Rappresentazione dei dati reali e teoria degli errori. N. Del Buono

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1 Rappresentazione dei dati reali e teoria degli errori N. Del Buono

2 Rappresentazione dei dati reali Sorgenti di errore Rappresentazione dei numeri reali in una base assegnata Rappresentazione approssimata nelle unità aritmetiche dei computer Errori di arrotondamento e di troncamento Propagazione degli errori in un algoritmo numerico progettato per risolvere un dato problema

3 Sorgenti di Errore I risultati numerici possono essere influenzati da diversi tipi di errori: semplificazioni introdotte in un modello errore nei dati errori di arrotondamento nei dati e nei calcoli errori di troncamento

4 Semplificazioni introdotte nel modello Sono errori dovuti ad esempio al fatto che il modello è supposto di tipo lineare, oppure si suppongono trascorabili alcune grandezze fisiche. Adeguatezza del modello.

5 Errori nei dati I dati di un problema sono il risultato di misurazioni che possono essere influenzate da due tipi di errore: errori sistematici: dipendono dalla sensibilità dello strumento di misurazione errori random: sono dovuti al verificarsi in concomitanza di eventi imprevedibili Una stima degli errori nei dati è importante nel calcolo numerico.

6 Errori di arrotondamento Gli errori di arrotondamento nei dati e nei calcoli sono gli errori introdotti nella rappresentazione dei numeri all interno di un computer. I numeri reali infatti sono infiniti mentre la memoria di un calcolatore ha una capacità finita.

7 Errori di troncamento Questi tipi di errori si introducono quando un procedimento infinito è approssimato mediante un procedimento finito. Per esempio, quando le operazioni di passaggio al limite vengono approssimate con le operazioni che richiedono un numero finito di passi.

8 Errore computazionale Gli errori di arrotondamento e di troncamento costituisco l errore computazionale Nello studio degli algoritmi numerici si cerca di ridurre al massimo questo tipo di errore, cercando però di conservare : l affidabilità l efficienza

9 Rappresentazione dei numeri reali I problemi da affrontare sono: la rappresentazione dei numeri reali (infiniti) in un calcolatore (memoria finita). l ambiguità di rappresentazione di un numero reale nelle notazioni scientifiche. Per esempio il numero 12,47: 12,47=1,247x10 1 = 0,1247x10 2 =1247x10-2

10 Notazione posizionale L ambiguità di rappresentazione di un numero reali viene risolta convenzionalmente utilizzando la notazione posizionale: x = ± d d d... d k p con le cifre d i comprese tra 0 e 9 se si utilizza la rappresentazione in base 10, d 1 diverso da zero.

11 Rappresentazione in base B La notazione posizionale si può utilizzare scegliendo una qualunque base B (numero intero), cioè: x = ± 0. d 1 d 2 d 3... d k... B p 0 d i B 1, d 1 0

12 Rappresentazione in base B DEF: Dato un numero reale diverso da zero x l espressione x = ±. d d d... d... B k p -sidice rappresentazione in base B del numero x, -ilnumeropsi dice esponente o caratteristica -I valorid i sono le cifre della rappresentazione - 0.d 1 d 2 d 3 d k si dice mantissa del numero

13 Rappresentazione floating point Un numero reale x diverso da zero può essere rappresentato (in generale) con infinite cifre nella mantissa. I numeri reali sono infiniti

14 Rappresentazione floating point Poiché i registri delle unità aritmetiche e i dispositivi di memoria di un calcolatore consentono l'allocazione di un numero finito di cifre binarie, non si possono, in generale, memorizzare tutte le cifre presenti nella rappresentazione normale del numero. Risulta importante stabilire dei criteri che permettono di rappresentare nel calcolatore i numeri reali in modo da commettere il minimo errore possibile

15 Rappresentazione floating point La rappresentazione di un numero all interno di un calcolatore viene effettuata assegnando delle posizioni di memoria per il segno, per l'esponente e per la mantissa del numero. La rappresentazione di un numero di può schematizzare come segno esponente Mantissa

16 Rappresentazione floating point L insieme dei numeri rappresentabili nel prededente modo su un determinato calcolatore sono detti numeri di macchina La rappresentazione dei numeri di macchina è detta rappresentazione in virgola mobile o floating point

17 Numeri di macchina La rappresentazione in virgola mobile di un numero di macchina in una base B e con t cifre significative è del tipo x = ± B con esponente p tale che: p 0. d d d d t m p M con m, M > 0

18 Numeri di macchina Lo zero viene assegnato per definizione all insieme dei numeri di macchina perchè sfugge alla rappresentazione in base normalizzata Normalmente lo zero viene rappresentato con mantissa nulla ed esponente -m

19 Numeri di macchina Un eleboratore che abbia che seguenti caratteristiche: t campi di memoria per la mantissa, ciascuno dei quali può assumere B differenti configurazioni; un campo di memoria che può assumere m+m+1 differenti configurazioni un campo di memoria che può assumere due diverse configurazioni rappresenta esattamente tutti i numeri di macchina aventi la precedente rappresentazione in virgola mobile

20 Standard IEEE L'ampiezza dello spazio dedicato all'esponente ed alla mantissa e le modalità della loro memorizzazione, varia da calcolatore a calcolatore e ne rappresenta una caratteristica fondamentale. Una configurazione molto diffusa è quella stabilita dallo standard dell'ieee (Institute of Electrical and Electronic Engineers)

21 Standard IEEE Lo standard IEEE assegna un'area di 32 posizioni per la semplice precisione di 64 per la doppia precisione così distribuite: 1 posizione per il segno 8 o 11 posizioni per l esponente 23 o 52 posizioni per la mantissa

22 Standard IEEE Nella semplice precisione, le 8 posizioni binarie dedicate all'esponente consentono di rappresentare numeri da 0 a 2 8-1=255. In realtà gli estremi 0 e 255 sono riservati ad altri scopi e quindi i numeri utili sono compresi tra 1 e 254. Se p è l'esponente della rappresentazione normale di x, nell'area in oggetto verrà allocato il numero q=p+127. Di conseguenza p può variare tra -126 e 127.

23 Standard IEEE Per quanto riguarda la mantissa della rappresentazione floating point di x, poiche la parte intera e sempre 1, nello spazio ad essa dedicato verra memorizzata solo la sua parte decimale. Poichè in base 2 la mantissa più piccola è e la più grande è (<2), il più piccolo numero positivo rappresentabile è mentre il più grande è quasi Analogamente nel caso della doppia precisione

24 Standard IEEE. Se durante le operazioni si va al di sotto o al di sopra di tali valori, l'unità aritmetica segnala rispettivamente errore di underflow o overflow. Lo zero e rappresentato dalla sequenza di 32 o 64 zeri.

25 Errori di underflow e di overflow Se l esponente p con cui si memorizza un numero è più piccolo del più piccolo numero macchina, cioe p<-m allora l elaboratore segnala un messaggio di underflow Se p>m, allora il numero è più grande del più grande numero di macchina e in questo caso si verifica un errore di overflow

26 Approssimazioni dei numeri Se le cifre decimali della mantissa di x sono in numero superiore a t dobbiamo operare qualche approssimazione per la sua memorizzazione. Tra i vari modi di operare ci sono sostanzialmente 2 strategie: troncamento arrotondamento

27 Troncamento Il troncamento consiste semplicemente nel trascurare tutte le cifre decimali della mantissa successive alla t-esima Consideriamo un numero reale da memorizzare avente rappresentazione: x p = ± B 0. d d d... d d d t t + 1 t + 2 il troncamento all t-esima cifra è: x * = tr( x) = ± B p 0. d d d d t

28 Troncamento La memorizzazzione nei registri sarà: p d,..., d ± 1 t l errore commesso : x x* = x-tr(x) B p t

29 Arrotondamento L arrotondamento di un numero x invece è definito nel seguente modo: { 2 / se 2 / se 1 * 0. * 1 1 * 1 B d B d t d t d t d...d d B arr(x) x t t t p < + = = = + +

30 Arrotondamento La memorizzazzione nei registri sarà: ± p d1,..., dt * l errore commesso : x x* = x-arr(x) 2 1 B p t

31 Floating point I numeri tr(x) e arr(x) sono detti entrambi rappresentazioni in virgola mobile (floating point) del numero x. La funzione che associa al numero reale x il numero di macchina tr(x) oppure arr(x) viene indicata genericamente con fl(x) (floating point del numero reale x).

32 Errore Assoluto e Relativo Se x è un numero reale e x* =fl(x) è la sua rappresentazione di macchina chiameremo: Errore assoluto: E a = x-fl(x) Errore relativo (se x è diverso da zero): E r = x-fl(x) / x

33 Risulta che: Maggiorazioni dell errore assoluto x-fl(x) ρb p-t con ρ = 1 1/ 2 se se fl(x) fl(x) = = tr(x) arr(x) L'errore dipende non solo dalla lunghezza t della mantissa ma anche da p, cioè dall'ordine di grandezza del numero x

34 Maggiorazioni dell errore relativo Risulta che: con ε B B t+ 1 = 1 t+ 1 2 x fl( x) x se fl(x) = se fl(x) = ε tr(x) arr(x) è detto precisione di macchina o zero di macchina

35 Precisione di macchina Nei calcolatori la base più comunemente usata è la base 2 e le cifre sono indicate con 0 ed 1. La precisione di macchina o epsilon di macchina o unità di arrotondamento è t = 2 ρ ε ε è un parametro caratteristico del calcolatore

36 Precisione di macchina La relazione che lega un numero reale x alla sua rappresentazione di macchina fl(x) è: fl(x)=x(1+u) essendo u minore o uguale della precisione di macchina.

37 Precisione di macchina La conoscenza della precisione di macchina è essenziale per un controllo della propagazione dell'errore nell'esecuzione dei vari algoritmi che vedremo nel corso. L'epsilon di macchina si può calcolare con il seguente algoritmo.

38 Algoritmo per il calcolo della precisione di macchina e=1 i=0 while 1+e > 1 e=e/2 i=i+1 end print (i-1,2*e)

39 Epsilon di macchina I valori in output i-1 e 2*e sono rispettivamente il numero delle cifre decimali della mantissa l'epsilon di macchina. La doppia precisione dello standard IEEE fornisce il valore: ε = =

40 Operazioni di macchina In generale non è garantito che una operazione aritmetica su due numeri di macchina fornisca come risultato un numero di macchina. I numeri di macchina non sono un insieme chiuso rispetto alle operazioni aritmetiche.

41 Operazioni di macchina Per poter realizzare la naturale ed importante proprietà di chiusura di una operazione in un certo insieme risulta importante definire delle operazioni di macchina che permettano di realizzare tale proprietà. Indichiamo con F l insieme dei numeri di macchina, e con * una delle quattro operazioni aritmetiche (+,-,x,/)

42 Operazioni di macchina la corrispondente operazioni di macchina deve essere: x y = ( x y)(1+ u), u ε per ogni x,y in F tali che il numero ottenuto dall operazione di macchina non dia luogo ad overflow o underflow

43 Operazioni di macchina Si dimostra che: x y = tr ( x y ) x y = arr ( x y ) verificano la precedente condizione quindi danno luogo ad operazioni di macchina.

44 Operazioni di macchina In altre parole una operazione di macchina coincide con l approssimazione floating del risultato dell operazione esatta Una singola operazione tra numeri di macchina da luogo ad un errore. Quindi se il risultato di una operazione è il dato di una operazione successiva, l errore sul dato si propagherà nel risultato finale

45 Aritmetica finita Le operazioni di macchina definite come: x y = fl ( x y) danno luogo alla aritmetica di macchina o aritmetica finita Per le operazioni di macchina non valgono alcune proprietà,, come l associatività dell addizione e della moltiplicazione o la distributività della moltiplicazione rispetto l addizione

46 Sensibilità delle operazioni di macchina Una singola operazione tra numeri di macchina da luogo ad un errore relativo dell ordine della precisione di macchina. Quando però il risultato di una operazione è dato di input di una operazione successiva, l errore si propaga sul risultato finale La misura della propagazione dell errore dipenderà da quanto l operazione è sensibile alle perturbazioni sui dati

47 Problema ben condizionato Un problema si dice ben posto o ben condizionato se introducendo una perturbazione sui dati di input, il risultato viene perturbato di una quantità dello stesso ordine di grandezza delle perturbazioni sui dati.

48 Sensibilità dell operazione somma Consideriamo due numeri reali x e y e siano fl(x) e fl(y) le loro rappresentazioni di macchina Calcoliamo l errore relativo che viene commesso dall elaboratore quando calcola x+y: E r = ( fl(x) fl(y)) (x+y) / (x+y) 3max ( u x, u y, u ) con u x, u y, u < ε

49 Sensibilità dell operazione differenza Consideriamo due numeri reali x e y e siano fl(x) e fl(y) le loro rappresentazioni di macchina Calcoliamo l errore relativo che viene commesso dall elaboratore quando calcola x-y: E r = ( fl(x)өfl(y)) (x-y) / (x-y) u* ( 1+ x / x-y + y / x-y ) con u* ε

50 Sensibilità dell operazione differenza Se x e y sono due numeri aventi lo stesso segno allora l errore relativo può essere molto grande quanto più x e y sono vicini. Questo fenomeno prende il nome di cancellazione di cifre significative

51 Propagazione dell errore Algoritmo è una sequenza ordinata di operazioni elementari con le quali si ottiene la soluzione di un determinato problema. Ogni operazione della sequenza verrà eseguita come operazione di macchina dando quindi origine a due componenti di errore: approssimazione delle operazioni di macchina propagazione dell errore accumulato.

52 Propagazione dell errore La prima componente di errore in un algoritmo, dovuta alle approssimazioni delle operazioni di macchina, non supera l unità di arrotondamento La seconda componente di errore è la più importante e la più pericolosa ed è dovuta alla propagazione dell errore accumulato fino al passo precedente. Essa dipende escusivamente dalla natura stabile o instabile dell operazione che si compie al passo considerato.

53 Applicazione della teoria degli errori Come applicazione della teoria svolta, supponiamo di voler calcolare il valore del polinomio: p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 Il calcolo del valore del polinomio p(x) in un dato punto x 0 può essere fatto in due modi: attraverso lo schema naturale attraverso l algoritmo di Horner

54 Schema naturale per il calcolo di p(x) Dati x 0 a 0, a 1,,a n s=1; p=a 0 ; for i=1,2,,n s=s*x 0 ; p=p+a j *s end print (p) Il costo computazionale del precedente algoritmo è di n somme e 2n moltiplicazioni

55 Algoritmo di Horner Il metodo di Horner si basa sul fatto che il polinomio p(x) può essere scritto nella seguente forma: p(x)=(..(((a n )x+a n-1 )x+a n-2 )x+...+a 1 )x+a 0 ALGORITMO: Dati: x 0, a 0,..., a n p=a n for i=1,2,...,n p=p*x 0 +a n-i end print p

56 Algoritmo di Horner I vantaggi dell algoritmo di Horner sono: minore costo computazionale, infatti algoritmo richiede il calcolo di n somme ed n moltiplicazioni maggiore stabilità dello schema naturale per piccoli valori del punto x