Esercizio n. 1 ELEMENTI DI MECCANICA RAZIONALE. 1 Esercizi. 1) Dati i vettori

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1 Politecnico di Toino CeTeM Esecizi Esecizio n. ) Dati i vettoi u 3i + 4 j + k v i + 3j k w i + j applicato in P (,,) applicato in P applicato P 3 (,,) (,,) a: deteminae la loo isultante. b: calcolae il podotto scalae u v c: calcolae il podotto vettoiale u v. d: calcolae il podotto misto u v w. Risposte. a: la isultante vale R 3 i + 8 j k b: il podotto scalae dei pimi due vettoi vale 3+-7 c: il podotto vettoiale u v si icava dal deteminante i j k e vale u v i + 5 j + 3k. d: il podotto misto u v w è dato dal seguente deteminante le cui ighe sono ispettivamente le componenti dei te vettoi dati Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

2 Politecnico di Toino Esecizi ) Deteminae il momento del vettoe ( u, P ) ispetto al punto A(,3,), il momento isultante dei te vettoi dati ispetto al punto A e il momento isultante assiale dei te vettoi dati ispetto alla paallela all asse z passante pe A. Risposte. Si ha pe il M A M A di u i j k ( P A) u k ( j k ) ( 3i + 4 j + k ) - - 3i 3 j + 3. mente il momento assiale del solo vettoe u è dato da M a k ( P A) u k M Pe ottenee il Momento isultante e il momento isultante assiale e i te vettoi dati è necessaio sommae ai momenti già calcolati del pimo vettoe u i momenti (ancoa da calcolae!) iguadanti gli alti due vettoi. Notiamo che il momento isultante ispetto ad A continua ad essee un vettoe ( la somma, o isultante,dei te momenti) e il momento isultante assiale è comunque uno scalae in quanto somma di te numei. A Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

3 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. ) Dato un punto P mobile su un elica cicolae si sciva la velocità di P. ) Si ossevi che istante pe istante, il moto di P è la somma di due moti: uno paallelo all asse z e l alto, cicolae, che avviene su una ciconfeenza, di aggio pai al aggio dell elica, sempe pependicolae al detto asse e mobile lungo la veticale. (Si faccia uso di coodinate cilindiche nello spazio) Risposta. Con ifeimento alla figua le coodinate di P espesse nel ifeimento indicato sono: Petanto la velocità di P è x cos θ y sinθ z hθ v P sinθθ& i + cosθθ& j + hθ& k θ& ( sinθi + cosθj) + hθ & k Politecnico di Toino Pagina 3 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

4 Politecnico di Toino Esecizi La fomula mosta chiaamente che la velocità del punto P è data dal contibuto di due moti : uno ettilineo ( lungo k )e uno cicolae. Difatti la quantità ento paentesi è il vesoe tangente alla ciconfeenza di aggio disegnata in figua nel piano ( x, y). Duante il moto possiamo immaginae il punto P che descive questa ciconfeenza mente la stessa si muove lungo l asse z con velocità z & hϑ &. La quantità h è detta passo dell elica ed è tale che la distanza ta due punti consecutivi P e P situati sulla stessa geneatice vale P P πh. Invetendo la fomula si legge che h non è alto che l incemento di quota del punto P coispondente alla otazione di un adiante. Politecnico di Toino Pagina 4 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

5 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 3 Nel manovellismo di pimo genee (vedi fig.) la velocità angolae della manovella è costante. Deteminae la velocità e l acceleazione angolae della biella e la velocità e l acceleazione del piede della biella. Risposte. Questo sistema ha un gado di libetà. Si è quindi in gado di espimee la posizione di B sull asse x e l angolo di otazione della biella l tamite un unico paameto geometico che viene assunto come coodinata langangiana: l angolo ϑ che la manovella foma con la etta oizzontale passante pe O. Una volta scitte le elazioni geometiche, le deivate pima e seconda ispetto al tempo danno ispettivamente le velocità e le acceleazioni ichieste. Dal tiangolo si ha (teoema dei seni) () sin ϑ λ sinθ con λ l deivando () cos ϑ λ cosθθ& e, sfuttando la (), λ θ λ θ (3) ϑ & cos cos θ θ& cosϑ λ sin θ Politecnico di Toino Pagina 5 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

6 Politecnico di Toino Esecizi che è la velocità angolae ichiesta. Deivando ulteiomente la (3) ispetto al tempo si ottiene l acceleazione angolae ϑ &. Notiamo la mancanza del temine che contiene ϑ & data l assegnata velocità angolae costante θ &. λ sinθ cosθ sinθ (4) ϑ && λ θ 3 & ( λ sin θ ) λ sinθ Pe il piede di biella B di ha (5) cosθ l cosϑ x& sinθ θ& l sinϑϑ& B + x B Utilizzando i pecedenti calcoli possiamo scivee λ sin θ (6) x θ& B sinθ λ sin θ Un ulteioe deivazione ispetto al tempo fonisce l acceleazione & x& B. Politecnico di Toino Pagina 6 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

7 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n.4 ) Data la guida di Faibain indicata in figua, supponendo nota la velocità angolae della manovella, si detemini, pe una data configuazione, la velocità e l acceleazione angolae del glifo. ) Nelle stesse condizioni di cui al punto pecedente si detemini la velocità e l acceleazione con cui il punto P si muove sull asta AB. 3) Utilizzando le fomule di velocità e l acceleazione dei moti composti del punti, si scivano le fomule di velocità e acceleazione del punto P che si muove sul lato AB del paallelogamma aticolato indicato in figua. Si noti che i punti moto dell asta AB? O e O delle aste uguali OA e OB sono fissi. Qual è l atto di Politecnico di Toino Pagina 7 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

8 Politecnico di Toino Esecizi Risposte ) Il punto P appatiene alla manovella e nello stesso tempo scoe sul glifo seguendo questo nel suo moto. Quindi possiamo affemae che il suo moto assoluto, otatoio attono ad O, è somma - del moto di scoimento sul glifo che uota attono ad A. - del moto di tascinamento del glifo che uota attono ad A. Petanto in fomule possiamo scivee & v P sλ + sϑµ & dove s è la distanza istantanea di P da O. Pe le acceleazioni si ha una fomula analoga a P && && sλ + sϑµ sϑ λ + ϑ & & k s& λ nella quale compae l ultimo temine che viene chiamato acceleazione complementae o do Coiolis. Come si nota questa è sempe nomale alla velocità elativa. Le fomule pecedenti si pestano molto bene a una scittua che metta in evidenza le alte gandezze ichieste. In ogni caso lo studente può povae da solo a scivee delle elazioni geometiche tatte dalla figua, come fatto a poposito del manovellismo, e poi deivale ispetto al tempo. A titolo di suggeimento, povae a scivee il teoema sei seni e il teoema di Canot pe il tiangolo AOP,tenendo conto che la coodinata langangiana più comoda è l angolo ϑ e che il lato s è vaiabile. 3) Dal punto di vista teoico questo esempio è simile al pecedente. Si tatta infatti di un moto composto del punto P con la diffeenza che il sistema che genea il moto di tascinamento, l asta AB, non uota ma tasla. Difatti si tatta di un moto taslatoio cicolae. Avemo quindi & & a && & P && v P sλ + lθτ sλ + θ µ + lθ n L acceleazione di Coiolis non è pesente in quanto è nulla la otazione di tascinamento. Politecnico di Toino Pagina 8 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

9 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n.5 ) Sia dato il sistema indicato in figua costituito da un tiangolo dotato di moto taslatoio lungo l asse x, da una otella che può otolae senza stisciae sull ipotenusa del tiangolo e da un asta AB, incenieata con l estemo A nel cento della otella e vincolata a imanee in posizione veticale duante il moto. Nota in data configuazione la velocità di taslazione del tiangolo si detemini la velocità angolae della otella e la velocità dell estemo B dell asta. ) Un punto P pecoe una ciconfeenza di aggio mente questa uota attono a un suo diameto (fisso) con otazione costante ω. Scivee la velocità e l acceleazione di P. Politecnico di Toino Pagina 9 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

10 Politecnico di Toino Esecizi Risposte ) Dato il vincolo di otolamento puo possiamo consideae la otella e il tiangolo come due polai in moto elativo. Petanto imponiamo l eguaglianza della velocità dei punti punti a contatto C e C. Ma tutti i punti del tiangolo hanno egual velocità assegnata e sia questa x&. La velocità del punto C della otella si scive con la fomula fondamentale ifeendola al punto A. La velocità di A è inolte la stessa di B appatenendo alla stessa pate igida che tasla veticalmente. Petanto in fomule si ha vc x & i va + θ& τ v c con τ vesoe tangente alla otella e paallelo all ipotenusa del tiangolo. La fomula icavata si pesta a una facile isoluzione gafica. Lo studente povi a isolvela patendo dal vettoe noto a pimo membo. ) Il secondo quesito iguada la cinematica del punto P. Esso si muove sulla ciconfeenza che a sua volta uota con velocità angolae costante ω attono alla etta fissa. Petanto valgono le fomule dei moti composti del punto & v P θ τ + sin θω µ Il vettoe τ è tangente alla ciconfeenza nel piano uotante è nomale a detto piano ( vettoe entante). Lo studente icavi in modo analogo l acceleazione di P. Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

11 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 6 )Data l asta l, di massa m, i cui estemi A e B scoono su due guide otogonali fisse si sciva l enegia cinetica. 3) Pe il manovellismo di pimo genee già studiato nell esecizio n.3 si sciva l enegia cinetica complessiva, la quantità di moto e il momento della quantità di moto dell asta AB ispetto al punto A. 4) Dato il sistema costituito dall asta AB vincolata a scoee con l estemo B sull asse y e dal disco di aggio, incenieato all asta nel punto A e vincolato a otolae senza stisciae sulla etta x, si sciva l enegia cinetica del sistema. ( m massa dell asta e m massa del disco ) Risposte ) Il poblema è continuamente icoente nella meccanica del copo igido. Si tatta di scivee con il teoema di Koning l espessione dell enegia cinetica. Si ha con ovvio significato dei simboli dove T mv G + I G θ & v ml x& G + y& G e I G G Ossevazione impotante: il cento di velocità dell asta, C, che si tova pe il teoema di Chasles sull intesezione delle pependicolai alle diezioni delle taiettoie di due Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

12 Politecnico di Toino Esecizi punti qualsiasi, in questo caso si tova all intesezione delle paallele agli assi pe A e B, punti dei quali sono cete le taiettoie, e mantiene sempe la stessa distanza dal baicento G. Si può alloa scivee l enegia cinetica T come se l asta uoti attono a C & T IC θ Come utile esecizio lo studente contolli l identità della due fomule. 5) L enegia cinetica saà la somma delle enegie cinetiche di biella e manovella. Petanto dette m e m le masse ispettive avemo T I θ & ( ϑ& O + m vg + I G ) m ml con I O, IG e le alte gandezze note dalla cinematica del poblema. 3 Si ha inolte Q m v + m v G G ml 3 θ & K A m ( G A) v A + I A & k ϑ 6) L asta si muove con gli estemi su due guide otogonali, petanto icodando il caso ) avemo ml T θ & + I ϑ& C 3 3 con I C m le velocità angolai legate dalla elazione l sin ϑ& θ θ & Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

13 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n.7 ) Dato un pendolo composto, deteminae l acceleazione angolae e la eazione vincolae in O in condizioni di moto incipiente. Risposte Si supponga il pendolo tattenuto da un filo una pate fissa col baicento allontanato dalla veticale pe O. Il moto incipiente può essee ealizzato toncando il filo che tattiene il pendolo. In tale istante la velocità angolae è ancoa nulla mente l acceleazione angolae è quella che viene ichiesta. Pe scivee un equazione del moo si può pensae a un equazione di un momento con polo O. Petanto si ha mgog sin θ θ& I O dove IO è il momento d inezia del pendolo ispetto alla nomale alla figua passante pe O. Dall equazione pecedente si icava l acceleazione angolae. La eazione vincolae si icava scivendo un equazione vettoiale di isultante e poiettando quindi lungo le diezioni oizzontale e veticale. g m O La θ & che compae è quella già icavata. mog && + φ θ τ Politecnico di Toino Pagina 3 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

14 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 8 Il sistema mateiale di figua è contenuto in un piano veticale ed è costituito da un blocco scoevole senza attito su un piano, inclinato di un angolo α sull oizzontale, e da un peso collegato tamite una fune al blocco scoevole. La fune è vincolata a passae senza stisciamento su due caucole, una mobile e una fissa, di aggio ispettivamente e R. Un estemità della fune è fissata al cento della caucola fissa di modo che sono eguali mente quelle delle caucole sono tascuabili. Scelta x come coodinata lagangiana, si icavi, in condizioni di equilibio, il valoe della costante k della molla di figua. Si sciva poi l equazione del moto del sistema e si indichi il valoe della pulsazione popia. Si indichi infine la soluzione dell equazione del moto icavando l integale paticolae coispondente a condizioni iniziali assegnate x& x. O, O Politecnico di Toino Pagina 4 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

15 Politecnico di Toino CeTeM Esecizi Risposte Il legame ta la coodinata langanciana e gli alti paameti è dato dalle elazioni x x Rθ; z P Rθ La costante della molla si icava imponendo che in condizioni di equilibio sia soddisfatta l equazione dei lavoi vituali δx δγ kxδ x + mg sin αδx + mg della quale dividendo pe δ x si icava k. Si può anche scivee il potenziale e poi eguagliae a zeo la deivata ispetto a x. Si itova l equazione pecedente. U kx + mgxsinα x + mg du dx kx + mg(sin α + ) L equazione del moto si ottiene o dall equazione dei lavoi con l aggiunta in questo caso delle foze d inezia o pocedendo a scivee l enegia cinetica del sistema e quindi l equazione di Langange. In questo ultimo modo si ha e l equazione del moto saà T mx x& 4 & m mx& 4 & x& 4k + x 5m 4 5 g sin α + L equazione scitta è una delle più tattate nei pimi cosi di Analisi e quindi ben nota allo studente. Politecnico di Toino Pagina 5 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

16 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 9 ) Dato il disco di aggio e massa m, mobile all inteno di una cavità cicolae fissa di aggio R e cento O, si scivano nell odine Il potenziale L enegia cinetica L equazione del moto tamite un equazione di momento attono a C. Questo esecizio è stettamente semplice ma pesenta qualche difficoltà che è bene chiaie. Pe quanto iguada il potenziale è bene ifeisi al punto fisso O. Petanto, indicato con ϑ l angolo fomato ta la congiungente OA e la veticale pe O, sciveemo U mg( R )cosϑ Pe l enegia cinetica del disco, essendo il moto piano, avemo T mv θ & θ& A + I A I C dove l angolo θ, angolo di otazione del disco non è l angolo pecedentemente indicato con ϑ ma è l angolo di cui uota il disco, angolo che deve essee scelto ta una diezione fissa e una mobile e solidale col disco. Questo angolo quindi deve essee un angolo diveso da ϑ, in quanto quest ultimo indica la otazione del segmento OA ispetto alla veticale, e il segmento OA non è solidale al disco. Politecnico di Toino Pagina 6 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

17 Politecnico di Toino Esecizi Ma il disco è un sistema a un gado di libeta, la coodinata langangiana è una sola, quindi bisogna scivee una elazione ta questi due angoli o ta le loo deivate. Tale elazione si icava eguagliando le velocità del punto A, consideato una volta come punto che uota attono ad O su una ciconfeenza di aggio ( R ) con velocità angolae ϑ &, e una seconda volta come punto solidale al disco, sfuttando quindi il cento di istantanea otazione C e la otazione θ &. Si ha petanto v A ( R ) ϑ & θ& (Il segno meno è necessaio tenuto conto che le due otazioni sono di segno opposto.) Si ha quindi l enegia cinetica tamite la fomula già icavata, in funzione della velocità angolae ϑ &, T 3 m( R ) ϑ & Notiamo ancoa che essendo C il cento di velocità del disco e mantenendosi a distanza fissa da O si può scivee diettamente l enegia cinetica attono a C ottenendola in foma monomia e in funzione di θ & T L equazione del moto si ottiene scivendo la seconda equazione cadinale della dinamicacon polo dei momenti C. I C θ & mg sin ϑ θ& nella quale non compae il momento della eazione vincolae in quanto questa passa pe C. La elazione icavata pe le velocità, deivata ispetto al tempo, pemette, eliminando θ &, di pevenie alla foma finale dell equazione del moto ( R ) I C ϑ & + g sin ϑ Politecnico di Toino Pagina 7 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

18 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. ) Il sistema mateiale indicato in figua è costituito da un asta di lunghezza l e massa m incenieata con l estemo A nel cento di un disco di massa m e di aggio. Il disco otola senza stisciae su una etta x mente l asta è vincolata in A con una ceniea mobile e in B a scoee senza attito su una etta y. Olte alle foze peso è applicata una foza elastica ta il punto A ed il punto A. a) Scivee il potenziale del sistema. b) Scivee l enegia cinetica del sistema c) Scivee l equazione del moto Risposte: a)le foze attattive sono consevative petanto il potenziale si scive immediatamente. Esso vale l k U m g cosθ l sin θ + cost b) L enegia cinetica è ml 3 T θ & + m ϕ& 3 Pe eliminae ϕ& si scive la velocità di A come punto del disco dell asta : eguagliando ed elevando al quadato si ottiene ϕ & l cos θθ& Politecnico di Toino Pagina 8 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

19 Politecnico di Toino Esecizi Si ha così T ml 3 + m l 3 cos θ θ & Pe scivee l equazione del moto facciamo uso dell equazione di Lagange nella coodinata langangiana θ. d T T du dt θ& θ dθ Si ha intanto T m θ θ& θ& l 3 + m l cos 3 d T ml 3 ml cos θ θ&& 3ml sinθ cosθθ& dt θ& + 3 T 3 ml sinθ cosθθ& θ du l mg sinθ kl sinθ cosθ dθ quindi l equazione del moto 3 ml 3 ml cos θ + θ& ml sinθ cosθθ& mg sinθ kl cosθ sinθ 3 Politecnico di Toino Pagina 9 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

20 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. La tave a T di figua è fomata da due aste di egual lunghezza l e massa m saldate ad un angolo etto come in figua e uotanti in un piano veticale. Supposto che la tave uoti, con velocità angolae costante, attono al punto fisso O si detemini la eazione vincolae φ quando θ π / e quando θ. Si eseguano i calcoli numeici nel caso l 5 cm m 8Kg m θ & ω 4ad / sec Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

21 Politecnico di Toino Esecizi Risposte Con una equazione di isultante di icavano le componenti della eazione vincolae in O: φ m x& G + && x ) φ mg m( & y G + && y ) ( x G Y G θ π / : & x G ω && x && y lω yg G G & Sostituendo i valoi nelle componenti della eazione vincolae già tovata si ottiene φ O φ O 56, 96N x y Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

22 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. La caucola indicata in figua, di massa M e aggio, incenieata nel suo cento O e può quindi uotae attono ad O nel piano veticale. Sulla caucola è avvolta una fune che all estemità libea pota un peso m. Il tatto di fune svolgentesi dalla caucola si mantiene veticale. Una molla di igidezza k collega il punto B(,) al punto A situato sulla peifeia della caucola. mg Si assuma la igidezza della molla K. a) Deteminae le configuazioni di equilibio discutendone la stabilità. π b) Se pe t il disco pate dalla posizione θ con velocità angolae nulla, si detemini la velocità quando aggiunge la configuazione θ π. c) Si sciva l equazione del moto del sistema. g d) Si detemini la tensione della fune pe θ & ( t) Politecnico di Toino Pagina di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

23 Politecnico di Toino Esecizi Risposte. Calcoliamo pima di tutto il potenziale e l enegia cinetica del sistema. Con ifeimento agli assi di figua con oigine in O si ha : Fel k( + cosθ ) i ksin θ j, P y j ( θ + cost) j, d P d θ j e quindi il potenziale e l enegia cinetica k U ( θ ) mgθ ( + cosθ ) P [ + sin θ ] T M θ & + m θ & m + M θ & a) Configuazione di equilibio con mg k : du mg k [ ( + cosθ ) sin θ + sin θ cosθ ] mg + k sin dθ π 5 mg( + sin θ ) sin θ eq : θ θ π 6 6 θ Si aiva allo stesso isultato scivendo un equazione di momento attono ad O. La discussione della stabilità è semplice tenuto conto che è d U k cosθ dθ π 5 e che tale valoe della deivata seconda è positivo pe θ e negativo pe θ π 6 6 La pima posizione isulta di equilibio instabile, la seconda stabile. b) Deteminazione di θ & pe θ π con le condizioni assegnate. Conviene icoee all integale pimo dell enegia cinetica ( dopo avene veificato l esistenza) scitto pe le due posizioni T U T U π θ e θ π.. Politecnico di Toino Pagina 3 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

24 Politecnico di Toino Esecizi Le espessioni già icavate di T e U foniscono 5 M π & mg + k m + θ + πmg + k dalla quale si icava θ &. Pe mg k si ha quindi mg( 4 π ) θ & ( m + M ) c) Equazione del moto: Sull inteo sistema equazione di momento ispetto a O dk M : mg + k sin θ I θ + my P θ + m dt g d) Tensione della fune (con θ & ( t) ): Equazione di isultante sul solo peso T mgj + && ( θ&& + g) 3mg m T j myj && && mθ&& j M && & θ Politecnico di Toino Pagina 4 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

25 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n.3 Il sistema mateiale indicato in figua è costituito da un disco di massa m e aggio che otola senza stisciae su un piano inclinato e da una caucola mobile di massa m e aggio. Una fune flessibile e in estendibile e di massa tascuabile collega, tamite un invio B, il baicento G del disco e un punto fisso, avvolgendosi attono alla caucola. Si assume che esista puo otolamento ta la caucola e la fune stessa. Assegnata come coodinata langangiana lo spostamento x del disco sul piano inclinato a) Si detemini la velocità del baicento G della caucola nota la velocità angolae del disco sul piano inclinato. m b) Deteminae il appoto ta le due masse quando il sistema è in m condizioni di equilibio. c) Scivee l equazione del moto del sistema e integala con le condizioni iniziali t : x( ) x ; x& ( ) x&. d) Calcolae, in condizioni geneiche di moto, la eazione vincolae in C e la tensione della fune nel tatto paallelo al piano inclinato. Politecnico di Toino Pagina 5 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

26 Politecnico di Toino Esecizi Risposte a) Chiamati ϕ e ϕ gli angoli di otazione dei due dischi, si ha pe l ipotesi di puo otolamento v v x& ϕ & ϕ& v quindi G D G x& x& v G ϕ & j ; ϕ& ; ϕ& b) Con il pincipio dei lavoi vituali si ha pe l equilibio : L ) x δ m (a m sin sin g αδ x mg m α gδx c) L enegia cinetica vale m m sin α. T m x& m { mx& + ϕ& + m + 4 & } 3 5 m + m x& 8 ϕ L equazione del moto si può scivee o con l equazione dei lavoi o scivendo un equazione cadinale di momento ad es. sul disco e poi eliminando la tensione del filo con una seconda cadinale sull alto disco. In ogni caso si giunge a : 5 m 3m + m x m sin & α g 4 da cui m sin α m && x 4g cost a m + 5m x( t) at + x& t + x d) La eazione vincolae in C ha due componenti che si icavano mediante Politecnico di Toino Pagina 6 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

27 Politecnico di Toino Esecizi equazioni di momento ispetto a G e di isultante sul disco m φ Cx & x φ cosα m g Tens m g sin α Cy a 3 Politecnico di Toino Pagina 7 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

28 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 4 Il sistema mateiale indicato in figua, contenuto in un piano veticale, è costituito da una sbaa, omogenea e pesante, di lunghezza l e massa m. La sbaa può scoee con l estemo A su una etta oizzontale fissa mente una molla di igidezza nota k ne collega il baicento G con il punto fisso O situato sulla etta oizzontale anzidetta. Assunte come coodinate langangiane la distanza x di O da A e l angolo θ che l asta foma con l oizzontale:. Si sciva il potenziale dell asta.. Si deteminino le configuazioni di equilibio discutendone la stabilità. 3. Si sciva l enegia cinetica del sistema 4. Si scivano le equazioni del moto. Politecnico di Toino Pagina 8 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

29 Politecnico di Toino Esecizi Risposte Questo sistema ha due gadi di libetà petanto sono necessaie due coodinate langangiane e si otteanno quindi due equazioni del moto. Si ha intanto l l x G x cosθ y G sin θ U l k mg sin θ + x xl cosθ 4 l T x& G + y G + ml θ & e effettuando i calcoli si ha pe T T l θ & + x& + lx& sin θ θ& 3 La scittua del potenziale e dell enegia cinetica pemette di icavae le due equazioni del moto ichieste nella x e nella θ. Politecnico di Toino Pagina 9 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

30 Politecnico di Toino Esecizi Esecizio n. 5 Il sistema mateiale indicato in figua, contenuto in un piano veticale, è costituito da una sbaa OB, di lunghezza l e peso tascuabile, incenieata in un punto fisso O e ipotante all estemo B una massa m. Una molla di igidezza nota k collega il punto di mezzo A della sbaa con un punto A situato sulla l veticale pe O a distanza da O. Assunta come unica coodinata langangiana l angolo θ che l asta foma con l oizzontale:. Si sciva il potenziale dell asta.. Si detemini la configuazione di equilibio discutendone la stabilità. 3. Si sciva l enegia cinetica del sistema. 4. Si scivano le equazioni del moto. Il sistema ha un gado di libetà. Si tatta di ipetee i pocedimenti visti nei pecedenti esecizi. Vuole lo studente cimentasi da solo? Politecnico di Toino Pagina 3 di 3 Data ultima evisione 7/3/ Autoe:.

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