Esercizi di Algebra Lineare Superfici rigate

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1 Esercizi di Algebra Lineare Superfici rigate Anna M. Bigatti 29 ottobre 2012 Definizione 1. Una superficie rigata è una superficie tale che per ogni suo punto passa una retta interamente contenuta nella superficie. In particolare, una superficie che ha una rappresentazione parametrica del tipo x = g 1 (t) u + f 1 (t) y = g 2 (t) u + f 2 (t) z = g 3 (t) u + f 3 (t) è rigata: infatti, fissato un qualunque punto P sulla superficie ottenuto per t = α e u = β, la retta r α : (g 1 (α) u + f 1 (α), g 2 (α) u + f 2 (α), g 3 (α) u + f 3 (α)) sta sulla superficie e passa per P. Cilindri Definizione 2. Un cilindro è una superficie luogo di rette (chiamate generatrici) parallele a un vettore fissato. Una curva che giace sul cilindro e interseca tutte le generatrici si dice direttrice del cilindro. Se C : (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) è una curva, una rappresentazione parametrica del cilindro che ha direttrice C e generatrici parallele a (l, m, n) è data da x = l u + f 1 (t) y = m u + f 2 (t) z = n u + f 2 (t) Fissato t si ottiene una generatrice, fissato u una direttrice (per u = 0 si ottiene C ). Esempio 3. Un equazione f(x, y) = 0 (indipendente da z ) è, nello spazio, una rappresentazione cartesiana di un cilindro con generatrici parallele al vettore (0, 0, 1) : infatti se P (α, β, γ) è un punto che la verifica, allora tutti i punti (α, β, t) (punti sulla retta per P parallela all asse z ) la verificano. 1

2 Definizione 4. Data una curva C, un piano π, e un vettore v non parallelo a π, la proiezione di C su π lungo la direzione v è la curva intersezione di π con il cilindro che ha direttrice C e generatrici parallele a v. Se v è perpendicolare a π si ha una proiezione ortogonale. Se C : f(x, y, z) = g(x, y, z) = 0, una rappresentazione cartesiana del cilindro che proietta C ortogonalmente sul piano xy si può ottenere eliminando la z dalle due equazioni. Esercizio 5. Sia S la superficie di equazione x 2 + y 3 + 2xz = 0. (a) Mostrare che A(1, 1, 0) S e trovare le rette, se esistono, passanti per A che giacciono su S. (b) Mostrare che O(0, 0, 0) S e trovare le rette, se esistono, passanti per O che giacciono su S. (c) Trovare la proiezione ortogonale della curva { x + y z = 0 C : x 2 + y 3 + 2xz = 0 Figura 1: proiezione ortografica sul piano π : y + 2z = 0. Use QQ[x,y,z, a,b,c, t,s]; S := x^2 + y^3 + 2*x*z; (a) A := [1,-1,0]; -- verifico A appartiene a S: subst(s, [[x,a[1]], [y,a[2]], [z,a[3]]]); --> 0 vero -- retta per A parallela a V, vettore generico V := [a,b,c]; R := t*v + A; R; --> [a*t +1, b*t -1, c*t] -- impongo che R soddisfi l equazione di S subst(s, [[x,r[1]], [y,r[2]], [z,r[3]]]); --> b^3*t^3 +a^2*t^2-3*b^2*t^2 +2*a*c*t^2 +2*a*t +3*b*t +2*c*t -- e identicamente il polinomio nullo quando sono soddifatte: -- b^3=0 a^2-3*b^2 +2*a*c=0 2*a +3*b +2*c=0 -- quindi per b=0 a^2 +2*a*c=0 2*a +2*c=0 --> soddisfatte solo per il vettore nullo -- Allora non ci sono rette per A su S (b) -- verifico O appartiene a S subst(s, [[x,0], [y,0], [z,0]]); --> 0 -- retta per O parallela a V, vettore generico V := [a,b,c]; R := t*v; R; --> [a*t, b*t, c*t] -- impongo che soddisfi l equazione di S subst(s, [[x,r[1]], [y,r[2]], [z,r[3]]]); --> b^3*t^3 +a^2*t^2 +2*a*c*t^2 -- e identicamente il polinomio nullo per -- b^3=0 e a^2 +2ac=0, quindi per b=0 e a(a +2c)=0 -- Conclusione: ci sono due rette per O su S: 2

3 R1 := t*[0,0,1]; R2 := t*[-2,0,1]; -- verifico: subst(s, [[x,r1[1]], [y,r1[2]], [z,r1[3]]]); --> 0 subst(s, [[x,r2[1]], [y,r2[2]], [z,r2[3]]]); --> 0 (c) Costruisco il cilindro che ha direttrice C e generatrici perpendicolari a π. P := [a,b,c]; -- punto generico della curva: soddisfa l equazione di C subst(x+y-z, [[x,p[1]], [y,p[2]], [z,p[3]]]); --> a +b -c = 0 subst(s, [[x,p[1]], [y,p[2]], [z,p[3]]]); --> b^3 +a^2 +2*a*c = 0 -- retta passante per P e perpendicolare al piano pi: -- forma parametrica V := [0,1,2]; -- vettore ortogonale a pi Pr := P + t*v; Pr; --> [a, b +t, c +2*t] -- forma cartesiana U := [1,0,0]; W := [0,-2,1]; -- vettori paralleli a pi X := [x,y,z]; ScalarProduct(X-P, U); --> x-a ScalarProduct(X-P, W); --> -2*y +z +2*b -c Al variare di P su C queste rette descrivono il cilindro cercato. Confrontiamo le costruzioni ottenute dalla forma cartesiana o parametrica delle generatrici: Forma cartesiana: (come nelle dispense) { P C P r π x a = 0 2y + z + 2b c = 0 c = 2y + z + 2b Forma parametrica: un equazione e un parametro ( t ) in più { P C P r π x = a y = b + t z = c + 2t b = y t c = z 2t b = x + 2y z c = 2y + z + 2b t = x y + z b = x + 2y z c = 2x + 2y z Per eliminare i parametri a, b, c (e t ) li ricavo in funzione di x, y, z dalle equazioni lineari ( (a, b, c) = (x, x + 2y z, 2x + 2y z) ) e poi li sostituisco nella prima equazione. Quella che otteniamo è l equazione cartesiana del cilindro. (Notiamo che in questo esercizio siamo fortunati perchè l equazione della curva contiene un equazione lineare che ci permette di ricavare i parametri in funzione di x, y, z. In generale può essere difficile) Conclusione: La proiezione ortogonale su π è ottenuta intersecando il cilindro con π { x 2 + (x + 2y z) 3 + 2x(2x + 2y z) = 0 y + 2z = 0 3

4 Coni Definizione 6. Un cono è una superficie luogo di rette (chiamate generatrici) passanti per un punto V detto vertice del cono. Una superficie S è quindi un cono se esiste un punto V su S tale che per ogni altro punto P di S la retta V P è contenuta in S. Se C : (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) è una curva, una rappresentazione parametrica del cono che ha C come direttrice e vertice V (α, β, γ) è x = (f 1 (t) α) u + α y = (f 2 (t) β) u + β z = (f 3 (t) γ) u + γ Fissato t si ottiene una generatrice, fissato u 0 una direttrice (per u = 1 si ottiene C ). Esempio 7. Il cono con vertice V (1, 2, 1) e direttrice C : (t 3, t 2, t) è x = (t 3 1)u + 1 y = (t 2 2)u + 2 z = (t + 1)u 1 x = ut 3 u + 1 y = ut 2 2u + 2 z = ut + u 1 Definizione 8. Una funzione f(x, y, z) è omogenea di grado d ( 0 ) se per ogni t R si ha f(tx, ty, tz) = t d f(x, y, z). In particolare una funzione polinomiale è omogenea di grado d se tutti i monomi del polinomio hanno grado d. Un equazione f(x, y, z) = 0 con f(x, y, z) funzione omogenea è in generale la rappresentazione cartesiana di un cono con vertice O(0, 0, 0) : infatti se P (a, b, c) è un punto della superficie, cioè soddisfa f(a, b, c) = 0, allora tutti i punti della retta per O e P (ta, tb, tc) stanno sulla superficie: Esempio 9. La superficie S : x 4 + 2xy 3 + y 4 + x 2 z 2 = 0 è un cono con vertice nell origine: f(tx, ty, tz) = = (tx) 4 + 2(tx)(ty) 3 + (ty) 4 + 2(tx) 2 (tz) 2 = = t 4 (x 4 + 2xy 3 + y 4 + x 2 z 2 ) = t 4 f(x, y, z) (f è funzione omogenea di grado 4 ) e quindi S è un cono con vertice O(0, 0, 0). Proiezioni prospettiche: a. centrografica, b. stereografica, c. scenografica, d. ortografica Osservazione: Se f è una funzione omogenea in x α, y β, z γ (per esempio f = (x 1) 3 (y 3) 2 (z + 2) ) allora l equazione f = 0 rappresenta un cono con vertice V (α, β, γ). Esercizio 10. Trovare la proiezione C della curva C : (t, t 2, t 3 ) sul piano π : x + y z 1 = 0 dall origine. Il cono che proietta C dall origine è S : (tu, t 2 u, t 3 u). Intersecando con il piano π si ha 4

5 tu + t 2 u t 3 u 1 = 0, da cui u = 1/(t + t 2 t 3 ) ; sostituendo nelle equazioni del cono e semplificando si ha C 1 : ( 1 + t + t 2, t 1 + t + t 2, t t + t 2 ) Superfici di rotazione Definizione 11. Sia r una retta. Una superficie di rotazione di asse r è una superficie luogo di circonferenze che hanno centro su r e sono contenute in piani ortogonali ad r. Se C : (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) è una curva, le circonferenze della superficie generata dalla rotazione di C attorno alla retta r si possono determinare intersecando, per ogni t, il piano passante per P (f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t)) e ortogonale a r con la sfera di centro C e raggio d(c, P ), dove C è un punto qualunque fissato su r. L equazione cartesiana si ottiene eliminando t tra l equazione del piano e quella della sfera. Esercizio 12. Trovare un equazione cartesiana della superficie ottenuta facendo ruotare la retta r : (2t, t + 1, t) attorno all asse x. Figura 2: Palasport di Genova X := [x,y,z]; Pr := [2*t,t+1,-t]; -- punto generico della curva (retta) r C := [0,0,0]; -- punto su asse x V := [1,0,0]; -- vettore direzionale dell asse x -- piano passante per P e perpendicolare a asse x: forma cartesiana pi := ScalarProduct((X-Pr), V); pi; --> x -2*t -- sfera di centro C e raggio CP: Sf := ScalarProduct((X-C),(X-C)) - ScalarProduct((Pr-C),(Pr-C)); Sf; --> x^2 +y^2 +z^2-6*t^2-2*t l intersezione di Sf=0 e pi=0 e la circonferenza data dalla -- rotazione di P intorno all asse x Al variare di P su r queste circonferenze descrivono la superficie cercata. { { { P r x 2 + y 2 + z 2 6t 2 2t 1 x 2 + y 2 + z 2 6t 2 2t 1 P circ x 2t = 0 t = x 2 S := Subst(Sf, [[t, x/2]]); S; -- (-x^2 +2*y^2 +2*z^2-2*x -2)/2 -- La superficie cercata ha equazione S = 0 -- verifico r sta sulla superficie: subst(s, [[x,p[1]], [y,p[2]], [z,p[3]]]); --> 0 -- verifico S intersecato piano x=0 e circonferenza: subst(s, [[x,0]]); --> y^2 +z^2-1 5

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