Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI. Soluzione per sistemi dinamici LTI TD

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1 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione per sistemi dinamici LTI TD

2 Soluzione per sistemi LTI TD Soluzione nel dominio del tempo Soluzione nel dominio della frequenza Esempio di soluzione 2

3 Soluzione per sistemi LTI TD Soluzione nel dominio del tempo

4 Descrizione di sistemi dinamici LTI TD Il comportamento dinamico di un sistema LTI TD è descritto dalle equazioni di ingresso stato uscita: x( k + 1) = Ax( k) + B u( k) y( k) = C x( k) + Du( k) Si ricorda che: x (k ) R n, u (k ) R p, y (k ) R q A R nxn, B R nxp, C R qxn, D R qxp 4

5 Il movimento di sistemi dinamici LTI TD Utilizzando le equazioni di stato: x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) si vuole calcolare l espressione x (k )del movimento dello stato a partire da uno stato iniziale x (0) = x 0 noto e a fronte dell ingresso u (k )noto k 0 5

6 La formula di Lagrange per il calcolo di x (k ) x( k + 1) = Ax( k) + Bu( k) L espressione di x (k ) può essere calcolata in modo iterativo: x(1) = Ax(0) + Bu(0) x(2) = Ax(1) + Bu(1) = A 2 x (0) + ABu (0) + Bu (1) x(3) = Ax(2) + Bu(2) = 3 2 = A x(0) + A Bu(0) + ABu(1) + Bu(2) k 1 k k i 1 x( k) A x(0) A Bu( i) = + i = 0 6

7 La formula per il calcolo di x (k ) L espressione di x (k ) si calcola con la seguente formula: k 1 k k i 1 x( k) = A x(0) A Bu( i) + = i = 0 x ( k ) = x ( k) + x ( k) f x ( k ) f x (k ) movimento libero dello stato x f (k ) movimento forzato dello stato Per il calcolo esplicito di x (k ) è utile fare ricorso alla trasformata zeta 7

8 Calcolo del movimento dell uscita (1/2) Il movimento dell uscita (risposta del sistema) y (k ) si ottiene dalla relazione statica: y ( k) = C x( k) + Du( k) dopo avere sostituito l espressione di x (k ) precedentemente ottenuta: k 1 k k i 1 y ( k) = CA x(0) + C A Bu( i) + Du( k) = y ( k ) = y ( k) + y ( k) f i = 0 y ( k ) f 8

9 Calcolo del movimento dell uscita (2/2) k 1 k k i 1 y ( k) = CA x(0) + C A Bu( i) + Du( k) = y ( k ) = y ( k) + y ( k) f i = 0 y ( k ) f y (k ) movimento libero dell uscita y f (k ) movimento forzato dell uscita Per il calcolo esplicito di y (k ) è utile fare ricorso alla trasformata zeta 9

10 Soluzione per sistemi LTI TD Soluzione nel dominio della frequenza

11 Schema della soluzione Il calcolo di x (k ) e y (k ) con la trasformata zeta avviene secondo lo schema: Equazioni in dom(k ) soluzione in dom(k ) x (k ), y (k ) Z Z -1 Equazioni in dom(z ) soluzione in dom(z ) X (z ), Y (z ) 11

12 Calcolo della soluzione (1/4) La soluzione nel dominio della frequenza si ottiene trasformando le equazioni di ingresso -stato -uscita: x( k + 1) = Ax( k) + B u( k) y( k) = C x( k) + Du( k) Z zx ( z ) zx (0) = AX ( z ) + B U ( z ) Y ( z) = C X ( z) + DU( z) e calcolando esplicitamente X (z ) e Y (z ) 12

13 Calcolo della soluzione (2/4) Per il movimento dello stato si ottiene: H0 ( z ) H ( ) f z ( ) 1 ( ) 1 X ( z) = z zi A x(0) + zi A B U( z) = x 0 x MOVIMENTO LIBERO MOVIMENTO FORZATO X ( z) = ( x ( k )) X ( z) = ( x ( k )) Z x = H ( z) x(0) + H ( z) U( z) f f x Z f 13

14 Calcolo della soluzione (3/4) Per il movimento dell uscita si ha: 0 RISPOSTA LIBERA Y ( z) = ( y ( k )) H ( z) MATRICE DI TRASFERIMENTO H0 ( z) ( ) 1 ( ) 1 Y ( z) = zc zi A x(0) + C zi A B + D U( z) Z = H ( z) x(0) + H( z) U( z) RISPOSTA FORZATA Y ( z) = ( y ( k )) f Z f H (z ) matrice di trasferimento del sistema (legame ingresso uscita) 14

15 Calcolo della soluzione (4/4) H x 0 (z ), H x f (z ), H 0 (z ), H (z ) sono matrici complesse i cui elementi sono funzioni razionali fratte nella variabile complessa z H (z ) è la matrice di trasferimento (legame tra l ingresso e l uscita) Per un sistema a p ingressi e q uscite H (z ) è una matrice a q righe e p colonne di funzioni razionali fratte della variabile z Se p = q = 1 (sistema SISO) H (z ) viene detta funzione di trasferimento 15

16 Soluzione per sistemi LTI TD Esempio di soluzione

17 Formulazione del problema Si consideri il seguente sistema dinamico LTI TD: xk ( + 1) = xk ( ) + uk ( ) yk ( ) = 1 1 xk ( ) Determinare l espressione analitica del movimento dello stato x (k ) e dell uscita y (k ) nel caso in cui L ingresso sia un gradino di ampiezza 2 (u (k ) = 2ε (k)) Le condizioni iniziali siano: x (0) =[1-2] T 17

18 Procedimento di soluzione I passi da seguire sono: Calcolo della soluzione X (z ) nel dominio della trasformata zeta Calcolo della scomposizione in fratti semplici (e dei corrispondenti residui) di X (z ) Calcolo di x (k ) tramite antitrasformazione della scomposizione in fratti semplici di X (z ) Calcolo di y (k ) tramite la relazione statica y (k ) = Cx(k ) 18

19 Impostazione dei calcoli in dom(z ) Soluzione nel dominio della trasformata zeta: Con: 1 1 ( ) ( ) X ( z) = z zi A x(0) + zi A BU( z) X ( z) X ( z) f z A =, B, x(0), U( z) = = = 2 2 z 1 19

20 Passi della soluzione in dom(z ) 1 1 ( ) ( ) X ( z) = z zi A x(0) + zi A BU( z) X ( z) X ( z) Per calcolare X (z ) procediamo con i seguenti passi: Calcolo del termine (z I A ) -1 Calcolo del movimento libero X l (z) Calcolo del movimento forzato X f (z ) Calcolo di X (z ) come X (z) = X l (z ) + X f (z ) Scomposizione i fratti semplici di X (z ) f 20

21 Calcolo di (z I A) -1 Ricordiamo che: ( zi A) = Adj ( zi A) det( zi A) z z z z = = = ( zi A) z z 3 = = ( z 3)( z + 0.5) 3.5 z det( zi A) Adj ( zi A) ( z 3)( z + 0.5) z

22 Calcolo di X l (z ) z 3 1 X ( z) z( zi A) x(0) z = = = 2 ( z 3)( z + 0.5) z x (0) 1 ( zi A) 1 z 3 = z 2z ( z 3)( z + 0.5) 22

23 Calcolo di X f (z ) z 3 1 Xf ( z) = ( zi A) BU( z) = U( z) = ( z 3)( z + 0.5) z B 1 ( zi A) z ( z 3)( z 1) z = = z 2z 9.5 z 1 4z 19 ( z 3)( z + 0.5) ( z 3)( z + 0.5)( z 1) 2z U( z) = z 1 23

24 Calcolo di X (z ) X (z ) viene calcolato come somma di X l (z ) e X f (z ) X( z) = X ( z) + X ( z) = f X ( z) X2( z) 1 = z + 1 ( z 3)( z 1) z 2 2z + 8.5z 21.5 ( z 3)( z + 0.5)( z 1) 24

25 Scomposizione in fratti semplici di X (z ) z + 1 (1) (1) R1 R 2 + ( z 3)( z 1) z 3 z 1 X( z) = z = z 2 (2) (2) (2) 2z + 8.5z 21.5 R1 R2 R 3 ( z 3)( z 0.5)( z 1) z 3 z z 1 25

26 Calcolo dei residui per X 1 (z ) (1) (1) X1( z) z + 1 R1 R2 X1( z) = = = + z ( z 3)( z 1) z 3 z 1 (1) z + 1 R1 = lim( z 3) X1( z) = lim( z 3) = 2 z 3 z 3 ( z 3)( z 1) (1) z + 1 R2 = lim( z 1) X1( z) = lim( z 1) = 1 z 1 z 1 ( z 3)( z 1) 2 1 X1( z) = z 3 z 1 2z z X1( z) = zx 1( z) = z 3 z 1 26

27 Calcolo dei residui per X 2 (z ) 2 (2) (2) (2) X2( z) 2z + 8.5z 21.5 R1 R2 R3 X2( z) = = = + + z ( z 3)( z + 0.5)( z 1) z 3 z z 1 2 (2) R1 = lim( z 3) 2z + 8.5z 21.5 X2( z) = lim( z 3) = 2 z 3 z 3 ( z 3)( z + 0.5)( z 1) 2 (2) R2 = lim ( z + 0.5) X2( z) = lim ( 0.5) 2z + 8.5z 21.5 z + = z 0.5 z 0.5 ( z 3)( z + 0.5)( z 1) 2 (2) R3 = lim( z 1) 2z + 8.5z 21.5 X2( z) = lim( z 1) = 5 z 1 z 1 ( z 3)( z + 0.5)( z 1) X2( z) = + z 3 z z 1 X2( z) = zx 2z 5z 5z 2( z) = + z 3 z z

28 Risultato x (k ) Pertanto: X( z) 2z z X1( z) z 3 z 1 = = X2( z) 2z 5z 5z + z 3 z z 1 Si può procedere con l antitrasformazione k -1 Rz ricordando che Ra ε( k ) = Z z a x ( k) 23 1 k 1 ( ) = ( k) k k x2( k) = ε 23 5(0.5) + 5 xk 28

29 Risultato y (k ) L espressione del movimento dell uscita si ottiene dalla relazione y (k ) = C x (k ): k yk ( ) Cxk = ( ) = 1 1 ε( ) k k ( 0.5) 5 k = + ( k k ) = ( 0.5) 6 ε( k ) 29