Cap. 4. PROCESSI CONTINUI GAUSSIANI

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1 Cap. 4. PROCESSI COTIUI GAUSSIAI 4.1. PROCESSI COTIUI GAUSSIAI: IL RUMORE Una ategoria molto intereante è quella dei proei ontinui gauiani, he gode della importante proprietà di onentire la piena onoenza tatitia olo in bae a quella della unzione di denità di probabilità del eondo ordine. In partiolare nel ao di tazionarietà, he in eguito di quanto opra menzionato è empre in eno tretto, la unzione di denità di probabilità del primo ordine di un proeo ontinuo gauiano reale ha la epreione, indipendente dal tempo: # 1 [4.1] p g (x) ˆ= e - (x- ) 2 2 2!,! 2" dove! è il valore medio tatitio, " 2 =R(0)-! 2 è la varianza e R(#) è la unzione di autoorrelazione del proeo; la denità di probabilità del eondo ordine è anh ea una unzione eponenziale analoga alla [4.1], he riulta ompletamente determinata quando i onoa R(#). el ao, aai requente, di proeo ontinuo gauiano tazionario a valore medio nullo (!=0) è dunque uiiente la ola onoenza della unzione di autoorrelazione, oppure della denità pettrale di potenza (vedi [1.27]). La omma di proei gauiani indipendenti è anora un proeo gauiano, on valore medio omma dei valori medi e varianza omma delle varianze. Si può inoltre dimotrare (teorema del limite entrale) he la omma di un numero n di egnali aleatori appartenenti a proei arbitrari, ma indipendenti, tende di norma ad approimare un proeo gauiano al tendere di n all'ininito. Riulta allora ben omprenibile la requente aratterizzazione di un proeo toatio ome gauiano: un tipio eempio nel ampo delle teleomuniazioni è quello della hematizzazione dell'inieme di numeroiimi egnali indeiderati aleatori additivi, non aoiabili al egnale utile e dovuti a una miriade di aue indipendenti, tramite un proeo ontinuo gauiano reale he viene denominato rumore gauiano (G=Gauian oie). el eguito della ezione i a partiolare rierimento a quet ultimo, ma i rammenti he quanto riavato è appliabile a qualiai proeo dello teo tipo, ia indeiderato he utile. elle teleomuniazioni un proeo tazionario rappreentativo di un rumore gauiano e aunto a valore medio nullo, viene di norma aratterizzato tramite la ua denità pettrale di potenza, (). Aegnata tale unzione, ono immediatamente alolabili la unzione di autoorrelazione: [4.2] R nn (#) = F -1 {()}, e la potenza P n, he per l annullari del valore medio riulta pari alla varianza! 2 n proeo; ervendoi della [1.30] i ha: [4.3] P n =! 2 n =! ()d. del

2 29 Si noti he in linea di maima tanto più è eteo l'intervallo di requenza entro ui () è divero da zero, tanto maggiore riulta la potenza, o varianza, del rumore. Sovente i onidera il ao in ui i ha ()= 0, oia la denità pettrale di potenza è invariante on la requenza, e i adotta la denominazione di rumore gauiano biano (WG=White Gauian oie); altrimenti il rumore i die generiamente olorato. Dalla [4.2] on () otante riulta la unzione di autoorrelazione del rumore gauiano biano: [4.4] R nn0 (#) = 0 $(#) = 1 2 0$(#), dove on [4.5] 0 = 2 0 i ua indiare la potenza del rumore gauiano biano per unità di banda, riavabile dalla [4.3] on l integrale limitato da -1 Hz a 1 Hz. Si noti dalla [4.3] he e la denità pettrale del rumore oe rigoroamente otante u tutto l ae delle requenze, i avrebbe l aurdo iio di una potenza ininita; nella pratia la qualiia di rumore biano viene in eetti adoperata intendendo he la uniormità della denità pettrale i veriihi olo entro una banda limitata, ma di etenione tale da omprendere largamente quella oupata realmente dallo pettro utile a ui di norma i aggiunge quello del rumore. Con rierimento a un proeo ontinuo gauiano utile, l attributo biano omporta invee he la denità pettrale di potenza ia otante nella ua banda limitata e nulla altrove (vedi par. 3.2). Con rierimento al dominio del tempo, una generia realizzazione n(t) del rumore è un egnale immetrio teoriamente non limitato (vedi [4.1]); in pratia, è tuttavia poibile deinire un valore di pio del rumore, n p, ome quel valore he ha una aai piola probabilità, P p, di eere uperato dal valore aoluto di n(t):! [4.6] P p ˆ= 2 " p g (n)dn. n p Servendoi della [4.1], la epreione preedente può eere riondotta alla orma: " n [4.7] P p = er(x) = er p % $ ', # 2! n & dove i è atto rioro alla unzione omplementare di errore: 2 " [4.8] er(x) ˆ= # e -y2 dy, x! e i è poto: [4.9] n p = x 2 " n.

3 30 Se allora i aume ad eempio P p =10-5, riultando dalla [4.7] x=3,12, dalla [4.9] i alola n p =4,46" n, da ui i ottiene il attore di pio a 10-5 del rumore gauiano: [4.10] F pn = n p! = 4,46, oia F pn(db) = 20 log F pn = 13 db. n 4.2 RUMORE GAUSSIAO STAZIOARIO O I BADA BASE Si abbia un rumore gauiano tazionario, (t), on denità pettrale di potenza, (), divera da zero olo per 0< m < < M (peo m è apprezzabilmente maggiore di zero e il proeo è del tipo in banda tralata). Selta arbitrariamente una requenza entro la banda del proeo, i può adottare per la generia realizzazione la rappreentazione (vedi [2.7]): [4.11] n(t) = n (t)o(% t) - n (t)in(% t). A partire dalla [4.11], i poono ottenere (vedi [2.27]) le eguenti epreioni, identihe, delle unzioni di autoorrelazione dei proei in banda bae, (t) e (t), he hanno le realizzazioni n (t) e n (t): [4.12] R n (#) = R n (#) = R nn (#)o(% t)+ R ˆnn (#) in(% t), dove R nn (#) e Rˆnn (#) ono ripettivamente la unzione di autoorrelazione del rumore e la unzione di interorrelazione tra il proeo he i ottiene dalla traormazione di Hilbert del rumore e il rumore teo. I proei (t) e (t) riultano gauiani tazionari; ponendo #=0 nella [4.12] i riavano poi le eguenti relazioni tra le potenze: [4.13]! 2 n =! 2 n =! 2 n ; i noti he, al ontrario di quanto l intuito potrebbe uggerire, la potenza del rumore non in banda bae non i divide ui proei in banda bae, ma i ritrova identia u iauno di ei. La giutiiazione deriva, al olito, dal partiolare legame tra il egnale e il uo inviluppo ompleo rappreentativo. Le identihe denità pettrali di potenza dei proei di rumore in banda bae hanno la orma (vedi [2.30]): [4.14] ()= ()= + (+ )+ - (- ). Si noti he l andamento di tali unzioni dipende non olo da quello di (), ma anhe dalla elta di, ome motrato in igura 4.1; tra l altro, e oinide on uno degli etremi della banda i rumori in banda bae hanno la maima etenione, da B a B (vedi ig..1.b,), mentre la etenione è minima, da -B/2 a B/2, nel ao in ui ia elto al entro della banda (vedi ig. 4.1.d).

4 31 () a) b) M m m M ()= () -B 0 B = () = () m ) 0 () = () = M d) -B/2 0 B/2 = a Fig Denità pettrale di potenza di un rumore gauiano non in banda bae (a) e dei relativi proei in banda bae, on agli etremi di banda (b,) e al entro (d). Un ao partiolare, ma aai requente, è quello in ui il rumore gauiano è biano, on denità pettrale di potenza otante in banda, 0, e nulla altrove. Se i eglie al entro della banda, la [4.14] diviene: [4.15] () = () = 2 0 ret(/b) = 0 ret(/b) ; la relazione [4.13] tra le potenze dei proei aume inoltre la orma partiolare: [4.16]! 2 n =! 2 n = 2 0 B = 0 B. Poihé riulta oddiatta la ondizione di immetria del emipettro + () ripetto a (vedi [2.34]), i due rumori in banda bae riultano inoerenti e, in quanto gauiani, tatitiamente indipendenti RUMORE GAUSSIAO BIACO ELLO SPAZIO DEI SEGALI Si onideri un proeo tazionario iio, X(t), le ui realizzazioni reali, x(t), poano eere ritenute imultaneamente limitate in durata T e in banda B. Adottando per la generia realizzazione del proeo una rappreentazione tramite una bae, on buona approimazione i ha lo viluppo: [4.17] x(t) = " x k! k (t),

5 32 tramite il quale le realizzazioni del proeo ontinuo X(t) vengono pote in orripondenza on quelle del proeo tazionario direto, X(n), otituito da una equenza numerabile di &2BT v.a. X k. ello pazio dei egnali individuato dall'inieme dei verori {' k } aoiati all inieme {' k (t)} di unzioni ortonormali, iauna realizzazione x(t) del proeo è dunque rappreentabile on un vettore x avente per oordinate i partiolari valori x 1, x 2,.., x etratti per le variabili X k. Inoltre, riulta poibile una elta delle ' k (t) he ondue a uno viluppo del tipo [4.17] in ui le v.a. ono inorrelate (viluppo di Karhunen-Loeve). el ao della realizzazione di un rumore gauiano biano, (t), a valor medio nullo e on potenza per unità di banda, 0, pari al doppio della denità pettrale di potenza, 0, uniorme u tutto l ae delle requenze, limitatamente all intervallo temporale di deinizione della bae {' k (t)} vale la: [4.18] n(t) = lim " n k! k (t),!" in ui, qualiai ia la bae {' k (t)}, le v.a. k, he hanno determinazioni n k, hanno tutte (vedi appendie B3) valor medio nullo: [4.19] E{n k } = 0, e identia varianza: [4.20] E{n 2 k } = 0 = Le v.a. oniderate, inoltre, ono tutte gauiane e tra loro tatitiamente indipendenti. ello pazio dei egnali on dimenione tendente all ininito, una realizzazione del rumore oniderato è dunque rappreentabile on un vettore, n, avente omponenti n k iauna on unzione di denità di probabilità del primo ordine (vedi [4.1]): [4.21] p(n k ) = 1! e o 2 - n k o. Grazie alla indipendenza tatitia, il vettore riultante n ha dunque la unzione di denità di probabilità di ordine tendente all ininito: [4.22] p (!(n) =! p(n k ) = () o ) -/2 e - o n 2.