ALGEBRA DELLE CLASSI DI RESTO 1 dalle classi di resto al teorema cinese e ai sistemi di congruenze lineari di Leonardo Calconi

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1 ALGEBRA DELLE CLASSI DI RESTO 1 alle class resto al teorema cese e a sstem cogrueze lear Leoaro Calco Che cos è ua classe resto? E l seme que umer ter che ao lo stesso resto se vs per uo stesso tero. {..., -7, -5, -3, 1, 3, 5, 7,...} formao ua classe resto [1] perchè vs per 2 ao lo stesso resto 1. L argometo è trgate: utlzzare class resto azchè umer elle operazo. Le applcazo pratche soo grae teresse: bast pesare che attualmete (e almeo f quao computer quatstc o sarao realtà), l essteza elle trasazo commercal e bacare va Iteret è resa possble graze alle cfrature basate sull algebra elle class resto. Ho zato co alcue premesse sulle efzo foametal, e perchè rmaessero brev e compatte e ho tralascato le mostrazo che o soo fuzoal agl scop questo lavoro. Ho proseguto alla efzoe classe resto fo a sstem cogrueze lear, cercao mostrare tutto e sereo u buo umero esemp calcolo pratco. Ho tralascato la matematca rcreatva, argomet molto popolar qual la prova el ove e crter vsbltà, e altr teressat come la RSA su qual è stato scrtto molto e molto meglo quato potre fare o. 1 Premesse pagg Relazoe 1.2 Relazoe equvaleza 1.3 Relazoe uguaglaza 1.4 Classe equvaleza 1.5 Partzoe 1.6 Combazoe leare 1.7 Iettà Bezout 1.8 Algortmo Eucle e MCD 1.9 Equazoe ofatea 2 Class resto pagg Relazoe cogrueza moulo 2.2 Propretà elle relazo cogrueza 2.3 Classe resto 2.4 Aello elle class resto 2.5 Domo tegrtà elle class resto 2.6 Campo elle class resto e vers 2.7 Calcolo egl vers ell aello elle class resto Teorema Lagrage Corollaro el Teorema Lagrage Teorema Eulero Pccolo Teorema Fermat 2.8 Calcolo egl vers el campo elle class resto 2.9 Ivers baal 3 Cogrueze lear pagg Equazoe ofatea 3.2 Defzoe cogrueza leare 3.3 Compatbltà, soluzo foametal e class cogrueza 3.4 Forma elle soluzo 3.5 Soluzo o cogruet e cogruet; calcolo 3.6 Ruzoe el moulo 4 Sstem cogrueze lear pagg Teorema cese el resto Compatbltà Soluzo 4.2 Sstem cogrueze lear a ua cogta Leoaro Calco Algebra elle class resto 1

2 1 PREMESSE 1.1 Relazoe Descrtta moo formale ua relazoe è ua legge che assoca u elemeto u seme a u elemeto u altro seme, oppure che assoca uo a uo gl elemet uo stesso seme. Descrtta moo formale ua relazoe r è u applcazoe r : A B, ovvero u sottoseme el prootto cartesao A x B. Se A = B = l applcazoe è r : e è efta stesso. 1.2 Relazoe equvaleza E ua relazoe r efta ell seme A per la quale valgoo le propretà rflessva, smmetrca e trastva: a r b, a,b A se a r a a r b b r a a r b, b r c a r c Esemp r = smltue, A = seme e tragol el pao r = parallelsmo, A = seme e pa ello spazo Cotro-esemp r = ormaltà, A = seme e pa ello spazo 1 e 3 o soo verfcate r = essere multplo, A = 2 o è verfcata 1.3 Relazoe uguaglaza E ua relazoe equvaleza cu vee applcata la propretà restrttva atsmmetrca: a r b, b r a a = b Esempo r = vere A = Come è evete, questo e qualuque altro esempo s vogla portare è tautologco. S può scutere sul fatto che la relazoe uguaglaza sa u caso partcolare elle relazoe equvaleza oppure che quest ultma sa ua geeralzzazoe ella relazoe uguaglaza. 1.4 Classe equvaleza moulo r Tutt gl elemet A per qual vale r rspetto a a [a] = {b A b r a} Esempo r = coorate q A = seme e put ello spazo [a] = sfera raggo q. Naturalmete le class equvaleza moulo r possoo essere pù ua, come mostrato el paragrafo seguete. 1.5 Partzoe E l seme [A] elle part A che verfca le propretà: [A] = A A m A = 0 A m A 0 A m = A Qu ua partzoe esaursce l seme al quale s rfersce. Leoaro Calco Algebra elle class resto 2

3 Esempo r = are resto m ella vsoe per tero A = [A] = [a 0 ] [a 1 ] [a 2 ]... [a -1 ] 1.6 Combazoe leare I è efta tale ua scrttura come bx 1.7 Iettà Bezout + cy. Per essa se a b, a c a ( ax+ by). E ua scrttura el MCD. I se = ( a, b) = ha + kb per h, k opportu. La coppa valor (h, k) o è uca quato per og s ha = a( h+ b) b( k + a) Esempo: (77,99) = 11 = = 77( ) 99( ) I base all ettà rsulta che se a c, b c, ( a, b) = allora ab c Algortmo Eucle e MCD Per ab, e, seza fcare la valtà el procemeto co a > b, ecco come calcolare l MCD e ua coppa valor per l ettà Bezout col metoo elle vso successve: Esempo: ( 758, 242) = 2 = : 758 = = , 4 = a = bq + r = = 14 ( 18 14) 3 = , 14 = b = rq + r 2 32 = = ( 32 18) = , 18 = r = r q + r = = 32 4 ( ) 7 = , 32 = r = r q + r = = ( ) r = r q = = Esempo: ( 726, 275) = 11 = : 726 = = = = ( ) 7 99 = ( 72 ) 77 = = ( 29) = = == = = = Notare come l ettà Bezout sa stata scrtta e forma caoca ha o caoca ha kb, forma che rtroveremo ell equazoe ofatea. + kb e forma 1.9 Equazoe ofatea. I geerale è u equazoe grao g k cogte a coeffcet ter ella quale s cercao soluzo tere Per esempo, l equazoe ( Ptagora!) x + y = z è u equazoe Dofato... U tpo partcolare equazoe ofatea che teressa questo lavoro è quella leare ue cogte, ovvero l ettà Bezout: ax + y = b La rcerca ua coppa valor per l ettà Bezout equvale alla rcerca ua soluzoe per l equazoe ofatea corrspoete. L argometo è mportaza foametale e sarà svluppato el captolo 3. Leoaro Calco Algebra elle class resto 3

4 2 CLASSI DI RESTO 2.1 Relazoe cogrueza moulo Se s efsce cogrueza moulo ua relazoe su tale che: a b a b a b = q, = q, q ovvero tale che a e b vs per ao lo stesso resto r a mo = b mo = r 2.2 Propretà elle relazo cogrueza I lea geerale le propretà seguet o soo vertbl. A esempo, per la 2, se a c b c Acora, per la 10, se ac bc a b mo + + o è ecessaramete vero che a b o è ecessaramete vero che a b. Se 1. c c a b 2. a + c b+ c 3. ac bc Se a b, c 4. a + c b+ 5. ac b Se a b, 6. a b( mo ) Se a b, a b( mo m) 7. a b( mo [, m] ) Se è prmo 8. ( a + b) ( a + b ) Se ac bc, ( c, ) 9. a b( mo / ) Se ac bc, ( c, ) a b = prma propretà cacellazoe el prootto = secoa propretà cacellazoe el prootto. 2.3 Classe resto La relazoe cogrueza c permette efre ua classe resto [r] moulo come seme egl ter che ao lo stesso resto r se vs per, ovvero che b mo = r Pertato avremo che { b, : b( mo) = r} = [ r] Tale relazoe è ua relazoe equvaleza che goe qu elle tre propretà: a a mo rflessva b a smmetrca Leoaro Calco Algebra elle class resto 4

5 3. a b, b c a c trastva Ua relazoe cogrueza moulo eterma la partzoe class resto che lo esaurscoo. La complazoe elle class resto è elemetare parteo alla classe [0] o alla coloa e prm elemet. Esempo co moulo = 3 [0] = [..., -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9,...] [1] = [..., -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10,...] [2] = [..., -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11,...] Esempo co moulo = 4 [0] = [..., -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12,...] [1] = [..., -11, -7, -3, 1, 5, 9, 13,...] [2] = [..., -10, -6, -2, 2, 6, 10, 14,...] [3] = [..., -9, -5, -1, 3, 7, 11, 15,...] L seme quozete Esempo co moulo = 5 [0] = [..., -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,...] [1] = [..., -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16,...] [2] = [..., -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17,...] [3] = [..., -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18,...] [4] = [..., -11, -6, -1, 4, 9, 14, 19,...] elle class resto [0],... [-1] moulo goe verse propretà. 2.4 Aello elle class resto Le propretà soo quelle u aello commutatvo co utà: Chusura rspetto all azoe e alla moltplcazoe Essteza ell elemeto eutro rspetto all azoe e alla moltplcazoe Essteza ell elemeto opposto rspetto all azoe Asssocatvtà rspetto all azoe e alla moltplcazoe Dstrbutvtà rspetto all azoe e alla moltplcazoe Commutatvtà rspetto all azoe e alla moltplcazoe Verfchamo queste propretà elle tabelle seguet: = 3 + [0] [1] [2] [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [1] [2] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [2] [0] [1] [2] [0] [2] [1] + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] Osservao queste tabelle s tusce che sem = 4 = 5 propretà e pertato covee otarc u pao efzo pù. [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] vers possoo o goere elle stesse 2.5 Domo tegrtà elle class resto E omo tegrtà I u aello commutatvo che o abba vsor ello zero: a b = 0 a or b = 0, a,b I Leoaro Calco Algebra elle class resto 5

6 Dalle tabelle moltplcatve s vee mmeatamete che o è u omo tegrtà: 4 [] 0 [][] 2 2 = [] 0 = [] 2 [] 2 metre lo soo e. 3 5 Cotro Esempo 8 [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [2] [0] [2] [4] [6] [0] [2] [4] [6] [3] [0] [3] [6] [1] [4] [7] [2] [5] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [0] [4] [5] [0] [5] [2] [7] [4] [1] [6] [3] [6] [0] [6] [4] [2] [0] [6] [4] [2] [7] [0] [7] [6] [5] [4] [3] [2] [1] Rassumeo: è omo tegrtà se è u umero prmo. se o è prmo, sarao vsor ello zero tutt gl elemet r, 1 =/ Notamo fe come esseo ( I ) = I sa fto, e pochè u omo tegrtà fto è u campo arrvamo agevolmete a parlare vers. Per mostrare cò è ecessaro provare l essteza ell elemeto eutro moltplcatvo (l utà) e l essteza egl vers per tutt gl elemet I. Ecco ua bella mostrazoe I.N. Herste. Prcpo e cassett. Se oggett evoo essere strbut m cassett e l umero egl oggett è maggore quello e cassett, allora uo o pù cassett coterrao ue o pù oggett. Charamete, se = m og cassetto cotee esattamete u oggetto. Prova ell essteza ell elemeto eutro. Se I è fto avrà u certo umero elemet x x,..., x e se a 0 è uo quest, ache gl 1, 2 elemet x a, x a,..., x a appartegoo a I e soo umero. Se ess soo tutt stt, per l prcpo e cassett soo tutt gl elemet I. Ma ess soo tutt stt. Se fatt fosse x a = x a per allora sarebbe ( x x ) a 0 tegrtà ovrebbe ecessaramete essere 0 tal che =, e esseo I omo x x = x = x cotro l potes. Allora x axa,,..., xa soo tutt gl elemet I che possoo essere scrtt tale maera. Qu a stesso può essere scrtto moo aalogo, ovvero a = x a = ax. 0 0 Ora, se y x a yx = xa x = x ax = xa= y. = è u elemeto I sarà Gl elemet s calcolao rga/coloa semplcemete così: [ r ] = [ rr rc, r c ] Ma questa è propro la scrttura secoo la quale x = 1 è l elemeto eutro moltplcatvo I. 0 Prova ell essteza egl vers. Semplcemete, possamo scrvere l elemeto eutro come multplo a come abbamo fatto preceeza, 1 = ba, l che mostra che b è l verso a e vceversa. E pochè a è u elemeto qualsas I tutt suo elemet hao l verso e qu I è u campo. Leoaro Calco Algebra elle class resto 6

7 2.6 Campo elle class resto e vers Se l moulo è u umero prmo, og elemeto verso a zero ammette l verso e u aello commutatvo co utà co questa propretà è u campo. Dato [ a] se ( a, ) = 1 esste [ a ] :[ a ][ a ] = [ 1] ovvero è aa 1( mo) Leoaro Calco Algebra elle class resto 7. Cò sgfca che aa 1= k aa k = 1, e quest ultma è u equazoe ofatea che, ata l potes, ammette soluzo L verso [ 0 ] o esste quato, elle qual ua è sez altro a, k. 0, = 1. L essteza egl vers coferma l asseza vsor ello zero. a, b 0 se fosse vero che [ a][ b ] = 0 potremmo scrvere Ifatt, at [ ] [ ] [ a ][][] a b [ a ][] 0 [ b] [ a ][ 0] [ b] [ 0] = = = l che va cotro l potes. Cocluamo sottoleao che se la prmaltà garatsce l essteza egl vers tutt gl elemet ella classe rest, o è vero che se o è prmo tal vers o esstoo el tutto. Se o è u campo ess essterao solo per quegl elemet ell aello che o soo vsor ello zero. Ma come s calcola u verso? 2.7 Calcolo egl vers ell aello elle class resto moulo Se l moulo ella classe rest o è prmo, possamo calcolare gl vers solo quegl aa 1 mo a, = 1 elemet che co soo prm: Se aa 1( mo) allora esste u k tero per cu aa = 1 + k. D qu ( a) ( a) Del resto se ( a, ) = 1 s può scrvere l ettà Bezout aa y 1, a, y cogrueza aa 1( mo) per la quale a è l verso a., 1, = 1 + = e a questa la Qu geerale possamo rurre l problema el calcolo u verso alla rcerca ella soluzoe a, y ell equazoe ofatea aa + y = 1 otteuta scrveo l ettà Bezout. Come vsto elle Premesse, tale soluzoe può essere rcavata co l algortmo Eucle per vso successve, otteeo ua coppa valor che o è uca e apparteeo tutte le a elle coppe valor alla classe resto versa che è pertato uvocamete etermata. Esempo: : 117 5( mo16) 16 Co l algortmo Eucle trovamo mmeatamete la coppa ( a = 13, y = 95) 0 0 come soluzoe ella ofatea 117a + 16 y = = 1 Qu 13 è l verso ( mo16) Ma ache (29,-212) è soluzoe così come soo soluzo tutte le coppe a = k, y = k, k k k = 1 e pochè tutte le a [ ], questo è l elemeto verso [ 5 ] [ ] [ ] [ ] k

8 U metoo calcolo elegate, bechè valo solo per prmo, è l pccolo teorema Fermat per arrvare al quale occorre ua catea teorem T: T. Lagrage Corollaro el T. Lagrage T. Eulero Pccolo T. Fermat Teorema Lagrage Se G è u sottogruppo G ore fto, allora (G ) (G). Dat G ore fto e l suo sottogruppo G G ore m co elemet z 1, z 2,...,z m, per u elemeto a 1 G, a 1 G possamo scuramete costrure almeo ue lateral estr G G: z 1 e, z 2 e,...,z m e = z 1, z 2,...,z m z 1 a 1, z 2 a 1,...,z m a 1 Tutt gl elemet e ue lateral soo stt e se ess esaurscoo G allora (G) = 2 (G ) e l teorema è mostrato. Se così o è possamo terare l procemeto so a che G o sa esaurto (è u gruppo ore fto) l che avverrà per l suo k-esmo elemeto a k. A questo puto s ha che (G) = k (G ) e qu (G ) (G) Corollaro el teorema Lagrage Se G è ore fto e a G allora (a) (G). La mostrazoe è mmeata coserao u sottogruppo cclco G G geerato a a l cu ore è (a). Pertato pochè (G ) (G) segue che (a) (G) Teorema Eulero ϕ a Se ( a, ) = 1 allora è 1( mo) Rcoramo che la fuzoe Eulero ϕ è ua fuzoe moltplcatva che esprme l umero ter mor e co esso relatvamete prm. Per l teorema Lagrage se a è prmo co allora appartee al gruppo moltplcatvo Z che ha ϕ e ore ϕ. Per l corollaro el teorema Lagrage lore a è allora u vsore ( a) ϕ qu a 1( mo) a 1( mo) Pccolo teorema Fermat Se = p è prmo s ha u caso partcolare el teorema Eulero per cu: p a a( mo p) e se ( a, p ) = 1 s ha p a 1 ( p) 1 mo S mostra per uzoe. Come quas sempre questo tpo mostrazoe, per l prmo elemeto, a = 0, l rsultato è ovvo. Allora supposto vero per a, obbamo mostrare che è vero ache per l elemeto successvo a + 1. Notao che per la propretà 8 ( a + 1) p a p + 1 p ( mo p) e che 1 p 1( mo p) che( a 1) p ( a 1)( mo p) + + cv., s avrà Questo teorema Fermat è etto Pccolo o perchè scarsa mportaza, ma per stguerlo al popolarssmo Ultmo che è l Grae. Leoaro Calco Algebra elle class resto 8

9 2.8 Calcolo egl vers el campo elle class resto moulo p p Il pccolo teorema Fermat c permette calcolare gl vers co p prmo e (a, p) = 1: a : aa 1( mo p) a a a 1. [ ]: [ ][ ] [ ] p 1 p 2 p 2 Ifatt possamo scrvere a aa aa 1( mo p) p 2 a = a è l verso a mo. p = ove p 2 a = [ a ] è l verso [ a] mo. p. Esempo: 7 2( mo5) 7 3 3( mo5) 8 3( mo5) Qu a = 7, a = 7 3 a ( mo 5) = 3 7,8 [] 3, [] = 2, [ ] = 3 [][] 2 3 = [ 1] a a come rsulta alla tabella seguete [ a ] = [ 2] [ a ] = [] [ ][ ] [ 1] a a Esempo: 21 4( mo17) ( mo17) 13 13( mo17) Qu a = 21, a = a ( mo17) = 15 21,13 [ 13 ], [ ] = 4, [ ] = 13 [ 4] [ 13] = [ 1] a a Come s vee, e ue esemp l Teorema Eulero coferma gl vers trovat. C soo e ubb? I og caso rcoramo che ato u gruppo G e u suo sottogruppo G, se ab G, allora a b(mo G ) ab 1 G. Nel secoo esempo se G è l gruppo elle class resto moulo 17 e G l sottogruppo classe resto [1], sarà esattamete 1 aa 1( mo17 ) [ a][ a 1 ] [1]. Il fatto che possamo calcolare gl vers per tutt gl elemet vers a zero ell seme quozete elle p class resto moulo p prova che tale seme è u campo. 2.9 Ivers baal Capta che per alcu c sao egl vers baal, ovvero egl elemet che soo gl vers se stess. Per reers pratcamete coto ella cosa basta osservare la tabella. 8 Ma quao accae cò? Ecco alcue eveze: 2 L verso è sempre baale quao [ a] 1( mo) [1] e [-1] hao sempre vers baal Esclueo [1] e [-1] o ha vers baal quao è prmo All rzzo è spoble u software gratuto per lo stuo ella strbuzoe egl vers baal. Leoaro Calco Algebra elle class resto 9

10 3 CONGRUENZE LINEARI 3.1 Equazoe ofatea L equazoe ofatea leare ue cogte che teressa è la ax + y = b Se ( a, ) b l equazoe è compatble e ua soluzoe è ata a k ka x =, y =, k, = ( a, ), metre tutte le soluzo soo ate a 0 0 k ka x = x +, y = y e se = 1 ovvamete a x = x + k, y = y ka Dmostramolo. Se ( a, ) b possamo scrvere come combazoe leare a e, = a + b, e pochè b è multplo, b = m, l tutto per 1, 2, m opportu, potremo moltplcare la combazoe leare per m, m = a m + a m = b, e trovare così che x = m, y= m è ua soluzoe tera ella ofatea. Vceversa, se x, y è ua soluzoe tera ella ofatea allora pochè a, b sarà ax+ y b. Le coppe valor x, y che soo soluzoe ell equazoe leare ofatea soo fte. Per reersee coto basta pesare che, geometrcamete, tale equazoe rappreseta ua retta. Esempo: 2x+ 5y = 3 ( 2,5 ) 3 qu l equazoe ha soluzo. Ua soluzoe è 6, 3. Pochè 2,5 = 1, tutte le altre soluzo soo ate a x = 6+ k5, y = 3 k2, per k tero. Esempo: 2x+ 4y = 3 No ha soluzo perchè ( 2, 4 ) 3 Esempo: 364x+ 124 y = 8 Calcolamo ( 364,124) = co l algortmo Eucle: 364 = = = = 4 2 = 4 8 / k124 k364 Ua soluzoe è 1, 3 ; tutte le soluzo soo x = 1 + = 1 + k31, y = 3 = 3 k Il che mostra che l equazoe ata può essere rotta alla forma 91x+ 31y = 4 ( 91,31) = 1. Possamo scrvere u equazoe ofatea ache ua forma o caoca, forma che verrà utle el paragrafo successvo: Esempo: 2x 5y = 3 Leoaro Calco Algebra elle class resto 10

11 Se l crtero compatbltà e l umero elle soluzo o peoo al sego e coeffcet, la forma e pee. Ifatt, se ua soluzoe è 6, 3, tutte le soluzo soo x = 6 + k5, y = 3 + k2, per k tero. 3.2 Defzoe cogrueza leare Ua cogrueza leare è ua relazoe cogrueza cogta x el tpo: ax b(mo ) Le omae su tale cogrueza leare soo: Ammette soluzo? Se s, che forma soo e quate soo? D esse, quate soo o cogruet tra loro? Come s calcolao? Izamo col re che tal soluzo, se esstoo, soo ache soluzo ell equazoe ax + y = b Ifatt alla relazoe cogrueza abbamo che ax b = y ax y = b, y Pochè elle soluzo x, y questa ofatea c teressao solo valor ell cogta x, possamo traqullamete scrvere la ella forma caoca a prescere al sego y. 3.3 Compatbltà, soluzo foametal e class cogrueza Pochè per la cogrueza leare s parla soluzo tere esse sarao, se esstoo, ache soluzo ell equazoe 3.2.2, la quale esseo a coeffcet ter e soluzo tere abbamo vsto essere u equazoe ofatea leare ue cogte x e y. Qu l crtero compatbltà per la è ( a, ) b o l caso partcolare ( a, ) = 1 Prma proceere esamamo alcue efzo. Soluzo foametal ua cogrueza leare: tutte le soluzo ella cogrueza leare per x tero <. Class cogrueza: soo vuate alle soluzo foametal e soo le class resto moulo cu elemet soo tutt soluzo x ella cogrueza leare. E pochè le class resto soo, tale è l umero massmo soluzo foametal comprese tra 0 e -1. Soluzoe uca: la classe cogrueza cu elemet soo tutte e sole le soluzo x ella cogrueza leare. Soluzo: le ( a, ) class cogrueza cu elemet soo tutte e sole le soluzo x ella cogrueza leare. Se l crtero compatbltà è ( a, ) = 1, la soluzoe è uca, ua sola classe cogrueza. Se l crtero compatbltà è = ( a, ) b, le soluzo soo umero class cogrueza comprese tra 0 e -1. Esempo co soluzoe uca: 3x 2( mo4) 3x+ 4y = 2 Pochè ( 3, 4) = 1, 1 2 la soluzoe sarà uca moulo = 2. Ifatt per l equazoe ofatea, co x tero a 0 a 3, solo per x = 2 s ha ua soluzoe tera per y e qu la soluzoe ella cogrueza leare è la classe resto [2] moulo 4, ovvero tutt gl elemet questa classe:...,-10, -6, -2, 2, 6, 10,... Leoaro Calco Algebra elle class resto 11

12 soo soluzo ella cogrueza leare e coseguetemete le soluzo x, y ella ofatea soo:...,..., 10, 8, 6, 5, 2, 2, 2, 1, 6, 4, 10, 7,...,... Esempo seza soluzo: 2x 3( mo4) 2x+ 4y = 3 Applcao l crtero compatbltà scopramo che o esstoo soluzo; fatt s ha che 2, 4 = 2 / 3. Esempo co soluzo: 6x 2( mo4) 6x+ 4y = 2 Qu abbamo che = ( 6, 4) = 2, 2 4, qu le soluzo sarao umero ue. Calcoleremo le soluzo questo esempo el paragrafo Forma elle soluzo Abbamo affermato che og soluzoe ua cogrueza leare che abba soluzo è soluzoe ell equazoe ofatea corrspoete e qu è el tpo: k x + 0 a, 1 =, b. Ora obbamo mostrarlo. ove x 0 è ua soluzoe, k e Che sa effettvamete ua soluzoe è evete al fatto che k ( a, ) [ ] a x + = ax ± k a = b± m 0 0, Ma tutte le altre soluzo che forma hao? La stessa? S, fatt ate ue soluzo ax = b + p 1 ax = b + q 0 sottraeo e veo per s avrà a ( x x ) = ( p q) 1 0 a ovvero, al mometo che, = 1 x k = x +...et volà! 1 0 e che qu ( x x ) : Soluzo o cogruet e cogruet: calcolo Cotuamo el ostro percorso mostrao che le soluzo o cogruet moulo tra loro soo umero = ( a, ) e che qu, come gà etto, per ( a, ) = 1 la soluzoe è uca. Secoo l rsultato el paragrafo preceete e per k = 0, 1,..., ( 1) s mostra che le sole soluzo o cogrue soo k k k k 0 1 x +, x +, x +,..., x Suppoamo per assuro avere ue soluzo cogruet tra loro moulo : Leoaro Calco Algebra elle class resto 12

13 k k x + x +, k, k 0 k < k Applcao la propretà cacellazoe el prootto co cambo moulo s avrebbe k k mo k k ( mo ) k k l che è apputo assuro perchè 0 < k k < 2 1. Ora sappamo quate soo le soluzo o cogruet. Sappamo ache qual soo? S, lo sappamo. Soo esattamete prm ter postv ella classe cogrueza rotta. E le soluzo cogruet? Soo tutte le altre, fte qu, e cascua esse è cogruete a ua elle soluzo cu sopra. Esempo: 6x 2( mo4) 6x+ 4y = 2 Qu abbamo che = ( 6, 4) = 2, 2 4, qu le soluzo o cogruet fra loro moulo 4 sarao umero ue. 4 Pochè x = 1 è ua soluzoe, l altra sarà x + = 3; fatt 3 1( mo4 ), 1 3( mo4) 0 0 / /. 2 Le class cogrueza moulo 4 sarao qu: [1] =...,-17, -13, -9, -5, -1, 1, 5, 9, 13, 17,... [3] =...,-19, -15, -11, -7, -3, 3, 7, 11, 15, 19 ac bc mo = c, allora è Ora, rcorao la propretà (9) secoo la quale se, a b( mo / ), calcolamo la cogrueza rotta e la sua classe cogrueza: mo 3 1( mo2) 2 Allora le soluzo o cogruet tra loro moulo 4 soo prm = 2 elemet postv ella classe cogrueza [1] moulo 2, ovvero: 1, 3, 5, 7,... Tutt gl altr elemet soo cogruet moulo 4 co ua elle soluzo o cogruet. 21x 6 mo15 21x+ 15y = 6 Esempo: ( 21,15) = 3, 3 15 qu le soluzo soo 3. Veremo che soo [7], [12], [17]. Rucamo la cogrueza co cambo moulo: mo 7x 2( mo5) 3 La classe cogrueza è qu [2] moulo 5 e le soluzo o cogruet tra loro moulo 15 sarao S = (7, 12, 17), ovvero prm tre elemet postv questa classe. Tutt gl altr elemet ella classe cogrueza {[2] - S} soo cogru moulo 15 co uo egl elemet S: 37 7( mo15) ecc. 3.6 Ruzoe el moulo Se l moulo è u umero grae o prmo esso può essere fattorzzato e la cogrueza leare può essere ecomposta u sstema cogrueze lear moulo fattor el moulo fattorzzato, sstema la cu soluzoe sarà soluzoe cotemporaea tutte le cogrueze lear che lo compogoo e qu ella cogrueza leare orgale. Leoaro Calco Algebra elle class resto 13

14 2 3x 11 mo 25 3x 11 mo = x 11 mo 7 3x 11 mo13 La soluzoe e sstem cogrueze lear è argometo el prossmo captolo. 4 SISTEMI DI CONGRUENZE LINEARI C samo post l problema trovare le soluzo ua cogrueza leare, ovvero tutt quegl ter x che verfcao ua cogrueza el tpo ax b, e lo abbamo rsolto. Ora potremmo cheerc se esstoo egl ter x che verfcao ua sere cogrueze questo tpo. Ovvero, se esstoo soluzo a sstem el tpo ax b mo ax b a x b m m m Per arrvare alla soluzoe questo sstema possamo servrc u suo caso partcolare poeo a, a,..., a = 1, ossa el Teorema Cese e Rest. m 4.1 Teorema cese e rest x b mo U sstema x b 2 2 m x b m ha soluzoe se e solo se, b b Dmostramoe l crtero compatbltà, la forma e l umero elle soluzo, e qu trovamo ua proceura calcolo elle meesme Compatbltà Partamo a u sstema molto semplce ue cogrueze lear: x b ( mo ) 1 1 x = b y x b ( mo ) x = b y che ovvamete ammette soluzo se cascua equazoe l ammette, ovvero, base al crtero compatbltà 3.3.1, se e solo se b, b. 1 2 Dal sstema ofatee possamo rcavare per sottrazoe l uguaglaza b y = b y b b = y y ovvero u equazoe ofatea co cogte y y. 1, 2 Leoaro Calco Algebra elle class resto 14

15 Sempre base al crtero questa equazoe è compatble se e solo se (, ) b b b b ( mo (, )) E ovvo che se (, ) = 1 sarà sempre vero che (, ) b b E qu evete che u sstema m cogrueze lear avrà soluzo se crter compatbltà sarao verfcat per tutte le coppe cogrueze lear, e pertato potremo scrvere ue crter compatbltà:, b b, crtero geerale A) B), = 1, crtero staar I buoa sostaza, se è verfcato B l sstema è scuramete compatble. Se B o è verfcato bsoga cotrollare A prma cocluere che l sstema o ammette soluzo. Esempo 1: x 7 mo 9 ( 9,5) = 1 ( 7 3) ; B è verfcato e qu lo è ache A x 3 mo 5 Esempo 2: x 6 mo 22 ( 22,12) = 2 ( 6 2) ; B o è verfcato ma lo è A x 2 mo 12 Esempo 3: x 15 mo 14 ( 14, 4) = 2 / ( 15 2) ; B e A o verfcat, sstema o compatble. x 2 mo 4 Ora c obbamo preoccupare sapere quate e che forma soo le soluzo Soluzo B) Se è valo l crtero compatbltà staar allora la soluzoe è uca moulo l prootto e moul x x mo N, N = e è el tpo x ove s ha 0 k = = 1 N Se è bwn N k = 1 1 =, l suo verso w = ( N ) w N 1( mo ) e è N, = 1. N, = 1 (B), possamo scrvere u ettà Bezout wn + q = 1 alla quale rsulta che wn 1( mo) ovvero che w è l verso bwn + bw N b w N b mo k k k e qu ua soluzoe el sstema sarà x = bwn + bw N + + bw N k k k N. Ma allora possamo scrvere che Ioltre, se x è u altra soluzoe el sstema, allora x x e qu x x è vsble per N. La soluzoe el sstema è uque uca moulo N. Leoaro Calco Algebra elle class resto 15

16 x 7 mo 9 N = 5, N = 9, w = 2, w = 4 x 3 mo 5 S trovao gl vers co u semplce calcolo retto e qu, co la , la soluzoe che è: x = = 178 Ma realtà questa è solo ua molteplctà ella soluzoe uca la cu forma geerale è: x = 43 + k45, k..., 2, 43, 88, 133, 178,... Ifatt, pochè la soluzoe è uca moulo l prootto e moul, sarà 178( mo 45) = ( mo 45) e qu la forma geerale ella soluzoe. Rflettete sul fatto che la forma geerale ella soluzoe el sstema sosfaceo cotemporaeamete cascua elle cogrueze lear sosfa ache le equazo ofatee corrspoet. I 3.4 abbamo vsto che u equazoe ofatea ax + y = b ha soluzoe k ka x = x +, y = y 0 0 Nel ostro esempo la forma geerale ella ofatea è x+ y = b, = 1 e la soluzoe è x = x + k, ovvero esattamete la forma geerale trovata per l ostro esempo. 0 Ifatt, avremmo potuto ache proceere versamete, cercao le soluzo el corrspoete sstema ofatee x = 7 y 9 1 x = 3 y 5 2 al quale otteamo l equazoe ofatea 7 y 9 = 3 y 5 y 9 y 5 = 4 per la quale c è scuramete ua soluzoe 1,1, metre tutte le altre soo ate a y = 1 k5, y = 1 k9 Allora la soluzoe el sstema cogrueze lear sarà x = 2+ k45 2( mo45) = 43 x = 43+ k45 Questa proceura sarà quella che ovremo aottare el caso seguete. A) Se è valo l crtero geerale compatbltà ma o quello staar, la soluzoe è sempre uca ma è moulo l mcm e moul M = [,...,,,..., 1 k]. S tratta ua geeralzzazoe el crtero B). Ifatt basta teere presete che l mcm è ato a,..., N k = e che se è valo l crtero compatbltà B) è = 1.,,..., k Soluzoe ell esempo 2: x 6 mo 22 x = 6 22y1 [ 22,12] = 132 x 2 mo 12 x = 2 12y 2 Esseo ( 22,12) 1 o possamo aoperare la Per reersee coto basta osservare che ( N, ) 1, ( N, ) 1 e che qu o esstoo vers. 1 2 Allora proceamo rcavao al sstema l equazoe ofatea: 22 y 12 y = 4 Leoaro Calco Algebra elle class resto 16

17 che avrà scuramete la soluzoe 4, 7. Tutte le altre sarao ate a: y = 4 k12, y = 7 k22 qu la soluzoe uca el sstema sarà ata a: x = 6 22( 4 k12) = 2 12( 7 k22) = 82 + k264 82( mo132) = 50 x = 50 + k132 E evete a questo puto che u sstema x b mo 1 1 x b k x b x b k avrà soluzo sempre alle stesse cozo, ovvero che B) o A) sao verfcat per og coppa, equazo. Ifatt pochè crter compatbltà evoo essere verfcat solo per coppe cogrueze lear, mostrazo e procemet calcolo val per sstem a ue cogrueze lear soo val ache per sstem a k cogrueze lear qual avrao per soluzoe le soluzo sstem rott format a ua coppa qualsas cogrueze lear. 4.2 Sstem cogrueze lear a ua cogta Possamo geeralzzare rsultat otteut col teorema cese e rest per rsolvere u sstema cogrueze lear a ua cogta ax b mo ax b a x b m m m e mostrare che se è valo l crtero compatbltà B) la soluzoe è esattamete la Ifatt, se gl ter x, x,..., x soo le soluzo cascua cogrueza leare, ovvero se è m N ax b, posto N =... e N m Qu possamo trovare egl ter w tal che Nw 1( mo). La soluzoe el sstema sarà pertato uca e el tpo m x = xwn = 1 = avremo che N, = 1 che è esattamete la C soo ubb? Se è valo l crtero compatbltà B) staar allora è valo ache l A) geerale, ovvero = ( a, ) b. Allora possamo rscrvere l sstema veo per Leoaro Calco Algebra elle class resto 17

18 m ax b 1 1 ax b 2 2 m a x b m ove a a = e ( ) a, = 1 Ma allora l sstema avrà ua soluzoe uca x c1( mo 1) x c2( mo 2)... m ( mo m) x c c e potrà essere scrtto come e qu potremo rsolverlo col teorema cese e rest che come soluzoe prevee la Esempo 2x 3 mo7 3x 4 mo5 5x 46 mo 51 La cozoe compatbltà è rspettata, qu samo cert che l sstema avrà soluzo. Ora possamo trovare ua soluzoe a cascua cogrueza leare: x = 5, x = 3, x = 50 3 Qu poamo N = = N = = 255, N = = 357, N = = Ora veamo che è m tal che N, = 1e qu possamo trovare tre ter Nm 1 mo. Tal ter soo 5, 3, = mo1785. La soluzoe è pertato Ua versoe aggorata e corretta potrebbe essere spoble all rzzo: Leoaro Calco 15/05/2007 Leoaro Calco Algebra elle class resto 18

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