Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti

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1 Test sull ellisse (vai alla soluzione) Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = 8 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate V F. Il semiasse minore misura e quello maggiore misura 4 V F.3 Il semiasse maggiore misura V F.4 L eccentricità misura / V F Γ : + y = valutare il valore di verità delle 4 ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse seguenti affermazioni. L ellisse non passa dal punto A(;) V F. Il punto B(0;) è esterno alla curva V F.3 La curva passa dal punto C V F ;.4 la distanza focale misura 3 V F 3) Indicare fra le equazioni proposte quella dell ellisse riferita ai propri assi avente il punto V(3;0) come un suo vertice, fuochi sull asse delle ascisse e distanza focale y + = 9 4 y + = y = + 9y = E : + y = 8 e la retta s : y + = 0 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni 4) Considerate nel piano cartesiano l ellisse 4. La retta s è secante la curva ed uno dei due punti comuni è A(-;0) V F 4. L ellisse ha i fuochi sull asse delle ordinate, la retta s ha con l ellisse in comune il punto A(-;0) ed un secondo punto nel primo quadrante. V F 4.3 La retta s è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ed ha in comune con 8 l ellisse il punto A(-;0) ed il punto P ; 3 3 V F 4.4 Ogni retta parallela alla retta s è secante l ellisse. V F E y : + = 8 5) Dopo aver determinato le equazioni delle rette tangenti all ellisse parallele alle bisettrici dei quadranti, valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni 5. Le equazioni delle quattro tangenti sono t : 3 t : 3 t : 3 3 t : 3 4 V F

2 5. Le rette t : y = + 3, t 3 : y = + 3 sono tra loro perpendicolari e si intersecano in un punto di ascissa positiva. V F 5.3 Le rette t, t, t 3, t 4 determinano un quadrato in cui è inscritta l ellisse ed il perimetro del quadrato misura 8 6. V F 6) Di seguito sono indicate le equazioni di alcune ellissi; di esse solo due hanno le misure degli assi che sono una metà dell altra. Indica la risposta esatta. a) + 4y = 4 b) + y = 0 c) + 4y = 6 d) y + = e) + y = 6. a) e b) 6. b) e c) 6.3 a) ed e) 6.4 a) e c) 7) Se due ellissi hanno la stessa eccentricità ed uguale la misura dell asse minore o uguale la misura dell asse maggiore hanno necessariamente uguale anche la misura del secondo asse? SI NO 8) Data l ellisse di equazione E : 4 + y = 5e la retta t : 4 + y = 5verificare che la retta è tangente all ellisse e determinare le coordinate del punto di contatto. Elaborazioni Coordinate del punto di contatto: y 9) Data l ellisse E :( ) + = trovare le coordinate del centro C, le misure dei 4 semiassi a, b ed il valore dell eccentricità selezionando la risposta esatta tra quelle proposte: 9. C(;0), a=, b=, e = 3 9. C(;0), a=, b=, e = C(;0), a=, b=, e = 0) Stabilire per quali valori del parametro m l equazione y + = m 3 m rappresenta un ellisse nel piano cartesiano. Indicare la risposta esatta fra quelle proposte. 0. per ogni valore di m diverso da zero e da tre 0. per ogni valore di m dell intervallo ]0;3[

3 3 0.3 per ogni valore reale di m minore di tre e diverso da zero ) Considerata l equazione della famiglia di ellissi m y m + + = dimostrare che al variare del parametro m esiste solo un valore reale per m per il quale si ottiene un ellisse che passa per il punto P ( ; ) ed indicare tale valore. Elaborazioni Risposta: m =. F : + ( k) y = k + stabilire per ) Considerata l equazione del fascio di curve quali valori del parametro k si ottengono ellissi con i fuochi sull asse delle ascisse. Elaborazioni Risposta:

4 4 3) Considerata l ellisse di equazione Elaborazioni E y y : = 0 scrivere le equazioni della traslazione τ che permettono il passaggio dal sistema di riferimento cartesiano Oy al sistema di riferimento cartesiano XO Y, avente come origine il punto O centro dell ellisse, come assi coordinati le rette O X, O Y parallele e concordi agli assi O, Oy. Scrivere l equazione dell ellisse nel riferimento XO Y e determinare le misure dei semiassi, le coordinate dei fuochi ed il valore dell eccentricità. Risposte Equazioni della traslazione N.B. Date le coordinate ( O ; y O ) di O nel τ : riferimento Oy e le coordinate ( P; y P) del generico punto P nel riferimento Oy, si devono scrivere le coordinate ( X P; Y P) dello stesso punto P. Equazione dell ellisse riferita ai propri assi: Misure dei semiassi Coordinate dei fuochi Valore dell eccentricità

5 5 Soluzione Quesiti ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse : y 8 seguenti affermazioni. I fuochi si trovano sull asse delle ordinate V F. Il semiasse minore misura e quello maggiore misura 4 V F Γ + = valutare il valore di verità delle.3 Il semiasse maggiore misura V F.4 L eccentricità misura / V F Risposte. Vera I fuochi sono i punti F (0;), F (0; ). Falsa Il semiasse minore misura a=; il semiasse maggiore misura b =.3 Vera Vedere la risposta relativa al punto..4 Vera L eccentricità è data dal rapporto tra la semidistanza focale e la misura del semiasse minore. In questo caso c=, b = eccentricità: c e = = = = b ) Considerata nel piano cartesiano l ellisse Γ : + y = valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni 4. L ellisse non passa dal punto A(;) V F. Il punto B(0;) è esterno alla curva V F.3 La curva passa dal punto C ; V F.4 La distanza focale misura 3 V F Risposte. Vera Infatti le coordinate del punto A non soddisfano l equazione della curva. Il punto A è esterno alla curva. I fuochi sono i punti (0;) (0; ). Vera La curva taglia l asse delle ordinate nei due vertici V (0;), V (0;-) e non ha altri punti sullo stesso asse esterni al segmento V V..3 Falsa Le coordinate del punto non soddisfano l equazione della curva come si deduce dalla seguenti elaborazioni

6 6 ( ) + = = 4.4 Falsa I fuochi dell ellisse sono i punti ( 3;0) F, ( 3;0) F e la distanza focale è c = 3. 3) Indicare fra le equazioni proposte quella dell ellisse riferita ai propri assi avente il punto V(3;0) come un suo vertice, fuochi sull asse delle ascisse e distanza focale y + = y + = y = + y = Risposta L equazione dell ellisse è la 3.; nella figura a lato la curva corrispondente è indicata con colore rosso; la curva relativa all equazione 3. è indicata in blu; in verde è indicata la curva relativa all equazione 3.3; in giallo è quella relativa all equazione (3.4). Dalla figura si evince che anche le ellissi di equazione (3.) e (3.4) passano dal punto V(3;0), ma solo la (3.) ha distanza focale 4. Infatti i suoi fuochi sono i punti F (;0), F (-;0). E + y = e la retta 4) Considerate nel piano cartesiano l ellisse : 8 s : y + = 0 valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni 4. La retta s è secante la curva ed uno dei due punti comuni è A(-;0) 4. L ellisse ha i fuochi sull asse delle ordinate, la retta s ha con l ellisse in comune il punto A(-;0) ed un secondo punto nel primo quadrante. 4.3 La retta s è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante ed ha in comune con 8 l ellisse il punto A(-;0) ed il punto P ; Ogni retta parallela alla retta s è secante l ellisse. Risposte 4. Vera Infatti le coordinate del punto A soddisfano le equazioni delle due curve. 4. Vera Abbiamo già precisato che il punto A(-;0) è comune alle due curve; l ellisse ha i fuochi sull asse delle ordinate ed il semiasse maggiore misura il punto V ( 0; ) è un vertice dell ellisse. Poiché la retta s taglia l asse delle ordinate nel punto B(0;) e risulta < si deduce che avrà con l ellisse un secondo punto in comune nel primo quadrante. 4.3 Falsa Per la giustificazione vedere quanto affermato nel precedente punto 4.. b =

7 7 4.4 Falsa Esistono due rette t, t parallele alla retta s che sono tangenti all ellisse e tutte le rette esterne alla striscia determinata dalle rette t, t non hanno punti in comune con l ellisse, mentre sono secanti l ellisse tutte le rette parallele alla retta s che sono interne alla striscia determinata dalle rette t, t. 5) Dopo aver determinato le equazioni delle rette tangenti all ellisse E : + y = 8 parallele alle bisettrici dei quadranti valutare il valore di verità delle seguenti affermazioni 5. Le equazioni delle quattro tangenti sono t : y = + 3 t : y = 3 t : y = + 3 t : y = V F 5. Le rette t : y = + 3, t 3 : y = + 3 sono tra loro perpendicolari e si intersecano in un punto di ascissa positiva. 5.3 Le rette t, t, t 3, t 4 determinano un quadrato in cui è inscritta l ellisse ed il perimetro del quadrato misura 8 6. Risposte 5. Vera Effettivamente le rette tangenti all ellisse parallele alle bisettrici dei quadranti sono quelle indicate (osservare la figura che segue). 5. Falsa Le rette t : y = + 3, t 3 : y = + 3 sono tra loro perpendicolari ma si intersecano nel punto ( 0; 3 ) P che ha ascissa nulla. 5.3 Vera Le rette tangenti t, t, t 3, t 4 delimitano effettivamente un quadrato i cui vertici sono: P ( 3;0 ), P ( 0; 3 ), P3 ( 3;0), ( 0; 3 4 ) quadrilatero ha gli angoli retti, dunque è un rettangolo ed i lati sono anche congruenti, come si verifica immediatamente calcolandone la misura; l = PP = P P risulta: 3 = ( 3) = 6. Pertanto il perimetro misura l =. P. Infatti il

8 8 6) Di seguito sono indicate le equazioni di alcune ellissi. Di esse solo due hanno gli assi dei quali uno ha misura uguale alla metà della misura dell altro. Indica la risposta esatta. a) d) + y = b) + y = e) + y = c) + y = + y = 6. a) e b) 6. b) e c) 6.3 a) ed e) 6.4 a) e c) Risposta La risposta esatta è la 6.4. Infatti per l ellisse a) il semiasse maggiore misura ed il semiasse minore misura. L ellisse c) ha il semiasse minore di misura ed il semiasse maggiore di misura 4. Le altre tre ellissi non hanno questa proprietà. 7) Se due ellissi hanno la stessa eccentricità ed uguale la misura dell asse minore o uguale la misura dell asse maggiore hanno necessariamente uguale anche la misura del secondo asse? SI NO Risposta La risposta corretta è SI. Dimostriamolo. Esaminiamo i casi 7. Le due ellissi abbiano entrambe i fuochi sull asse delle ascisse ed uguale la misura dell asse maggiore. 7. Le due ellissi abbiano entrambe i fuochi sull asse delle ascisse ed uguali la misura dell asse minore. 7.3 Delle due ellissi una ha i fuochi sull asse delle ascisse e l altra sull asse delle ordinate ed hanno uguali i rispettivi assi maggiori. 7.4 Delle due ellissi una ha i fuochi sull asse delle ascisse, l altra sull asse delle ordinate ed hanno uguali i rispettivi assi minori. Soluzione Supponiamo che le equazioni delle due ellissi siano le seguenti y E : + =, a b Analizziamo i diversi casi 7. In questo caso risulta y E : + = a b a = a = a ; i fuochi di E sono F ( c ;0), F ( c;0) c = a b ; i fuochi di E sono F ( c ;0), F ( c;0), con c = a b., con Dalla definizione di eccentricità c c e =, e =, a a c c e dall uguaglianza e = e = c = c a b = a b a a b = b quindi è uguale anche la misura del secondo semiasse, ed in definitiva anche del secondo asse delle due curve.

9 9 7. In questo caso risulta b = b = b. I fuochi di E sono F ( c ;0), F ( c;0), con c = a b ;i fuochi di E sono F ( c ;0), F ( c;0), conc = a b. Dalla definizione di eccentricità e dall uguaglianza supposta ricaviamo c c e =, e = a a e c c = e = a a ( ) ( ) a b a b = a a b = a a b a a a a b = a a b a b = a b a = a Anche in questo caso gli altri due semiassi sono uguali. 7.3 Supponiamo che l ellisse E abbia i fuochi sull asse delle ascisse e che l ellisse E abbia i fuochi sull asse delle ordinate, dunque risulta a >b e a <b. Sappiamo dunque che a =b. Vogliamo provare che dall uguaglianza dell eccentricità segue ancora l uguaglianza dei due assi minori, cioè che risulta b =a. Osserviamo che si ha: c = a b ; a b c = = a a e c = b a ; a = b b b = ; e a c = b = b a b b a = ; a b b b a e = e = b b = b a b = a. a a Quindi anche il semiasse minore dell ellisse che ha i fuochi sull asse delle ascisse è uguale al semiasse minore dell ellisse che ha i fuochi sull asse delle ordinate. 7.4 Supponiamo ancora che l ellisse E abbia i fuochi sull asse delle ascisse e che l ellisse E abbia i fuochi sull asse delle ordinate, dunque risulta a >b e a <b ; con l ipotesi che b =a e l uguaglianza delle eccentricità vogliamo provare che sono uguali anche le misure dei semiassi maggiori, cioè che risulta a =b. Osserviamo che: a b c = = e a a e ( b a ) ( e e ) = = e a b b b = a b b a b = a b b a b b b = a b a = b La tesi è acquisita. b a c = = ; b b a b b b : 4 5 = a b 8) Data l ellisse di equazione E + y = e la retta t : 4 + y = 5verificare che la retta è tangente all ellisse determinare le coordinate del punto di contatto. Risposta

10 0 La retta è effettivamente tangente all ellisse come si deduce risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due curve: 4 + y = y = 5 Il punto di contatto è A(;) 9) Data l ellisse ( ) ( ) + = 4 + y = y = = = y = y E : + = trovare le coordinate del 4 centro C, le misure dei semiassi a, b ed il valore dell eccentricità selezionando la risposta esatta tra quelle proposte: 9. C(;0), a=, b=, 9. C(;0), a=, b=, 9.3 C(;0), a=, b=, e = e = e = 3 Risposta La risposta esatta è la (9.). Osservare la figura a lato. 0) Stabilire per quali valori del parametro m l equazione m y 3 m + = 3 può rappresentare un ellisse nel piano cartesiano. Indicare la risposta esatta fra quelle proposte. 0. Per ogni valore di m diverso da zero e da tre 0. Per ogni valore di m dell intervallo ]0;3[ 0.3 Per ogni valore reale minore di tre e diverso da zero Risposta La risposta esatta è la (0.3). La (0.) è errata perché con m>3 il denominatore di y è negativo e ciò non è ammesso. La (0.) è errata perché sono accettabili anche valori negatovi del parametro. Nota Nella figura che segue sono riportate le dieci ellissi corrispondenti ai valori del parametro appartenenti al seguente insieme numerico {,5;,5;0,5; 0,5;,5;,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5}

11 ) Considerata l equazione della famiglia di ellissi m y m + + = Dimostrare che al variare del parametro m esiste solo un valore reale per m per il quale si ottiene un ellisse che passa per il punto P ( ; ). Soluzione Imponendo il passaggio della curva dal punto P ( ; ) si ottiene la seguente equazione m + m + = 4 m m = 0 Si tratta di un equazione biquadratica che risolviamo ponendo m = t t t = 0 t = ; t = t = non è accettabile Il valore perché negativo; rimane t = m = L equazione dell ellisse richiesta è y + = 4 Nella figura a lato sono rappresentate dieci ellissi della famiglia; quella più interna, di colore rosso, è l ellisse che verifica la richiesta del quesito. Le dieci equazioni sono state ottenute applicando la funzione VECTOR di Derive nella seguente forma

12 (VECTOR(^/m^ + y^/(m^ + ) =, m, ( ),, )) Il simbolo indica la radice quadrata. F : + ( k) y = k + stabilire per quali ) Considerata l equazione del fascio di curve valori del parametro k si ottengono ellissi con i fuochi sull asse delle ascisse. Soluzione L equazione del fascio rappresenta ellissi se e solo se sono positivi il coefficiente di y ed il termine noto. I valori richiesti sono perciò le soluzioni del seguente sistema k > 0 k + > 0 < k < Volendo ottenere ellissi con i fuochi sull asse delle ascisse è opportuno scrivere l equazione del fascio di ellissi in forma canonica y F : + = k + k + k dalla quale si riconosce che si ottengono ellissi con la proprietà descritta se è soddisfatta la condizione k + k + > k < k In figura sono riportate dieci curve che verificano le condizioni richieste. Anche in questo caso sono state ottenute con l applicazione Derive. Il comando perla generazione delle equazioni è il seguente: (VECTOR(^ + (-k)y^ = k+, k,-0.9,,0.)) 3) Considerata l ellisse di equazione E : 4 + 3y + 6 6y + 7 = 0 scrivere le equazioni della traslazione τ che permettono il passaggio dal sistema di riferimento cartesiano Oy al sistema di riferimento cartesiano XO Y, avente come origine O il centro dell ellisse, come assi coordinati le rette O X, O Y parallele e concordi agli assi O, Oy. Scrivere l equazione dell ellisse nel riferimento XO Y e determinare le misure dei semiassi, le coordinate dei fuochi ed il valore dell eccentricità. Soluzione L equazione in esame corrisponde all equazione di un ellisse traslata rispetto al sistema di riferimento dei suoi assi. ; y le coordinate del centro O dell ellisse nel riferimento Oy, le Indicando con ( ) O O equazioni della traslazione richiesta sono del tipo: P = X P + O τ : (3.) y = Y + y P P O Le (3.) indicano chiaramente che se sono note le coordinate ( X P; Y P) del generico punto P nel riferimento XO Y si determinano le coordinate ( ; y ) dello stesso punto nel riferimento Oy. Le equazioni della traslazione richiesta sono però le infverse delle (3.). Cioè P P

13 3 X P = P O τ : Y = y y P P O (3.) Dobbiamo dunque determinare le coordinate ( ; ) y. Ciò è possibile farlo in due modi: o elaborando algebricamente l equazione dell ellisse per ricondurla alla forma ( ) ( y y ) O O E : + = ; a b o oppure sostituendo le (3.) nell equazione cartesiana della curva nel riferimento Oy ed imporre che siano nulli i coefficienti dei termini di primo grado in X ed Y. Seguiamo la seconda strada. E : 4 + 3y + 6 6y + 7 = 0 Effettuando le sostituzioni (3.) otteniamo ( ) ( ) ( ) ( ) E : 4 X Y + y + 6 X + 6 Y + y + 7 = 0 O O O O O O E : 4X + 8XO + 4O + 3Y + 6Yy O + 3yO + 6X + 6O 6Y 6y O + 7 = 0 Riordinando l equazione si ottiene la forma E : 4X + 3Y + 8( O + ) X 6( yo ) Y + 4O + 3yO + 6O 6y O + 7 = 0 Imponiamo che siano nulli i coefficienti dei termini di primo grado in X, Y O + = 0 yo = 0 O = ; yo = Conclusione Le equazioni (3.) richieste della traslazione sono τ X : = + Y = y τ Sostituendo i valori O = ; yo = nell equazione dell ellisse e semplificando si ricava E : 4X + 3Y = 0 E : 4X + 3Y = X Y E : + = 3 4 I fuochi dell ellisse sono i punti F ( ;0), F ( ;) ed il valore dell eccentricità è c e = = b

14 4 Equazioni della traslazione Equazione dell ellisse riferita ai propri assi Risposte X = + τ : Y = y X Y E : + = 3 4 Misure dei semiassi a = 3, b = Coordinate dei fuochi F ( ;0), F ( ;) Valore dell eccentricità c e = = b

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