Le progressioni geometriche. Dai chicchi di riso ai frattali passando per la crescita esponenziale: Un ipotesi di percorso didattico

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1 Le progressioni geometriche Dai chicchi di riso ai frattali passando per la crescita esponenziale: Un ipotesi di percorso didattico

2 Tre ipotesi per una chiacchierata (e per un percorso didattico)

3 La ricompensa dell inventore degli scacchi Secondo la leggenda, l inventore degli scacchi chiese al Re, come ricompensa, un quantitativo di riso così calcolato: 1 chicco sulla prima casella 2 chicchi sulla seconda casella 4 chicchi sulla terza casella 8 chicchi sulla quarta e così via, fino alla 64ma casella!

4 Duplicatio scacherii

5 Il Re, avrà riso? Il doppio senso è pienamente giustificato! Infatti: Chicchi = Prima di calcolare il valore di questa somma, osserviamo che il numero di chicchi su ogni casella forma una progressione geometrica: una successione in cui il rapporto tra un termine e il precedente è costante.

6 Problemi di successione (non solo per il Re!) Una progressione geometrica è una successione il cui termine generico è a n = a 0 q n 1, q, q 2, q 3,..., q n 1 (a 0 :=1) La somma dei primi n termini è S n =1+ q q n 1 := n 1 q k k=0

7 Quanto fa S? n = q k Si sfrutta il seguente artificio: S n =1+ q q n 1 n 1 k=0 q S n = q + q q n 1 + q n ( 1 q)s n =1 q n S n = 1 qn 1 q

8 Un ponte per la Luna! Piccolo esercizio Basta prendere un foglio di carta, di spessore d, e piegarlo in due, poi ancora in due, di nuovo in due, e così via Infatti, ad ogni piegatura lo spessore raddoppia rispetto alla piegatura precedente: la distanza Terra-luna è circa 380 mila km, basta eseguire n piegature in modo tale che d 2 n 3, m 2 n n log 2 ( ) n 42

9 E il riso della ricompensa, quant è? A questo punto è semplice: Chicchi = = = Ora, supponendo che 16 chicchi di riso abbiano una massa di 1g, la ricompensa avrebbe massa M g = kg Di quante super-petroliere con capacità di carico pari a 200 mila tonnellate dovrebbe disporre il Re?

10 Pensiamo in grande (I) Quanto fa lim q n =? n Il risultato dipende dalla ragione. Infatti: ' + se q >1 ) ) 1 se q =1 lim q n = ( n 0 se q <1 ) ) / se q 1 *) Esercizio: dimostra quanto sopra. Suggerimento: sfrutta la disuguaglianza di Bernoulli 1+ x ( ) n 1+ nx x > 1 lim nx = + e n x > 0

11 Pensiamo in grande (II) E la somma di infiniti termini di una progressione geometrica, quanto fa? & + se q 1 ( 1 q n lim n 1 q = ( 1 ' se q <1 ( 1 q ( )? se q 1 Sul primo risultato, chiedere al Re, sul secondo a Zenone, mentre sul terzo

12 Somme infinite: una bella sfida! Attenzione! Sia T = T = T 3T =1 T = 1 2!!!!!!! Evidentemente, qualcosa non va. Questo è solo un piccolo esempio delle difficoltà che si incontrano nel passaggio dal finito all infinito!

13 Somme finite di infiniti termini: caro Zenone, si può fare!

14 La Bbanca dei sogni Nella Bbanca è possibile investire 1 al tasso di interesse del 100% annuo!!! Questo significa che dopo un anno il nostro investimento è raddoppiato: = 2 E se l interesse fosse calcolato ogni sei mesi al tasso semestrale composto del 50%?

15 La capitalizzazione conveniente Si tratta del modo con cui una banca calcola gli interessi. L interesse composto è l interesse sull interesse. Infatti, nella capitalizzazione semestrale, l interesse maturato nei primi sei mesi va a comporre, insieme al capitale inizialmente versato (nel nostro caso 1 ), la base di calcolo dell interesse dei restanti sei mesi:

16 Ogni sei mesi è meglio! = " 1+ 1 % $ ' # 2& 1 " 1+ 1 % $ # 2& '+ " 1+ 1 % $ # 2 ' 50 & 100 = " 1+ 1 % $ ' # 2& mesi mesi mesi 2 = 2,25 Di nuovo una progressione geometrica, pare

17 Qual è la soluzione migliore (per chi investe)? E vero quindi, che più spesso ci vengono capitalizzati gli interessi, migliore è l investimento? Facciamo due conti, e vediamo cosa succede in caso di capitalizzazione mensile, settimanale, giornaliera, oraria,

18 Verso la capitalizzazione istantanea CAPITALIZZAZIONE MONTANTE annuale 1+1! semestrale 1+ 1 $ # & " 2%! mensile 1+ 1 $ # & " 12%! settimanale 1+ 1 $ # & " 52%! giornaliera(360) 1+ 1 $ # & " 360%! oraria 1+ 1 $ # & " 8.640%! 1 $ /min # 1+ & " % ( ) = ! 1 $ /sec # 1+ & " % 2 = 2,25 = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2,718282

19 La capitalizzazione istantanea e il numero di Nepero e All aumentare della frequenza con cui vengono corrisposti gli interessi, il montante alla fine del primo anno tende al valore di euro 2, Si tratta del numero di Nepero, limite della successione: # lim 1+ 1 & n % ( $ n ' n = 2, := e

20 L importanza del numero di Nepero Il numero di Nepero è anche la base dei logaritmi naturali, uno strumento di calcolo ideato da Nepero per meglio operare con numeri molto grandi, di cui quest anno ricorre il 400-mo anniversario della loro presentazione nell opera mirifici logarithmorum canonis descriptio.

21 Una questione di interesse generale : dal numero di Nepero alla funzione esponenziale E se l interesse, capitalizzato istantaneamente, fosse del generico x% annuo, quanto sarebbe il valore del montante alla fine del primo anno? Dobbiamo calcolare un limite del tipo: Come si fa? # lim 1+ x & n % ( $ n ' n =?

22 trucchi del mestiere Sappiamo che Ora, quando n è grande poniamo # lim 1+ x & n % ( $ n ' x n := 1 m n # lim 1+ 1 & n % ( $ n ' n = 2, := e x n 1 n e riconduciamoci così al limite # = lim 1+ 1 & m % ( $ m ' mx )# = lim 1+ 1 & + m % ( * + $ m ' m,. -. x = e x

23 e doverose precisazioni Se x fosse un numero naturale nulla da eccepire: si moltiplica e per se stesso x volte ( limite del prodotto ). La questione si complica formalmente quando x è un numero, ad esempio, irrazionale. La teoria dei numeri reali, fortunatamente, ci viene in soccorso, ma non approfondiremo qui la questione (assioma di continuità)!

24 La funzione esponenziale: adesso è realtà! Il montante quindi, è funzione del tasso x: ( ) := e x f x Immaginando di far variare x su tutto l insieme dei numeri reali, giungiamo alla definizione di funzione esponenziale: f : R R + x! y = e x

25 Il grafico della funzione esponenziale

26 La funzione esponenziale e i modelli di crescita In natura sono presenti svariate situazioni in cui la velocità con cui varia il numero di individui di una certa popolazione, è proporzionale al numero di individui all inizio del periodo di riferimento. Il decadimento radioattivo dovuto all instabilità del nucleo. La crescita di una popolazione in presenza di risorse illimitate.

27 La funzione esponenziale risolve l equazione del modello

28 Datazione di reperti con il metodo del C14 Al momento della morte di un essere vivente, l isotopo radioattivo 14 C presente nel suo organismo, comincia a decadere, con un tempo di dimezzamento di circa 5730 anni. Supponendo che il 14 C contenuto in un frammento osseo di massa m = 2g faccia registrare 22 decadimenti al minuto, si stabilisca l età del frammento, sapendo che un uomo in vita produce 15 decadimenti al minuto per grammo di massa corporea..

29 n 0 La soluzione: le variabili in gioco : numero di particelle, al momento del decesso, all interno dell organismo; t : tempo trascorso dal decesso all inizio della rilevazione dei 22 decadimenti; t +1: un minuto dopo t;

30 La soluzione: le equazioni risolventi Nel primo minuto dopo il decesso si hanno ancora 15 decadimenti per grammo; Tra il tempo t e il tempo t+1 si hanno 22 decadimenti al minuto, quindi: n( 1) n( 0) = 15 2 n 0 e λ n 0 = 30 n( t +1) n( t) λ( t+1) = 22 n 0 e n0 e λt = 22

31 Come la mettiamo con il numero iniziale di isotopi, e con il parametro λ? Il tempo di dimezzamento permette di calcolare il parametro λ : 1. 2 = e λ 5730a λ = ln a 1 Il numero iniziale di isotopi è un dato superfluo: dividendo membro a membro le due equazioni scritte in precedenza otteniamo: e ln a 1 t 11 = 11 ln 15 t = ln2 a = 2654a

32 La funzione esponenziale e i numeri complessi Si tratta di uno dei collegamenti più affascinanti della Matematica, per la cui trattazione occorrerebbero conoscenze di Analisi infinitesimale non proprio banali Tuttavia, alcune speculazioni non rigorose possono farci intravedere il risultato. Si parte da un numero complesso di modulo unitario, espresso in forma trigonometrica: z = cosθ + i sinθ

33 La formula di De Moivre ed un interessante analogia La relazione cosθ + i sinθ come formula di De Moivre, generalizza il prodotto di due numeri complessi, che presentiamo insieme al prodotto di due potenze. ( ) n = cosnθ + i sinnθ z 1 z 2 = cos( θ 1 +θ ) 2 + i sin( θ 1 +θ ) 2 e x 1 e x 2 = e x 1 +x 2 L analogia è tra la somma degli angoli e la somma degli esponenti, nota

34 Un ragionamento audace In questo ragionamento consideriamo n grande, in modo tale da giustificare le seguenti, grossolane, approssimazioni: cos θ n 1 sin θ n θ n Passando al limite per n.

35 Una conclusione straordinaria: la forma esponenziale di un numero complesso ( ) = # cos θ n + i sinθ n z = cosθ + i sinθ! " $ & % n! # 1+ iθ " n $ & % n! z = lim 1+ iθ n # " n $ & % n = e iθ

36 L identità di Eulero Dalla relazione 1= ( cosπ + i sinπ ) = e iπ segue quella che, non a torto, è considerata l equazione più bella della Matematica: la cosiddetta identità di Eulero: e iπ +1= 0 Questa relazione contiene i 5 numeri più importanti della Matematica

37 La divina proporzione b : a = a : b a

38 La sezione aurea Φ a : b = b a : a b 2 ab a 2 = 0 b a = := Φ

39 La successione dei rettangoli aurei

40 La successione dei lati corti e quella dei lati lunghi a confronto La# cor# a b- a 2a- b 2b- 3a 5a- 3b 5b- 8a 13a- 8b La# lunghi b a b- a 2a- b 2b- 3a 5a- 3b 5b- 8a

41 Lati lunghi e lati corti: le leggi ricorsive " $ $ # $ $ % c 0 = a l 0 = b c n+1 := l n c n l n+1 := c n " $ # $ % $ " $ # $ % $ l 0 = b l 1 = a l n+2 = l n l n+1 c 0 = a c 1 = b a c n+1 = c n 1 c n

42 Il rettangolo aureo in architettura

43 Il rettangolo aureo nel corpo umano

44 Leonardo Pisano detto il Fibonacci Pisa,

45 Dicono di lui Viaggiatore al seguito del padre, facoltoso mercante, ebbe modo di venire a conoscenza delle opere dei matematici arabi. Fu autore del liber abbaci e della Practica geometriae. Fibonacci è noto soprattutto per la sequenza di numeri da lui individuata e conosciuta, appunto, come successione di Fibonacci" - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, in cui ogni termine, a parte i primi due, è la somma dei due che lo precedono Una particolarità della sequenza o successione di Fibonacci è che il rapporto fra le coppie di termini successivi aumenta progressivamente per poi tendere molto rapidamente al numero 1, , noto con il nome di rapporto aureo o sezione aurea.

46 La successione di Fibonacci: definizione ricorsiva La successione di Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21,! # " # $ # a 0 =1 a 1 =1 a n+2 = a n+1 + a n 1 1, 2 1, 3 2, 5 3, 8 5,13 8, , Il rapporto tra un termine ed il successivo tende ad un valore costante: si riconosce una parentela con la progressione geometrica

47 La successione di Fibonacci: il termine generico La convergenza del rapporto tra un termine ed il precedente induce la ricerca di soluzioni della forma dell equazione data dalla legge ricorsiva: x n ( x 2 x 1) = 0 x = 1± 5 x n+2 = x n+1 + x n x n 2. Da queste soluzioni segue, imponendo le condizioni a 0 =1,a 1 =1 alla soluzione generale! a n = A 1+ 5 $ # " 2 & % n! + B 1 5 $ # " 2 & % n a n = 1! 1+ 5 $ # 5 " 2 & % n 1! 1 5 # 5 " 2 $ & % n

48 Costruzione approssimata dei rettangoli aurei mediante la successione di Fibonacci

49 Lati lunghi e lati corti Applichiamo quanto visto alle successioni dei lati lunghi e corti. Risulta: c n+2 = c n+1 + c n c n ( c 2 + c 1) = 0 c = = Φ 1 := ϕ l n+2 = l n+1 + l n l n ( l 2 + l 1) = 0 l = = Φ 1 := ϕ 1 5 2

50 La somma delle aree dei rettangoli aurei Con le condizioni iniziali a =1 b = Φ è possibile determinare i termini generici delle successioni dei lati lunghi e corti: " l n = A 1+ 5 % $ # 2 ' & n " + B 1 5 % $ # 2 ' & La somma delle aree dei rettangoli aurei è quindi: A = lim n n k=0 l n c n lim n n Φϕ 2n = Φ( 1 k=0 ' n l n = Φϕ n c n = ϕ n & 1 ϕ 1 ) + =... = Φ 2 2 *

51 La spirale logaritmica e i problemi d inseguimento

52 L equazione della spirale logaritmica in coordinate polari: uno sguardo sul futuro

53 Il grafico della spirale logaritmica: le distanze tra i bracci formano una progressione geometrica 1% 0,8% 0,6% 0,4% 0,2% 0%!1%!0,8%!0,6%!0,4%!0,2% 0% 0,2% 0,4% 0,6% 0,8% 1% 1,2%!0,2%!0,4%!0,6%!0,8%

54 La spirale di Fibonacci quarti di circonferenza inscritti nei quadrati

55 Esercizio! Tracciare il grafico della curva definita a pezzi : y = # % % % $ % % % & 25 x 2 0 x x 2 3 x ( x +1) 2 3 x ( x +1) 2 1 x 0

56 φ-1 1/φ3 La spirale logaritmica e quella di Fibonacci a confronto

57 Non poteva mancare lei

58 Spirali del cavolo (romanesco)

59 Una curva nell occhio del ciclone

60 E per finire con i numeri di Fibonacci, una curiosità: Sono noti a tutti i coefficienti binomiali relativi allo sviluppo della potenza del binomio! # " n k ( p + q) n = $ & = % n k=0 n! k! ( n k)! caratterizzante, ad esempio, lo studio dei processi bernoulliani.! # " n k $ & p k q n k %

61 I coefficienti binomiali e il triangolo di Tartaglia E noto che i coefficienti binomiali, detti anche numeri di Pascal, si prestano ad una rappresentazione grafica mediante un diagramma ad albero, il famoso triangolo di Tartaglia ! # " n k $ & = %! # " n 1 k $! &+# % " n 1 k 1 $ & %

62 Il triangolo di Tartaglia e i numeri di Fibonacci

63 Le progressioni geometriche nello studio dei frattali: la dimensione euclidea Cosa vuol dire che un cubo ha dimensione 3? Quella che chiamiamo dimensione, è la del cubo: un numero tale che, se riduciamo la dimensione lineare di un fattore cubi simili. 1 l, il cubo contiene N = l D

64 Il significato geometrico di dimensione euclidea

65 La curva di Von Koch Un segmento di lunghezza unitaria viene diviso in tre parti, si cancella il tratto centrale e si costruisce un triangolo equilatero sul tratto mancante: si ottengono così 4 copie del segmento di partenza, contratte di un fattore 3. La successione dei perimetri ottenuti iterando il procedimento è una progressione geometrica: 4 3 = lim n % ' & 4 3 ( ) * n = +

66 La dimensione della curva di Koch

67 Il triangolo di Sierpinsky consideriamo un triangolo equilatero. Se dimezziamo i laa, oceniamo N=3 triangoli simili a quello di partenza, in esso contenua. Adesso dimezziamo il lato di ognuno di quesa tre triangoli (l=2*2) : oceniamo N=3*3=9 triangoli simili a quello di partenza. Dimezziamo il lato di ognuno di quesa (l=2*2*2=8): oceniamo N=3*3*3=27 triangoli e così via.

68 Triangolo di Sierpinsky: perimetro infinito e area zero! Calcoliamo il perimetro e l area del triangolo di Sierpinsky:, $ = 3( l ) k N k = $ ' & 3' n /. & ) 3 k % 2( ) 1. 1 = lim3 k=0 % 2 k k. k=0 ( $ 1 & 3' 1 = +. % 2( ) A = lim k l 1 ( ) N k k = lim k 2 La dimensione frattale è N = l D frattale 3 k = 2 kd frattale 3 2 $ & % 1 2 k ' ) ( 2 3 k = 0 D frattale = ln3 ln2 1,585

69 Il tappeto di Sierpinsky Per costruire questa figura geometrica (frattale autosimile), si parte da un quadrato, lo si divide in 9 quadrati uguali, e si toglie il quadrato centrale. Questo procedimento viene ripetuto per ognuno degli 8 quadrati rimanenti e si continua a dividere ciascuno degli 8 quadrati in 9 quadratini, sempre togliendo quello centrale. Questo procedimento continua a essere ripetuto. Il "Tappeto di Sierpinski" risulta essere composto da 8 copie di se stesso ognuna larga 1/3.

70 Esercizio: calcolare il perimetro, l area (euclidei!) e la dimensione frattale del tappeto

71 E per finire, un po di cinema hcp:// hcp:// hcp://