Indice. Le derivate. Successioni e serie numeriche

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1 Iie pitolo Suessioi e serie umerihe. Suessioi umerihe Rppresetzioe grfi, Suessioi mootòe,. Limiti elle suessioi Suessioi overgeti, Suessioi ivergeti, Suessioi ietermite, 6. Teoremi e operzioi sui limiti elle suessioi 6 Somm i ue suessioi, 7 Prootto i ue suessioi, 7 Quoziete i ue suessioi, 7. Suessioi ritmetihe 8. Suessioi geometrihe 9 6. Il umero e ome limite i u suessioe 7. Geerlità sulle serie umerihe Serie telesopihe, 8. Serie geometrihe Numeri perioii, 6 Altre serie geometrihe, 6 9. Criterio i overgez i Cuhy 7 Resto i orie, 8 0. Comizioi lieri i serie 8. Serie termii i sego ostte 9. Covergez ssolut Criteri i overgez ssolut,. Serie termii i sego ltero Quesiti i verifi 7 Lortorio i iformti 9. Le suessioi o DERIVE, 9. L rier el limite i u suessioe, 9.Suessioi riorsive, 0. Serie geometrihe,. Il umero e, Eserizi Suessioi, Limiti elle suessioi, Suessioi ritmetihe e geometrihe, 9 Serie umerihe, 6 Serie telesopihe, 7 Serie geometrihe, 8 Criterio el ofroto, Comizioi lieri i serie, Criteri i overgez ssolut, Serie termii i sego ltero, Eserizi i riepilogo, pitolo Le erivte. Itrouzioe. Defiizioe i erivt e suo sigifito geometrio 8 Rpporto iremetle, 8 Derivt i u puto, 9 Derivt estr e erivt siistr, 6 Puto goloso, 6 Rpporti iremetli ivergeti, 6 Derivilità i u itervllo, 66. Cotiuità elle fuzioi erivili 66. Derivte i lue fuzioi elemetri 67 Derivt i u ostte, 67 Derivt ell fuzioe ieti, 68 Derivt ell fuzioe se x, 68 Derivt ell fuzioe os x, 68 Derivt ell fuzioe logritmi, 69 Derivt ell fuzioe espoezile, 69. Regole i erivzioe 70 Derivt ell somm, 70 Derivt el prootto, 7 Derivt ell potez o espoete turle, 7 Derivt ell fuzioe reipro, 7 Derivt ell potez o espoete itero, 7 Derivt el quoziete, 7 6. Derivt ell fuzioe ompost 7 Derivt i [f (x)] g(x), 76 Derivt ell potez espoete rele, 77 Derivte i fuzioi pri e ispri, Derivt ell fuzioe ivers 79 Derivte elle fuzioi iverse elle fuzioi irolri, 8 8. Fuzioe erivt prim e fuzioi erivte suessive 8 9. Primitive i u fuzioe 8 Rier i u primitiv he soisf u oizioe iizile, 8 0. Differezile i u fuzioe 8 Sigifito geometrio el ifferezile, 86 Approssimzioe liere i u fuzioe, 87 Differezili e loli pprossimti, 89 V

2 Iie. Sigifito fisio ell erivt 90 Veloità e elerzioe i u moto rettilieo, 90 Itesità i orrete, 9 Forz elettromotrie iott, 9 Quesiti i verifi 9 Lortorio i iformti 96. Grfio i fuzioe e erivt o DERIVE, 96. Derivte suessive, 98 Eserizi 99 Rpporto iremetle, 99 Defiizioe i erivt, 0 Regole i erivzioe, 0 Derivt ell fuzioe ompost, Derivt ell fuzioe ivers, 6 Derivte suessive, 7 Sigifito geometrio i erivt, 9 Derivt estr e erivt siistr, 6 Stuio ell otiuità e ell erivilità, 7 Differezile. Clolo pprossimto, Sigifito fisio i erivt, Verso l mturità 0 pitolo I teoremi el lolo ifferezile. Mssimi e miimi. Teoremi i Rolle, i Cuhy, i Lgrge 0 Sigifito geometrio el teorem i Rolle, 0 U pplizioe el teorem i Rolle, Sigifito geometrio el teorem i Lgrge, 6 Fuzioi reseti, 8. Forme ietermite. Teorem i e L Hôpitl 6 0 Form ietermit, 6 0 Form ietermit, 6. Limiti otevoli 6. Puti tgete orizzotle Uso elle erivte suessive Osservzioi sui mssimi e miimi loli 7 8. Covità, ovessità, flessi U proprietà elle fuzioi ovesse Stuio ei puti i o erivilità 8 Puti golosi. Cuspii. Flessi tgete vertile, 8 Quesiti i verifi 86 Lortorio i iformti 88. I puti i Lgrge o DERIVE, 88 Eserizi 90 Mssimi e miimi, 90 Teoremi i Rolle, i Cuhy, i Lgrge, 90 Teorem i Rolle, 90 Teorem i Cuhy, 9 Teorem i Lgrge, 9 Iterpretzioe iemti el teorem i Lgrge, 96 Stuio i puti i o erivilità, 96 Fuzioi reseti e ereseti, 97 Ivertiilità, 00 Forme ietermite. Teorem i e l Hôpitl, 0 Mssimi e miimi reltivi, 09 Eserizi o prmetri, Covità, ovessità, flessi, Verso l mturità 0 pitolo Grfii i fuzioi. Stuio el grfio i u fuzioe Poliomi, Fuzioi rzioli, 7 Fuzioi lgerihe irrzioli, Fuzioi goiometrihe, 6 Fuzioi espoezili, 8 Fuzioi logritmihe, 9 Fuzioi osillti,. Dl grfio i f l grfio i f. Disussioe grfi i u equzioe 6. Numero elle rii reli i u equzioe 8 Uiità ell soluzioe, 9. Stuio i u moto rettilieo 0 6. Stuio i urve i form prmetri Iterpretzioe iemti, Rett tgete, 7 U iterpretzioe el teorem i Cuhy, Curve i oorite polri 6 Equzioi polri elle oihe, 6 Agolo tr rett tgete e rggio vettore, 6 Quesiti i verifi 67 Lortorio i iformti 70. Usimo DERIVE, 70. I poliomi ho qusi tutti lo stesso grfio, 70. Dl grfio ll (?) fuzioe, 7 Eserizi 7 Stuio el grfio i u fuzioe, 7 Grfii i poliomi, 7 Grfii i fuzioi rzioli frtte, 7 Grfii i fuzioi o mouli 76 Grfii i fuzioi irrzioli, 77 Grfii i fuzioi VI

3 Iie goiometrihe, 80 Grfii i fuzioi espoezili, 8 Grfii i fuzioi logritmihe, 8 Grfii i fuzioi iverse elle fuzioi irolri, 88 Disussioe grfi i u equzioe prmetri, 9 Numero elle rii reli i u equzioe, 9 Stuio i u moto rettilieo, 9 Curve i form prmetri, 97 Curve i u riferimeto i oorite polri, 0 Prolemi i riepilogo, 09 Prolemi geometrii o stuio i fuzioi, 7 Grfii soluzioe, 8 Verso l mturità pitolo 6 Formul i Tylor. Il poliomio i Tylor 68. Mssimi, miimi e flessi tgete orizzotle 689. Iterpretzioe geometri ell pprossimzioe elle fuzioi meite il poliomio i Tylor 9 Tell ei poliomi i Tylor, 9. Serie i Tylor 9. Sviluppo i serie i lue fuzioi elemetri 96 Serie el seo e el oseo, 96 Serie espoezile, 97 pitolo Mssimi e miimi ssoluti. Mssimi e miimi ssoluti A. Fuzioe otiu i u itervllo hiuso e limitto, B. Fuzioe otiu i u itervllo limitto e perto e ott i limiti (fiiti o ifiiti) gli estremi i tle itervllo, C. Fuzioe otiu i u itervllo illimitto e ott i limite (fiito o ifiito) per x,. Mssimi e miimi i lue fuzioi omposte 7. Prolemi i mssimo e miimo ssoluti 9. Mssimi e miimi per vi elemetre i fuzioi i ue o più vriili Quesiti i verifi 0 Lortorio i iformti. Mssimo e miimo, erivt,. U miimo o CABRI, Eserizi Mssimi e miimi ssoluti, I u itervllo hiuso e limitto, I u itervllo perto limitto o illimitto, 8 Nel omiio ell fuzioe, 60 Mssimi e miimi ssoluti per vi elemetre, 6 Prolemi i mssimo e miimo ssoluto, 6 Prolemi i mssimo e miimo ssoluto ppliti ll geometri pi, 6 Prolemi i mssimo e miimo ssoluto ppliti ll geometri soli, 68 Prolemi i mssimo e miimo ssoluto ppliti ll geometri liti, 7 Prolemi i riepilogo, 78 Verso l mturità 80 Quesiti i verifi 97 Lortorio i iformti 99. Il poliomio i Tylor, 99. I livelli i pprossimzioe, 00 Eserizi 0 Formul i Tylor, 0 pitolo 7 L itegrle iefiito. Fuzioi primitive i u fuzioe t 0 Sigifito geometrio ell itegrle iefiito, 07 Proprietà ell itegrle iefiito, 08. Itegrli iefiiti immeiti 09. Itegrzioe elle fuzioi rzioli. Itegrzioe i fuzioi o mouli 9. Itegrzioe per sostituzioe Sostituzioi o fuzioi iperolihe, 6 6. Itegrzioe per prti 7 Quesiti i verifi 0 Lortorio i iformti. L tei Clol i DERIVE, U progrmm DERIVE, Eserizi 6 Itegrli iefiiti immeiti, 6 Fuzioi iperolihe, 6 Itegrzioe elle fuzioi rzioli, 6 Itegrzioi i fuzioi o moulo, 0 Itegrzioi i fuzioi efiite i più moi, Itegrzioe per sostituzioe, Itegrzioe per prti, Eserizi i riepilogo, 7 Prolemi, 6 Verso l mturità 6 RCS LIBRI EDUCATION SPA VII

4 Iie pitolo 8 L itegrle efiito. Itrouzioe 67. Misur i u isieme el pio 68. Are el trpezoie 70 Somme itegrli per ifetto e per eesso, 70 Il so el trpezio, 7 Il so ell prol, 7 Il so ell espoezile, 7. Itegrle efiito 77 Approssimzioe i u itegrle efiito. Somme itegrli geerlizzte, 78 Proprietà, 79 Sigifito geometrio, 79. Il teorem ell mei 80 Sigifito geometrio, L fuzioe itegrle: il teorem i Torrielli-Brrow 8 Itegrzioe elle fuzioi sl; 8 Derivt i u fuzioe itegrle ompost, 8 7. Itegrzioe per sostituzioe 8 8. Grfio ell fuzioe itegrle Clolo i ree i omii pii 90 Are el segmeto prolio, 9 Are ell regioe elimitt ll ellisse, 9 0. Volumi ei solii 9 Volume ell pirmie e el oo, 9. Volumi ei solii i rotzioe 9. Lughezz i u ro i urv 98 Form rtesi, 98 Form prmetri, 00 Form polre, 0. Il teorem i Gulio 0 Superfiie i rivoluzioe, 0 Il rietro, 0 Volumi i rivoluzioe, 0. Sigifito fisio ell itegrle efiito 0 Moto rettilieo, 0 Qutità i ri, 06 Lvoro i u forz, 06 Lvoro ell forz grvitziole, 08 Lvoro ell forz elettrostti, 0 Eergi i u orrete ltert, 0. Itegrli impropri 6. Criterio ell itegrle per u serie 6 Serie rmoi geerlizzt, 7 Quesiti i verifi 8 Lortorio i iformti 0. Il lolo i u itegrle o DERIVE, 0. Il teorem ell mei, 0. L itegrzioe per sostituzioe, Eserizi Clolo i itegrli efiiti, Proprietà, 6 Teorem ell mei, 6 L fuzioe itegrle, 7 Fuzioi sl, Derivt ell fuzioe itegrle ompost, Clolo i ree, 6 Clolo i volumi, Lughezz i u ro i urv, Teorem i Gulio, 9 Superfii i rivoluzioe, 9 Sigifito fisio ell itegrle, Itegrli impropri, 6 Criterio ell itegrle per u serie, 8 Eserizi i riepilogo, 60 Grfii soluzioe, 8 Verso l mturità 8 pitolo 9 Clolo pprossimto CALCOLO APPROSSIMATO DELLE RADICI. Itrouzioe 68. Metoo i isezioe 686. Rii i poliomi ispri 687. Metoi i lierizzzioe 687. Metoo elle tgeti o i Newto Metoo elle seti 69 CALCOLO APPROSSIMATO DI UN INTEGRALE Premess, 9 7. Metoo ei rettgoli 9 8. Metoo ei trpezi 9 9. Metoo i Cvlieri-Simpso Metoo Moterlo 99 Quesiti i verifi 60 Lortorio i iformti 60. Rii o preisioe ssegt, 60. Il metoo elle tgeti, 60. L suessioe i Eroe e il omo ITERATES, 60. Somme itegrli, 60 Eserizi 607 Metoo grfio, 607 Metoo i isezioe, 607 Metoo elle tgeti, 608 Metoo elle seti, 60 Metoo ei rettgoli, 60 Metoo ei trpezi, 6 Metoo i Cvlieri-Simpso, 6 pitolo 0 Equzioi ifferezili. Itrouzioe 6 Nozioi geerli, 6 Reit ei pitli, 66 Legge i ut ei grvi, 68 VIII

5 Iie Il prolem i Cuhy, 69 Prolemi fometli, 60. Prolemi lieri el primo orie 60 L equzioe liere y y +, 60 L itegrle geerle ell equzioe ifferezile, 6 Equzioi omogeee e o omogeee, 6 U iruito elettrio, 6 Gestioe i u prestito, 66 Rffremeto i u orpo, 67 Dimi i popolzioi, 68. Prolemi lieri el seoo orie 69 Osillzioi el peolo, 69 Equzioi lieri el seoo orie omogeee, 6 Crrello sottoposto u forz elsti, 6 Equzioi lieri el seoo orie o omogeee, 6 Ciruiti elettrii, 67 Osillzioi forzte, 68 Risoz, 68. Complemeti 69 Equzioe logisti, 69 L equzioe liere y (x)y + (x), 6 Equzioi i Beroulli, 66 Equzioi vriili seprili, 67 Quesiti i verifi 60 Lortorio i iformti 6. Equzioi lieri i primo orie, 6. U fmigli i prolemi, 6. Reit i pitli, 6. Strtegi i u llevmeto, 6. Equzioi lieri i seoo orie, 6 Eserizi 66 Itrouzioe, 66 Equzioi lieri el primo orie, 66 Equzioi lieri el seoo orie, 69 Equzioi lieri el seoo orie o omogeee, 660 Applizioi ll fisi, 66 L equzioe liere y (x)y + (x), 667 Equzioi vriili seprili, 668 pitolo Preprzioe ll Esme i Stto Gruppo, 669 Gruppo, 67 Gruppo, 67 Gruppo, 67 Gruppo, 676 Gruppo 6, 678 Gruppo 7, 679 Gruppo 8, 68 Gruppo 9, 68 Gruppo 0, 68 Gruppo, 68 Gruppo, 687 Gruppo, 688 Gruppo, 690 Gruppo, 69 Gruppo 6, 69 pitolo Temi ssegti ll Esme i Stto 696 Soluzioi 7 Formulrio 78 Iie litio 7 IX

6 Suessioi e serie umerihe pitolo Suessioi umerihe Riorimo revemete quto già etto el.7 el volume. U suessioe è u fuzioe rele he h per omiio l isieme ei umeri turli e può essere efiit i più moi:. meite l formul he efiise il termie -simo, per esempio: oppure: o he: + >. per riorrez, ioè o il primo termie (o u umero fiito i termii) e l legge he leg u termie l preeete, per esempio: he impli: oppure: (suessioe i Fioi) i ui primi otto termii soo: se è pri se è ispri

7 pitolo Suessioi e serie umerihe Rppresetzioe grfi Comuque si ssegt l suessioe, si possoo riportre i vlori i sull sse rele. Per esempio, el so ell suessioe efiit : si osserv (fig..) he l resere i i termii, osillo ttoro, si vviio esso. 0 Figur. Nel so i ui si ot l legge i formzioe ei termii, ome el so ell suessioe efiit : + è utile rppresetre i termii ell suessioe utilizzo il grfio ell fuzioe otteut sostitueo x i : Cosierti i puti el grfio i siss iter, le orrispoeti orite soo i termii ell suessioe (fig..). Sull sse y soo evieziti i primi termii ell suessioe. Il omportmeto ll ifiito ell fuzioe ssoit oiie o il omportmeto ell suessioe l resere i. y ( + ) y f( x) x per x 0 x y x + O 6 x Figur. Ifie, el so i u suessioe efiit per riorrez, i ui sio ti il primo termie 0 e l legge f he leg ue termii oseutivi, ome per esempio per l suessioe { }: + ( ) si tri l urv grfio ell fuzioe f, i questo so y x e si ppli il proeimeto grfio già utilizzto per le iterte i u fuzioe (vol.,.).

8 pitolo Suessioi e serie umerihe Se: 0 < si osserv he i termii ell suessioe si vviio zero. I figur. il primo termie 0 è ugule. Se: 0 > i termii ell suessioe resoo iefiitmete. I figur. il primo termie 0 è ugule. I questo so i termii ell suessioe soo sull sse x. y y x y y x y x O Suessioi mootòe U suessioe si ie: y x, 0,, Figur. Figur. resete se risult < + eresete se risult > + o eresete se risult + o resete se risult + I oguo i questi si l suessioe si ie mootò x O 9 8 6, 0,, x 8... RCS LIBRI EDUCATION SPA sempi Verifihimo he l suessioe efiit : è eresete, ioè: 0 + < 0 Iftti: equivle : verifit 0. + < + < + ossi + <

9 pitolo Suessioi e serie umerihe L suessioe: è eresete; iftti, i termii + eomitore ell suessioe resoo e i reiproi soo quii evietemete ereseti. { + } + Limiti elle suessioi Stuire il limite i u suessioe sigifi erre i rioosere se i umeri:,,, vo vviiosi sempre più u umero prtiolre he himeremo limite o mostrio ivee u omportmeto isorito. Ciò equivle veere ome si istriuisoo, per +, i puti P (; ). Per esempio, l suessioe,,,, h limite l 0: iftti i suoi termii si vviio sempre più 0. Ivee, l suessioe,,,,,,... o h limite: i suoi elemeti o si vviio lu umero, otiuo iftti osillre tr e. Le suessioi he ho limite fiito si ioo overgeti. Suessioi overgeti DEFINIZIONE Si ie he u suessioe { } overge verso il limite l e si srive: lim + se, fissto omuque u umero positivo ε, esiste i orrispoez i esso u ε tle he per i termii o > ε si verifit l isugugliz: l < ε l sempio Verifire he lim + + Oorre verifire he l isequzioe: + < ε è soisftt tutti i umeri suessivi u primo vlore he himeremo ε. Si h: + e si riv he, per ogi ε >0: < ε > ε

10 pitolo Suessioi e serie umerihe Pertto, st segliere > ε, esseo ε il primo umero itero mggiore o ugule se ε srà ε 00 e iftti per ogi > 00 si h: 00 < < Per esempio, ε Si osservi he l isugugliz siistr è ovvi esseo i umeri >. Suessioi ivergeti DEFINIZIONE Si ie he u suessioe { } iverge positivmete e si srive: se, fissto omuque u umero positivo, i termii ell suessioe ivegoo più gri i : > u erto posto i poi, ioè per >. Defiizioe log è l seguete. DEFINIZIONE Si ie he u suessioe { } iverge egtivmete e si srive: se, fissto omuque u umero positivo, i termii ell suessioe ivegoo iferiori : < u erto posto i poi, ioè per >. lim + lim + + Le suessioi overgeti e quelle ivergeti, si positivmete si egtivmete, soo ette suessioi regolri. sempi Verifire he Risolveo l isequzioe: si h: lim ( + ) > > Detto il primo itero positivo mggiore o ugule >., l isequzioe risult verifit per ogi Verifire he lim + Risolvimo l isequzioe: Esseo > 0 si h: ( 0+ ) < ( 0+ ) < ioè > 0

11 pitolo Suessioi e serie umerihe L isequzioe preeete è soisftt per: > + + Il limite è verifito o ppe si selg mggiore el primo umero itero mggiore o ugule + +. Suessioi ietermite DEFINIZIONE Si ioo ietermite le suessioi he o soo é overgeti é ivergeti + o. sempio 6 7 Le segueti suessioi soo ietermite: {( ) } 0 {os π} 0 { ( ) } 0 0 {( ) } 7 6 Teoremi e operzioi sui limiti elle suessioi Esseo le suessioi prtiolri fuzioi, vlgoo per esse i teoremi già osierti per i limiti elle fuzioi. Riportimo gli euiti i tli teoremi reltivmete lle suessioi. TEOREMA (TEOREMA DELL UNICITÀ DEL LIMITE) Dt u suessioe { } i termie geerle, se esiste lim, tle limite è uio. + TEOREMA (TEOREMA DEL CONFRONTO) Sio { }, { }, { } tre suessioi tli he u erto iie i poi si i: Se { } e { } soo regolri e mmettoo lo stesso limite, he { } è regolre e h lo stesso limite, ioè: lim lim lim sempio Il termie ell suessioe efiit se + poihé se, verifi le limitzioi: + + e poihé: lim lim 0 he lim + + se 0 + RCS LIBRI EDUCATION SPA 6

12 pitolo Suessioi e serie Quesiti i verifi Tutte le suessioi ritmetihe i rgioe 0 6 : overgoo 0 ivergoo egtivmete ivergoo positivmete 6 Quto vle il lim? + ( + )! soo ietermite Tutte le suessioi geometrihe i rgioe π : overgoo 0 ivergoo egtivmete ivergoo positivmete soo ietermite Se risult, llor { } è: limitt superiormete overgete limitt iferiormete o si può eiere Se risult + { } è: limitt, llor Soo te le suessioi: ( ) { } { { } + } e Quto vle il lim? 0 o esiste È t l suessioe efiit per riorrez: + Speo he 0, lolre il lim. + Se 0 0 e + + e { } overge, llor lim è ugule : RCS LIBRI EDUCATION SPA overgete ivergete o si può eiere 0 Se 0 e + + e { } overge, llor lim è ugule : + se Quto vle il lim? + osπ + 0 è ietermito Quto vle l somm ell serie 0?

13 pitolo Suessioi e serie L somm ei primi termii ell serie il ui -simo termie è + ( ) è: I primi tre termii oseutivi i u serie ritmeti soo:,, Allor,, soo tre termii oseutivi i u serie: ritmeti geometri o si può rispoere Determire per quli vlori i x overge l serie: x x ]0; [ ]0; +[ ]; +[ 0 ; ; + ] [ L serie overge : L serie overge : L serie : iverge overge overge è ietermit Qule elle segueti serie overge? Quli elle segueti serie overgoo? ) os π ) + ( ) ) ) 0 0 tutte,,, ( ) e ( )

14 pitolo Suessioi e serie umerihe Iformti Lortorio i iformti. Le suessioi o DERIVE Comi L ssegzioe i u suessioe è spesso equivlete ll ssegzioe i u fuzioe. Così, per esempio, per l suessioe : + possimo efiire, irettmete Author, l fuzioe: () : /(^+) Per esplorre i termii o [; 0] sterà efiire il vettore VECTOR((),,,0) e hieere DERIVE l su semplifizioe, pulste oppure. L visulizzzioe grfi ei primi 0 vlori ell suessioe si ottiee hieeoe il grfio (fig. ). Si riori i seleziore ell fiestr grfi Opzioi - Visulizzzioe - Puti - Colleg: NO. IF SUM LIMITE Figur. Il grfio i,,, 0.. L rier el limite i u suessioe L rier el limite o ifferise quto visto per le fuzioi. Sritto, Author, (): si selezio l rig; si pre l tei Clol - Limite e si omplet; vriile ; puto limite (si us Simoli mtemtii); 9

15 pitolo Suessioi e serie umerihe OK; seleziot l rig, pulste oppure. Il risultto è, ovvimete, el so ell suessioe preeete, 0.. Suessioi riorsive U suessioe può essere efiit, i ltertiv ll formul triziole f(), o il seguete proeimeto: si ssego u erto umero m, etto memori, i vlori iizili α, β,..., m γ; isuo ei vlori suessivi, > m, si riv, o u proeimeto ssegto, gli m vlori preeeti. Questo tipo i efiizioe pree il ome i proeimeto riorsivo. Il so più semplie orrispoe m ; per esempio, l suessioe:,,, + + ell qule il proeimeto o ui si riv ogi elemeto l preeete è sto sull fuzioe: x f( x) + x Stuimo tle suessioe o DERIVE: efiimo l fuzioe L ssegzioe si f, Author, el moo seguete: I umeri i Fioi Rppreseto l esempio più semplie reltivo u efiizioe riorsiv o m ; il proeimeto è e oto: i primi ue vlori soo, oguo ei vlori suessivi è l somm ei ue preeeti: +,,... se ( ) ( ) se > + ( ) ():IF(,,( )/(+( )^)) RCS LIBRI EDUCATION SPA L ostruzioe ell fuzioe () he forise i vlori ell suessioe i Fioi (fig. ) si f, ome el so preeete, serveosi ell IF oiziole. ():IF(<,,( )+( )) Figur. I umeri i Fioi 0,,,. 0

16 eserizi pitolo Suessioi e serie umerihe Suessioi Srivere i primi quttro termii elle segueti suessioi. 6 + se π os π ( ) os π ( ) se π se è ispri se è pri Esprimere il termie geerle ell suessioe { } i fuzioe i ei segueti si. eserizio risolto è il primo umero pri mggiore o ugule ell -simo qurto. se è ispri se è pri I termii ell suessioe o possoo he essere o +. Teuto oto he il qurto i u umero pri è pri metre quello i u umero ispri è ispri, si h quii: Ioltre, esseo: + ( ) 0 { se se u espressioe ui per gli può essere l seguete: se se + ( ) è l -simo itero ispri prtire. + pri ispri pri ispri RCS LIBRI EDUCATION SPA è l -simo itero pri prtire è l -simo multiplo i prtire è il umero itero pri seguete l -simo qurto (esseo 0 il primo qurto). + è il uo ell -simo qurto. 6 Si { } l suessioe efiit. Esprimere i fuzioe i i termii: + Si log. Esprimere, i fuzioe i, i segueti termii: 9 Si +!. Esprimere, i fuzioe i, i segueti termii: + +

17 pitolo Suessioi e serie umerihe 0 Si se. Esprimere, i fuzioe i, i segueti termii: Si + +. Esprimere, i fuzioe i, i segueti termii:,, + Si. Esprimere, i fuzioe i, i segueti termii:,, ( + ) Quesiti rispost multipl. Dt l suessioe { } efiit per riorrez : + ( ) se e llor è ugule : + ( + )( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) Se { } è u suessioe efiit per. llor è: resete eresete o resete o eresete. e risult: 0; 6 ; + 9 ] ; 0[. Se { } è u suessioe efiit per, llor è: resete eresete o resete o eresete. Se { } è u suessioe efiit per, llor è: resete eresete o resete o eresete + 6 ; eserizio risolto Determire i primi termii ell suessioe efiit per riorrez ome segue: 0, 0 + ( ) Dett f (x) x( x), i termii ell suessioe soo i vlori: 0 f f f,, f f 0 0 0, f 0 Costruito il grfio ell f (x), le iterte si ostruisoo serveosi ell rett y x: i primi vlori ell suessioe soo le sisse ei puti riportti. Si h: y y x f(x) x( x) ,,, O 0 x