x(t) x[n] x q [n] x q [n] Campionamento Quantizzazione Codifica
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- Edmondo Capasso
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1 1. a conversone analogco dgtale (A/D) a conversone A/D è una operazone che permette d rappresentare un segnale analogco, coè contnuo nel domno del tempo e delle ampezze, medante una seuenza d campon numerc. Tale operazone è usualmente rappresentata come seuenza d tre fas dstnte, note come camponamento, uantzzazone, e codfca. Il camponamento è una dscretzzazone del segnale nel domno del tempo, che permette d passare dall nseme contnuo d stant n cu è defnta la forma d onda analogca da convertre a un nseme dscreto d valor analogc, dett campon, che lo rappresentano senza perdere nformazone. a uantzzazone consste nvece della dscretzzazone delle ampezze de campon, che a valle del camponamento sono ancora contnue. Infne la codfca determna l tpo d rappresentazone numerca de rsultat della uantzzazone. x(t) x[ x [ x [ Camponamento Quantzzazone Codfca Fg. 1: Operazon assocate alla conversone A/D. a uantzzazone nella conversone A/D.1 Introduzone a uantzzazone è una trasformazone che assoca all ntervallo contnuo d valor che può assumere l segnale n ngresso al converttore una sere d valor dscret. Operatvamente tale operazone può essere rcondotta a tre fas. a prma è la defnzone d un nseme d ntervall A, costtuent una partzone dell asse reale de valor analogc del segnale n ngresso al converttore. Gl ntervall sono coè dsgunt, e la loro unone è l asse reale. Formalmente cò s può esprmere come A [ s A A 1 j, s ],, j s 1 s, 0,..., M 1 (.1) M 1 A 0 n cu s -1 ed s sono rspettvamente gl estrem nferore e superore dell ntervallo A. A cascuno d tal ntervall vene assocato un smolo, generalmente un numero ntero, detto codce. Se la partzone consta d M ntervall, avremo allora M smol {c 0, c 1,,c M-1 }. a seconda fase è la verfca dell appartenenza o meno d cascun campone x[ da uantzzare a cascuno d uest ntervall. S osserv che, dal momento che gl ntervall A coprono l asse reale, ve ne sarà sempre almeno uno che contene x[, mentre essendo gl ntervall dsgunt, x[ può appartenere solo ad uno ed uno solo degl ntervall. In altre parole, è sempre possle assocare unvocamente un ntervallo d uantzzazone ad un campone. a terza fase è l assocazone al campone x[ del smolo c corrspondente all unco ntervallo A cu x[ appartene, coè
2 A 8 A 7 A 6 A 5 A 4 A 3 A s 7 s 6 s 5 s 4 s 3 s -0.6 s 1 A s 0 A Fg. : Quantzzazone d una snusode. I campon acust vengono assocat a degl ntervall che formano una partzone dell asse reale. In Fgura, l 18-esmo campone vene assocato all ntervallo A 1, a cu appartene. x [ c x[ A, x[ A s 1 x[ s (.) S osserv che la seconda rga della (.) mplca che l appartenenza del campone x[ all ntervallo A può essere verfcata confrontando l campone stesso con gl estrem s -1 ed s dell ntervallo stesso. Tal estrem sono not come lvell d sogla (thresholds) o lvell d transzone (transton levels) del converttore A/D. D conseguenza, uando un converttore A/D produce n uscta l smolo -esmo, cò può essere rassunto dalla frase Il campone acusto x[ appartene all ntervallo A. S osserv che se due campon dvers tra loro appartengono allo stesso ntervallo d uantzzazone, n uscta al converttore A/D rsultano ndstngul. a stuazone è rassunta dalla Fg., n cu compaono campon d una snusode ( valor ntermed appaono come lnea tratteggata), gl ntervall d uantzzazone A e loro estrem s. In partcolare s può osservare che l 18-esmo campone x[17] appartene all ntervallo A 1, per cu, defnendo come codce d uscta l ndce dell ntervallo d appartenenza, avremo x [17]=1.. Rumore d uantzzazone a uantzzazone è una operazone che comporta ntrnsecamente una perdta d nformazone. Infatt, mentre n ngresso s ha un valore en precso per l lvello del segnale, n uscta s ha solo l appartenenza a un ntervallo d valor, che è una nformazone meno crcostanzata. Inoltre, a dfferenza del camponamento, l nformazone è persa defntvamente, n uanto non è possle rsalre al valore esatto del campone n ngresso a partre da dat prodott. Per uanto vsto nella
3 sezone precedente, un converttore A/D rceve n ngresso un segnale analogco (generalmente una tensone o pù raramente una corrente elettrca) e produce n uscta un smolo (generalmente un numero ntero), detto codce. Questa operazone da sola non permette d valutare la uanttà d nformazone perduta nel passare dal valore del campone all appartenenza ad un ntervallo, n uanto l codce n uscta, essendo un numero puro, non è drettamente confrontale con la grandezza analogca n ngresso. D conseguenza, per permettere d valutare la uanttà d nformazone persa, s convene d assocare a cascun codce -esmo un lvello analogco d rfermento n uscta y, uno per cascun ntervallo, e d confrontare uest ultmo con l lvello del segnale convertto per determnare uanta nformazone è stata perduta. Sotto uesta potes, ha senso parlare d errore d uantzzazone, defnto da e[ y[ x[, (.3) e la frase Il campone acusto appartene all ntervallo A dventa Il campone acusto x[ appartene all ntervallo A ed è ndstngule dal lvello d rfermento y [. In partcolare, per un converttore stantaneo unforme, lvell d transzone s sono eudstant tra d loro, e la dstanza è detta passo d uantzzazone del converttore. Smlmente, s defnscono punt med d tal ntervall come lvell euvalent d uscta. Defnendo rspettvamente come H e fondo scala superore e nferore del converttore, s ha: s y H,,, 1... N 1, N 0... N 1, n cu è la rsoluzone del converttore. In partcolare, se l converttore è polare e smmetrco, s ha H = ed =-, per cu: 1 (.4). (.5) Dalle potes poste, segue che se un campone è compreso tra fondo scala d un converttore unforme, coè x[< H, l errore d uantzzazone è compreso tra -/ e /, coè e [, (.6) n uanto l errore può essere al pù la dstanza tra y [ e una delle due sogle d uantzzazone, l cu modulo è superormente lmtato da /. Se l segnale è anche tempo varante e tale che campon dvers appartengano con uona proaltà a ntervall d uantzzazone dvers, può essere noltre dmostrato che la seuenza de campon del rumore d uantzzazone ha le caratterstche d un processo aleatoro stazonaro, anco e unforme n [-/, /], con potenza = /1. In uesto caso, l errore d uantzzazone è detto granulare. Se nvece x[ >, l errore d uantzzazone è detto d overload, non è pù un processo anco, non è n generale unformemente dstruto, e non è lmtato n modulo da /. D conseguenza, per un converttore operante n overload, la potenza dell errore d uantzzazone può eccedere anche notevolmente /1. Se nvece l segnale vara lentamente, l errore non è pù descrvle da una varale aleatora unforme. Ad esempo, la uantzzazone d una seuenza costante x[=k x produce due seuenze costant d campon d uscta y [=k y e d errore e[=k e. D conseguenza, la denstà d proaltà dell errore f e (e) è l mpulso d Drac f e ( e e) ( e k ), (.7) molto dverso dalla denstà d proaltà unforme..3 Prestazon d un converttore A/D
4 a prestazone d un converttore A/D è espressa prncpalmente dal rapporto segnale/rumore d uantzzazone (SQNR, Sgnal to Quantzaton Nose Rato), dato da Px SQNR, (.8) oppure dalla rsoluzone euvalente e (Effectve Resoluton). Supponendo che l segnale sa una snusode d ampezza A, s ha P x =A /. Ipotzzando noltre che l segnale convertto var adeguatamente da un campone all altro, senza ma eccedere l range dnamco d un converttore polare smmetrco, l rumore d uantzzazone è granulare, con potenza = /1, per cu A Px A SQNR 6 A 1 a (.9) mostra che per un segnale snusodale, l SQNR è massmo per A, ed è par a 6 (.9) SQNR MAX. (.10) Per A<, l SQNR s aassa, n uanto l segnale non attraversa tutt gl ntervall d uantzzazone (è come avere un converttore con rsoluzone e range dnamco mnor). Se A>, l converttore opera n regme d overload, e s può dmostrare che n uesto caso l SQNR tende ad aassars rapdamente all aumentare d A. Questo rsultato ha valdtà generale, nel senso che per ualunue tpo d segnale n ngresso al converttore esste una rapporto ottmale tra l range dnamco del segnale e uello del converttore, che massmzza l SQNR. Se l converttore è unforme, noltre, utlzzando la (.5) nella (.10) s ottene SQNR MAX , (.11) che espressa n decel, dvene 3 3 SQNRdB 10log 10log 0log (.1) a (.1) lega la rsoluzone nomnale d un converttore deale al SQNR. In un converttore reale con una rsoluzone nomnale d t, tuttava, l SQNR è pù asso d uanto prevsto dalla (.1), n uanto nel dspostvo sono present ulteror sorgent d naccuratezza. Tuttava, una volta msurato l SQNR, s può nvertre la (.1), calcolando la rsoluzone nomnale e che dovree avere un converttore A/D deale per avere lo stesso SQNR rscontrato. Tale parametro è detto rsoluzone effettva o euvalente del converttore, ed è sempre mnore o uguale alla rsoluzone nomnale. Altr parametr caratterzzant l converttore sono nfne la dstorsone armonca totale (THD, Total Harmonc Dstorton), data dalla somma della potenza delle armonche rlevate n uscta a un ADC almentato da un segnale snusodale, l Range Dnamco ero da Spure (SFDR, Spurous Free Dynamc Range), che sotto le stesse condzon è la dfferenza n decel tra la potenza della fondamentale n uscta all ADC e la potenza della componente armonca pù potente tra uelle present, e l SINAD (Sgnal to Nose And Dstorton rato), che è l rapporto tra la potenza del segnale e la somma tra la potenza del rumore d uantzzazone e d tutte le armonche e component spure present n uscta al converttore..4 Quantzzazone e teora della msurazone a uantzzazone, ntesa come attruzone del campone convertto a un ntervallo d uantzzazone, è un processo d classfcazone, n uanto gl ntervall d uantzzazone
5 costtuscono una partzone dello spazo de possl ngress. Dal momento che gl ntervall d decsone sono anche ordnat la uantzzazone è anche un processo d ordnamento. attruzone a cascun ntervallo d un lvello d uscta euvalente permette nfne d consderare la uantzzazone come una msurazone n senso stretto, n uanto lvell euvalent d uscta sono per defnzone grandezze razonal.
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