Lezione 4: Termodinamica. Seminario didattico

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1 Lezione 4: Termodinamica Seminario didattico

2 Esercizio n 1 Un vaso di massa 150g in rame (calore specifico 0,0923 cal/g K) contiene 220g di acqua, entrambi alla temperatura di 20,0 C. Un cilindro di 300g di rame molto caldo viene immerso in acqua, facendola bollire, e 5,00g di acqua vengono trasformati in vapore. La temperatura finale del sistema è 100 C. Quanto calore è stato trasferito all acqua? Qual era la temperatura originale del cilindro? Si trascurino le perdite verso l ambiente. Il calore latente di evaporazione dell acqua è 539cal/g. Stato iniziale: m 1 =150g di Cu a T 1 =20 C M = 220g di acqua a T 1 m 2 = 300g di Cu a T 0 incognita c Cu = 0,0923 cal/gk c H2O = 1 cal/gk L = 539 cal/g (a)?q ah2o (b)? T 0 Stato finale: m 1 +m 2 di Cu a T 2 =100 C M 1 = 5g di vapore a T 2 M-M 1 di acqua a T 2 2

3 Svolgimento esercizio 1 (1) Il calore assorbito dall acqua Q ah2o serve per portare la massa M di acqua da T 1 a T 2 e per far evaporare la massa M 1 : Q ah2o =Q T 1 T 2 Q evap Q ah 2O =Mc acqua T 2 T 1 M 1 L=20295 cal Il calore assorbito dal vaso di Cu Q acu Q acu =m 1 c Cu T 2 T 1 La massa m 2 di Cu cede una quantità di calore Q c portandosi dalla temperatura T 0 alla temperatura T 2 : Q c =m 2 c Cu T 2 T 0 Il bilancio finale tra calori ceduti e assorbiti è: Quindi si ha: Q c =Q ah 2O Q acu m 2 c Cu T 0 T 2 =Mc acqua T 2 T 1 M 1 L m 1 c Cu T 2 T 1 T 0 =T 2 Mc acqua T 2 T 1 M 1 L m 1 c Cu T 2 T 1 m 2 c Cu =873 C 3 3

4 Esercizio n 2 Due cubetti di ghiaccio (calore specifico cg=0,530cal/g K) di massa 50g ciascuno vengono immersi in un bicchiere isolato contenente 200g di acqua. Se l acqua inizialmente ha una temperatura di 25 C e se il ghiaccio proviene direttamente dal congelatore a -15 C, quale sarà la temperatura della bevanda quando il ghiaccio e l acqua raggiungono la stessa temperatura? E se invece venisse usato un solo cubetto di ghiaccio, quale sarebbe la temperatura finale? Il calore latente di fusione dell acqua è 79,5cal/g. T 1 = -15 C T 0 = 0 C T 2 = 25 C T Ghiaccio m 1 = m 2 = m = 50g Acqua M = 200 g c g = 0,530 cal/gk c H2O = 1 cal/gk L = 79,5 cal/g 4

5 Svolgimento esercizio 2 (1) Quale è la temperatura di equilibrio T f della miscela? Ci sono tre possibilità: 1. 0 C<T f <25 C: tutto il ghiaccio fonde e si ha solo acqua <T f <0 C: tutta l acqua solidifica e si ha solo ghiaccio 3. T f =0 C: in questo caso si ha una miscela di acqua e ghiaccio Verifichiamo se è vera la prima ipotesi: Supponiamo che sia 0 C<T f <25 C Calore ceduto dalla massa M=200g di acqua: Q c =Mc H2O T f T 2 Calore assorbito dalla massa 2m=2 50g di ghiaccio: in questo caso serve a portare la temperatura del ghiaccio da T 1 a T 0, a far fondere i due cubetti di ghiaccio, e ad innalzare la temperatura di tutta la bevanda (acqua) da T 0 a T f Q a =2mc g T 0 T 1 2mL 2mc H2O T f T 0 Il bilancio finale tra calori ceduti e assorbiti è: Q c =Q a 5

6 Svolgimento esercizio 2 (2) Quindi: Mc a T 2 T f =2mc g T 0 T 1 2mL 2mc H2O T f T 0 T f = Mc H2O T 2 2mc g T 0 T 1 2mL 2mc H2O T 0 Mc H2O 2mc H2O = 12 C La temperatura trovata è fuori dell intervallo ipotizzato! Pertanto l ipotesi fatta inizialmente non può essere corretta! Supponiamo ora che sia T f =T 0 =0 C. Ci sono due possibilità: a. la massa M di acqua si porta da T 2 a T 0 ; la massa 2m di ghiaccio si porta da T 1 a T 0 ; una massa x di ghiaccio (0<x<2m) passa allo stato liquido b. la massa M di acqua si porta da T 2 a T 0 ; la massa 2m di ghiaccio si porta da T 1 a T 0 ; una massa y di acqua (0<y<M) passa allo stato solido 6

7 Svolgimento esercizio 2 (3) Assumiamo vera l ipotesi (a): Calore assorbito dal ghiaccio: Calore ceduto dall acqua: Q a =2mc g T 0 T 1 xl Q c =Mc H2O T 0 T 2 Il bilancio finale tra calori ceduti e assorbiti è: Q c =Q a Quindi: Mc H2O T 2 T 0 =2mc g T 0 T 1 xl x= Mc H2O T 2 T 0 2mc g T 0 T 1 L =52,9g Poichè si è trovato 0<x<2m, l ipotesi (a) è quella corretta 7

8 Svolgimento esercizio 2 (4) Cosa succede se utilizziamo un solo cubetto di ghiaccio? Poichè abbiamo visto che, mettendo due cubetti di ghiaccio, l equilibrio termico si stabiliva a temperatura T 0 con la fusione di una massa di ghiaccio x>m, è ragionevole aspettarsi che il gubetto si fonda interamente e che la temperatura di equilibrio T f sia compresa fra T 0 e T 2 Calore ceduto dall acqua: Calore assorbito dal ghiaccio: Imponendo la solita condizione: Q c =Mc H2O T f T 2 Q a =mc g T 0 T 1 ml mc H2O T f T 0 Q c =Q a si ottiene: Mc H2O T 2 T f =mc g T 0 T 1 ml mc H2O T f T 0 T f = Mc H2O T 2 mc g T 0 T 1 ml mc H2O T 0 M m c H2O =2,51 C 8

9 Esercizio n 3 Un thermos isolato contiene 130cm 3 di caffè caldo a una temperatura di 80,0 C. Per raffreddare il caffè aggiungete nel thermos un cubetto di ghiaccio di massa 12,0g al suo punto di fusione (cg=0,530 cal/g K, L=79,5cal/g). Di quanti gradi si sarà raffreddato il caffè dopo che il ghiaccio si è fuso? Trattate il caffè come se fosse acqua pura e trascurate gli scambi termici con l ambiente circostante. DATI: CAFFE : V = 130 cm 3 c c = 1 cal/gk T 1 = 80 C Ghiaccio: m=12,0g c g = 0,530 cal/gk L = 79,5 cal/g? T caffè 9

10 Svolgimento esercizio 3 (1) Massa di caffè nel thermos: Calore ceduto dal caffè = calore assorbito dal ghiaccio Q c =Mc c T f T 1 =Mc H2O T f T 1 Q a =ml mc H2O T f T 0 M=ρV=1 g =130g cm 3 130cm3 Q c =Q a Mc H2O T 1 T f =ml mc H2O T f T 0 T f = Mc H2O T 1 ml mc H2O T 0 c H2O M m =66,5 C ΔT caffè =T f T 1 = 13, 5 C 10

11 Esercizio n 4 Un gas all interno di una camera percorre il ciclo mostrato in figura. Si determini il calore totale fornito al sistema durante la trasformazione CA se il calore QAB fornito durante la trasformazione AB è 20,0J, considerato che durante la trasformazione BC non si ha alcun trasferimento di calore, e che il lavoro totale compiuto durante il ciclo è 15,0J. DATI: Q AB = 20,0 J Q BC = 0,0 J L tot = 15,0 J? Q CA 11

12 Svolgimento esercizio 4 (1) Primo principio della termodinamica: Q ciclo L ciclo =ΔE int =0 Q ciclo =L ciclo Sommando i contributi delle varie trasformazioni si ha anche: Q ciclo =Q AB Q BC Q CA =Q AB 0 Q CA Dal confronto segue: Q AB Q CA = L ciclo Q CA =L ciclo Q AB = 5,0J 12

13 Esercizio n 5 Quando un sistema viene portato da uno stato iniziale a uno stato finale lungo il percorso iaf della mostrato in figura, si ha Q = 50cal ed L = 20cal. Lungo il percorso ibf, Q = 36cal. a) Qual è il valore di L lungo il percorso ibf? Se L = -13cal per il percorso curvilineo di ritorno dallo stato finale a quello iniziale, b) quale è il valore di Q per questo percorso? Sia Ui = 10cal. c) Qual è il valore di Uf? Se Ub=22cal, d) quali sono i valori di Q per il processo ib e bf? DATI: Q iaf = 50 cal L iaf = 20 cal Q ibf =36 cal a)? L ibf L fi = -13 cal b)?q fi U i = 10 cal c)? U f U b =22 cal d)?q ib? Q bf 13

14 Svolgimento esercizio 5(1) a) Considero le trasformazioni iaf ed ibf: esse hanno stesso stato iniziale i e finale f, per cui la variazione di energia interna nelle due trasformazioni è la stessa. Dal primo principio della termodinamica otteniamo: ΔU iaf =U f U i =Q iaf L iaf ΔU ibf =U f U i =Q ibf L ibf Eguagliando le due espressioni precedenti si ottiene: Q iaf L iaf =Q ibf L ibf L ibf =Q ibf Q iaf L iaf =6 cal b) Considero il ciclo iafi :la variazione di energia interna in un ciclo è nulle per cui posso scrivere: 0= ΔU iafi =Q iafi L iafi = Q iaf Q fi L iaf L fi Q fi = L iaf L fi Q iaf = 43 cal 14

15 Svolgimento esercizio 5(2) c) Considero le trasformazioni iaf ed ibf: esse hanno stesso stato iniziale i e finale f, per cui la variazione di energia interna nelle due trasformazioni è la stessa. Dal primo principio della termodinamica otteniamo: ΔU iaf =U f U i =Q iaf L iaf ΔU ibf =U f U i =Q ibf L ibf Quindi da ciascuna delle due precedenti espressioni possiamo ricavare: U f =U i Q iaf L iaf =U i Q ibf L ibf =40cal d) Considero la trasformazione ibf : Q ibf = Q ib Q bf L ibf = L ib L bf =L ib =6 cal Quindi: dato che L bf =0 (trasf. Isocora) : Q ib = ΔU ib L ib =U b U i L ib =18 cal Q bf =Q ibf Q ib =18 cal 15

16 Esercizio n 6 n moli di gas perfetto biatomico compiono il ciclo reversibile costituito dalle seguenti trasformazioni: AB adiabatica, BC isoterma CA isobara. Sapendo che VB / VA = 5.66 e VB / VC = 11, determinare: a) il rapporto TA /TB; b) il rendimento η del ciclo; p C A B DATI: n moli gas perfetto biatomico V B /V A = 5.66 V B /V C = 11? a) T A /T B? b) rendimento η V 16

17 (a) Svolgimento esercizio 6 (1) Si tratta di gas perfetto biatomico, per cui sappiamo che i calori specifici a volume e pressione costante valgono rispettivamente: c V = 5 2 R c P = 7 2 R Consideriamo la prima fase del ciclo: si tratta di una TRASFORMAZIONE ADIABATICA REVERSIBILE, per cui nel tratto A B posso usare la relazione: T A V A γ 1 =T B V B γ 1 T A T B = γ= c P = 7 c V 5 V B V A γ 1 2 = =2 (b) La seconda fase del ciclo è una TRASFORMAZIONE ISOTERMA REVERSIBILE, per cui la variazione di energia interna nel tratto B C è nulla; per il primo principio della termodinamica si ha: ΔU BC =0 Q BC =W BC = B C pdv =nrt B B C dv V =nrt B ln V C V 0 B Q BC è minore di zero poiché V C /V B <1. Quindi il calore scambiato nel tratto B C è calore ceduto dal gas. 17

18 Svolgimento esercizio 6 (2) Adesso considero il terzo tratto del ciclo: si tratta di una TRASFORMAZIONE ISOBARA REVERSIBILE. Possiamo calcolare subito il calore scambiato: A questo punto possiamo calcolare il rendimento: nrt B ln V C V B nc P T A T B =1 η= W = Q A Q C =1 Q C =1 Q A Q A Q A Q CA =nc P T A T C =nc P T A T B 0 Quindi il calore scambiato nel tratto C A è calore assorbito dal gas. η=1 2 7 ln V B V C T A T B 1 =0.31 RT B ln V B V C c P T A T B =1 2 7 ln V B V C T A T B 1 18

19 Esercizio n 7 Un cilindro adiabatico è chiuso da un pistone scorrevole senza attrito su cui sono appoggiati dei pesi, come mostrato in figura. Il cilindro contiene una mole di un gas ideale monoatomico in equilibrio alla pressione p. Si tolgono rapidamente alcuni dei pesi ed il gas si espande raggiungendo un nuovo stato di equilibrio con pressione p 1 = p/4. Calcolare: 1) Il rapporto V 1 /V fra il volume finale e quello iniziale; 2) la variazione di entropia del gas. DATI: 1 mole di gas perfetto monoatomico Pressione iniziale p Pressione finale p 1 = p/4? 1) V 1 /V? b) S gas 19

20 Svolgimento esercizio 7 (1) 1)La sottrazione dei pesi dal pistone adiabatico avviene in modo rapido, pertanto la trasformazione che stiamo considerando è una espansione adiabatica irreversibile. Poichè le pareti sono adiabatiche il sistema può scambiare solo lavoro con l'esterno: Q=0 U=n c V T = W gas Le equazioni di stato del gas ideale nel momento iniziale e finale risultano: pv =nrt T= pv Rn = 4p 1V nr p 1 V 1 =nrt 1 T 1 = p 1V 1 nr Sostituendo I valori di temperatura così ottenuti nella precedente equazione si ottiene il lavoro compiuto dal sistema: W gas = nc V T 1 T = c V p 1V 1 R p 1V R = c v p 1 R V 1 4 V 20

21 Svolgimento esercizio 7 (2) Il lavoro fatto dal gas nel cilindro sull'ambiente è uguale, a meno di un segno, al lavoro delle forze esterne agenti sul cilindro, cioè la forza della pressione atmosferica (p atm S) e la forza peso (Mg): W gas = W E = W pre W peso = p atm S Mg h= = p atm Mg S hs= p atm Mg S V 1 V = p 1 V 1 V Dove h è lo spostamento del pistone, S la sua superfice e si è sostituito: Sh= V 1 V La sostituzione finale è possibile poichè da quando i pesi vengono eliminati dal pistone la pressione totale sul cilindro è pari a p 1 21

22 Svolgimento esercizio 7 (3) Uguagliando le due espressioni del lavoro compiuto dal gas sull'esterno otteniamo: W gas = c v p 1 R V 1 4 V = p 1 V 1 V V 1 V = 1 4 c v R 1 c v R Nella soluzione finale è stato utilizzato il valore del calore specifico per i gas monoatomici: = 14 5 =2.8 c v = 3 2 R 2)Poichè il sitema non scambia calore con l'esterno la variazione di entropia del sitema è pari alla variazione dell'entropia dell'universo termodinamico. Se la trasformazione fosse stata reversibile non ci sarebbe stata variazione di entropia, nel caso di una trasformazione irreversibile l'entropia del sistema aumenta. Per calcolare la variazione di entropia dobbiamo considerare una trasformazione reversibile con gli stessi estremi. S è indipendente dala trasformazione. Il calore scambiato nella trasformazione risulta: dq=n c v dt dw 22

23 Svolgimento esercizio 7 (4) Poiché consideriamo una trasformazione reversibile possiamo considerare le seguenti relazioni: S= i f p= nrt V, dw=p dv dw =nrt dv V La variazione di entropia risulta: dq = f T i rev n c v dt T f i nr dvv =n c v ln T 1 T nr ln V 1 V Il rapporto tra le temperature risulta: T 1 T = P 1V 1 PV = V 1 4V = 7 10 Sostituendolo nell'espressione precedente tale valore, otteniamo: S= 3 2 R ln 7 14 R ln 10 5 =4.11J / K 23