Quadriche in E 3 (C) L equazione cartesiana di una quadrica in coordinate non omogenee (x,y,z)

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1 Qudriche in E (C) L equione crtesin di un qudric in coordinte non omogenee (,,) Q:, +, +, +, +, +, +,4 + +,4 +,4 + 4,4. in coordinte omogenee (,,, 4 ) Q:, +, +, +, +, +, + +, ,4 4 +, ,4 4. corrisponde ll mtrice A,,,,4,,,,4,,,,4,4,4,4 4,4 r(a) l qudric è compost d due pini coincidenti; r(a) l qudric è compost d due pini distinti; r(a) l qudric è un cono o un cilindro: cilindro det A* cono det A* iperbolico ellittico prbolico conic seione AX vertice Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

2 r(a)4 l qudric è GENERALE: prboloide iperbolico det A* ( ) prboloide ellittico ellissoide det A* si studi l seione con 4 iperboloide ellittico ( ) iperbolico ( ) seioni con i pini tngenti: iperbolico: due rette reli distinte prbolico: due rette reli coincidenti ellittico: due rette complesse coniugte. er determinre un equione del pino tngente d un punto Q: (,,, 4 ) A X. Eserciio Clssificre le seguenti qudriche: ) Q : +½ +/ +-+; b) Q : + -4; c) Q : Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

3 Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9- Eserciio Clssificre l qudric di equione Q: ++ e di seguito l conic seione di Q e α: ++. Eserciio Determinre un equione crtesin del luogo geometrico delle rette dello spio incidenti le tre rette sghembe: + : : : r r r

4 Luogo di rette che proiett un conic in E (C) d un punto esterno ll conic: cilindro (punto improprio), cono (punto proprio) Eserciio 4 (es.5 I ppello 9) In E (C) si determini un rppresentione crtesin del luogo Q delle rette che proiettno i punti dell curv C: + - dl punto V [(,,,)]. Si riconoscno le seioni di Q con i pini: α:, β: -. L curv C è un circonferen ottenut per esempio seionndo l sfer : di centro C(,,) e rggio r con il pino coordinto. Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-4

5 V C Il luogo delle rette che proiettno i punti dell circonferen dl punto improprio V srà dunque un cilindro ellittico. Ottenimo un equione crtesin rgionndo nel seguente modo: si (,, ) un punto dell circonferen C llor le sue coordinte devono soddisfre le equioni crtteristiche: C: + -. ( ) Il punto improprio fornisce i prmetri direttori delle rette che pssernno per V : [(,,)]. Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-5

6 Il luogo delle rette è crtterito dlle equioni prmetriche delle rette pssnti per con pr.dir. [(,,)]: + λ + λ + λ λ R d cui, -λ e -λ. Utilindo l II eq. di ( ) si ricv che λ e imponendo che il punto pprteng ll curv C: + - () + (-λ) - () + (-) - ossi Q: (verificre che si trtt di un cilindro ) Le seioni del cilindro ellittico possono essere solo di due tipi: ellissi, se il vertice improprio non pprtiene l pino seione; rette prllele in E (C), se il vertice improprio pprtiene l pino. Dunque con il pino α si ottiene un ellisse. Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-6

7 Quest ellisse è, in prticolre, un circonferen perchè equivlente d un seione pin di sfer. Il pino β: - pss per V ; ottenimo due rette con (-). r : r :. Eserciio 5 (es.5 II ppello 9) In E (C) è dto il pino π: +-. Si determinino le rppresentioni crtesine delle sfere di rggio tngenti π nel punto (,,). Si C l curv ottenut intersecndo Σ: con il pino. Si determini Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-7

8 l equione crtesin del cono che proiett l curv C dll origine O(,,). L rett dei centri è ortogonle l pino π di prmetri direttori [(,,)], pss per dunque di eq. +t, +t, +t t R. Il centro h coordinte prmetriche C(+t,t,) e l distn d(c, π) : +t +t- /. Risolvendo l equione si ottiene t ± e due centri C (,,) e C (-,-,). Conseguentemente le equioni di due sfere: (-) +(-) +(-) 8 ( superficie Σ ) (+) +(+) +(-) 8. L curv ssegnt è un circonferen punti reli C: Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-8

9 Il luogo richiesto è il luogo Q delle rette che proiettno i punti dell curv C dl punto O: un cono. C Si (,, ) un punto dell circonferen C llor le sue coordinte dovrnno soddisfre le equioni crtteristiche: C: ( ) L origine fornisce le coordinte del vertice. Il luogo delle rette srà crtterito dlle equioni prmetriche delle rette pssnti per O con pr.dir. [(l,m,n)]: + lλ + mλ + nλ λ R Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-9

10 I prmetri direttori possono essere ottenuti come componenti del vettore O( -, -, -). Le rette dunque hnno equioni prmetriche: λ λ λ λ R. Isolndo /λ, /λ e /λ. Dll second equione di ( ) ricvimo che λ. Or imponimo che il punto pprteng ll curv C utilindo nche l prim equione di ( ): (/λ) +( /λ) +(/λ) -6(/λ) 4(/λ) (/λ)+6 (/) +( /) +(/) -6(/) 4(/) (/)+6. Svolgendo i clcoli: Q: Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-

11 Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9- Eserciio 6 Dte in E (R) le rette r: -- e s: +- +-: ) si determini l reciproc posiione; ) si determini l equione crtesin dell superficie S individut dll rotione dell rett r ttorno ll rett s; ) si clssifichi l seione ottenut d S con il pino -+. ) Il rngo di entrmbe le mtrici è : rette incidenti. ) Costruimo S come superficie di rotione: un punto di r h coordinte (t,t,t), t R; il pino ortogonle s per è σ: --+t;

12 Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9- il centro dell circonferen genert dll rotione di ttorno d r è s σc ((4-t)/,(+t)/,(+t)/); l distn C t ; l circonferen (t fissto) h equioni: ( ) : t t t t t γ t. Isolndo dll second equione t/(+-) e sostituendo nell prim si ottiene: S: ) L qudric h mtrice: con determinnte nullo e deta* : cono (di vertice V(,,)).

13 Il pino che intersec l qudric non pss per il vertice; studio l conic seione C ll infinito C π : si ottiene l equione... dei punti impropri comuni tr conic e pino:... L conic è un.. 4 Leione 8 - Esercitioni di Algebr e Geometri - Anno ccdemico 9-