Comunicazioni Radiomobili

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1 Università degli Studi di Siena Facoltà di Ingegneria Dipartimento di Ingegneria dell Informazione Comunicazioni Radiomobili Autore Abrardo Andrea Anno Accademico 2001/2002

2 Indice 1 Propagazione in ambiente radiomobile Attenuazioni deterministiche Attenuazioni aleatorie: shadowing Esercizio Attenuazioni aleatorie: Multipath fading Esercizio Fading selettivo in frequenza Esercizio Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza Tecniche a diversità Esercizio Interleaving Esercizio Esercizio Sistemi Spread Spectrum Introduzione Sistemi Frequency Hopping Direct Sequence L interferenza nei sistemi radiomobili Introduzione Tecniche di accesso multiplo FDMA e TDMA Utilizzo delle tecniche SS per l accesso multiplo al canale Esercizio Esercizio Sistemi cellulari Introduzione Gestione delle risorse radio Esercizio Esercizio Cell Planning Esercizio Cell planning: modello statistico Esercizio Utilizzo di antenne direttive

3 Indice 6 Handover e mobilità Gestione della mobilità Hard Handover Esercizio Soft Handover Cell planning in sistemi DS-CDMA Il controllo di potenza Radio Link Budget Valutazione della capacità Esercizio ii

4 Capitolo 1 Propagazione in ambiente radiomobile 1.1 Attenuazioni deterministiche Nella trasmissione di segnali in ambiente radiomobile si ha a che fare con un antenna trasmittente che emette il segnale ed un antenna ricevente che lo riceve (Fig. 1.1). Qualora tale trasmissione avvenga nello spazio Figura 1.1 libero, la propagazione del segnale può essere efficacemente modellata dall equazione della tratta: G rx G tx P rx = P tx (4πR/λ) 2 (1-1) dove P tx, P rx, G tx, G rx, R, λ, sono rispettivamente la potenza trasmessa, la potenza ricevuta, il guadagno di antenna in trasmissione, il guadagno di antenna in ricezione, la distanza fra trasmettitore e ricevitore e la lunghezza d onda. Si definisce path-loss L p l attenuazione di potenza che è data in questo caso da: Se ci riferiamo al termine in (1-2) espresso in db 1, si ha: L p = (4πR/λ) 2 (1-2) L p = log 10 f + 20log 10 R. (1-3) dove f è la frequenza di trasmissione del segnale. Nella (1-3) si è tenuto conto della relazione che intercorre nello spazio libero: λf = c, essendo c la velocità della luce. 1 Adotteremo la convenzione di esprimere le quantità in db tramite una sopralineatura.

5 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile La relazione (1-2), come detto, vale solo se la propagazione avviene nello spazio libero. Quando la propagazione avviene nell atmosfera terrestre, come nel caso dei sistemi radiomobili, tale relazione può essere ritenuta ancora valida in prima approssimazione solo se esiste un collegamento in vista fra trasmettitore e ricevitore. Nelle comunicazioni radiomobili terrestri questo non è quasi mai verificato. Infatti, a causa della presenza di ostacoli (colline, palazzi, alberi, etc.), il collegamento è spesso reso possibile soltanto attraverso riflessioni e diffrazioni da spigoli. Poiché in questo caso le condizioni di propagazione dipendono fortemente dal tipo di ambiente, risulta assai difficile trovare un equazione della tratta per i sistemi radiomobili. Se ad esempio consideriamo un ambiente urbano ed operiamo delle misure di path-loss ad una certa frequenza (ad esempio a 900 MHz), ci accorgiamo che il path-loss non dipende solo dalla distanza R ma risulta fortemente variabile nello spazio (fino ad oscillazioni di svariati db in pochi centimetri). Un metodo per studiare le condizioni di propagazione di un siffatto ambiente potrebbe essere quello di affidarsi a delle mappe geografiche (GIS, ovvero Geographical Information Systems) molto dettagliate del territorio con una risoluzione dell ordine di una frazione di lunghezza d onda 2, ottenute tramite campagne di misura. Effettuare delle campagne di misura con questo livello di dettaglio risulterebbe tuttavia praticamente impossibile. La soluzione è quella di affidarsi a dei modelli deterministici per caratterizzare il path-loss ad un livello di dettaglio grossolano (svariate lunghezze d onda) lasciando la caratterizzazione del livello di dettaglio più fine a modelli statistici. Sulla base di campagne di misura effettuate su vari ambienti (urbano, collinare, rurale) si è infatti visto che considerando un livello di dettaglio dell ordine dei 100 m (ad una frequenza di 900 MHz) si ottengono mappe in cui il path-loss dipende spazialmente soltanto dalla distanza R fra ricevitore e trasmettitore. Ovviamente, per ottenere questo risultato occorre che le misure di path-loss prese a intervalli di 100 m l una dall altra siano ottenute mediando su molte misure effettuate a distanze molto minori di 100 m. Il path-loss macroscopico, indicato per comodità semplicemente path-loss L p, è dato in generale da: L p = C 1 + C 2 log 10 f + C 3 log 10 R. (1-4) L p in (1-4) viene anche detto path-loss deterministico in quanto i parametri da cui dipende sono tutte grandezze deterministiche. In particolare, C 1, C 2, e C 3 sono costanti che dipendono strettamente dell ambiente di propagazione. A titolo di esempio si riporta la seguente tabella ottenuta per quattro tipologie di ambiente cellulare terrestre. Spazio libero Urbano Collinare Rurale C C C Tabella 1. I valori in Tabella possono essere considerati come valori di riferimento per la progettazione di sistemi cellulari qualora non siano disponibili mappe macroscopiche del territorio. Si può notare come, negli ambienti considerati, l attenuazione tenda a crescere più rapidamente con R e con f rispetto al caso dello spazio libero. Spesso interessa per il dimensionamento delle celle l andamento di L p con R. In accordo con la Tabella 1, si ha che la potenza decresce con R α, con α = 3.5. Questo vuol dire, per esempio, che la potenza misurata a distanza 2R risulta essere circa 11 volte inferiore alla potenza misurata a distanza R. 1.2 Attenuazioni aleatorie: shadowing La Tabella 1 consente di caratterizzare le condizioni di propagazione a livello macroscopico. Consideriamo ora ciò che accade in un intorno del ricevitore. Anche se l attenuazione media valutata in una zona di dimensioni elevate assume un certo valore fissato, a causa della presenza di ostacoli nelle vicinanze del ricevitore (o del 2 Alla frequenza di 900 MHz la lunghezza d onda vale 33 cm. 2

6 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile trasmettitore) si possono avere forti variazioni in pochi metri delle condizioni di propagazione (si veda Fig. 1.2). Figura 1.2 In questo caso possiamo scrivere: N P rx = P tx L p + G tx + G tx + Γ n (1-5) i=1 dove Γ n rappresentano i guadagni espressi in db dovuti alla presenza o meno di ostacoli. Assumendo che tali contributi possano essere con eguale probabilità maggiori (guadagni) o minori (attenuazioni) di zero e che il loro numero sia molto elevato, il termine N L s = Γ n (1-6) i=1 denominato shadowing, può essere modellato come una variabile aleatoria Gaussiana a valor medio nullo e varianza σs. 2 In questo caso si ha: { } F s (x) = P rob. L s x = 1 [ 1 + erf 2 ( x 2σs )] f s (x) = df s(x) dx = 1 e x 2πσ 2 s 2 2σ 2 s (1-7) dove f s (x) e F s (x) sono rispettivamente la funzione densità di probabilità e la funzione distribuzione cumulativa di L s, mentre erf è la funzione errore definita come: erf(x) = 2 π x 0 e y2 dy (1-8) Per dare un idea dell effetto dello shadowing sulla propagazione del segnale e della sua differenza con l attenuazione di path-loss precedentemente definita, si faccia riferimento alla Fig. 1.3, dove viene riportato un 3

7 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile Figura 1.3 tipico andamento dell attenuazione complessiva L p + L s per un ricevitore che si allontana dal trasmettitore (in ascisse viene riportata la distanza R fra tx e rx). Ovviamente lo shadowing sarà caratterizzato da una certa correlazione spaziale. Se infatti le dimensioni degli ostacoli sono molto grosse, ci si aspetta che la variazione dell attenuazione aleatoria dovuta allo shadowing sia trascurabile per piccoli spostamenti (shadowing molto correlato). Viceversa, quando gli ostacoli hanno piccole dimensioni si hanno grosse variazioni dello shadowing anche per piccoli spostamenti (shadowing poco correlato). Per caratterizzare matematicamente il comportamento spaziale dello shadowing si fa spesso riferimento al seguente modello molto semplice di correlazione: [ ] R Ls = E L s (x 1 )L s (x 2 ) = σs 2 R 1,2 D ɛd (1-9) dove L s (x 1 ) e L s (x 2 ) sono i valori dello shadowing in due punti dello spazio x 1 e x 2, D è la dimensione media degli ostacoli, R 1,2 rappresenta la distanza fra i punti x 1 e x 2, ɛ D rappresenta il coefficiente di correlazione a distanza D mentre E rappresenta l operatore di media statistica Esercizio Consideriamo uno shadowing caratterizzato da σ 2 s = 100, D = 100, ɛ D = 0.5. Supponiamo che tale shadowing in un certo punto dello spazio valga -20 db (L s (x 1 ) = -20). Valutare la probabilità che il valore dello shadowing a distanze R 1,2 = 10 m, R 1,2 = 100 m, e R 1,2 = 1000 m sia minore di -10 db. Per caratterizzare il comportamento congiunto di due variabili Gaussiane correlate a valor medio nullo (nel nostro caso L s (x 1 ) e L s (x 2 )) si può ricorrere al modello: L s (x 2 ) = ρl s (x 1 ) + n (1-10) dove ρ è il coefficiente di correlazione fra le due variabili aleatorie e n è una variabile aleatoria Gaussiana indipendente da L s con valor medio nullo e varianza σ 2 n. I termini ρ e σ 2 n possono essere valutati nel nostro caso dalle seguenti relazioni: [ ] E L s (x 2 )L s (x 1 ) = ρσs 2 = σs 2 R 1,2 D ɛd R 1,2 D ρ = ɛd { [ ] } 2 ( σs 2 = E L s (x 2 ) = ρ 2 σs 2 + σn 2 σn 2 = 1 ρ 2) σs 2 (1-11) 4

8 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile Quindi, nel nostro caso si ha direttamente dalle (1-10) e (1-11): L s (x 2 ) = R 1, n (1-12) [ ( σn 2 = R 1,2 100 ) 2 ] Quindi valutare la probabilità che L s (x 2 ) sia minore di -10 db equivale a valutare la probabilità: { } { P rob. L s (x 2 ) < 10 = P rob. n < R 1,2 100 } = erf R1, σn (1-13) { } Nel nostro esempio si ha per R 1,2 = 10 m, R 1,2 = 100 m, e R 1,2 = 1000m, P rob. L s (x 2 ) < 10 = 0.992, 0.5, Attenuazioni aleatorie: Multipath fading Oltre allo shadowing esiste un altro fenomeno che comporta oscillazioni nella potenza ricevuta. Tale fenomeno è denominato multipath fading ed è dovuto al fatto che, a causa di fenomeni di riflessioni e diffrazioni, al ricevitore arrivano in genere una grande quantità di repliche dello stesso segnale trasmesso ciascuna ritardata ed attenuata in maniera indipendente dalle altre (si veda Fig. 1.4). Denominiamo con x(t) il segnale Figura 1.4 trasmesso. Il segnale ricevuto y(t) in presenza di fenomeni di multipath fading sarà dato da 3 y(t) = N 1 n=0 α n x(t τ n ) (1-14) 3 Nella rappresentazione del segnale ricevuto si trascura il rumore additivo bianco e Gaussiano per semplicità di trattazione. 5

9 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile dove α n e τ n sono rispettivamente l attenuazione ed il ritardo del cammino n simo [ e N è il numero di cammini. Se rappresentiamo x(t) tramite il suo inviluppo complesso, cioè x(t) = Re x(t)e j2πf 0t ]4, si ottiene ovvero y(t) = Re ỹ(t) = [ N 1 n=0 N 1 n=0 α n x(t τ n )e j2πf 0τ n ] e j2πf 0t (1-15) α n x(t τ n )e j2πf 0τ n (1-16) Facciamo ora l ipotesi che il segnale trasmesso rimanga grossomodo costante in un intervallo di tempo pari alla massima dispersione temporale τ N τ 1. In questo caso x(t τ 1 ) = x(t τ 2 ),..., = x(t τ N ) ovvero ỹ(t) N 1 N 1 = x(t) α n e j2πf 0τ n = x(t) α n [cos(ϕ n ) jsin(ϕ n )] = (X + jy ) x(t) (1-17) n=0 n=0 dove ϕ n = 2πf 0 τ n. A causa dei valori molto elevati di frequenza che si considerano nelle applicazioni radiomobili (prossimi o addirittura superiori al GHz), anche i cammini che arrivano con differenze di ritardo molto piccole sono comunque sfasati in maniera del tutto indipendente fra loro. In altri termini, gli sfasamenti ϕ n possono essere modellati come variabili aleatorie indipendenti fra loro e uniformemente distribuite fra 0 e 2π. Ovviamente, data l imprevedibilità dei fenomeni coinvolti nel multipath fading, anche le attenuazioni α n possono essere considerate come variabili aleatorie indipendenti fra loro. Se in particolare le consideriamo come variabili aleatorie caratterizzate dalla stessa varianza e assumiamo N molto grande, il teorema del limite centrale consente di modellare il guadagno complesso X + jy come una variabile aleatoria Gaussiana, ovvero X e Y possono essere considerate variabili aleatorie Gaussiane indipendenti a valor medio nullo e con la stessa varianza. In questo caso, il modulo del segnale ricevuto diventa: ỹ(t) = A x(t) (1-18) dove A = X 2 + Y 2 è una variabile aleatoria distribuita secondo Rayleigh 5. Poiché la potenza di un segnale è proporzionale al modulo quadro del suo inviluppo complesso, dalla (1-18) possiamo scrivere: P rx = A 2 P tx. (1-19) Nel caso in cui A sia distribuita secondo Rayleigh, Ω = A 2 è distribuita in maniera esponenziale, ovvero F Ω (x) = P rob. {Ω x} = 1 e f Ω (x) = df Ω(x) dx = 1 E(Ω) e x E(Ω) x E(Ω) (1-20) dove E(Ω) è il valor medio del guadagno di canale che, tenendo conto delle perdite dovute a path-loss e shadowing, può essere espresso come: E(Ω) = G txg rx L p L s. (1-21) Tenendo conto della (1-21), la (1-19) può essere riscritta come: P rx = G f G tx G rx L p L s P tx (1-22) 4 f 0 è la frequenza di trasmissione che vale ad esempio circa 900 MHz nel sistema GSM. 5 Per questo motivo il modello di multipath fading esposto viene spesso indicato come fading di tipo Rayleigh. 6

10 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile dove G f, definito guadagno di fading, è una variabile aleatoria a valor medio unitario (distribuita in maniera esponenziale nel caso Rayleigh). Osservando la (1-21) risulta evidente come il valor medio della potenza ricevuta debba essere in realtà considerato una variabile aleatoria a causa della presenza dello shadowing. Tuttavia, se consideriamo l attenuazione del segnale dovuta a path-loss e shadowing, questa può essere considerata costante su un area spaziale in cui lo shadowing risulta molto correlato (il raggio dell area è molto minore di D). All interno di tale area l attenuazione è soggetta a delle oscillazioni ulteriori distribuite in maniera esponenziale (nel caso in cui il fading sia di tipo Rayleigh). Il multipath fading comporta variazioni della potenza molto più repentine rispetto allo shadowing. Questo è dovuto al fatto che, spostandosi spazialmente di una certa distanza d, le varie repliche del segnale d vengono sfasate di una quantità che può assumere un qualsiasi valore aleatorio nell intervallo ±2πf 0 c. Basteranno allora spostamenti dell ordine di una frazione di lunghezza d onda (λ = c f 0 ) per variare in maniera consistente le fasi delle varie repliche, ovvero per scorrelare completamente il fading. Quindi, mentre le distanze di correlazione dello shadowing sono dell ordine delle decine di metri (grandezze degli ostacoli), quelle del fading sono dell ordine dei centimetri (frazioni di lunghezza d onda). A titolo di esempio, in Fig. 1.5 si riporta l esempio di Fig. 1.3 nel caso in cui si consideri anche l attenuazione dovuta a multipath ( fading. Con L f si è indicata l attenuazione dovuta al fading espressa in db, ovvero L f = 10log 1 10 G f ). Oltre alla correlazione spaziale, un altro parametro molto importante che caratterizza il fading è il tempo di correlazione t, che può essere definito come il tempo necessario affinché il fading si decorreli. Tale parametro dipende dalla distanza di decorrelazione d e dalla velocità v del mezzo mobile secondo la relazione: t = d v = λ v (1-23) dove si è considerato come distanza di decorrelazione la lunghezza d onda. frequenza Doppler f D = f 0 v/c, la (1-23) può essere riscritta come: Introducendo il parametro t = 1 f D (1-24) Figura 1.5 7

11 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile Esercizio Consideriamo un collegamento uplink (da mobile a stazione radio base). Un problema spesso da affrontare è quello di stabilire la regione di copertura, ovvero la massima lontananza alla quale può trovarsi il mobile senza pregiudicare la qualità del collegamento. Questo problema viene detto radio link budget in uplink. I parametri noti in un problema del genere sono: P tx,max : massima potenza che il mobile può trasmettere G tx, G rx : Guadagni delle antenne L c1, L c2 : Perdite di potenza nel collegamento trasm. antenna e antenna ricevitore N 0 : Densità spettrale di potenza media di rumore al ricevitore F R : Figura di rumore del ricevitore W : Banda del segnale R : Bit rate utilizzato γ b,s : Rapporto E b /N 0 fra Energia per bit e densità spettrale di potenza media di rumore richiesto (come minimo) per garantire il collegamento P o,s : Probabilità di disservizio accettata, ovvero massimo valore della percentuale di tempo in cui il collegamento non è garantito Modello di path-loss (Tabella 1) o alternativamente mappa geografica del path-loss Modello di shadowing e fading Frequenza f 0 in cui avviene la trasmissione Supponiamo in un primo tempo di trascurare i fenomeni aleatori (shadowing e fading) e di avere i seguenti dati: P tx,max = W G tx = 0, G rx = 18 L c1 = L c2 = 2 N 0 = 204 (N 0 = KT, con K = , T = 290) F R = 5 W = 200 khz R = 270 kbit/s γ b,s = 10 P o,s = 0.01 Path-loss secondo modello urbano (Tabella 1) f 0 = 900 MHz (GSM) 8

12 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile La prima cosa da fare è valutare la massima effettiva potenza trasmessa EIRP (Effective Isotropically Radiated Power): EIRP = P tx,max + G tx L c1 = (1-25) Adesso valutiamo la potenza di rumore in ingresso al ricevitore: P n = N 0 + W = 151. (1-26) Dal vincolo su E b /N 0, ricaviamo ora un vincolo sul rapporto segnale rumore minimo SNR o,min in uscita dal ricevitore di antenna: In ingresso al ricevitore di antenna sarà richiesto: SNR o,min = γ b,s R W = 13.5 SNR o,min = (1-27) SNR i,min = SNR o,min + F R = (1-28) Dato che il rapporto segnale rumore in (1-28) rappresenta la minima differenza fra la potenza di segnale e quella di rumore in ingresso al ricevitore di antenna, si ha che la potenza di segnale minima richiesta sarà: La massima potenza effettivamente ricevuta sarà: P rx,ric = P n + SNR i,min = (1-29) P rx,max = EIRP + G rx L c2 L p = 4.97 L p. (1-30) Affinché il collegamento sia garantito occorre che P rx,max > P rx,ric, ovvero L p < L p,max = (1-31) Si noti che in questo caso, avendo trascurato shadowing e fading, l attenuazione sul segnale risulta essere una variabile deterministica. Per cui la qualità del collegamento o è soddisfatta sempre (P o,s = 1) oppure mai (P o,s = 0). Il primo caso avviene quando è soddisfatta la (1-31). Considerando il modello di path-loss alla frequenza di 900 MHz per canale urbano si ha: Per cui dalla (1-31) si ricava la massima distanza R max : L p = log 10 (R) (1-32) log 10 (R max ) = 3.51 R max = 3235m (1-33) Assumiamo ora che vi sia un fading di tipo Rayleigh. In questo caso nell equazione della tratta compare l attenuazione di fading L f e la (1-31) va riscritta come L p + L f < (1-34) Il vincolo sulla probabilità di disservizio impone che la condizione (1-34) venga soddisfatta con probabilità 0.99, ovvero: } P rob. {G f > L p = (1-35) Chiamiamo con Γ la quantità Γ = L p. La (1-35) può essere riscritta come: P rob. {G f x 0 = 0.01} (1-36) dove x 0 = 10 Γ 10 9

13 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile Come visto in precedenza nel caso di modello di Rayleigh la variabile G f può essere modellata come una variabile aleatoria distribuita in maniera esponenziale con valor medio 1. Allora la (1-36) può essere riscritta come: 1 e x 0 = 0.01 x 0 = 0.01 (1-37) e quindi ovvero Γ = 20 L p = (1-38) Ovviamente la (1-38) rappresenta il massimo path-loss ammissibile affinché la probabilità di disservizio rimanga al di sotto della soglia stabilita La massima distanza R max si ottiene ora semplicemente sostituendo nella (1-32) il valore di L p valutato in (1-38), cioè: log 10 (R max ) = 2.93 R max = 868m (1-39) Se dovessimo considerare oltre al fading anche lo shadowing il ragionamento sarebbe analogo salvo il fatto che nella (1-34) dovremmo considerare { L f + L s } in luogo di L f. Per risolvere il problema occorrerebbe avere a disposizione la funzione P rob. L f + L s < x che non è agevole da ricavare. Tuttavia, spesso il fading può essere combattuto efficacemente con opportune tecniche trasmissive che saranno oggetto del prossimo capitolo. Viceversa, lo shadowing non può essere combattuto con la stessa facilità per cui rimane di fatto il fenomeno che limita le prestazioni del ricevitore o, in questo caso, il raggio di copertura. Risolviamo allora ancora una volta l esercizio precedente assumendo di poter trascurare il fading e considerando uno shadowing caratterizzato da una σ s = 6. Il problema si può ovviamente formulare come { } P rob. L p + L s < = 0.99 (1-40) Il primo passo è trovare x 0 tale che F S (x 0 ) = 1 2 [ ( )] x0 1 + erf = 0.99 (1-41) 2σs Il termine x 0 in questo caso può essere denominato come margine di shadowing in quanto si tratta del margine di potenza che occorre imporre affinché la qualità del collegamento sia garantita con probabilità P o,s. Per valutare x 0 si fa riferimento alla curva di F S (x 0 ) riportata in Fig. 1.6 per diversi valori di σ s. Nel nostro caso (σ s = 6) si ottiene x 0 = 14. Dalla (1-40) si ricava ora direttamente: L p,max = = (1-42) E ora immediato derivare dalla (1-32) la massima distanza R max = 1289m. 1.4 Fading selettivo in frequenza Nel precedente paragrafo abbiamo visto che il multipath fading produce un attenuazione supplementare aleatoria sul segnale trasmesso. Tuttavia, il modello di disturbo moltiplicativo ricavato in (1-17) è valido solo nell ipotesi che il segnale trasmesso rimanga grossomodo costante in un intervallo di tempo pari alla massima dispersione temporale τ N τ 1. Vediamo adesso di rimuovere questa ipotesi. Consideriamo un caso semplice di multipath a due soli cammini con α 1 = α 2 = α: ỹ(t) = α x(t τ 1 )e j2πf 0τ 1 + α x(t τ 2 )e j2πf 0τ 2 (1-43) 10

14 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile F S (x 0 ) σ s = 6 σ s = σ s = σ s = x 0 Figura 1.6 Il sistema canale è ovviamente un sistema lineare caratterizzato in questo caso dalla risposta impulsiva: h(t) = αδ(t τ 1 )e j2πf 0τ 1 + αδ(t τ 2 )e j2πf 0τ 2. (1-44) La risposta in frequenza equivalente passa basso del canale è data da: H(f) = αe j2π(f+f 0)τ 1 + αe j2π(f+f 0)τ 2 = 2αe jπ(f+f 0)(τ 1 +τ 2 ) cos [π(f + f 0 )(τ 1 τ 2 )]. (1-45) Il suo modulo normalizzato a 2α risulta quindi: H(f) = cos [π(f + f 0 )(τ 1 τ 2 )]. (1-46) In Fig. 1.7 viene riportato l andamento del modulo della risposta in frequenza per diversi valori della fase ϕ 0 = πf 0 (τ 1 τ 2 ). Si noti che, dato l alto valore di f 0 e l intrinseca natura aleatoria dei ritardi τ 1 e τ 2, il termine ϕ 0 va considerato come una variabile aleatoria uniformemente distribuita fra 0 e 2π. Quindi il comportamento in frequenza del sistema canale è anch esso aleatorio, nel senso che certe frequenze possono essere più o meno attenuate con una certa probabilità. Una caratteristica tipica del sistema canale non è tanto quindi la sua risposta in frequenza, quanto la correlazione della risposta in frequenza: R H ( f) = E[H(f+ f)h(f) ] = 4α 2 e jπ f(τ 1+τ 2 ) E {cos [π(f + f)(τ 1 τ 2 ) + ϕ 0 ] cos [πf(τ 1 τ 2 ) + ϕ 0 ]}. (1-47) Dalla (1-47), assumendo ϕ 0 uniformemente distribuito fra 0 e π, è facile ricavare: R H ( f) = 2α 2 e jπ f(τ 1+τ 2 ) cos [π f(τ 1 τ 2 )]. (1-48) La funzione di autocorrelazione in frequenza R H fornisce una misura di quanto il fading tenda a scorrelarsi in 1 frequenza. Nell esempio considerato, due frequenze che distano fra loro per una f molto minore di τ 1 τ 2 vengono trattate dal canale allo stesso modo (o entrambe attenuate o entrambre amplificate). Viceversa, 1 due frequenze che distano per una f dell ordine di τ 1 τ 2, o maggiore, vengono trattate in maniera del tutto indipendente. Si definisce banda di coerenza W l intervallo di frequenze entro il quale il canale rimane molto correlato. Tale termine viene generalmente posto uguale all inverso del delay spread σ, termine che indica a sua volta la dispersione temporale della risposta impulsiva (nel nostro esempio σ = 0.5 τ 1 τ 2 ). 11

15 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile 1.5 H(f) f 0 (τ 1 τ2)=2kπ+π/4 f 0 (τ 1 τ2)=2kπ f 0 (τ 1 τ2)=2kπ+3π/4 f 0 (τ 1 τ2)=2kπ+π/ f(τ 1 τ 2 ) Figura 1.7 Nel caso in cui la banda del segnale trasmesso sia molto minore di W, il sistema si può considerare non selettivo in frequenza. In questo caso, si ha: ỹ(t) ) = H(0) x(t) = (αe j2πf 0τ 1 + αe j2πf 0τ 2 x(t) (1-49) ovvero si ritorna al caso di fading moltiplicativo analizzato nel paragrafo precedente. Se invece la banda del segnale è comparabile, o addirittura superiore a W, il sistema si dice selettivo in frequenza e il modello di fading moltiplicativo non è più adatto a descriverne il comportamento. In questo caso infatti il segnale trasmesso oltre ad essere eventualmente attenuato viene anche filtrato, ovvero distorto, dal canale. La distorsione del segnale viene generalmente combattuta al ricevitore tramite l utilizzo di filtri equalizzatori che comportano un notevole incremento della complessità del ricevitore. Diamo ora una caratterizzazione della banda di coerenza W nel caso generale. Dall espressione (1-16), si ricava l espressione generale della risposta impulsiva: h(t) = N 1 n=0 α n δ(t τ n )e j2πf 0τ n = N 1 n=0 Ψ n δ(t τ n ) (1-50) dove Ψ n = α n e j2πf 0τ n. Facciamo l assunzione che i ritardi τ n siano multipli di un tempo T c, cioè τ n = nt c. Allora: h(t) = N 1 n=0 Ψ n δ(t nt c ) (1-51) ovvero h(t) può essere vista come il campionamento, con passo di campionamento T c, del processo Ψ(t). Si noti che affinché la rappresentazione (1-51) abbia valore occorre che il passo di campionamento T c sia minore della metà della banda del processo Ψ(t). Dalla definizione di trasformata di Fourier di processi campionati si ha: H(f) = N 1 n=0 Ψ n e j2πfntc. (1-52) I termini Ψ n sono in generale modellabili come variabili aleatorie complesse scorrelate a valor medio nullo (Gaussiane nel caso di canale Rayleigh): E [Ψ nψ n+m ] = { 0 se m 0 A n altrimenti (1-53) 12

16 Capitolo 1. Propagazione in ambiente radiomobile dove la funzione discreta A n rappresenta la distribuzione temporale di energia delle repliche del segnale che arrivano con ritardi nt c e viene comunemente detta multipath intensity profile. Il modello di multipath intensity profile scorrelato (1-53) viene detto uncorrelated scattering. Calcoliamo ora la funzione di autocorrelazione in frequenza: R H (f) = E [H(f + f)h (f)] = Sfruttando la proprietà (1-53) è facile ricavare: N N n 1 =1 n 2 =1 R H ( f) = E [H(f + f)h (f)] = E [ Ψ n1 Ψ n 2 ] e j2π(f+ f)n 1 T c e j2πfn 2T c. (1-54) N 1 n=0 A n e j2π fntc. (1-55) La banda di coerenza è quindi data dalla larghezza di banda di R H (f), che corrisponde alla trasformata di Fourier del multipath intensity profile A n. Spesso si fa riferimento ad un multipath intensity profile esponenziale A n = e ntc σ, dove σ = LT c viene detto delay spread e rappresenta il ritardo temporale al quale la potenza del multipath è diminuita di un fatore 1/e. In questo caso si ha W = 1/σ Esercizio Determinare il valore massimo del bit rate di una segnale trasmesso con una modulazione BPSK su un canale radiomobile caratterizzato da σ = 3µs affinché il sistema non sia selettivo in frequenza (ovvero il segnale non venga distorto). Nel caso di modulazione BPSK si ha che la banda del segnale B è circa uguale al bit rate 6. Allora, occorre che il bit rate risulti minore della banda di coerenza W = 1/σ = 333 kbit/s. Se la trasmissione avvenisse in ambiente collinare (σ = 10µs), allora il massimo bit rate sarebbe 100 kbit/s (da questo semplice esercizio si intuisce come nel caso del GSM, dove il bit rate è pari a 270 kbit/s, il segnale può risultare fortemente distorto dal canale nel caso di trasmissione in ambiente collinare). 6 Nel caso invece di modulazione QPSK la banda è circa la metà del bit rate 13

17 Capitolo 2 Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza 2.1 Tecniche a diversità Assumiamo che il canale sia non selettivo in frequenza. In questo caso l equazione della tratta può essere scritta come: P rx = G f G tx G rx L p L s P tx (2-1) dove G f è il guadagno (aleatorio) dovuto al fading. Come abbiamo visto il termine G f può comportare notevoli oscillazioni sul segnale ricevuto che a loro volta comportano un notevole deterioramento delle prestazioni del sistema (ad esempio nell esercizio si passa da una massima copertura di 3 km ad una di 800 m). Un modo per limitare gli effetti del fading è quello di utilizzare tecniche a diversità. Il concetto che sta alla base dei sistemi a diversità è quello di replicare per un numero di volte L la trasmissione del segnale su L canali indipendenti. Con la dizione canali indipendenti si intende il fatto che i canali sui quali si effettuano le trasmissioni multiple sono affetti da fading indipendenti. Abbiamo visto, ad esempio, che il fading tende a scorrelarsi temporalmente per effetto Doppler con un tempo di decorrelazione t = 1/f D. Quindi se si trasmettono due repliche dello stesso segnale a distanza temporale T > t l uno dall altra, i due segnali sono ricevuti con fading indipendenti. Si parla in questo caso di diversità nel tempo. Un altro modo per ottenere diversità è quello di trasmettere le repliche dello stesso segnale a frequenze diverse che distino fra loro più della banda di coerenza W (diversità in frequenza). Alternativamente possiamo ottenere la diversità semplicemente utilizzando più antenne in ricezione spaziate fra di loro per una distanza maggiore della distanza di decorrelazione d = λ (diversità di antenna). In qualunque modo venga realizzata la diversità, l effetto è quello di avere in ricezioni L segnali dati da (si veda (1-17)): ( ỹ (k) (t) = X (k) + jy (k)) x(t) per k = 1,..., L (2-2) dove X (k) + jy (k) sono i termini di rumore moltiplicativo (fading) introdotti nel canale k simo che per quanto detto possono essere considerati indipendenti fra loro. Il problema del ricevitore è a questo punto quello di ricombinare in qualche modo le repliche dello stesso segnale ricevute per ricostruire la sequenza informativa (bit) trasmessa. Il modo più semplice di effettuare tale ricombinazione è quello di selezionare fra tutti i segnali ricevuti solo quello caratterizzato da una potenza maggiore ed effettuare la demodulazione/decodifica solo su quel segnale. Tale tecnica di ricombinazione, detta selection diversity, è molto semplice da realizzare ma non è ottima, nel senso che non sfrutta al meglio le informazioni provenienti dai vari canali. Una tecnica alternativa è quella di effettuare una somma pesata dei vari contributi ricevuti dai vari canali dove i pesi sono scelti in maniera tale da pesare di più i segnali a maggiore potenza e meno gli altri. Nel caso in cui tali pesi siano direttamente proporzionali alle attenuazioni sperimentate nel canale si ottiene come risultato la massimizzazione del rapporto segnale rumore al ricevitore digitale; per questo motivo tale

18 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza tecnica viene detta maximal ratio combining. In questo caso la potenza ricevuta utile è pari alla somma delle potenze su tutti i canali. Nei due casi sopracitati si ottiene a valle della ricombinazione dei segnali ricevuti: per il caso Selection Diversity (SD), e P rx = max k P rx = L k=1 [ G (k) f G (k) f ] G tx G rx P (k) tx L p L s (2-3) G tx G rx P (k) tx (2-4) L p L s per il caso Maximal Ratio Combining (MRC), dove G (k) f e P (k) tx rappresentano rispettivamente il guadagno aleatorio dovuto al fading sul canale k simo e la potenza trasmessa sullo stesso canale. Si noti che nelle (2-4)(2-3) si è implicitamente assunto che i termini di shadowing e di path-loss (L s e L p ) siano gli stessi sugli L canali sui quali vengono trasmesse le repliche del segnale. Questo significa che tali termini sono molto correlati sugli L canali in questione. Tale assunzione è lecita in quanto lo shadowing, e a maggior ragione il path-loss, hanno tempi/distanze/frequenze di decorrelazione assai superiori al fading. Per valutare i benefici del sistema a diversità occorre considerare due casi distinti: a) La diversità è ottenuta trasmettendo più repliche dello stesso segnale su L canali (diversità in trasmissione). In questo caso P (k) tx = P tx/l. P (k) tx b) La diversità è ottenuta utilizzando più ricevitori in ricezione (diversità in ricezione). In questo caso = P tx. Consideriamo nel seguito per semplicità solo il caso MRC 1. Nel caso a) si ha: P rx = L k=1 G (k) f L G txg rx L p L s P tx (2-5) ovvero il sistema è equivalente ad un sistema senza diversità in cui il termine totale di fading è dato da: G f,t = L k=1 G (k) f L. (2-6) Quindi il fading è dato ora dalla somma di variabili aleatorie indipendenti ciascuna con media 1/L. Per capire l effetto che questo ha sulle prestazioni del sistema facciamo riferimento al caso di modello di fading di tipo Rayleigh in cui i termini G (k) f sono variabili aleatorie distribuite in maniera esponenziale. Si consideri a questo proposito la Fig. 2.1 dove viene riportato l andamento della funzione cumulativa di probabilità: F Gf,t (x) = P rob. {G f,t x} (2-7) per diversi valori di L. Si nota subito che l effetto della diversità è quello di diminuire la dispersione della variabile fading intorno al suo valor medio, ovvero di diminuirne la varianza. Questo comporta un miglioramento delle prestazioni del sistema. Si noti che tali benefici sono stati ottenuti grazie all indipendenza statistica delle variabili G (k) f. Se infatti consideriamo il caso limite in cui tali variabili sono tutte uguali (correlazione 1), è immediato verificare che le curve in Fig. 2.1 rimangono tutte uguali al variare di L, ovvero trasmettere su più canali non comporta nessun vantaggio. Si noti infine che nel caso in cui i canali siano indipendenti e andando al limite L, si ottiene una curva di probabilità che è esattamente un gradino, ovvero vale zero per x 0 < 1 mentre vale 1 altrove. In questo caso il sistema funziona come se il fading non ci fosse. 1 Il caso SD può essere trattato allo stesso modo semplicemente sostituendo la sommatoria con l operatore max. 15

19 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza F Gf,t (x) L = 1 L = L = log 10 (x) Figura 2.1 Analizzando il caso della diversità in ricezione è immediato verificare che oltre al guadagno di diversità c è un guadagno supplementare pari a 10log 10 L. Infatti, in questo caso l equazione della tratta radio può essere scritta come: Esercizio P rx = L k=1 G (k) f L LG txg rx L p L s P tx (2-8) Si consideri ancora l esercizio Si è visto nella (1-37) che nel caso di L = 1 la variabile fading sta sopra il livello x 0 = 0.01 nel 99% dei casi, da cui si ricava che la presenza del fading richiede un attenuazione minore di 20 db rispetto al caso senza fading (si ha cioè un margine di fading pari a 20 db). Considerando i casi L = 3 e L = 5 si valuti il margine di fading nel caso in cui si utilizzino tecniche di ricombinazione SD e MRD. Per quanto riguarda il caso MRD, si deriva dalla Fig. 2.1 per L = 3 x = 8 db mentre per L = 5 si ha x = 6, ovvero il margine di fading è nei due casi rispettivamente 8 e 6 db. Considerando ora il caso SD bisogna ricavare la distribuzione di probabilità di: G f,t = max k [ G (k) f 1 L ]. (2-9) Si tratta di trovare la distribuzione di probabilià del massimo di variabili aleatorie esponenziali indipendenti, ciascuna con valor medio 1/L. Si può facilmente ricavare: F Gf,t (x) = P rob. {G f,t x} = (1 e xl) L (2-10) Invertendo la (2-10) per F Gf,t (x) = 0.01 si ricava in questo caso rispettivamente per L = 3 e L = 5 x = db e x = 9.93 db, ovvero i margini di fading sono rispettivamente e 9.93 db. 2.2 Interleaving Come abbiamo visto il multipath fading comporta brusche oscillazioni della potenza del segnale ricevuto. Per limitare l effetto negativo di tali oscillazioni, un approccio alternativo a quello delle tecniche a diversità è quello di utilizzare tecniche di interleaving temporale. 16

20 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza Il problema delle oscillazioni causate dal fading consiste nel fatto che, nonostante la rapidità con la quale variano le condizioni del multipath, la presenza di una forte attenuazione sul segnale può protrarsi anche per moltissimi bit. Se ad esempio consideriamo un mezzo mobile che si sposta con velocità v = 10 m/s, ad una frequenza di 900 MHz, si ha t = 1/f D = 40 = 30 ms. Questo vuol dire che gli eventi cosiddetti di deep fading, ovvero gli eventi in cui il fading comporta pesanti attenuazioni della potenza ricevuta, hanno una durata di svariati ms. Durante questo tempo i bit ricevuti saranno sbagliati con elevata probabilità. Se consideriamo ad esempio un deep fading di durata T B = 10 ms ed una velocità trasmissiva di 270 kbit/s, si hanno sequenze di 2700 bit in cui la probabilità di errore è molto elevata. Denominiamo con L B la lunghezza dei periodi di deep fading, detta anche lunghezza del burst di errori 2. Se indichiamo ora con 0 l evento bit giusto e con 1 quello bit sbagliato, in ricezione si ottengono lunghissime sequenze di 0 intervallate da sequenze di 0 e di 1 della durata grossomodo pari a 2700 bit (Si veda Fig. 2.2 (a)). Durante Figura 2.2 un burst di errori, è molto probabile che il decodificatore di canale non riesca a fare bene il suo lavoro (la probabilità di errore è troppo elevata), ovvero che tutti i bit ricevuti in quell intervallo siano persi. L utilizzo di tecniche a diversità comporterebbe una diminuzione delle oscillazioni e quindi diminuirebbe la probabilità di avere burst errori molto lunghi. Un altra soluzione potrebbe essere quella di spalmare gli errori su tempi molto più lunghi di L B (Fig. 2.2 (b)). Mentre nel primo caso per un tempo L B i bit vengono tutti persi (errori a burst), nel secondo caso basterà utilizzare un decodificatore opportuno per poter correggere gli errori (errori isolati). Nell esempio mostrato in Fig. 9, si è assunto che durante il burst la probabilità di errore sia P e =0.3, troppo elevata per qualsiasi codificatore di complessità ragionevole. Nel caso in cui si riesca a spalmare il burst di errori su un tempo pari a 10 L B si ottiene una probabilià di errore pari a 0.03, senz altro compatibile con le prestazioni di un decodificatore di medie prestazioni Esercizio Consideriamo un segnale trasmesso con codifica di Hamming (7,4). Si assuma di avere due stati in ricezione: good, in cui la probabilità di errore per bit lorda (prima della decodifica) vale P e,g = 0.003, e bad in cui la probabilità di errore per bit lorda vale P e,b = 0.3. Si assuma che lo stato bad duri per un tempo pari al 5% dello stato good. Si valuti: La probabilità per bit lorda P e prima della decodifca La probabilità per bit netta P b dopo la decodifica 2 Se indichiamo con R b il bit rate di trasmissione, si ha L B = T B R b. 17

21 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza La probabilità per bit netta assumendo la probabilità per bit lorda valutata nel primo punto Per quanto riguarda il primo punto si ha molto semplicemente: P e = P e,g P e,b 0.05 = (2-11) Per quanto riguarda il secondo punto, occorre tenere presente che i codici di Hamming hanno la capacità di correggere 1 errore. Questo vuol dire che la probabilità P g di non commettere errori sulla parola di codice lunga 7 bit può essere calcolata come: ( ) 1 7 P g = (1 P k e ) 7 k Pe k = (1 P e ) 7 + 7(1 P e ) 6 P e. (2-12) k=0 Se il codice riesce a correggere gli errori la probabilità residua risulta P b = 0, altrimenti P b = 0.5. Perciò, la probabilità residua può essere calcolata come: P b = 0.5(1 P g ). (2-13) Allora si ha dalle (2-12) e (2-13), P b = 0.33 nel caso bad e P b = nel caso good, ovvero: P b = = (2-14) Per il calcolo del terzo punto richiesto si può ricorrere direttamente alle equazioni (2-13) e (2-12) considerando P e = Si ottiene in questo caso P b = Dall esercizio precedente si può notare come la presenza di uno stato bad caratterizzato da probabilità per bit molto elevate rende praticamente inefficace la protezione effettuata del codice. Nel caso invece in cui la probabilità d errore per bit sia uniforme (terzo punto), il codice riesce a migliorare notevolmente le prestazioni. Le tecniche di interleaving si propongono proprio lo scopo di rendere uniforme la probabilità di errore per bit in presenza di canali che introducono errori a burst. Lo scopo suddetto viene raggiunto utilizzando delle matrici m l, dette matrici di interleaving, sia in trasmissione (a monte del codificatore di canale) che in ricezione (a valle del decodificatore di canale). In trasmissione i bit da trasmettere vengono fatti passare nella matrice riempiendo quest ultima per righe. Quindi vengono mandati al trasmettitore leggendo la matrice per colonne. In ricezione avviene l operazione opposta, ovvero i bit ricevuti riempiono la matrice per colonne. La matrice viene poi riletta per righe ottenendo infine i bit da mandare in ingresso al decodificatore (si veda Fig. 2.3). Utilizzando una matrice Figura 2.3 di interleaving come quella mostrata in Fig. 2.3, si ottiene per effetto della ricombinazione in ricezione che m bit consecutivi vengono perfettamente sparpagliati su tutta la lunghezza della matrice di interleaving m l. Allora, se la lunghezza di un burst di errori L B risulta essere minore o uguale a m, il numero di bit 18

22 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza consecutivi soggetti a deep fading risulterà minore o uguale a m. In questo caso l interleaving riesce a isolare gli errori ottenendo una probabilità d errore perfettamente uniforme su tutti gli m l bit. Chiaramente se L B > m questo non è più vero. Si può facilmente ricavare ad esempio che nel caso in cui L B = hm, con h intero maggiore di 1, si ottengono in ricezione dei burst di errori di lunghezza residua L B,res = h. In altri termini, l interleaving riesce a diminuire la lunghezza dei burst di errori di un fattore m (numero di righe della matrice). Per ricavare il numero di righe di una matrice di interleaving occorre dunque conoscere il massimo L B,res sopportabile, ovvero la lunghezza del burst di errori residua che si può accettare affinché il decodificatore possa correttamente effettuare il suo lavoro. Se ad esempio abbiamo a che fare con un codice che corregge fino ad un massimo di t bit, occorre progettare la matrice di interleaving in modo tale che nelle parole di codice vi possano essere al massimo t bit appartenenti ad un burst di errori. In questo caso L B,res = t, ovvero m = L B /t. Per quanto riguarda il parametro l, ovvero il numero di colonne della matrice di interleaving, occorre tener presente che esso deve essere almeno uguale al numero di bit di una parola di codice. Il disegno di Fig. 2.4 chiarisce il motivo di questo requisito. Se infatti assumiamo che il burst di errori sia lungo hm, e che la parola di codice sia lunga 2l, si ottiene su ogni parola di codice in ingresso al decodificatore un numero di bit appartenenti al burst di errori pari a 2h, ovvero il doppio di quello che ci si sarebbe aspettati. Per avere quindi un effettiva diminuzione della lunghezza del burst di errori di un fattore m occorre che la parola di codice sia di lunghezza n l. Figura 2.4 Spesso il numero di colonne della matrice di interleaving viene preso esattamente uguale al minimo valore che soddisfa la condizione suddetta, ovvero l = n. Questo perché le dimensioni della matrice di interleaving D = m l sono un parametro critico che deve essere mantenuto il più piccolo possibile. Infatti, D rappresenta il numero di bit che occorre ricevere prima di iniziare la decodifica, ovvero il ritardo (espresso in bit) introdotto dall interleaving. In molte applicazioni (quali ad esempio la trasmissione della voce), tale ritardo non può superare un valore prefissato per non deteriorare la qualità della comunicazione. I codici di Hamming considerati precedentemente, che riescono a correggere un solo bit, non sono adatti a correggere errori a burst. In alternativa possono essere utilizzati codici capaci di correggere più di un errore. Una classe di codici di questo tipo è rappresentata dai codici BCH. Essi sono codici (n, k) capaci di correggere t errori; i valori possibili di n, k e t sono riportati in Fig

23 Capitolo 2. Tecniche di trasmissione in presenza di fading non selettivo in frequenza n k t n k t n k t Figura 2.5 Valori di n, k e t per i codici BCH Per fare un esempio si faccia riferimento ad un caso in cui la lunghezza del burst di errori residuo sia L B,res = 10. In questo caso, per essere sicuri che il decodificatore lavori correttamente, occorre utilizzare un codice capace di correggere fino ad un massimo di 10 bit. Considerando codici BCH, questo significa considerare ad esempio un codice (63, 18), caratterizzato da una bassissima efficienza (k/n = 0.28). In alternativa potremmo utilizzare un codice (511, 421) caratterizzato da un efficienza elevata (k/n = 0.82) ma al tempo stesso da un elevata complessità realizzativa (k elevato). Una classe di codici molto efficiente nel trattare errori a burst è quella dei codici Reed Solomon. I codici Reed Solomon lavorano su blocchi di bit di lunghezza p, con p intero maggiore o uguale a 3, e non su bit singoli. Un codice di Reed Solomon (n, k), con n = 2 p 1, è caratterizzato dall avere parole di codice lunghe n p bit dei quali k p bit costituiscono i bit informativi. Tali codici hanno la capacità di correggere fino ad un massimo di t blocchi di p bit, con t = n k 2. Una classe di codici Reed Solomon molto comune è quella in cui p è una potenza del 2, ed in particolare p = 8. In questo caso, per correggere ad esempio fino ad un massimo di 16 errori (t = 2), è sufficiente utilizzare un codice Reed Solomon (255, 251), che risulta di complessità compatibile con le capacità di calcolo dei moderni processori Esercizio Supponiamo di inviare dati con un bit rate al lordo della codifica pari a R b = 10 kbit/s su un canale radiomobile caratterizzato da un tempo di coerenza t = 10 ms. Progettare la matrice di interleaving ed il codice di canale tenendo conto che il massimo ritardo introdotto dall interleaving sia pari a 100 ms e assumendo di utilizzare un codice Reed Solomon caratterizzato da p = 4. Dalle specifiche sul massimo ritardo si trova m l R b = 100 ms, ovvero m l = 1000 bit. Inoltre, dal valore del tempo di coerenza t, si può ricavare la lunghezza del burst L B = t R b = 100 bit. Infine, imponendo un numero di colonne della matrice di interleaving pari alla lunghezza delle parole di codice, si ha l = n = 4(2 4 1) =