Capitolo 3: Procedure e funzioni ricorsive

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1 Capitolo 3: Proedure e fuzioi riorsive L'uso di proedure riorsive (o di riorreza o riorreti ) permette spesso di desrivere u algoritmo i maiera semplie e oisa, mettedo i rilievo la teia adottata per la soluzioe del problema e failitado quidi la fase di progettazioe. Ioltre l'aalisi risulta i molti asi semplifiata poihé la valutazioe del tempo di alolo si ridue alla soluzioe di equazioi riorsive. Molti lassii algoritmi possoo essere desritti mediate proedure riorsive. Di osegueza l'aalisi dei relativi tempi di alolo è ridotta alla soluzioe di ua o più equazioi riorsive elle quali si esprime il termie -esimo di ua sequeza i fuzioe dei preedeti. Esistoo varie teihe utilizzate per risolvere queste equazioi o almeo per otteere ua soluzioe approssimata. E importate osservare he l eseuzioe di proedure riorsive prevede la sua oversioe i proedura iterativa. Su mahie RAM tale oversioe è evidete perhè avviee maualmete a ura del programmatore metre su mahie reali a sigolo proessore tale oversioe viee eseguita automatiamete. La oversioe rihiede l uso di uo sta el quale memorizzare l istataea dello stato della mahia prima di iasua hiamata riorsiva. Il rishio, pertato, è quello di esaurire, su lughi ili riorsivi, le risorse dello sta dispoibili. Spesso, quidi, sarà strategia viete quella di overtire il problema iizialmete rappresetato riorsivamete i u problema aalogo he o usa metodi riorsivi..6 Proedure riorsive Ua proedura he hiama se stessa, direttamete o idirettamete, viee detta riorsiva. Cosideriamo ad esempio il problema di determiare il umero massimo di parti i ui rette dividoo il piao. Detto p ( ) tale umero, il disego di u algoritmo riorsivo per alolare p ( ) è basato sulla seguete proprietà:. Ua retta divide il piao i due parti, ioè p () = ;. Sia p ( ) il umero di parti i ui rette dividoo il piao; aggiugedo ua uova retta, è faile osservare he essa itersea le preedeti i al più puti, reado al più + uove regioi. Vale quidi la relazioe: (36) p ( + ) = p ( ) + ( + ) da ui è faile riavare la orrispodete proedura riorsiva: 9

2 Proedura P ( ) if = the retur else x: = P ( ) retur ( x+ ) Questa teia di disego era quidi di esprimere il valore di ua fuzioe su u dato i dipedeza di valori della stessa fuzioe su dati più pioli. Molti problemi si prestao i modo aturale ad essere risolti o proedure riorsive, otteedo algoritmi risolutivi i geerale semplii e hiari. Noi i limiteremo ad affrotare il problema di aalisi degli algoritmi riorsivi: dato u algoritmo riorsivo, stimare il tempo di alolo della sua eseuzioe su mahia RAM. Tale stima può essere fatta agevolmete attraverso l'aalisi della proedura riorsiva stessa. Si proede ome segue, suppoedo he l'algoritmo sia desritto da M proedure P, P,, PM ompredeti il programma priipale:. Si assoia ad ogi idie o M la fuzioe (iogita) T ( ) he deota il tempo di alolo di P i fuzioe della dimesioe dell'igresso.. Si esprime T ( ) i fuzioe dei tempi delle proedure hiamate da P, valutati egli opportui valori dei parametri; a tal riguardo osserviamo he il tempo di eseuzioe della istruzioe Z: = P ( a) è la somma del tempo di eseuzioe della proedura P j sull istaza (igresso) a, del tempo di hiamata di a predisporre il reord di attivazioe) e di quello di ritoro. j P j (eessario Si ottiee i tal modo u sistema di M equazioi riorsive he, risolto, permette di stimare T ( ) =,, M ed i partiolare per il programma priipale. A sopo esemplifiativo, effettuiamo ua stima del tempo di elaborazioe dell algoritmo per la geerazioe dei umeri di Fiboai. Per sempliità supporremo he la mahia sia i grado di effettuare ua hiamata i ua uità di tempo (più u'altra uità per rievere il risultato)..7 I umeri di Fiboai Cosideriamo la suessioe di iteri 0,,,,3,5,8,3, i ui ogi termie è otteuto sommado i due preedeti. Tale suessioe, detta di Fiboai, può essere rappresetata tramite ua equazioe riorsiva o le relative odizioi iiziali: 0

3 (37) F = F + F F0 = 0 F = Per valutare il tempo di elaborazioe (su mahia RAM) TFib( ) della proedura riorsiva Fib( ) aalizziamo i tempi rihiesti dalle sigole istruzioi: Proedura Fib( ) if [ T =Θ ()] the retur [ T =Θ ()] else a: = [ T =Θ ()] x: = Fib( a) [ T =Θ () + TFib( ) ] b: = [ T =Θ ()] y: = Fib( b) [ T =Θ () + TFib( ) ] retur ( x+ y) [ T =Θ ()] Vale allora la seguete equazioe riorsiva: (38) T Fib () 0, ( ) = Θ = Θ () + TFib( ) + TFib( ) Ribadiamo he l implemetazioe dell algoritmo ella sua forma riorsiva è altamete T ( ) =Θ o ostate. ieffiiete perhè, ome vedremo, Fib ( ) Se evitiamo di usare proedure riorsive, estetiamete belle e semplii da idividuare a partire da u problema he aturalmete si deliea i forma riorsiva, sopriamo he i tempi di elaborazioe soo otevolmete ed evidetemete più oteuti.

4 Proedura Fib( ) if [ T =Θ ()] the retur [ T =Θ ()] else a : = 0 [ T =Θ ()] b : = [ T =Θ ()] for j=,, : = a+ b [ T =Θ ()] a: = b [ T =Θ ()] b: = [ T =Θ ()] retur [ T =Θ ()] Poihè le istruzioi oteute el ilo soo omplessivamete Θ () e il ilo viee eseguito volte è immediato oludere he T ( ) ( ) =Θ. Esiste però u terzo algoritmo he, sfruttado alue osiderazioi di teoria dei umeri, è i grado di abbattere ulteriormete i tempi di elaborazioe. 0 Ifatti, detta A =, è possibile dimostrare he l elemeto a di A oiide proprio o il termie -esimo della suessioe di Fiboai. Poihè esiste u algoritmo, oto ome Fast Power, he elabora la poteza -esima di Θ lg eo he, rioduedo il problema di alolare il ua matrie i u tempo ( ) termie -esimo della suessioe di Fiboai al problema di alolare la poteza - esima della matrie A, i tempi di elaborazioe vegoo riodotti a T ( ) (lg ) 3 =Θ..8 Riorsioe termiale Il metodo geerale per la traduzioe iterativa della riorsioe può essere semplifiato e reso più effiiete quado la hiamata a ua proedura è l'ultima istruzioe eseguita dal programma hiamate. I questo aso ifatti, ua volta termiata l'eseuzioe della proedura hiamata, o oorre restituire il otrollo a quella hiamate. Per desrivere la traduzioe iterativa di questa riorsioe, deotiamo rispettivamete o A e B la proedura hiamate e quella hiamata e suppoiamo he la hiamata di B sia l'ultima istruzioe del programma A. Possiamo allora eseguire la hiamata a B sempliemete sostituedo il reord di attivazioe di A o quello di B ella pila e aggiorado opportuamete l'idirizzo di ritoro alla proedura he ha hiamato A; il otrollo passerà osì a quest'ultima ua volta termiata l'eseuzioe di B. I questo modo si ridue il umero di reord di attivazioe mateuti ella pila, si risparmia tempo di alolo e spazio di memoria rededo quidi piùeffiiete l'implemetazioe. Questo tipo di riorsioe viee hiamata riorsioe termiale. U aso partiolarmete semplie si verifia quado l'algoritmo è formato da u'uia proedura he rihiama se stessa all'ultima istruzioe. I tale situazioe o oorre eppure mateere ua pila Fib Fib

5 per implemetare la riorsioe perhé o mai è eessario riattivare il programma hiamate ua volta termiato quello hiamato. Il seguete shema di proedura rappreseta u esempio tipio di questo aso. Cosideriamo ua proedura F, dipedete da u parametro x, defiita dal seguete programma: Proedura F( x ) if Cx ( ) the D else E y: = g( x) F( y ) Qui Cx ( ) è ua odizioe he dipede dal valore di x, metre E e D soo opportui blohi di istruzioi. La fuzioe y = g( x) ivee determia u uovo valore del parametro di iput per la F di dimesioe ridotta rispetto a quello di x. Allora F( x ) è equivalete alla seguete proedura: Proedura F ˆ( x ) x: = a while Cx ( ) E x: = g( x) D.9 Equazioi riorsive Suppoiamo di dover aalizzare dal puto di vista della omplessità u algoritmo defiito mediate u isieme di proedure P, P,, Pm he si rihiamao riorsivamete fra loro. L'obiettivo dell'aalisi è quello di stimare la fuzioe Ti ( ) i =,, m he rappreseta il tempo di elaborazioe della proedura i -esima su dati di dimesioe. Se ogi proedura rihiama le altre su dati di dimesioe miore, sarà possibile esprimere Ti ( ) ome fuzioe dei valori Tj ( ) tali he j {,, m} e <. Per fissare le idee, suppoiamo di avere ua sola proedura P he hiama sè stessa su dati di dimesioe miore. Sia T ( ) il tempo di alolo rihiesto su dati di dimesioe ell'ipotesi aso peggiore oppure ell'ipotesi aso medio. Sarà i geerale possibile determiare opportue fuzioi f i > 0 variabili, tali he: T ( ) = f T ( ), T(), T(0) (39) ( ) o almeo tali he: (40) T ( ) f ( T( ), T(), T(0) ) 3

6 Relazioi del preedete tipo soo dette relazioi riorsive e, i partiolare, i aso di uguagliaza, soo dette equazioi riorsive. Si osservi he data la odizioe al otoro T(0) = a, esiste u'uia fuzioe T ( ) he soddisfa l equazioe (39). Cosideriamo per esempio il problema di valutare il tempo di alolo delle segueti proedure assumedo il riterio di osto uiforme: Proedura B ( ) S : = 0 for i= 0,, S: = S + Ai () retur S Proedura A ( ) if = 0 the retur 0 else u: = b: = + Au ( ) retur b Osserviamo iazitutto he la proedura B rihiama A, metre A rihiama se stessa. Per sempliità, assumiamo uguale a il tempo di eseuzioe di ogi istruzioe ad alto livello e deotiamo o TB ( ) e TA( ) rispettivamete il tempo di alolo dell'eseuzioe di B e A su iput. Allora si ottegoo le segueti equazioi: i= 0 ( ) T ( ) = + + T () i + (4) = 0 TA( ) = + TA( ) Il problema di aalisi è allora ridotto alla soluzioe dell'equazioe di riorreza relativa ai valori TA( ) N Lo sviluppo di teihe per poter risolvere equazioi o relazioi di riorreza è quidi u importate e prelimiare strumeto per l'aalisi di algoritmi e le prossime sezioi soo dediate alla presetazioe dei priipali metodi utilizzati..0 Metodo dei fattori sommati Co questa sezioe iiziamo lo studio delle equazioi di riorreza più omui ell'aalisi degli algoritmi. I geerale il ostro obiettivo è quello di otteere ua valutazioe asitotia della soluzioe oppure, più sempliemete, ua stima dell'ordie di gradezza. Tuttavia soo stati sviluppati i letteratura vari metodi he permettoo di riavare la soluzioe esatta di ua riorreza. I alui asi poi l'equazioe di riorreza è partiolarmete semplie e si può otteere la soluzioe esatta iterado direttamete l'uguagliaza i esame. B A 4

7 Esempio. Cosideriamo la seguete equazioe di riorreza: 0 = 0 T ( ) = T ( ) + Poihè, per ogi >, T ( ) = T ( ) + ( ) sostituedo questa espressioe ell'equazioe preedete si riava T ( ) = + ( ) + T ( ). Iterado volte si riava T ( ) = j+ T(0) = ( + ) j= Esempio. Data l equazioe riorsiva: osservado he T ( ) = + T e he = = lg si olude he T ( ) = lg +. per = T ( ) = T + + < ovvero per : Esempio 3. Data l equazioe riorsiva: si riava immediatamete he Esempio 4. Data l equazioe riorsiva: = 0 T ( ) = + T ( ) ( + )! + T ( ) = T(0) =!( )!. 0 = 0 T ( ) = T ( ) + osservado he T ( ) = T ( ) + ( ) e sostituedo volte otteiamo: T ( ) = T(0) + ( + ) = ( + ) = = Maipoliamo la sommatoria per rioduri ad ua forma otevole: ( + ) = = = + = = = = = = 0 5

8 Ora, per proseguire, dobbiamo otare he la sommatoria è la derivata della progressioe geometria. + x Più preisamete, detta f( x) = x =, abbiamo he: x da ui = df d x ( + ) x + x = = = 0 = dx x = dx x x= ( x) x= ( ) = ( + ) + = 4( + ) + = ( + ) = 0. Equazioi divide et impera U'importate lasse di equazioi di riorreza è legata all'aalisi di algoritmi del tipo divide et impera. Riordiamo he u algoritmo di questo tipo suddivide il geerio iput di dimesioe i u erto umero m di sottoistaze del medesimo problema, iasua di dimesioe a iferiore a quella iiziale; quidi rihiama riorsivamete se stesso su tali istaze ridotte e poi riompoe i risultati parziali otteuti per determiare la soluzioe erata. Il tempo di alolo di u algoritmo di questo tipo è quidi soluzioe di ua equazioe di riorreza della forma (4) T ( ) = mt + g ( ) a dove g ( ) è il tempo eessario per riomporre i risultati parziali i u'uia soluzioe. Per alue fuzioi g ( ) esistoo formule risolutive stadard. + Siao mab,,, R o a > e sia (43) defiita per ogi he sia poteza itera di a. Allora T ( ) soddisfa le segueti relazioi: (44) b = T ( ) = mt + b a ( ) ( ) ( loga m ) Θ m< a T ( ) = Θ lg m= a Θ m > a 6

9 A tale risultato si perviee sviluppado la riorreza fio alla forma j loga m T ( ) = b j = 0 a. Da qui, risolvedo esattamete la sommatoria, è ahe possibile riavare le espressioi asitotia e di rapporto limitato per T. ( ) Poihé la formula preedete è valida solo per valori di he siao poteze itere di a >, ora ostruiremo ua formula he o qualhe limitazioe su T ( ) vale per ogi itero qualsiasi. Come esempio osideriamo l'algoritmo Mergesort he, sostazialmete, ordia u vettore di elemeti spezzadolo i due parti di dimesioe e rispettivamete; quidi rihiama se stesso sui due sottovettori e poi ompoe le due soluzioi. Si può verifiare he il umero M( ) di ofroti eseguiti per ordiare elemeti, dove i questo aso è u qualsiasi itero positivo, soddisfa la seguete riorreza: (45) 0 = M( ) = M + M + I geerale le equazioi del tipo divide et impera elle quali ompaioo le parti itere possoo essere trattate usado il seguete risultato he estede l'aaloga valutazioe asitotia otteuta i preedeza. + Siao ab,, R o a > ; osideriamo ioltre m, m N : m+ m > 0 e defiiamo T ( ) mediate la seguete equazioe: b = (46) T ( ) = mt + mt + b a a Allora, posto m= m+ m, T ( ) soddisfa le relazioi (44). Per arrivare a tale risultato si devoo osiderare separatamete i tre asi m< a, m= a, m> a previsti dalle (44). Ioltre si deve porre m = 0, m = m> 0 per otteere ua maggiorazioe e m = 0, m = m> 0 per otteere ua miorazioe. Per oguo di questi sei asi omplessivi si osservi he = log a odue a Ta ( ) T ( ) Ta ( + ) essedo T ( ) mootoa o deresete. A questo puto possiamo valutare Ta ( ) e Ta ( + ) usado i risultati del puto (44) e oludere, ad esempio, he T ( ) =Θ ( ). 7

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