Frazioni continue e zeta di Riemann, connessioni con la teoria delle stringhe. Rosario Turco, Maria Colonnese, Michele Nardelli

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1 Frzioi cotiu zt di Ri, coioi co l tori dll trig trct Rorio Turco, Mri Colo, Micl Nrdlli L Fiic l trofiic dvoo olto ll Mttic: l coocz dll Uivro r oggi ioiil z di. Qullo c ogi gioro orrd è l licità di odlli fiici ttici c l Ntur utilizz. Ioltr ditro d rgoti ltri di Mttic co l frzioi cotiu i clo roli di colità ggior. Il digo dll Ntur è co fo tto cocito i odlità otto u : di iccoli ttocii ltri, fio ll rlizzzio dll cttdrli dll uivro. Si è corto rltivt d oco c c ltri ttori citifici co dici, ioiggri, uic, cooi, tc ooo ttigr di odlli ttici dll Tori di uri. Gli utori i quto rticolo otro co, rtdo dll lici frzioi cotiu, i o giugr ll iù vzt tori dll Fiic, co l coioi tr i rii l trig dic, dlic d l trig-zt; ioltr l coioi tr i frttli d il uro uro. I rticolr i ttori iti l guito oo: "zt olocl clr fild", "Lgrgi wit Ri zt fuctio" "Lgrgi for dlic trig.

2 Frzioi cotiu L frzioi cotiu oo dl tio: α o Ogi uro α Ρ uò r ro i qut for, co viluo fiito o ifiito cod o è rziol o irrziol. Eio α6/43; co l lgorito di Euclid i otti ividdo r 43 ottio cor: 6/43 3/43 /43/3 l codo o: ividdo r 3 ottio: 43/3 3/3 /3/3 S i rogu fio c l lgorito di Euclid dà rto ullo, i otti c: 6 [,,,3, 4] L lgorito di Euclid rtt di trovr il MC(,) z coocr é i diviori di, é qulli di. Fttorizzzio irii d ioi riodic Tr l fttorizzzioi iù curio itic di u irio N*q c'è l tcic dll "Eio riodic i dll frzio /N". Fccio u io: N57. Occorroo tr t r l fttorizzzio dl irio. St : trovr l lugzz dl riodo T(/N) dll frzio /N

3 /N dov r licità io rcto i old roo olo l "rt riodic" dll frzio /N. S cotio l cifr di tl riodo (old roo) i otti c T(/N)5. St : fttorizzr l lugzz dl riodo dll frzio /N Si fttorizz u uro ifrior di qullo di rtz; i rticolr fttorizzio do l lugzz dl riodo T(/N) 5 3*5. Sto riultto è ottiil d PRI/GP co fctor(5)), dov 3 5. St 3: trovr il MC (i igl GC) di N co ^- di N co ^- llor N5737*4. GC(57,^3-)37 GC(57,^5-)4q Cotrorov Fccio l cotro-rov dl todo di or. Sio c N5737*4. Or crcio r 37 q4 i iù iccoli vlori tli c io itr l qutità: (^-)/3 (^-)/q5 Co oo llor? Soo l lugzz di riodi dll ioi di / /q. Co i diotr c il tutto è vro? Itto ricordio c lc è il iio cou ultilo (c), tr LCM è il rodotto di iii coui ultili i gioco; ioltr idicio co T il riodo di u frzio. S N*q llor è: T(N)LCM(T(), T(q)) S idicio g GC[T(),T(q)] llor T(N) T()T(q) / g. Coì r qulc fttorizzzio T(N) g oi vro: d i cocluio: T() g T(q) g GC [ N, ^g - ] q GC [ N, ^g - ] 3

4 I tutto quto io uto l B ll diotrzio l oto dl otvo ttr grict B: GC [ N, B^g - ] q GC [ N, B^g - ] Sitico o? E' u todo c i lic fcilt d u uro irio; tr l co i colico di iù o è irio o il riodo o i ric idividur. S N è irio d io i PRI/GP oio rlo co l fuzio igog(n): N è irio diftti rtituic. L igog foric il uro di fttori rii c rituti. Eit r u riodo? No, o r. S N è rio, /N è riodic d cczio dl co N N5. S N è irio N*q, llor /N o è riodic q our q oo fttori rii uguli o otz di o uguli 5 o otz di 5 o rodotti di 5. Ovvit il riultto otr dr c u irrziol our u riodo. L difficoltà:. I PRI/GP o it u fuzio rdfiit (uilt-i) c idividu il riodo: occorr crivr u lgorito r T(/N);. No r l frzio è riodic; 3. Pr N grd, PRI/GP rtituic il vlor i otzio ozil (io di otzio ozil: 3 E-) Pr il uto di or crcr il riodo di u frzio, d quto vito or, igific crcr il iù iccolo vlor tl c B^ od N ; rò u ricrc utiv di ciò o è r iù vloc di u "Tril iviio". Tuttvi i PRI/GP it u todo lic d collocr couqu ll ito di u lgorito; d io io c qrt() 4,,,,,8 dov l rt ottolit è il riodo T(qrt()). S uio cotfrc(qrt()) ottio il vttor [4,,,,,8,,,,,8,, ] Or è il rio lto dl vttor j è il j-io lto dl vttor, llor il riodo T(qrt())j- j*. Ovvit il todo è oco licil, ovvro l frzio o è riodic è fiit o ifiit (uro irrziol). L'io di fttorizzzio rcdt r u co l. Eiio, ivc, N 6667 T(6667)9. L fttorizzzio di 9 **3*7*3. Qui i dv vdr co coir l oiili rtizioi di 9. d io doo qulc 4

5 tttivo i vd 9*6* d cui g4 g5. I quto co T() T(q) o oo corii. qui: GC[6667,^(*)-] 7 GC[6667,^(6*)-] 5 Ovvit t clcolr olo uo di fttori, l'ltro è ottiil r diviio, ficé o i otti u fttor o l tl c GC[N,B^-]. Quto tio di fttorizzzio uò lvorr u uri ifriori ritto N, d è util orttutto r i irii. M, co vito, o è dtto c i iù vloc di u fttorizzzio di tio tril. Co giutific c il todo dll frzioi cotiu i corrtto r fttorizzr u uro RS o irio? io vito i [8] c u todo r fttorizzr u uro RS è di ur u quzio di codo grdo: diftti i il rodotto dll oluzioi dll quzio c l loro o (o lgt ll cogttur di Goldc) rttoo di fttorizzr u uro RS. Or u quzio di codo grdo dl tio: Si uò ricrivr co: - ( ) I tri i ci i uò grr u frzio cotiu:

6 . L Frzioi cotiu l zt di Ri L ioti di Ri l fttorizzzio oo du roli icurt lgti, o oo lo to rol. Ioltr o è fftto dtto c l diotrzio dll RH orti d u todo vloc r l fttorizzzio: co i urro gli zri o li dll zt di Ri i fii dll fttorizzzio? S fo vro, i rltà quto dovr r oto già fi d do, ididtt dll diotrzio dll RH Prcdtt co "Fttorizzzioi irii ioi riodic", for, è vut c voi u crt ocizio di id: l frzioi oo lgt ll fttorizzzio, oo di coguz lgt c ll zt di Ri? vt rovto diotrrlo? No è lic, o t c è oiil crivr l zt di Ri i u ltro odo, ttrvro l trfort di Mlli: ov: d () () è dtt di Gu, c rrt l io i frzioi cotiu di : il iolo qudr ciu di otto idic il iù grd vlor ior o ugul di /. I rticolr è: [,, 3, 4,... ] Ovvit () è l ivro; cioè è u rvr ift ortor ull io dll frzioi cotiu. Lo tudio dll frzioi cotiu è olto iortt, iù di quto o rr: oo lgt ll zt di Ri, ll oluzio dll quzio di Pll, i frttli (Wt? Yt otr L frzioi cotiu o u ruolo c ll rioluzio dll quzio di Pll (vdi [6]), c è u quzio dioft i du vriili dl tio: dy, our dy 6

7 Sitry? llor cor zt di Ri, Bt G!!!), i iti diici, ll frzioi di Fry d i grui odulri itrici SL(,Ζ). Voglio grr dir c d qui i rriv c ll tori dll trig? B, icurt o glio fftto. I rltà il trfr ortor dll di Gu è oto i ttic co ortor di Gu Kuzi-Wirig GKW d olt rorità itrti. No olo, l di Gu i uò r c co d u rticolr lto dl gruo di rutzioi c gic u u ifiit rrtzio diiol di uri rli. Pr l ttzz l ortor di Rull-Froiu-Prro ocito co l di Gu è l ortor di Gu-Kuzi-Wirig (GKW) Λ. Qut ultio è u lir tr zi di fuzioi ll itrvllo uitrio ciuo (zi di Bc); cioè è gto uo zio vttor di fuzioi, dll itrvllo ciuo F f f :[,], i tl uitrio ll ii R di uri rli { } co Λ è u ortor lir d F F (vdi []). Λ è u ortor dl tio: L f f (3) [ ] ( ) Quto ortor o è tto dl tutto riolto, l o c o oo ot for ciu c rioo tutti i uoi utovttori utofuzioi. E oto olo u utovttor: f (4) corriodt l uo utovlor uitrio, oluzio forit d Gu. 7

8 itro quto ftto it u i cl di frttli fuzioi dicotiu c o utovlor. Il trttto rototil dll oluzioi d lgt uò vvir ttrvro l drivt dll fuzio di Miowi Qutio Mr?(), ovvro: [ L ]?'?' Tdo rt l ortor Λ, è oiil ricrivr l () l gut odo: d [ ] L (5) L (5) i d u iglior corio dl GKW uò r util d rofodir i l zt di Ri c l RH. E diftti oiil rittr l zt di Ri codo di cofficiti ioili d rrivr ll RH quivlt, iriclt L-fuctio, ri totit, ri di Liouvill tc (Vdi [],[],[3],[4]). Poicé ull ortor di ri o itoo lici oluzioi, uo tudio oiil è qullo di ur l (3) lcui tori ociili (vdi []); ioltr i uò ttr di trovr odlli co cui otituir l (). I cofficiti ioili di cui i rlv rcdtt r l zt di Ri oo ilicti i vri foi frttli l cogttur di Brry uggric c gli zri o li dll zt di Ri corriodoo llo ttro cotico di u coociut qutizzzio di u it ccico cotico. d io l (5) è ricriviil co u ri di Nwto (vdi [4]): (6)! ov () () () è il iolo dicdt di Pocr. L (6) u fort oigliz co uo viluo i ri di Tylor. Qut oigliz grli oo l id di di u tcic doit url clculu 3. Nll (6) u ruolo RH: l ioti di Ri, ttult cor u cogttur o diotrt rol dl Millio. 3 Pri dgli i 7 url clculu idividuv l forti oigliz ll rioi olioili l rltiv tcic or c otro r ut do dll u ll ltr. L tcic or i quto co r u tcic 8

9 logo ll cotti di Stiltj ll io di Tylor d divr rorità: ( γ H) (7) Pr > γ è l cott di Eulro-Mcroi. Ioltr è: H (8) c è il uro roico. I rii vlori di, ricvili dll (7), oo: o 3 γ γ () 3γ (3) 3 () S i trii itrdi divto olto grdi, il riultto td, ivc, divtr iccolo: Ο / 4 π ll (7) i uò ttr di grlizzr vlori coli: γ (9) llo tudio dll grlizzzio di Ri, ttrvro l L- fuctio, i uò c rrivr d u truttur frttl dll ditriuzio dgli zri, udo l coìddtt "Rcld rg lyi". L rorità di utoiilrità frttl (vdro di guito) dll ditriuzio dgli zri dll L-fuctio è di grd rilivo d è cotrdditit d u diio frttl d.9. U diio frttl coì grd è tt trovt r olti zri dll fuzio zt di Ri c r qulli di fuzioi-l di ltro tio. di oluzio c dv u u rio olioil ot viv ricodott ll rioi iili. i olito i rdoo di rifrito di olito lo viluo i ri di Tylor, l io ioil, tc. U io è l io ioil, d cui dicdoo i olioi di Broulli. 9

10 Frzioi ri di Fry lcu rorità dll frzioi furoo cort dl gologo Fry. Coidrio l ri F co 3 ottiil dll ii dll frzioi iori o uguli di, c o urtor durtor tutti i uri d fio d io 3; ifi liiio i vlori quivlti riordiioli dl iù o l iù grd: F 3,,,, 3 3 Ecluddo i trii c do our, i ooo orvr dll rorità itrti. d io r l ri di or oio coidrr olo gli lti /3, / /3. I du lti tri dtti covrgti oti do l lto ctrl, dtto dit. Quto i grl è vro r ogi N r ogi trztto di frzioi cluddo qull tr c do. Ioltr qudo N è rio i ottgoo N- frzioi ovvro ϕ(n). L ri di Fry foric c l rov di u iortt corollrio dll lgorito di Euclid: r du itri co gcd(,), itoo itri oitivi tli c -. L rov fu forit d Cucy u itrrtzio gotric è tt forit d Ltr R. Ford. L ri di Fry è lgt ll lro di Str-Brocot lo i trii di diotrzio. (vdi [5]). Ifi tr du dicti di Fry i uò, c, dfiir u orzio ot co o di Fry: /q r/ (q)/(r) il uro riultt è il dit d è qullo di ior doitor c i trov ll itrvllo (/q,r/). Il dit riult util r dcrivr l ordi grrcico dll riot di icroizzzio i u ocilltor riodict forzto: l riot crttrizzt dl dit, (q)/(r), oid l rgio di tilità iù iortt tr tutt qull c i trovo ll itrvllo dfiito di uri /q r/. qui i cor giocdo co gli ocilltori o liri forzti c qulii it diico forzto d du o iù frquz utult icourili, o uò rodurr dll riot riodic.

11 Szio ur, ri di Fiocci ri di Fry U rticolr frzio cotiu ifiit è: (,,,,,,,,, ) () L (), i fftti, corriod l uro, l zio ur:... iftti è: ( ± 5) / Si uò c coidrr l () co vri zztti di trii covrgti; d io: () (, ) (,, ) / (,,, ) /3 (,,,, ) 3/5 (,,,,, ) 5/8 (,,,,,, ) 8/3 I vri zztti viti ri ci do du lgi itti dll zio ur: uo for oto co l ri di Fiocci, l ltro co l ri di Fry! Notio tr i zztti il ritri dll quz,, 3, 5, 8, 3, co i uri di Fiocci. Ecluddo (), r ottr il trzo lto i dvoo or i rii du, r ottr oi il uccivo tri i dvoo or i rcdti du tc. Sr di zztti i orv c du uccivi covrgti dll zio ur oddifo l rlzio ( - qr). d io co 5/8 8/3 i c 5*3-8* I frttli È tto Boit Mdlrot l 975 rlr r l ri volt di frctl. Frctl driv dl ltio frctu c igific irrgolr o frtto.

12 Mdlrot è d coidrri il dr dll tori di frttli. Egli forlizzò l rorità di qut figur, coidrt, ri di lui, dll curioità. ivri frttli clici oo iftti tti dcritti d clri ttici dl to co Ctor, Hilrt, Po, vo Koc, Sirii fu olo co T Frctl Gotry of Ntur (98) c i trovroo u tori uifict gotric, c ottoliv i lgi co for tiic dll tur (cot, lri, otg, frfll,...). Ituitivt, u frttl è u figur i cui u igolo otivo vi rituto u cl dcrcti. Igrddo u rt dll figur, oio idividurvi u coi i cl dll figur t. I frttli, quidi, oo c itoo di itri ricoriv. I grl u frttl è u ii c god di u o iù rorità guti: utooigliz: è l'uio di coi di to cl diffrti; truttur fi: il dttglio dll igi o ci d ogi igrdito; irrgolrità: o i uò dcrivr co luogo di uti c oddifo lici codizioi gotric o litic; l fuzio è ricoriv d irrgolr loclt glolt diio frttl: o r rrtto i uo zio covziol du o tr diioi, l u diio o è crit u itro; uò r u frzio, o c u uro irrziol. E di olito ggior dll diio toologic. L rorità di or oo riiili c ttict. L diio frttl è quidi il uro c iur il grdo di irrgolrità di itrruzio di u oggtto, coidrto i qulii cl. qudo Mdlrot itrodotto l gotri frttl, è to u uovo liguggio di dcrizio dll for col dll tur: i ricidoo lgoriti, lici fuzioi ricoriv, c itrt u gr uro di volt foricoo u'igi.

13 Ngli i '8 co tl uov gotri i oo trovti frttli i ogi ito: dll tur fio ll dici ll uic i è vilut u rc dll gotri frttl c tudi i coiddtti frttli ioorfi d u ui frttli co codig, c utilizzo l trforzioi gotric dl io, i todi IFS d L-Syt. Ovvit i frttli coioo c llo tudio di iti diici. I frttli oo uti d fiici iggri r cotruir odlli c dcrivoo il oto di fluidi turolti - codo gli utori oo iortti c r l diioi tr d i foi di coutio. Ioltr o liczio ll corio dll igii di fil virtuli. Ifi oo utili r l riroduzio di zzi oroi lo tudio dgli idrocruri dll Ntur i grl: cot gogrfic, cori di fiui tc. I [7] i è vito c l co dll diioi tr rrotolt, i f l logi co u tuo di o i cui vi it co fort rio dll cqu, qut ulti vi ri roittt co forz ull rti ltrli oi rogu ll dirzio logitudil. Or d u ditz iuttoto iccol, l li di forz dll grvità i coorto llo to odo: rv ditz o diio iuttoto iccol i diffodoo rdilt i tutt l dirzioi, r oi rolugri ll diio ggior i odo lir. Quto foo, udo u tcic url c coizz il oto di fluidi turolti, ci uò ortr otr u ort di frttl dll grvità. L lgg di Gu r l grvità i for diffrzil i idic: dov idic divrgz, G è l cott dll Grvitzio uivrl, ρ è l dità di r ogi uto. L du for dll lgg di Gu r l grvità oo ttict quivlti. Il tor dll divrgz è: dov 3

14 V è u rgio ciu liitt d u lic urfici ciu oritt V, g è u co vttoril cotiut diffrziil dfiito u u itoro di V, dv è u rt ifiitil dl volu V. Edo c oio licr il tor dll divrgz ll for itgrl dll lgg di Gu r l grvità, c divi: c uò r ricritt: Quto dv vlr iultt r ogi oiil V di volu; ciò ccd oltto gli itgrdi oo uguli. Quidi, rrivio : c è l for diffrzil dll lgg di Gu r l grvità. L for diffrzil dll lgg di Gu r l grvità uò c r drivt dll lgg dll grvitzio uivrl di Nwto. Udo l rio dll lgg di Nwto, ottio il co totl d r udo u itgrl r or il co d r dovuto ll d ogi ltro uto llo zio ritto d u it di coordit, r ottr S rdio l divrgz di tri i ri di tl quzio ritto d r, d uio il tor coociuto 4

15 dov δ() è l fuzio dlt di irc, il riultto è Udo l "iftig rorty" dll fuzio dlt di irc, rrivio c è l for diffrzil dll lgg di Gu r l grvità, co didrto. Poicè il co grvitziol torio zro (quivltt, l grvità è u forz corvtiv), o uò r critto co il grdit di u otzil clr, dfiito otzil grvitziol :, llor l for diffrzil dll lgg di Gu r l grvità divi l quzio di Poio:, Ciò foric u ir ltrtiv di clcolr il otzil grvitziol d il co grvitziol. Ni iti itrici rdili, il otzil grvitziol è u fuzio di oltto u vriil ( Poio divi: ), l quzio di tr il co grvitziol è: È oiil c l quzio di Poio roduc frttli l co cifico dll diioi tr cottifict? Quto did dll codizioi l cotoro o dl ftto c è oiil lificr l quzio, i 5

16 u quzio di Llc? Sì, è oiil. Iftti, ricordio c d u ditz olto iccol, l li di forz dll grvità i coorto llo to odo: r u rv ditz o u iccol diio i u rogzio rdil i tutt l dirzioi, uccivt i td, ll diio iù grd, i ir lir. Lo zio ds (ti d Sittr) è curvo l curvtur è gtiv. L fo iciio di Ecr Liit dl crcio IV è u di uo zio curvtur gtiv c otr ttt co rir u ftt idiiol di uo zio ds. I l figur i ltro z fi, fudo i u ordo frttl ifiito (c qui è rt il uro uro Φ ). Or ggiugio il to ttio tutto ii i u figur c rrt uo zio ti d Sittr. Mttio il to lugo l vrticl. Cicu zio orizzotl rrt lo zio ordirio d u rticolr itt. L d i uò quidi r co u ifiit quz di ottili ftti di zio c, iilt u ull ltr, foro u cotiuo ziotorl di for cilidric. Igiio do di zoor u u rgio roi l ordo dll figur di fr u igrdito tl d fr rir il 6

17 ordo qui rttilio. S lificio l igi otitudo l figur cur co qudrti, l igi divt u ci di rticolo ftto di qudrti r iù iccoli o c ci i vvici l ordo frttl ifiito. Poio igir l ds co u uro ifiito di ttoi qudrti: cddo lugo il uro, d ogi uovo trto l lrgzz di ttoi rddoi. Lo zio ti d Sittr è co u ltti di itro. L zioi orizzotli dll ltti rrto lo zio, tr l vrticl rrt il to. L tictt ll tro dll ltti è il ordo, tr l itro rrt lo zioto vro rorio. Lo zio ds uro è u ltti vuot, c uò r r iù itrt riidol di itro oi tri d rgi. Witt igò c, do tz tri d rgi ll ltti, è oiil crr u uco ro. L itz di u uco ro l itro dv vr u quivlt ull ologr l ordo, c co? Nll u tori di ordo Witt oti c il uco ro l itro è quivlt d u fluido cldo di rticll ltri zilt gluoi. Or, l tori di ci è u co rticolr di ccic qutitic, d i ccic qutitic l iforzio o vi i ditrutt. I torici dll trig ciroo iditt c Mldc Witt vvo diotrto z or di duio c o è oiil fr rir iforzio ditro l orizzot di u uco ro. Prdio do i coidrzio l ds, vito d u uto olto vicio l ordo: ciro quto ordo UV-r. L UV-r è quidi u urfici vici l ordo. (Ritorio uovt ll igi dll ds co u uro ifiito di ttoi qudrti: cddo lugo il uro, d ogi uovo trto l lrgzz di ttoi rddoi. Ricordio, ioltr, c il ordo è u ordo frttl ifiito ). Igiio di llotrci dll UV-r dirigrci vro l itro dov i qudrti i llrgo gli orologi rllto idfiitt. Gli oggtti c i roiità dll UV-r oo iccoli vloci divto grdi lti qudo ci ddtrio llo zio ds. M l ds o è l co iù dtt r dcrivr l QC. Ciio quto zio ti d Sittr odificto Q- zio. Co l ds, il Q-zio u UV-r dov l co riicciolicoo d cclro, divrt dll ds, oid c u codo ordo, cito IR-r. L IR-r è u ci di rrir itril dov i qudrti rggiugoo l loro tio i. Igiio di ttr u trig qutitic i u Q-zio, dri i roiità dll UV-r. E rirà iucol for co ditro rgoil ll lugzz di Plc ridt virt. M l t rticll (trig) vi ott vro l IR-r rrà igrdiri, co fo roittt u uo cro c i llot. Or rdio i coidrzio l virzioi. Qut cotituicoo u ort di orologio c, cclrrà vvicidoi ll UV-r, rlltrà qudo i uov vro l IR-r. U trig i viciz dll IR-r o olo 7

18 rirà co u or gigtogrfi dll rori vrio iiturizzt UV, ocillrà c olto iù ltt di qut ulti. S l rticll ultriccol (ll cl di Plc) dll tori dll trig vivoo i roiità dll UV-r l loro vrioi igigtit gli droi (rticll trttt rti dl uclo toico: rotoi, utroi, oi glull. Gli droi oo cotituiti d qur gluoi) vivoo i ri dll IR-r, quto dito ttt l u dll ltr? Scodo l figur ri riortt, r dr dgli oggtti lcii gli droi iog cdr di circ 66 qudrti. M ricorddo c ogi grdio è lto il doio dl rcdt, rddoir 66 volt corriod groo odo d u io di u fttor. Il uto di vit iù ccitt, è c l trig uclri qull fodtli oo dvvro gli ti oggtti, viti ttrvro u lt c ditorc l igi rllt il oto. Scodo quto odo di vdr, qudo u rticll (o trig) i trov i viciz dll UV-r r iccol, rgtic ridt ocillt: l tto di u trig fodtl, i coort co u trig fodtl, duqu dv r u trig fodtl. U trig ciu itut i roiità dll UV-r, d io, r u grvito. (Notio c u trig ciu groo odo u for circolr, quidi i è iito π c r l lic rlzio rcco,879π è coo co il uro uro. Ioltr l virzioi ttoo frquz i ottio ccordo co gli oti dl uro uro). M l t trig, i vvici ll IR-r, rllt i d. tutti i uti di vit i coort co u glull (dro cotitutito olo d gluoi). I qut itrrtzio il grvito l glull oo ttt lo to oggtto, ituto i uti divri dl fcio di r. (Quidi, u oo il grvito d u frio l glull oo i corriodz iuivoc, cioè dll uo i otti l ltro vicvr, codo l rlzio fodtl dl odllo Pluo-Nrdlli(P-N): 6 R µρ νσ µν d g g g Tr( Gµν Gρσ ) f g µ ν 6πG 8 Φ ( ) Φ Φ ( ) / µ ~ κ d G R 4 µ H 3 Tr F ν. κ g c qut itrrtzio, quidi, rfforz covlid il odllo P-N c lg l trig ooic qull frioic, l coio co il uro uro, iito i tl forul ). Strig -dic d dlic trig-zt [9] [] [] [] [3] Co ll ordiri tori di trig, il uto di rtz dll trig -dic è l cotruzio dll corriodti izz 8

19 di cttrig. Ricordio c l ordiri izz itric icrocit di Vzio uò r rrtt ll guti for: g (, ) g R i X π d σ dov, / π d g α X µ α X Γ Γ µ ( ) Γ( ) ( ) 4 j Γ Γ d σ j ( ) Γ( c) ( c) Γ Γ ( j ) µ ( iµ X ) ( c) Γ( ) ( c ) g ( ) ( ), ( 4) ( ) ( ) T, α, α ( t), c α ( u) codizio t u 8, cioè c. L grlizzzio -dic dll rio or ( ) g, d, R ( c) ( c) co l è: ( ) g, d, (5) Q dov... idic il vlor oluto -dico. I quto co oltto il rtro dl foglio d uivro di trig è trttto co u vriil -dic, tutt l ltr qutità o l loro olit (rl) vlutzio. do, ricordio c gli itgrli di Gu oddifo l forul dl rodotto dlico R ( ) d χ ( ) Q χ, d P Q, Q, (6) c cogu d Q v ( ) d λ ( ) χ v v v χv v, v,,...,.... (7) 4 Quti itgrli di Gu i lico ll vlutzio dgli itgrli di cio di Fy K v χ vq, (8) t' v dt '', t '' t'' ( '', t''; ', t' ) L( q&, q, t) ', t' r i rl ( ' ', t''; ', t' ) K v dll ortor di voluzio ll ccic qutitic dlic r Lgrgi qudrtic. Nl co dll Lgrgi 9

20 4, q q q q L λ & &, r il odllo coologico di d Sittr i otti P T K T K ', ; '', ', ; ', ', Q ',λ ', ', Q T, (9) dov [ ] T T T T T T K v v v v 8 ' '' 4 ' '' ', ; '', 3 λ λ χ λ. () c qui io il uro 4 c corriod ll fuzio di Ruj c 4 odi, c corriodoo ll virzioi fiic di u trig ooic. Quidi, ottio l gut coio ttic: [ ] T T T T T T K v v v v 8 ' '' 4 ' '' ', ; '', 3 λ λ χ λ log ' 4 ' co ' co log 4 ' ' 4 ' w t itw d tw ti w w t w π π π π. () L fuzio d od dlic r il iù lic tto fodtl l for Ω P Z Q Z \,, ψ ψ ψ, () dov Ω Ω >. Poicè qut fuzio d od è divr d zro oltto i uti itri, uò r itrrtt co ditizio dllo zio dovuto gli fftti -dici ll roccio dlico. L fuzioi Gl fd- Grv-Tt g t oo: Γ R d χ, Γ Q d χ, () Γ Γ Γ R c d B,, (3) c d B Q Γ Γ Γ,, (4)

21 dov,, c C co l codizio c è l fuzio zt di Ri. Co u rgolrizzzio dl rodotto dll fuzioi g -dic i o i rodotti dlici: Γ ( u) Γ, ( ) B (, ) u P P B,, u,, u,, c, (5) dov c B, B, oo l izz tdrd itric icrocit -dic di Vzio r lo cttrig di du trig tcioic rt. Itroducdo rli, -dic d dlic fuzioi zt co i otti dov ( ) c. Notio c d π Γ, (6) R ( ) Ω( ) d, R >, (7) Q ( ) ( π ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (8) P ( ) ( ), (9) uò r cit fuzio zt dlic. io c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Notio c ( π ) π d R Ω ( ) Q d. (9) Ω oo fuzioi log i ci rl -dico. L ocilltor roico dlico è coo co l fuzio zt di Ri. Il iù lic tto di vuoto dll ocilltor roico dlico è l gut fuzio di Scwrtz-Brut: 4 π Ω( ) l cui trforzio di Fourir ψ, () P 4 π χ ψ Ω( ) ψ () l t for di ψ. L trforzio di Mlli di P ψ è

22 Φ ( ) ψ d ψ d Ω( ) d Γ π ( ) R P Q () l t è r ψ. llor i ccordo ll forul di Tt i otti (9). L tt Lgrgi fodtl r l ffttivo co clr ϕ c dcriv l trig tcioic rt -dic è dov è qulc uro rio, L ϕ ϕ ϕ, (3) g t è il d lrtio do, voglio otrr u odllo c icoror l Lgrgi di trig -dic i u ritrtto odo dlico. Prdio l gut Lgrgi diiol d dottio u tric co gtur ( ) L L. (4) C L g Ricordio c l fuzio zt di Ri è dfiit co, σ iτ, σ >. (5) Iigdo l olit io r l fuzio logritic l dfiizio (5) oio ricrivr (4) ll for L l, (6) g dov <. gic co u ortor udodiffrzil l gut odo: ~ ( π ) dov i d i ~ r d, > ε, (7) è l trfort di Fourir di. L diic di quto co oo iclu ll for (udo)diffrzil dll fuzio zt di Ri. Qudo il d lrtio è u rgoto dll fuzio zt di Ri oi ciro tl trig u trig zt. Cogutt, l or è u trig zt clr rt. L quzio di oto r l trig zt è

23 i > r d ε ( π ) ~ (8) c u vidt oluzio. Pr il co di oluzioi oog zilt didti dl to, io l gut quzio di oto t ( t) ( π ) > ε i ( t) ( t) t ~ ( ) d. (9) Rigurdo l trig zt clri rt ciu, l quzioi di oto oo ( π ) i ~ d θ, (3) θ 4 ( π ) i 4 ~ θ d θ ( ) ( ) θ ( ), (3) i uò fcilt otr l oluzio l θ. L tt Lgrgi di livllo fodtl dl co clr ffttivo ϕ, c dcriv l trig rt -dic tcioic è: dov è qulc uro rio, L ϕ ϕ ϕ, (3) g 3 t è il d lrtio - diiol dottio u tric co go (... ), co ri. do voglio itrodurr u odllo c icoror tutt l Lgrgi di trig rcdti (3) co otituito d N. Quidi, rdio l o di tutt l Lgrgi L ll for L C L C, (33) g L cui licit rlizzzio did dll rticolr clt di cofficiti C, cotti di ccoito g. do, coidrio il gut co, (34) C dov è u uro rl. L corriodt Lgrgi i lgg

24 4 g L (35) d did dl rtro. I ccordo ll forul dl rodotto di Eulro i uò crivr. (36) Ricordio c l dfiizio tdrd dll fuzio zt di Ri è, τ σ i, > σ, (37) c il rolugto litico ll itro io colo, cluo il uto, dov o u olo lic co riduo. Iigdo l dfiizio (37) oio ricrivr l (35) ll for g L. (38) Qui gic co u ortor udo-diffrzil d i π ~, (39) dov d i ~ è l trfort di Fourir di. Coidrio l Lgrgi (38) co rolugti litici dll fuzio zt l ri di otz,cioè C g L, (4) dov C idic rolugto litico. Il otzil di ci clri zt di or (4) è ugul L, cioè,

25 V, (4) C g dov oicè. Il tri co l fuzio- i ull r, 4, 6,.... L quzio di oto i for diffrzil d itgrl è ( π ) R i ~ C ϕ, (4) ( ) d C, (43) rittivt. do, coidrio ciqu vlori di, c ro r i iù itrti, rigurdo ll Lgrgi (4):, ±, d ±. Pr, l corriodt quzio di oto do i lgg: ( ) 3 ( ) i ~ d R π. (44) Qut quzio du oluzioi li: oluzio ~ δ ( π ) ( ) ll (44).. L uò r otrt c rddo Pr, l corriodt quzio di oto è: i ~ d R π ( ). (45) dov. L quzio dl oto (45) u oluzio l cott oltto r. Pr, l quzio dl oto è ( π ) R i ~ d. (46) E du oluzioi: 3. L oluzio 3 gu dll io di Tylor dll ortor dll fuzio zt di Ri 5

26 ~ co c d ( π ) 3δ. Pr, l quzio dl oto è: ( ), (47)! ( π ) R i ~ d l, (48) dov foric V. I cocluio, r, io l gut quzio dl oto: ~ d i R π ( w) l w dw. (49) Poicè l ugugliz ( w) l dw w è tut, i l oluzio l ll (49). do, voglio lizzr il gut co: C. I tl co, dll Lgrgi (33), ottio: L g. (5) Il corriodt otzil è: V g 3 7. (5) 4 Notio c 7 3 oo uri rii turli, cioè dll for 6 ± co 5, rii uri di Fiocci. Ioltr, il uro 4 è coo ll fuzio di Ruj c 4 odi c corriodoo ll virzioi fiic di u trig ooic. Quidi, ottio: 6

27 g V log ' 4 ' co ' co log 4 ' ' 4 ' w t itw d tw ti w w t w π π π π. (5) L quzio dl oto è: [ ]. (5) L u roizio di co dol è:, (53) c ilic l codizio ullo ttro dll M M. (54) ll (54) gu u oluzio r > M.79 M olt oluzioi tcioic qudo M 38 <. Notio c il uro.79 è coo co 5 5 Φ, cioè l zio ur d il rorto uro. Iftti io c:,78, Ioltr, io c c: 79734,, , / 7 4 / Φ Φ Rigurdo ll tio dll ordiri Lgrgi, io l Lgrgi, il otzil, l quzio dl oto l codizio ullo ttro dll c, qudo C, oo: l g L, (55)

28 8 l g V, (56) l, (57) M M M. (58) I ggiut olt oluzioi tcioic, l quzio (58) du oluzioi co oitiv:.67 M.66 4 M. Notio c qui, c i uri oo coi l uro uro. Iftti, io c: , Ioltr, io c c: ,, , / 7 4 / Φ Φ ; ,, , / 7 / Φ Φ. Ioltr, rigurdo l vlor M 38 <, io l gut coio co il uro uro: [ ] 36 3,55789,366798,683399, / 7 / 7 7 / 7 35 / Φ Φ Φ Φ 36 è u vlor ior di 38. do, dcrivio il co di C µ. Qui µ è l fuzio di Moiu, l qul è dfiit r tutti gli itri oitivi d vlori,, didti dll fttorizzzio di i uri rii. E è dfiit co gu:,,, µ.,,... j i (59) L corriodt Lgrgi è g C L µ µ µ L (6)

29 Ricordio c l fuzio zt di Ri ivr uò r dfiit d µ, it σ, σ >. (6) do l (6) uò r ricritt co L dov µ C L M g ( ) µ d, (6) M... Il corriodt otzil, quzio dl oto forul dllo ttro dll oo, rittivt: V C µ l g, (63) M C C l, (64) M C C, <<, (65) M L ( ) ( ) M d µ dov è ut l olit rlzio citic rltivitic r M. do, rdio i uri uri irti l quzioi (54) (58). Ei oo:.79, Notio c tutti i uri 5 oo coi co Φ, quidi co il rorto uro, ttrvro l guti rioi: 5 / 7 ; 3 / 7 / 7,67 Φ ( Φ) ; / 7 3 / 7 4,66 Φ ( Φ),79 Φ. (66) 5. Coioi ttic. do dcrivio lcu oiili coioi ttic tr lcu quzioi irti l Szio d lcu quzioi irti l Szio 4. 9

30 3 Notio c dll quzioi () () dll Szio, io c: d ; () Tl quzio, è co co l quzioi (8), (43) (49), dll Szio 4, co gu: d > ε π ~ i d r, () d ~ R i C d π, (3) d R i dw w w d π l ~. (4) do, otio c l quzio (5) dll Szio, uò ricrivri, utilizzdo l quzioi (6) (7), r ll Szio, ll gut for [ ] d L H! γ. (5) Quidi, io l guti coioi ttic co l quzioi (8), (43), (49) (6): [ ] d L H! γ > ε π ~ i d r, (6) [ ] d L H! γ ~ R i C d π, (7) [ ] d L H! γ

31 ~ i d R π ( w) l w dw, (8) d [ ] L ( γ H ) ( ) L µ CL M d. (9) g! c qui oio otr c it l coio ttic co l zio ur. Iftti, ricordio c π, c è rt ll quzioi () (4) (6) (8), è lgto ll zio ur 5 / dll gut lic rlzio: rcco, 879π Pr ultriori dttgli, cliccr ul gut li: tt:// /63//tcn6.df RIFERIMENTI [] T Gu-Kuzi-Wirig ortor - LINS VEPŠTS [] ri rrttio for t Ri Zt drivd fro t Gu-Kuzi- Wirig Ortor - LINS VEPŠTS [3] O Gu-Kuzi-ty rol for w cotiud frctio io wit licit ivrit ur - Gril Il S [4] Not Rltig to Nwto Sri for t Ri Zt Fuctio - LINS VEPŠTS [5] tt:// [6] tt://it.wiidi.org/wii/equzio_di_pll [7] L diioi tr cot, l rticll di Higg d il vuoto qutoccico, uritri tori dll trig - Rorio Turco, Mri Colo [8] Sull ll di gigti - Rorio Turco, rof. Mri Colo, dott. Micl Nrdlli, rof. Giovi i Mri, Frcco i Noto, rof.rit Tulullo [9] Bro rgovic: dlic trig d ocouttivity rxiv:- 3

32 t/53v- My. [] Bro rgovic: dl i Mtticl Pyic rxiv: v [t] 6 Jul 7. [] Bro rgovic: Zt Strig rxiv:-t/738v Mr 7. [] Bro rgovic: Zt Nolocl Sclr Fild rxiv:84.44v [t] 5 r 8. [3] Bro rgovic: So Lgrgi wit Zt Fuctio Noloclity rxiv:85.43 v [-t] 4 My 8. 3