Ellisse. Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica?

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1 Ellisse Come fa un giardiniere a creare un aiuola di forma ellittica? Pianta due chiodi, detti fuochi, nel terreno ad una certa distanza. Lega le estremità della corda, la cui lunghezza supera la distanza tra i due fuochi. Fa girare un paletto in modo da percorrere la corda tenendola sempre tesa. La curva che rimane tracciata sul terreno ha la forma che viene chiamata ellisse. Mentre Il paletto scorre lungo la corda rimane costante la somma, uguale alla lunghezza della corda, delle sue distanze dai fuochi. La forma dell ellisse, a parità di lunghezza della corda, dipende dalla distanza focale. Ad esempio se i due fuochi fossero pianati uno a fianco all altro (praticamente coincidenti), si avrebbe una circonferenza che, quindi, è un caso particolare di ellisse. A mano a mano che la distanza focale aumenta la circonferenza si schiaccia e il suo schiacciamento, detto eccentricità, sarà massimo (l ellisse degenera in un segmento) quando la distanza focale diviene uguale alla lunghezza della corda. L ellisse, come la circonferenza, la parabola e l iperbole è una conica ottenuta intersecando un cono indefinito a due falde con un piano Prof. Giuseppe Frassanito pag. 1

2 Definizione Si chiama ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Equazione dell ellisse Consideriamo i due fuochi F 1 e F posti a una distanza pari a c. Indichiamo con a la somma delle distanze dei punti dell ellisse dai fuochi. L equazione dell ellisse dipende dal sistema di riferimento. Determiniamo l equazione canonica dell ellisse, cioè l equazione rispetto al sistema di riferimento che ha l asse x passante per i due fuochi e l asse y passante per il punto medio del segmento F 1F. P(x,y) F 1(-c,0) F (c; 0) F 1 F = c PF 1 + PF = a (1) () Poiché in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due, considerato il triangolo PF 1F si ha a > c a > c a > c a c > 0 Possiamo porre b = a c (3) Determiniamo le distanze PF 1 = (x + c) + y Sostituiamo tali distanze nella () PF = (x c) + y (x + c) + y + (x c) + y = a Prof. Giuseppe Frassanito pag.

3 Otteniamo l equazione canonica dell ellisse che cercheremo di scrivere in modo più semplice in modo che non contenga radicali. Trasportiamo un radicale al secondo membro (x + c) + y = a (x c) + y Poiché entrambi i membri sono positivi possiamo elevarli al quadrato [ (x + c) + y ] = [a (x c) + y ] (x + c) + y = 4a + (x c) + y 4a (x c) + y Semplificando abbiamo + c + cx + y = 4a + + c cx + y 4a (x c) + y 4cx = 4a 4a (x c) + y a (x c) + y = a cx Eleviamo nuovamente entrambi i termini al quadrato e ordiniamo a [(x c) + y ] = [a cx] a [ + c cx + y ] = a 4 + c a cx a + a c a cx + a y = a 4 + c a cx a c + a y = a 4 a c (a c ) + a y = a (a c ) Ricordando che abbiamo b = a c b + a y = a b Dividendo tutto per a b otteniamo l equazione canonica o normale dell ellisse a + y Prof. Giuseppe Frassanito pag. 3 = 1 b

4 Grafico dell ellisse Osservando l equazione dell ellisse a + y = 1 b notiamo che le incognite compaiono elevate al quadrato. Questo vuol dire che il suo grafico è simmetrico rispetto agli assi cartesiani e rispetto all origine. Le intersezioni con l asse delle x sono e con l asse delle y A ( a; 0) e A(a; 0) B ( b; 0) e B(b; 0) I punti A, A, B, B sono detti vertici dell ellisse. I segmenti AA' e BB' sono detti assi dell'ellisse e poiché a > b AA' è detto asse maggiore e BB' asse minore. Il grafico dell ellisse si trova tutto all interno del rettangolo i cui lati sono paralleli agli assi e passano per i quattro vertici. Per dimostrare tale affermazione ricaviamoci dall equazione canonica y a + y y x = 1 = 1 b b a y = b (1 x a ) y = b a (a ) Affinché gli ultimi due membri risultino uguali deve risultare a > 0 a x a Con ragionamenti analoghi ricavando si ottiene che anche Prof. Giuseppe Frassanito pag. 4

5 b y b Considerando il triangolo rettangolo OCF e applicando il teorema di Pitagora, otteniamo la relazione (3) vista in precedenza b = a c Da tale relazione possiamo ricavare le coordinate dei fuochi b = a c c = a b c = ± a b F 1 ( a b ; 0) F ( a b ; 0) Eccentricità L eccentricità, in base a quanto affermato all inizio, indica la forma più o meno schiacciata dell ellisse. Essa è indicata con la lettera e ed è data dal seguente rapporto e = c a = a b a Poiché c < a si ha 0 < e < 1 Se e = 0 c = 0 c = 0 a i fuochi coincidono con l origine e l ellisse diventa una circonferenza. Prof. Giuseppe Frassanito pag. 5

6 All aumentare dell eccentricità l ellisse risulta più schiacciata sull asse maggiore. Nel caso limite e = 1 c = 1 c = a a si riduce all asse maggiore e l ellisse diventa degenere. Ellisse con fuochi sull asse y Se i fuochi dell ellisse sono sull asse delle y il procedimento per determinare l equazione è analogo a quello seguito per l ellisse con i fuochi sull asse x. In questo caso si indica con b la somma costante delle distanze dei punti dell ellisse dai fuochi PF 1 + PF = b Con calcoli analoghi ai precedenti si ottiene la stessa equazione Prof. Giuseppe Frassanito pag. 6

7 a + y = 1 b I fuochi hanno coordinate F 1 (0; b a ) F (0; b a ) L eccentricità, essendo b la lunghezza dell asse maggiore sarà e = c b = b a b Esempio Determinare le coordinate dei vertici e dei fuochi dell ellisse di equazione: 4 + 5y = 100 Scriviamo l equazione canonica dividendo tutto per y 4 = 1 a = 5, b = ; c = 5 4 = 1 Coordinate dei vertici e dei fuochi (±5; 0), (±0; ), F(± 1; 0) Prof. Giuseppe Frassanito pag. 7

8 Posizione di una retta rispetto ad un ellisse Una retta rispetto ad un ellisse può essere Esterna, cioè non ha punti di intersezione con l ellisse Tangente, cioè ha in comune con l ellisse solo il punto di tangenza Secante, cioè i punti di intersezione con l ellisse sono due Per determinare le coordinate dei punti di intersezione tra l ellisse e la retta è necessario risolvere il sistema formato dall equazione della retta e dall equazione dell ellisse. Se la retta è esterna il delta risulterà negativo e il sistema non avrà soluzioni. Se è tangente il delta sarà uguale a zero e il sistema ammetterà due soluzioni reali e coincidenti. Se la retta è secante il delta risulterà maggiore di zero e il sistema ammetterà due soluzioni reali e coincidenti. Esempio Studiare la posizione della retta di equazione x + y 6 = 0 rispetto all ellisse + y 18 = 0 Risolviamo il sistema x + y 6 = 0 + y 18 = 0 x = 6 y + y 18 = 0 x = 6 y (6 y) + y 18 = 0 x = 6 y y 4y + y 18 = 0 x = 6 y y 4y + 3 = 0 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 8

9 Il discriminante dell equazione di grado è positivo perciò la retta è secante e il sistema ammette due soluzioni reali e distinte A(4; 1) e B(0; 3) Le equazioni delle tangenti ad un ellisse Le rette per un punto e tangenti all ellisse possono essere due se il punto è esterno una se il punto appartiene all ellisse nessuna se il punto è interno all ellisse. Per determinare le equazioni delle eventuali rette tangenti condotte da un punto P(x 0; y 0) all ellisse si deve annullare il delta dell equazione risolvente il sistema tra l equazione del fascio di rette passante per P e l equazione dell ellisse. Prof. Giuseppe Frassanito pag. 9

10 Esempio Determinare le equazioni delle rette tangenti condotte dal punto P(6; -) di equazione x 1 + y 4 = 1 Scriviamo l equazione del fascio di rette ci centro P: y + = m(x 6) y = mx 6m Scriviamo il sistema formato dalle equazioni del fascio e dell ellisse y = mx 6m 1 + y 4 = 1 Sostituiamo la y dall equazione della retta nell equazione dell ellisse 1 y = mx 6m + (mx 6m ) 4 = 1 y = mx 6m 1 + m + 36m + 4 1m x 4mx + 4m = 1 4 y = mx 6m + 3m + 108m m x 1mx + 7m = 1 y = mx 6m (1 + 3m ) 1(3m + m)x + 108m + 7m = 0 Imponiamo la condizione di tangenza 4 = 0 36(3m + m) (1 + 3m )(108m + 7m) = 0 36(9m 4 + m + 6m 3 ) (108m + 7m + 34m m 3 ) = 0 34m m + 16m 3 108m 7m 34m 4 16m 3 = 0 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 10

11 7m 7m = 0 m + m = 0 m = 0 ; m = 1 Sostituiamo i valori di m trovati nel fascio di rette e troviamo le equazioni delle due tangenti t 1 : y =, t : y = x + 4 Formula dello sdoppiamento Per determinare l equazione della retta tangente all ellisse in un suo punto P(x 0; y 0) si può utilizzare la formula dello sdoppiamento che si ottiene dalla forma canonica dell ellisse sostituendo il termine con xx 0 e y con yy 0. Esempio xx 0 a + yy 0 b = 1 Determinare l equazione della retta tangente all ellisse di equazione x + y = 1 nel suo punto di 9 6 coordinate P( 3; ). Applicando la formula dello sdoppiamento otteniamo 3x 9 + y 6 = 1 y = 3 3 x + 3 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 11

12 Come determinare l equazione di un ellisse Per determinare l equazione dell ellisse sono sufficienti due condizioni con le quali impostare un sistema di due equazioni nelle incognite a e b. Alcune possibili condizioni sono: Le lunghezze dei semiassi Coordinate di un fuoco e di un vertice Le coordinate di un punto e quelle del fuoco Le coordinate di un punto e l eccentricità Le coordinate di due punti Coordinate del fuoco e l eccentricità Esempio 1 Determinare l equazione dell ellisse con i fuochi sull asse x e avente a = 4 e b = y = 1 Esempio Determinare l equazione dell ellisse con i fuochi sull asse x avente a = e c = 1. Sapendo che b = a c b = 4 1 b = 3 L equazione dell ellisse sarà Esempio y 3 = 1 Determina l equazione dell ellisse con fuochi sull asse delle y avente vertice in (0; 4) ed eccentricità 7 4. Sappiamo che b = 4 b = 4 c b = 7 c 4 4 = 7 b = 4 c = 7 4 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 1

13 a = b c a = 16 7 a = 9 L ellisse avrà equazione Esempio y 16 = 1 Scrivere le equazioni delle ellissi, riferite al centro e ai propri assi, sapendo che a = 4 3 ed e = 1 3 Se i fuochi si trovano sull asse delle x abbiamo: e = 1 3 c a = 1 3 c = a 1 3 c = c = 4 9 b = a c b = b = b = L ellisse ha equazione y = 1 9x y 18 = 1 81 Se i fuochi si trovano sull asse delle y abbiamo: e = 1 3 c b = 1 3 c = b 1 3 c = b 3 c = b a b 9 = b b = 16 b = L ellisse ha equazione + y 16 = 1 9x 16 + y = 1 9 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 13

14 Esempio 5 Determina l equazione dell ellisse passante per i punti P(1; ) e Q( 3 ; 3 ). Imponiamo il passaggio per P e Q dell ellisse sostituendo le rispettive coordinate nell equazione canonica dell ellisse 1 a + 4 b = 1 3 4a + 9 b = 1 Per risolvere in un modo più semplice il sistema poniamo Otteniamo 1 a = m e 1 b = n m + 4n = m + 9 n = 1 m = 1 4n 3m + 18n = 4 m = 1 4n 3(1 4n) + 18n = 4 m = 1 4n 3 1n + 18n = 4 m = 1 4n 6n = 1 Equazione ellisse m = 1 3 n = a = b = y 6 = 1 a = 3 b = 6 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 14

15 Esempio 6 Data l equazione y k k = 1 Determinare i valori da dare al parametro k affinché rappresenti un ellisse con i fuochi sull asse delle x. L equazione data è l equazione canonica di un ellisse con i fuochi sull asse delle x se Risolviamo il sistema a = k + > 0 b = 3 k > 0 k + > 3 k Costituito dalle tre disequazioni k + < 0 3 k > 0 k + > 3 k k < k < 3 k > 1 1 < k < 3 L ellisse traslata Se trasliamo l ellisse di un vettore v (x 0 ; y 0 ) otteniamo ancora un ellisse ma con una equazione diversa Esaminando il grafico sopra riportato, possiamo vedere che le coordinate di un generico punto P nei due sistemi di riferimento Oxy ed O XY sono legate tra loro dalle seguenti equazioni di trasformazione: x = X + x 0 y = Y + y 0 X = x x 0 Y = y y 0 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 15

16 Nel sistema di riferimento traslato O XY avente l origine in O, l equazione dell ellisse è evidentemente: X a + Y = 1 b Sostituendo X con (x x 0) ed Y con (y y 0) nell equazione dell ellisse, possiamo scrivere l equazione dell ellisse nel sistema di riferimento Oxy: (x x 0 ) a + (y y 0) b = 1 (1) dove a e b sono le misure dei semiassi. Se a > b i fuochi F 1 e F, appartenenti alla retta di equazione y = y 0, hanno coordinate F 1 (x 0 c; y 0 ) F (x 0 + c; y 0 ) Se invece a < b i fuochi F 1 e F appartengono alla retta di equazione x = x 0 ed hanno coordinate F 1 (x 0 ; y 0 c) F (x 0 ; y 0 + c) Svolgendo i calcoli della (1) abbiamo x 0 x + x 0 a + y y 0 y + y 0 b = 1 b ( x 0 x + x 0 ) + a (y y 0 y + y 0 ) = a b b b x 0 x + b x 0 + a y a y 0 y + a y 0 = a b Posto b b x 0 x + b x 0 + a y a y 0 y + a y 0 a b = 0 m = b, n = a, p = b x 0, q = a y 0, r = b x 0 + a y 0 a b L equazione diventa m + ny + px + qy + r = 0 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 16

17 Nel caso in cui m = n l equazione diventa quella di una circonferenza. La circonferenza è un caso particolare di ellisse e precisamente è una ellisse con eccentricità uguale a zero. Dalle seguenti relazioni si possono ricavare le coordinate del centro dell ellisse (x 0 ; y 0 ) e le equazioni degli assi di simmetria m = b, n = a, p = b x 0, q = a y 0 x 0 = p m, y 0 = q n Coordinate del centro dell ellisse O ( p m, q n ) Con assi di simmetria di equazioni x = p m, y = q n Esempio Rappresentare l ellisse di equazione + 4y 6x 8y 3 = 0 Le coordinate del centro dell ellisse e degli assi di simmetria sono x 0 = 3, y 0 = 1 coordinate centro di simmetria x = 3, y = 1 equazioni assi di simmetria Prof. Giuseppe Frassanito pag. 17

18 Calcoliamo le coordinate dei vertici A e A x + 4y 6x 8y 3 = 0 y = 1 x 1 = 1 y = 1 = 7 y = 1 A(7; 1), A ( 1; 1) Calcoliamo le coordinate dei vertici B e B x + 4y 6x 8y 3 = 0 x = 3 y 1 = 1 x = 3 y = 3 x = 3 B(3; 1), B (3; 3) Tali coordinate si sarebbero potute ricavare ricavando l equazione canonica dell ellisse + y 6x 8y 3 = 0 x = X + 3 τ y = Y + 1 (X + 3) + 4(Y + 1) 6(X + 3) 8(Y + 1) 3 = 0 x X+3 y Y+1 X + 6X Y + 8Y + 4 6X 18 8Y 8 3 = 0 X + 4Y = 16 Prof. Giuseppe Frassanito pag. 18

19 X 16 + Y 4 = 1 A ( 4; 0) A(4; 0) B ( ; 0) B(; 0) Applicando le formule x = X + x 0 x = X + 3 y = Y + y 0 y = Y + 1 otteniamo A ( 1; 1) A(7; 1) B (3; 3) B(3; 1) Le coordinate del fuoco sono F 1 (x 0 c; y 0 ) F (x 0 + c; y 0 ) F 1 (3 3; 1) F (3 + 3; 1) Prof. Giuseppe Frassanito pag. 19