elementi Rotazionali di Base Analogamente al caso lineare possiamo definire olla torsionale: la coppia resistente è proporzionale all angolo di torsione, secondo un coefficiente K T K 1 Smorzatore torsionale: la coppia resistente è proporzionale alla velocità angolare di torsione, secondo un coefficiente B B 1 T 1 T T

20 Esempio di Sistema eccanico Nonlineare: Il Pendolo Prof. Carlo Cosentino 0 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 l f B = coefficiente di attrito viscoso g

21 Esempio di Sistema eccanico Nonlineare: Il Pendolo Prof. Carlo Cosentino 1 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Ponendo u=f e y= si arriva alla rappresentazione IU B g y y sin y l l l Ponendo x 1 = e x =d/dt, si arriva alla rappresentazione ISU 1 u x x 1 y x x 1 g l sin x 1 B l x 1 l u

22 Prof. Carlo Cosentino Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Esercizio: Sistema con Due masse B 1 s 1 B s u=f y i =s i 1 f K 1 K +

23 Prof. Carlo Cosentino 3 Fondamenti di Automatica, A.A. 016/17 Esercizio: Sistema con Due masse Se si scelgono come variabili di stato posizione e velocità della massa 1 (x 1 e x ) e posizione e velocità della massa (x 3 e x 4 ), si arriva alla rappresentazione ISU k1 k B1 B K B x x 0 u K B K B y x