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1 SCOPO dell'analisi dinaia strutturale è la deterinazione delle tensioni e delle deforazioni in una struttura soggetta ad un ario dinaio. Per dinaio si intende variabile nel tepo; periò un ario dinaio è qualsiasi ario la ui intensità, direzione o posizione vari nel tepo. Analogaente, la risposta strutturale ad un ario dinaio, ioè le deforazioni e le tensioni risultanti, varia nel tepo e periò è dinaia. CARATTERISTICHE ESSENZIALI I UN PROBLEMA INAMICO Se un ario è appliato statiaente su una struttura, le solleitazioni e la deforata he ne derivano dipendono direttaente dal ario appliato e possono essere valutate dalle ondizioni di equilibrio di forze. Fig.. Vieversa, se un ario è appliato dinaiaente, gli spostaenti della struttura variano nel tepo e la struttura subise delle aelerazioni. Tali aelerazioni danno luogo alle forze d'inerzia he si oppongono al oto della struttura. Cosihé, le solleitazioni interne nella struttura devono equilibrare non solo il ario esterno direttaente appliato, a anhe le forze d'inerzia risultanti dall'aelerazione della struttura. Le forze d'inerzia quindi sono la aratteristia più iportante he distingue il problea dinaio. In generale, se le forze d'inerzia rappresentano una parte signifiativa del ario totale equilibrato dalle forze interne, allora oorre tener onto del arattere dinaio del problea. Se invee il oto è osì lento he le forze d'inerzia sono trasurabili, l'analisi della risposta ad ogni istante può essere effettuata on i etodi della statia anhe se il ario e quindi la risposta sono in realtà variabili nel tepo. In un sistea dinaio, l'analisi è opliata dal fatto he le forze d'inerzia risultano dagli spostaenti strutturali he a loro volta sono influenzati dalla grandezza delle forze d'inerzia. Quindi il problea deve essere forulato in terini di equazioni differenziali.

2 Inoltre, poihé la assa della struttura è distribuita on ontinuità, gli spostaenti e le aelerazioni devono essere definiti per iasun punto dell'asse strutturale per poter definire in odo opleto le forze d'inerzia. In questo aso, l'analisi deve essere forulata in terini di equazioni differenziali parziali perhé sia la posizione lungo l'asse he il tepo devono essere onsiderate variabili indipendenti. Affrontare il problea nella sua generalità risulta quindi notevolente opliato; è neessario periò rappresentare la struttura on un odello quanto più possibile seplie, a he rifletta tuttavia in odo adeguato le sue proprietà dinaihe. Se, ad esepio, la assa di una struttura potesse essere onentrata in una serie finita di punti, il problea analitio sarebbe estreaente seplifiato perhé le forze d'inerzia potrebbero svilupparsi solo in questi punti: quindi sarebbe suffiiente deterinare gli spostaenti ed aelerazioni solo di questi punti per desrivere opiutaente il oto di tutto il sistea. Si definise oe nuero di GRAI I LIBERTÀ INAMICI della struttura "g.d.l." (degrees of freedo "OF") il nuero di oponenti di spostaento indipendenti he devono essere onsiderate per deterinare la posizione nello spazio di tutte le asse del sistea in qualsiasi istante del suo oviento. Esepio: Fig.. Se la trave è vinolata in odo he le asse possano uoversi solo in vertiale, allora il sistea è a 3 g.d.l. (3 OF) Se le asse non fossero onentrate in punti a avessero anhe inerzia rotazionale, allora anhe la rotazione dei tre punti dovrebbe essere onsiderata ed il sistea sarebbe a 6 OF. Se le deforazioni assiali della trave fossero signifiative, allora oorrerebbe onsiderare anhe gli spostaenti assiali dei punti ed il sistea risulterebbe a 9 OF. Più in generale, se la struttura potesse deforarsi nello spazio, iasuna assa avrebbe 6 OF e quindi la struttura globalente 8 OF.

3 Un sistea on assa distribuita ha un nuero infinito di gradi di libertà. La odellazione di una struttura oe un sistea a asse onentrate è uno dei possibili etodi di disretizzazione di una struttura reale, he è adatto a odellare strutture in ui le asse sono per larga parte onentrate in porzioni liitate della struttura stessa: allora si possono onsiderare tutte le asse onentrate in tali porzioni ed il resto della struttura oe privo di assa e he onserva però le aratteristihe di deforabilità. Altri etodi sono quello degli spostaenti generalizzati e degli eleenti finiti. Il seondo di questi obina aspetti delle due proedure preedenti ed attualente è quello he eglio si presta per espriere gli spostaenti di una qualsiasi onfigurazione strutturale per ezzo di un nuero disreto di oordinate. Nel seguito si studiano solo odelli a asse onentrate.. SISTEMI A UN GRAO I LIBERTA' SOF Fig..3 Un sistea ad un grado di libertà (SOF) - osillatore seplie - può essere desritto ediante un odello ateatio on le seguenti aratteristihe (v. fig..3): ) assa : rappresenta le aratteristihe inerziali e di assa della struttura ) olla : rappresenta la forza elastia di rihiao e l'energia potenziale della struttura 3) sorzatore : rappresenta le aratteristihe di attrito e le perdite di energia della struttura 4) forza di eitazione F(t): rappresenta le forze esterne he agisono sul sistea nel tepo. Nella fig..4 sono riportati altri odelli di osillatore seplie, rappresentativi di strutture eleentari, in ui, rispetto al odello di fig..3, la olla è sostituita da una struttura elastia 3

4 la ui rigidezza è pari al rapporto fra la forza neessaria a produrre un deterinato spostaento e lo spostaento stesso. Fig..4. VIBRAZIONI LIBERE.. SISTEMA NON SMORZATO Shea di equilibrio: sistea spostato dalla posizione di equilibrio statio equilibrio dinaio direzione : & & + = 4

5 prinipio di d'alebert dell'equilibrio dinaio: istante per istante la assa è in equilibrio (in direzione ) sotto l'azione della forza d'inerzia, entrabe dirette in senso opposto allo spostaento. & &, e della forza di rihiao elastia,, & equaz. del oto (.) & + = Risposta del sistea: desrizione del oto del sistea he ha subito uno spostaento dalla posizione di equilibrio statio. Si ottiene risolvendo l'equazione del oto he è una equazione differenziale lineare del ΙΙ ordine, oogenea, a oeffiienti ostanti. Ci si aspettano soluzioni del tipo: = Aost = B sent se entrabe sono soluzioni anhe la loro soa è una soluzione: erivando e sostituendo nella (.): = Aos t + B sent & = A sent + B ost && = Aost B sent ( + )( Aost + B sent) = = = = soluzione orrispond banale e all'equi- librio statio = La soluzione generale è: = A t + B sent on = os (.) = & = & Iponendo le ondizioni iniziali: ( ) ( ) L equazione del oto risulta: & = ost + sent (.3) quindi la risposta è un oto aronio on 5

6 = pulsazione naturale del sistea T = π periodo proprio Si può anhe srivere: ( β ) = C os t (.3') C & = + apiezza tgβ & = fase Fig..5.. SISTEMA SMORZATO Al punto preedente si è visto he l'osillatore seplie non sorzato, una volta spostato dalla posizione di equilibrio statio osillerà indefinitaente on apiezza ostante alla sua frequenza naturale. In realtà sistei siffatti non esistono: sono sepre presenti forze d'attrito o di sorzaento a ausa delle quali parte dell'energia eania, inetia o potenziale, viene trasforata in altre fore di energia, ad es. alore. Si aette he queste forze siano proporzionali all'apiezza della veloità e opposte alla direzione del oto. 6

7 Non sepre questa sheatizzazione interpreta effiaeente le aratteristihe del sistea, però onsente un'analisi ateatia relativaente seplie. equaz. del oto: & + & + = (.4) soluzione del tipo: pt = Ce derivando e sostituendo nella (.4) si ottiene: pt pt & = Cpe & = Cp e e pt ( Cp + Cp + C) = p + p + = equaz. aratteristia da ui: p = ± p (.5) per ui l'equazione del oto è: ( t) = C e p t + C e p t C C ost. d'integrazione, si riavano dalle ondizioni iniziali. La fora finale dell'equazione dipende dal segno dell'espressione sotto radie nell'eq. (.5). Si hanno tre asi: il prio aso è il aso liite in ui la quantità sotto radie è = : lo sorzaento presente in questo aso è detto "sorzaento ritio". 7

8 aso: sistea on sorzaento ritio r r = = = = (.6) p r = p = Le due radii sono uguali periò la soluzione generale potrebbe fornire solo una ostante d'integrazione e quindi una sola soluzione indipendente. Un'altra soluzione indipendente può essere trovata usando la funzione: ( t) = C te r t he soddisfa all'equazione differenziale. La soluzione generale del sistea ritiaente sorzato è data dalla sovrapposizione delle due soluzioni: ( t) = ( C + C t) r t e oto non periodio (.7) Fig..6 aso: sistea ipersorzato > r L'espressione sotto radie è > Il oto è non periodio oe nel aso a il tepo per tornare alla posizione neutra è più lungo. 8

9 SMORZAMENTO CRITICO: per un dato sistea ( e dati) è il più piolo valore dello sorzaento per il quale non si hanno osillazioni libere. 3 aso: sistea sottosorzato < r radii dell'equazione aratteristia oplesse oniugate: p p = ± i (.8) soluzione generale del sistea sottosorzato: ( t) = C e + i ( ) ( ) t i t i ( ) t i ( ) t + = Ce e Ce + Ce t utilizzando le relazioni di Eulero: ix e = os x + i sen x ix e = os x i sen x t ( t) = e ( Aos t + Bsen t) 443 parte reale A=C + C (.9) 443 parte iaginaria B=i(C C ) = frequenza sorzata del sistea = ξ ξ = < r rapporto di sorzaento del sistea ξ ( t) = Ce ( t α ) t os (.9') = & = & ondizioni iniziali: ( ) ( ) 9

10 C = ( & + ) ξ + + tanα = & ξ Fig..7 Risposta di un sistea libero sottosorzato Il oto è osillatorio a non periodio. L'apiezza non è ostante, a le osillazioni si verifiano ad intervalli uguali di tepo: T π π = = ξ periodo sorzato Per le strutture reali. < <. ira, periò al ax. 98. r In pratia la frequenza naturale può essere onsiderata uguale alla frequenza naturale non sorzata. ETERMINAZIONE SPERIMENTALE ELLA FREQUENZA PROPRIA E ELLO SMORZAMENTO: etodo delle osillazioni libere Si provoa una vibrazione libera e si registra il oviento osillatorio. al grafio he si ottiene, la distanza fra due pihi fornise il periodo proprio, T, da ui si riava. La diinuzione dell'apiezza del oto perette di valutare ξ. Misurati e (valori di due pihi suessivi) si alola:

11 Fig..8 δ = ln dereento logaritio Poihé è: = Ce ξt = Ce ξ ( t + T ) δ = ln = ξt δ = πξ ξ πξ isurato sperientalente δ, si può valutare ξ : δ ξ π

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