Tema 4.1 Sia assegnata la distribuzione di aree rappresentata in figura 4.1. determinino:

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1 4 eometria delle aree Tema 4.1 Sia assegnata la distribuzione di aree rappresentata in figura 4.1. determinino: Si a) un riferimento principale di inerzia ed i relativi momenti del secondo ordine; b) l ellisse centrale di inerzia; c) analiticamente e graficamente il centro relativo della retta r indicata in figura; d) analiticamente e graficamente la retta antipolare per il punto P indicato. P 4a a r a a Fig. 4.1: Distribuzione di aree relativa al tema 4.1. a) Si consideri per la distribuzione di aree assegnata il riferimento Cartesiano piano (O, x, y), come indicato in figura 4.. Detta distribuzione può considerarsi 37

2 38 4. EOMETRI DELLE REE costituita da tre parti: un rettangolo di area 1 = 8a, un quadrato di area = 4a ed un cerchio di area 3 = πa. Per ciascuna delle parti dette si consideri il riferimento locale ( i, x i, y i ) (con i = 1,, 3) centrato nel baricentro i della parte i esima e ad assi paralleli a x e y. Si osservi che ciascuno di detti riferimenti é principale di inerzia per la parte di area cui si riferisce. L area totale risulta: = = (1 π)a = 8.86a Nel riferimento (O, x, y) le coordinate del baricentro per l intera distribuzione sono: x = S y = y = S x = x d y d = a 1 + a( 3 ) = 3a 1 + a( 3 ) = 1.90a =.81a Introdotto il riferimento (, x o, y o ), baricentrico per l intera distribuzione e con assi paralleli a x e y, i momenti di figura del secondo ordine per ciascuna parte di area e rispetto a tale riferimento risultano: = 4a(a)3 1 = a(4a) (y 1 y ) =.97a (x 1 x ) = 10.74a 4 = 1 (x 1 x )(y 1 y ) = 0.15a 4 I () I () = (a)4 1 + (y y ) = 14.38a 4 = (a)4 1 + (x x ) = 4.60a 4 I () = (x x )(y y ) = 6.5a 4 = πa (y 3 y ) = 11.03a 4 = πa (x 3 x ) = 3.35a 4 = 3 (x 3 x )(y 3 y ) = 5.1a 4 essendo x i, y i (con i = 1,, 3) le coordinate del baricentro della porzione i-esima nel riferimento (O, x, y) ed avendo utilizzato i teoremi del trasporto.

3 39 y 4a y 1 y o 1 x o x 1 a y = y 3 = 3 x = x 3 a O x a Fig. 4.: Riferimenti e notazione per la distribuzione di area relativa al tema 4.1. Pertanto, i momenti di figura del secondo ordine nel riferimento (, x o, y o ) per l intera distribuzione sono: I = I (1) + I () I (3) = 6.3a 4 I = I (1) + I () I (3) = 11.99a 4 I = + I () = 1.55a 4 partire dal riferimento (, x o, y o ), il riferimento principale di inerzia (, ξ, η) per la distribuzione di aree assegnata si individua attraverso l angolo ϕ = 1 { } arctan I = o I I Nel riferimento centrale di inerzia (, ξ, η) risulta: I ξ = I + I I η = I + I + I I I I cos ϕ I sin ϕ = 5.9a 4 cos ϕ + I sin ϕ = 1.39a 4 b) I raggi giratori distesi lungo gli assi principali di inerzia sono pari a:

4 40 4. EOMETRI DELLE REE Iξ ρ ξ = = 0.8a Iη ρ η = = 1.18a e pertanto l ellisse centrale di inerzia si rappresenta qualitativamente come in figura 4.3. c) E immediato ricavare la retta r assegnata si esprime nel riferimento (O, x, y) tramite l equazione: x + y + a = 0 risultando la direzione di r individuata dal versore e r = (1, 1) ed essendo la distanza di O da r pari a a sin (45 o ) = a. Inoltre, dalla precedente, é possibile ricavare la distanza del baricentro della distribuzione da r: d r = ( ) x + y + a =.06a Pertanto, considerata la rappresentazione del versore e r nel riferimento centrale di inerzia { eξ e η } [ ] { } cos ϕ sin ϕ ex = = sin ϕ cos ϕ l equazione della retta r nel riferimento (, ξ, η) risulta: e y { } 0.51ξ η +.06a = 0 In definitiva, le coordinate del centro relativo C r per la retta r sono: ξ Cr = e ηρ η d r = 0.34a η Cr = e ξρ ξ d r = 0.8a La costruzione grafica per la determinazione del centro relativo per r é schematicamente illustrata in figura 4.3.

5 41 y y o C r x o e r r O x Fig. 4.3: Ellisse centrale di inerzia e determinazione grafica del centro relativo della retta r per la distribuzione di aree proposta nel tema 4.1. d) Nel riferimento (O, x, y) il punto P assegnato si individua attraverso il vettore (P O) = (4a, 0). D altro canto, nel riferimento (, x o, y o ) la posizione di P é data da: (P ) = (P O) ( O) = (4a x, y ). Inoltre, nel riferimento principale di inerzia risulta: { (P )ξ (P ) η } [ cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ ] { (P )x (P ) y } = { } a In virtù di ciò, l equazione della retta antipolare per P nel riferimento (, ξ, η) é: ξ ξ P ρ η + η η P ρ ξ + 1 = 0, 0.96ξ 4.85η + a = 0 La costruzione grafica per la determinazione della retta antipolare per P, r (P ) é illustrata schematicamente in figura 4.4.

6 4 4. EOMETRI DELLE REE P P r r 1 C r1 r (P) P 1 C r Fig. 4.4: Costruzione grafica per la determinazione della retta antipolare per il punto P in riferimento alla distribuzione di aree proposta nel tema 4.1. Tema 4. Sia assegnata la distribuzione di aree rappresentata in figura 4.5. determinino: Si a) un riferimento principale di inerzia ed i relativi momenti del secondo ordine; b) l ellisse centrale di inerzia; c) il nocciolo centrale di inerzia, utilizzando un procedimento grafico. a) Si consideri per la distribuzione di aree assegnata il riferimento Cartesiano piano (O, x, y), come indicato in figura 4.6. Detta distribuzione può considerarsi costituita da tre parti:: un rettangolo di area 1 = 48a, un rettangolo di area = 7a ed un rettangolo di area 3 = 1a. Per ciascuna delle parti dette si consideri il riferimento locale ( i, x i, y i ) (con i = 1,, 3) centrato nel baricentro i della parte i esima e ad assi paralleli a x e y. Si osservi che ciascuno di detti riferimenti é principale di inerzia per la parte di area cui si riferisce. L area totale risulta: = 1 3 = 9a Nel riferimento (O, x, y), le coordinate del baricentro per l intera distribuzione sono:

7 43 a 3a a a 5a a Fig. 4.5: Distribuzione di aree relativa al tema 4.. x = S y = y = S x = x d y d = 4a 1 4.5a 3a 3 = 3a 1 0.5a 5a 3 = 4.9a =.78a Introdotto il riferimento (, x o, y o ), baricentrico per l intera distribuzione e con assi paralleli a x e y, i momenti di figura del secondo ordine per ciascuna parte di area e rispetto a tale riferimento risultano: = 8a(6a)3 1 = 6a(8a) (y 1 y ) = a (x 1 x ) = 60.1a 4 = 1 (x 1 x )(y 1 y ) = 3.15a 4 I () I () = 7a(a)3 1 = a(7a)3 1 + (y y ) = 36.84a 4 + (x x ) = 8.88a 4 I () = (x x )(y y ) = 3.30a 4 = a(6a)3 1 = 6a(a) (y 3 y ) = 63.36a (x 3 x ) = 56.07a 4 = 3 (x 3 x )(y 3 y ) = 34.51a 4

8 44 4. EOMETRI DELLE REE essendo x i, y i (con i = 1,, 3) le coordinate del baricentro della parte i-esima nel riferimento (O, x, y) ed avendo utilizzato i teoremi del trasporto. y 3 x 3 a y 3 y 1 y o 3a 1 x 1 x o y a O x x a 5a a Fig. 4.6: Riferimenti e notazione per la distribuzione di aree relativa al tema 4.. Pertanto, i momenti di figura del secondo ordine nel riferimento (, x o, y o ) per l intera distribuzione sono: I = I (1) I () I (3) = 46.1a 4 I = I (1) I () I (3) = a 4 I = I () = 34.66a 4 partire dal riferimento (, x o, y o ), il riferimento principale di inerzia (, ξ, η) per la distribuzione di aree assegnata si individua attraverso l angolo ϕ = 1 { } arctan I = 14.1 o I I Nel riferimento centrale di inerzia risulta: I ξ = I + I I η = I + I + I I I I cos ϕ I sin ϕ = 37.49a 4 cos ϕ + I sin ϕ = a 4 b) I raggi giratori distesi lungo gli assi principali di inerzia sono pari a:

9 45 Iξ ρ ξ = = 1.14a Iη ρ η = =.5a e pertanto l ellisse centrale di inerzia si rappresenta qualitativamente come in figura 4.7. y y o x o O x Fig. 4.7: Ellisse centrale di inerzia per la distribuzione di aree proposta nel tema 4.. c) Il nocciolo si determina attraverso le costruzioni grafiche riportate schematicamente ed in modo qualitativo in figura 4.8. In particolare, l inviluppo convesso della distribuzione di aree assegnata fornisce i punti di bordo del nocciolo centrale. Si noti che, risultando detto inviluppo convesso racchiuso in una figura poligonale a 6 lati, il bordo del nocciolo presenta 6 vertici (in figura indicati con C i ), centri relativi per le rette limite r i (i = 1,..., 6).

10 46 4. EOMETRI DELLE REE r 4 r 3 r 5 C 6 C 1 r C 5 C 4 C 3 C r 6 r 1 Fig. 4.8: Costruzione grafica per la determinazione del nocciolo centrale di inerzia relativo alla la distribuzione di aree del tema 4..